精品解析：福建省福州市第十九中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

福建省福州市第十九中学2024-2025学年下学期 八年级期末数学试卷 一、选择题（共10小题） 1. 图中是第二届数字中国建设峰会吉祥物——“数娃”，它头顶蓝色榕树叶、脚踩数字浪潮，看起来“萌萌哒”．结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图成中心对称的是（　　） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　） A. 1，，4 B. 1，3，4 C. 1，， D. 1，3， 3. 一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 4. 下列性质中，平行四边形一定具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 邻边互相垂直 5. 如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A. B. C. D. 6. 小红做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：t）如下：5，5，6，7，8，9，10．她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（　　） A. 5，10 B. 6，7 C. 6，8 D. 8，10 7. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割比例．后来在设计人体雕像时，多采用黄金分割比例增加美感．即雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比．按此比例，如果雕像高，设雕像的下部高为，可列方程为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，平分交边于点E，点F是的中点，连接，若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 9. 把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，线段在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方），且．当的值最小时，点Q的坐标是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 函数的自变量x的取值范围是_________． 12. 将直线y＝﹣6x向上平移5个单位，所得直线的函数表达式是_____． 13. 如图，在中，，D为的中点，，则的长是 _____． 14. 已知一组数据方差s2= [（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为_____． 15. 如果函数，当时，求此函数的解析式是 ____________． 16. 若关于x的一元二次方程的根为有理数，则整数k的值为______． 三、解答题（共9小题） 17 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 19. 若关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求m的取值范围． 20. 如图，过点A两条直线和分别交x轴于点B，C，其中点B在x轴负半轴上，点C在x轴正半轴上，已知直线的解析式为． （1）求点C的坐标； （2）若的面积为12，求直线的解析式． 21. 为提高全校师生消防安全意识，我校举行了全体学生消防安全知识竞赛．学校从七，八两个年级中各随机抽取了名同学竞赛成绩，对他们的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：用表示成绩分数，满分分，共分为四个等级：等：，等：，等：，等：，其中等级为优秀，所有学生成绩都不低于分 收集数据： 七年级抽取的成绩中等学生人数是等学生人数的3倍； 八年级抽取的成绩中等成绩为：，，，，，，，，． 数据分析： 抽取的七，八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数、优秀人数如表所示： 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 优秀人数 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ， ，并补全条形统计图； （2）你认为该校七，八年级哪个年级学生消防安全知识掌握得更好些？并说明理由(说明一条理由即可)． 22. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上． （1）根据题意，作(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； （2）连接，判断与的位置关系，并说明理由． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 我校生态实验园拟搭建大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为． 素材2 现打算在的中点F处安装一款自动喷灌器，从喷水口E喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点D处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水高度 问处喷出的水流在距离F点水平距离为多少米时达到最高，最高点距离地面多少米？ 24. 临近期末，陈老师上了一节几何专题复习课． （1）【巧妙破解】在中，，，点C、D在边上，且，如图1．若，，求的长． 经过激烈的小组讨论后，陈老师请小天同学分享他们小组的解题思路．小天说：“如图2将绕点O顺时针旋转，得到连结．再证和全等．最后在中利用勾股定理就能解决问题”． 请根据小天分享的思路写出完整解答过程． （2）【抛砖引玉】如图3，在正方形中，点E、F分别在边、上，满足，连结、，分别与对角线交于G、H两点．探究、、的数量关系并证明． （3）【妙趣推演】如图4，在矩形中，点E、F分别在边、上，且．探究、、的数量关系． 25. 如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标． （2）若点D是直线下方抛物线上的动点，当面积是面积的一半时，求点D坐标． （3）连接，若点E的抛物线上的一个动点，且满足，求点E坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省福州市第十九中学2024-2025学年下学期 八年级期末数学试卷 一、选择题（共10小题） 1. 图中是第二届数字中国建设峰会吉祥物——“数娃”，它头顶蓝色榕树叶、脚踩数字浪潮，看起来“萌萌哒”．结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图成中心对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．不成中心对称，故此选项不符合题意； B．成中心对称，故此选符合题意； C．不成中心对称，故此选项不符合题意； D．不成中心对称，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　） A. 1，，4 B. 1，3，4 C. 1，， D. 1，3， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解： 方程化为一般形式为 ∴二次项系数、一次项系数和常数项是1，3，， 故选：D 3. 一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象（根据一次函数解析式判断其经过的象限），熟练掌握、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键：当时，一次函数图象必过一、三象限；当时，一次函数图象必过二、四象限；当时，一次函数图象与轴交于正半轴；当时，一次函数图象与轴交于负半轴；或者说：当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限． 根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数， ，， 函数图象经过第一、二、四象限， 故选：． 4. 下列性质中，平行四边形一定具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 邻边互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A. 对角线相等是矩形的性质，而平行四边形的对角线不一定相等，故此选项错误； B. 对角线互相平分是平行四边形的性质一定具有的性质，故此选项正确； C. 对角线互相垂直是菱形必有的性质，而平行四边形的对角线不一定垂直，故此选项错误； D. 邻边互相垂直是矩形必须具有的性质，而不是平行四边形的两边不一定垂直，故此选项错误； 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及特殊四边形具有的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 5. 如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【详解】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 故选：D． 6. 小红做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：t）如下：5，5，6，7，8，9，10．她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（　　） A. 5，10 B. 6，7 C. 6，8 D. 8，10 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求数据的中位数和众数，正确理解中位数及众数的求法是解题的关键．先求出原数据的中位数和众数，分析即可得到应去掉的两个数． 【详解】解：5，5，6，7，8，9，10的众数是5，中位数是7， A. 去掉5，10：新数据为5，6，7，8，9，中位数为7，但众数不是5，不符合条件； B. 去掉6，7：新数据为5，5，8，9，10，中位数为8，与原中位数7不同，排除； C. 去掉6，8：新数据为5，5，7，9，10，中位数仍为7，众数仍为5，符合条件； D. 去掉8，10：新数据为5，5，6，7，9，中位数为6，与原中位数7不同，排除． 故选：C． 7. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割比例．后来在设计人体雕像时，多采用黄金分割比例增加美感．即雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比．按此比例，如果雕像高，设雕像的下部高为，可列方程为（ ）． A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设雕像下部高为，则雕像上部高为，根据雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设雕像下部高为，则雕像上部高为， 根据题意得：即． 故选：B． 8. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，平分交边于点E，点F是的中点，连接，若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得，，由，且，求得，则，所以是等边三角形，而，利用含30度角的直角三角形求出，由平分交边于点E，得，则，所以，则得，由三角形的中位线定理得，得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴， ， ，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点，点O是的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 9. 把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、，由正方形的性质得，，则，，由旋转得，，，则点在上，所以，，则，可证明，则，所以，求得四边形的周长是，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 四边形是边长为5的正方形， ，， ， ， 把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E， ，，， ，点在上， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长是， 故选：D． 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，线段在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方），且．当的值最小时，点Q的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，求出，将点C沿y轴向下平移2个单位，得到点D，连接，，证得四边形是平行四边形，于是可得，于是得到，即点Q是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：抛物线与x轴交于点A，B， 当时，得：， 解得：， ，， ， ， ， 点C沿y轴向下平移2个单位得到点D，如图，连接，， 线段在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方）， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在y轴上， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当D、Q、B三点共线，即点Q是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， 由平移的性质可得：点D的纵坐标， ， 设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， ， 故选：B． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与y轴的交点坐标，求抛物线与x轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11. 函数的自变量x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题关键．由题意得：，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 12. 将直线y＝﹣6x向上平移5个单位，所得直线的函数表达式是_____． 【答案】y＝﹣6x+5 【解析】 【分析】根据平移k不变，b值加减即可得出答案． 【详解】平移后解析式：y=-6x+5． 故答案为y=-6x+5． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换．直线平移变换的规律：对直线y=kx而言：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减．①如上移5个单位，即y=kx+5；②下移5个单位，即y=kx-5．③左移5个单位，即y=k（x+5）；④右移5个单位，即y=k（x-5）．掌握其中变与不变的规律是解决直线平移变换的好方法． 13. 如图，在中，，D为的中点，，则的长是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵在中，，D为的中点，， ∴． 故答案为：3． 14. 已知一组数据的方差s2= [（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]中各个字母表示的意义，得出这组数据的平均数是6，数据个数是4，从而得出这组数据的总和． 【详解】∵s2=[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]， ∴这组数据的平均数是6，数据个数是4， ∴这组数据的总和为4×6=24． 故答案为24． 【点睛】本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，解题关键是对方差公式的理解． 15. 如果函数，当时，求此函数的解析式是 ____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是关键． 分时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，当时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，据此利用待定系数法讨论求解即可． 【详解】解：当时，则y随x增大而增大， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 综上所述，此函数解析式为或， 故答案为：或． 16. 若关于x的一元二次方程的根为有理数，则整数k的值为______． 【答案】0，1，9，10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握根的判别式以及有理数和整数的定义． 根据一元二次方程根的判别式求出Δ，再根据方程的根为有理数，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程的根为有理数， ∴是完全平方数， 设， 变形为， ∴， ∴， 解得； ， 解得k＝0， ， 解得k＝9； ， 解得， 综上，整数k的值为0，1，9，10． 故答案为：0，1，9，10． 三、解答题（共9小题） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则或， 解得； 【小问2详解】 ∵， ∴， 则或， 解得． 18. 已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解答本题的关键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知得到，又由可得，证得，即可证明是矩形． 【详解】解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 19. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求m的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解题关键． 根据一元二次方程有两个不相等实数根可得，可得关于m的不等式，求得，利用根与系数的关系可得，再整体代入，解得，即可求得． 【详解】解：∵关于x一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 20. 如图，过点A两条直线和分别交x轴于点B，C，其中点B在x轴负半轴上，点C在x轴正半轴上，已知直线的解析式为． （1）求点C的坐标； （2）若的面积为12，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是关键． （1）在函数中，当时，即可得到点C坐标； （2）利用面积求出长，再确定点B坐标，根据待定系数法求出直线解析式即可． 【小问1详解】 解：∵在函数中， 当时，， 解得， ∴． 【小问2详解】 由函数可知， 当时，， ∴， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，由条件可知， 解得， ∴直线的解析式为． 21. 为提高全校师生消防安全意识，我校举行了全体学生消防安全知识竞赛．学校从七，八两个年级中各随机抽取了名同学的竞赛成绩，对他们的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：用表示成绩分数，满分分，共分为四个等级：等：，等：，等：，等：，其中等级为优秀，所有学生成绩都不低于分 收集数据： 七年级抽取的成绩中等学生人数是等学生人数的3倍； 八年级抽取的成绩中等成绩为：，，，，，，，，． 数据分析： 抽取的七，八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数、优秀人数如表所示： 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 优秀人数 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ， ，并补全条形统计图； （2）你认为该校七，八年级哪个年级学生消防安全知识掌握得更好些？并说明理由(说明一条理由即可)． 【答案】（1）；；；图见解析 （2）八年级学生知识竞赛成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查频数(率)分布直方图，样本估计总体以及频数分布表，能从统计图中获取信息，熟悉相关概念是解题的关键． （1）用八年级等级的人数除以扇形统计图中的百分比可得的值；根据中位数的定义可得的值；由题意可得七年级抽取的等学生人数是人，则七年级抽取的等学生人数是人，可列方程为，求出的值即可；根据七年级抽取的等和等学生人数补全条形统计图即可． （2）结合中位数的意义可得结论(答案不唯一)． 【小问1详解】 解：由题意得，． 由八年级抽取数据的扇形统计图知，等级的人数为人， 将八年级的竞赛成绩按照从大大小的顺序排列，排在第和的是，， ． 由题意得，七年级抽取等学生人数是人，则七年级抽取的等学生人数是人， ， 解得． 补全条形统计图如图所示． 故答案为：；；． 【小问2详解】 我认为八年级学生知识竞赛成绩更好． 理由：七年级学生知识竞赛成绩的中位数为，小于八年级学生知识竞赛成绩的中位数， 所以八年级学生知识竞赛成绩更好(答案不唯一)． 22. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上． （1）根据题意，作(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； （2）连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）图见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）结合旋转的性质，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，即可． （2）由旋转得，，，，可得，，，则可得．根据，可得，即． 【小问1详解】 解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，， 则即为所求． 【小问2详解】 ． 理由：由旋转得，，，， ，，， ． ， ， ， 即． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 我校生态实验园拟搭建大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为． 素材2 现打算在的中点F处安装一款自动喷灌器，从喷水口E喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点D处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离F点水平距离为多少米时达到最高，最高点距离地面多少米？ 【答案】任务1：图见解析， 任务2：处喷出的水流在距离F点水平距离为米时达到最高，最高点距离地面米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相关的函数解析式是解决本题的关键． 任务1．设顶棚部分抛物线的解析式为：，易得点D的坐标，把点D的坐标代入可得a的值； 任务2．设从喷水口E喷出的水流的抛物线的解析式为：，易得点E的坐标，把点E的坐标和点D的坐标代入所设解析式可得b和c的值，进而根据二次函数的性质可得当抛物线的顶点坐标，进而可得处喷出的水流在距离F点水平距离为多少米时达到最高，以及最高点距离地面多少米． 【详解】解：任务1．设顶棚部分抛物线解析式为：， 由题意得：点D坐标为， ∴， 解得：， ∴顶棚部分抛物线的解析式为：； 任务2．设从喷水口E喷出的水流的抛物线的解析式为：， 由题意得：点，点， ∴， 解得：， ∴从喷水口E喷出的水流的抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴时，y有最大值，， ∴最高点距离地面的距离为：（米）． 答：处喷出的水流在距离F点水平距离为米时达到最高，最高点距离地面米． 24. 临近期末，陈老师上了一节几何专题复习课． （1）【巧妙破解】在中，，，点C、D在边上，且，如图1．若，，求的长． 经过激烈的小组讨论后，陈老师请小天同学分享他们小组的解题思路．小天说：“如图2将绕点O顺时针旋转，得到连结．再证和全等．最后在中利用勾股定理就能解决问题”． 请根据小天分享的思路写出完整解答过程． （2）【抛砖引玉】如图3，在正方形中，点E、F分别在边、上，满足，连结、，分别与对角线交于G、H两点．探究、、的数量关系并证明． （3）【妙趣推演】如图4，在矩形中，点E、F分别在边、上，且．探究、、的数量关系． 【答案】（1）10 （2）；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）可证得，从而，，从而，进一步得出结果； （2）在的延长线上截取，可证得，从而，从而得出，利用（1）的结论得出结果； （3）作直线，分别交和的延长线于V，W，可得出，，从而，，，利用（1）的结论得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵绕点O顺时针旋转，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：如图1， ，理由如下： 在的延长线上截取， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，； 【小问3详解】 解：如图2， ，理由如下： 作直线，分别交和的延长线于V，W， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，，， 由（1）知， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 25. 如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标． （2）若点D是直线下方抛物线上的动点，当面积是面积的一半时，求点D坐标． （3）连接，若点E的抛物线上的一个动点，且满足，求点E坐标． 【答案】（1） （2） （3）E点坐标为或 【解析】 【分析】（1）当时，解方程，即可求A、B点坐标； （2）过D点作轴交于点M，设，则，由题意可得，求出t的值即可求D点坐标； （3）在上取点G，使，直线与抛物线的交点为E；过点B作轴，过点C作轴，交于N点，在上取点H，使，直线与抛物线的交点为E． 【小问1详解】 解：当时，， ∴ 解得或， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 过D点作轴交于点M， 设，则， ∴， ∴面积，△DBO面积， ∵面积是面积的一半， ∴ ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， 在上取点G，使， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 当时，解得（不符合题意，舍去）或， ∴， 过点B作轴，过点C作轴，交于N点， ∵， 在上取点H，使，如图 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，解得（不符合题意，舍去）或， ∴； 综上所述：E点坐标为或． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，一元二次方程，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，能够确定所在的直线解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$