专题11 锥体（4大知识点+6大题型+真题检验）讲义-2025年高二数学暑假班预习提升（沪教版（2020））

上海高中数学2020必修第三册第11章空间几何体（预修课程） 专题11 锥体 知识点一：棱锥的定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 图示及相关概念 记作：棱锥S­ABCD 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 分类1 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 分类2 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 【备注】 1、棱锥的斜高：就棱锥而言，斜高是指其侧面三角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离。 棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影构成一个非常有用的直角三角形；它不仅实现了空间问题的平面化，而且把高、斜高、斜高射影、斜高与底面所成角、侧面与底面所成角集中在一个直角三角形中。解之，可得斜高； 棱台的斜高：就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的高，它也是该梯形上下底边的距离； 2、正棱锥 定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥； 基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 面积与体积：，。 （1）正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） （2）正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 知识点二：圆锥的定义、相关概念、结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 图示及相关概念 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长， 底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 知识点三：棱台、圆台的定义、相关概念、结构特征 定义 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体； 大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台； 由圆锥的形成过程，容易看出圆台也可以看成是由直角梯形绕直角边旋转一周所形成的几何体； 其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台； 与台体有关的问题，我们一方面可以转化为锥体的问题来解决，另一方面也可以把锥体和柱体看作是台体的极端情形； 图示及相关概念 记作：棱台ABCD­A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 图示及相关概念 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 知识点四：锥体的体积 柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h. 【说明】对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 4、三棱锥体积公式的推导与应用（割补法与补体法） 知识点五：棱柱、棱锥、棱台的表面积 1、几种特殊的多面体 （1）直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱． （2）正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱． （3）正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等；【依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高】 （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 2、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； 3、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？ 【提示】S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl. 题型1：棱锥棱台的结构特征和分类 【说明】判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法： 1、举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱柱、棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确；． 2、直接法： 棱柱 棱锥 棱台 定底面 两个互相平行的面，即为底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 平行 相交于一点 延长后相交于一点 【例1】下列说法正确的是 (填序号). ①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥. 【例2】下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱柱的侧面一定是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________． 【跟踪训练】 1．下列说法正确的有( )个. ①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ②正棱锥的侧面是等边三角形； ③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 2．下列叙述正确的是 (只填序号)． ①四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形； ②三棱锥的四个面都可以是直角三角形； 题型2：正棱锥及其有关计算 【例3】正六棱锥底面边长为1，侧棱长为2，则棱锥高为 . 【跟踪训练】 1．华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为 米． 2．已知正四面体的棱长为2，，分别为，的中点，则的长为 ． 题型3：棱锥的展开图 【例4】已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为 . 【跟踪训练】 1．在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为 ． 题型4：棱锥中截面的有关计算 【例5】用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是 ．（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形． 【跟踪训练】 1．已知正六棱锥的底面边长和高都是a，那么最大的轴截面面积是 ． 2．已知棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为121，则截得的棱台的高为 . 题型5：圆锥的结构特征辨析 【例6】给出下列说法：（1）以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（2）以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（3）经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；（4）圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是 . 【跟踪训练】 1．下列结论不正确的是 （填序号）. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥； ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥； ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线. 2．将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得的几何体为 A．一个圆台 B．两个圆锥 C．一个圆柱 D．一个圆锥 题型6：圆锥中截面的有关计算 【例7】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是 .（填序号） 【跟踪训练】 1．若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥顶点到底面的距离为 . 2．从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为 . 题型7：圆锥的展开图及最短距离问题 【例8】圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角的正弦值为，则高等于 . 【例9】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【跟踪训练】 1．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 . 题型8：锥体的体积计算 【例10】正四棱锥的所有棱长均为1，则它的体积是 . 【例11】已知圆锥侧面展开图的周长为，面积为，则该圆锥的体积为 ． 【例12】（2021秋•宝山区校级月考）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1，1，，则此三棱锥的高为 　 ． 【跟踪训练】 1．底面边长和侧棱长都是的正三棱锥的体积是 ． 2．如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为（　　）    A． B． C． D． 题型9：锥体的表面积计算 【例13】已知四面体各棱的长均为1，则这个四面体的表面积为 . 【例14】正三棱锥的三条侧棱两两垂直，它的底面积为，则它的侧面积为________． 【例15】（2021·上海交大附中高二期末）已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____． 【例16】半径为3的半圆形纸片卷成一个无盖圆锥筒，则圆锥筒的高为 ． 【跟踪训练】 1．棱长都是3的三棱锥的侧面积S为 ． 2．已知正三棱锥的侧面积是，底面边长是6cm，则它的高是 cm． 3．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆锥的表面积为，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的底面半径为______. 4．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为 . 5．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为 . 题型10：锥体的体积与表面积综合 【例17】（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）暂堵､阳马､鳖膈出自中国古代名著《九章算术.商功》，其中阳马.鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼，取一长方体，如图长方体，沿平面斜切，一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为暂堵.再沿平面切开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥以矩形为底，棱与底面垂直，称为阳马，余下的三棱锥是四个面都是直角三角形的四面体，称为整膈.已知长方体中，，，，按以上操.作得到阳马，则该阳马的最长棱长为___________. 【例18】（2021秋•长宁区校级期中）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积； （2）求该蒙古包的体积． 一、填空题 1、已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为_____与母线的长为________． 2．（2023春·上海虹口·高二统考期末）棱长都是3的三棱锥的高等于 . 3．（2023秋·高二课时练习）边长为的正四面体的一个顶点到对应顶面的距离为 . 4．（2023·上海·高二专题练习）若某圆锥侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 5．（2023秋·高二课时练习）已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是 6．（2023秋·高二课时练习）如图，在正四棱锥中，，则正四棱锥的体积为 .      7．（2023秋·高二课时练习）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角的正弦值为，则高等于 . 8．已知一个圆锥的体积为，高为3，则该圆锥的母线与底面所成角的大小是 . 9．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则此四棱锥的全面积为 . 10．棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，构成的几何体的表面积为 ．    11（2023春·上海静安·高二统考期末）已知某食品罐头的体积是常量，其包装是金属材质的圆柱形，假设该圆柱形的高和底半径分别为和，为了使制作包装的金属材料最省，的值为 . 12．（2022春·高二校考单元测试）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑. 以八角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为    二、选择题 13．（2023秋·高二课时练习）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 14．已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 15．（2023秋·高二课时练习）如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为（　　）    A． B． C． D． 16．（2022春·高二校考单元测试）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计)，假设该沙漏每秒钟漏的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论不正确的是(π≈3.14)（    ）    A．沙漏中的细沙体积为 B．沙漏的体积是 C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm D．该沙漏的一个沙时大约是1 985秒 三、解答题 17．（2023秋·高二课时练习）如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体． (1)求该几何体的表面积； (2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 18．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，为垂足.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求四面体的体积. 19．（2023秋·高二课时练习）如图，正方体的棱长为a，连接，，得到一个三棱锥；求：      (1)三棱锥的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 20．（2022春·高二校考单元测试）在四棱锥中，底面是正方形，AC与BD交于点O，底面，F为BE的中点.    (1)求证：平面ACF； (2)求证：； (3)若，求三棱锥的体积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020必修第三册第11章空间几何体（预修课程） 专题11 锥体 知识点一：棱锥的定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 图示及相关概念 记作：棱锥S­ABCD 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 分类1 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 分类2 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 【备注】 1、棱锥的斜高：就棱锥而言，斜高是指其侧面三角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离。 棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影构成一个非常有用的直角三角形；它不仅实现了空间问题的平面化，而且把高、斜高、斜高射影、斜高与底面所成角、侧面与底面所成角集中在一个直角三角形中。解之，可得斜高； 棱台的斜高：就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的高，它也是该梯形上下底边的距离； 2、正棱锥 定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥； 基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 面积与体积：，。 （1）正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） （2）正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 知识点二：圆锥的定义、相关概念、结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 图示及相关概念 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长， 底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 知识点三：棱台、圆台的定义、相关概念、结构特征 定义 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体； 大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台； 由圆锥的形成过程，容易看出圆台也可以看成是由直角梯形绕直角边旋转一周所形成的几何体； 其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台； 与台体有关的问题，我们一方面可以转化为锥体的问题来解决，另一方面也可以把锥体和柱体看作是台体的极端情形； 图示及相关概念 记作：棱台ABCD­A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 图示及相关概念 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 知识点四：锥体的体积 柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h. 【说明】对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 4、三棱锥体积公式的推导与应用（割补法与补体法） 知识点五：棱柱、棱锥、棱台的表面积 1、几种特殊的多面体 （1）直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱． （2）正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱． （3）正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等；【依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高】 （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 2、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； 3、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？ 【提示】S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl. 题型1：棱锥棱台的结构特征和分类 【说明】判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法： 1、举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱柱、棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确；． 2、直接法： 棱柱 棱锥 棱台 定底面 两个互相平行的面，即为底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 平行 相交于一点 延长后相交于一点 【例1】下列说法正确的是 (填序号). ①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥. 【答案】⑤ 【分析】根据正棱锥的定义结合反例可判断各选项的正误，从而可得正确的选项. 【解析】对于①，如果棱锥的顶点在底面上的射影不是正多边形的中心，则此棱锥不是正棱锥， 故①错误. 对于②，如图（1），棱锥的顶点是圆锥的顶点，而底面多边形是圆锥底面圆的内接非正多边形， 此时棱锥满足各侧棱都相等，但不是正棱锥，故②错误. 对于③④，如图（2），侧面都是等腰三角形，且它们全等，但该三棱锥不是正棱锥， 故③④错误. 对于⑤，因为底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥， 故顶点底面上的射影为正多边形的中心，此时棱锥为正棱锥，故⑤正确. 故答案为：⑤ 【例2】下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱柱的侧面一定是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________． 【答案】②③④； 【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥， 棱锥底面和截面之间的部分不是棱台； ②正确，棱柱的侧面是对边平行的四边形； ③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； ④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥； 【跟踪训练】 1．下列说法正确的有( )个. ①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ②正棱锥的侧面是等边三角形； ③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 【答案】0 【解析】根据棱锥的结构特征逐一判断：①根据棱锥的定义，“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的；②正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误；③由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥，故错误. 【解析】①错误，根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的； ②错误，正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误； ③错误，由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥. 如图所示的三棱锥中有， 满足底面为等边三角形， 三个侧面，，都是等腰三角形， 但长度不一定，三个侧面不一定全等，故错误. 故答案为：0. 【点睛】本题考查棱锥的结构特征，考查对棱锥的特征的熟练掌握与应用，属于基础题. 2．下列叙述正确的是 (只填序号)． ①四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形； ②三棱锥的四个面都可以是直角三角形； 【答案】①② 【分析】在正方体中分别作出满足题意的棱锥即可. 【解析】（1）如图所示：在正方体中四棱锥的四个侧面均为直角三角形. （2）如图所示：在正方体中三棱锥的四个面均为直角三角形. 【点睛】本题考查了棱锥的结构性质，熟练掌握棱锥的结构特征是解题的关键,同时考查了补体思想． 题型2：正棱锥及其有关计算 【例3】正六棱锥底面边长为1，侧棱长为2，则棱锥高为 . 【答案】 【分析】由正六棱锥图形特征，结合勾股定理可得答案. 【解析】因几何体为正六棱锥，则其底面为正六边形，则底面中心O到底面一顶点B的距离，六棱锥上顶点A与底面中心连线为六棱锥的高，又侧棱长 2， 则棱锥高. 故答案为： 【跟踪训练】 1．华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为 米． 【答案】20 【分析】做底面于点，取的中点，可得、，根据四个玻璃侧面的面积求出可得，再由勾股定理可得答案. 【解析】如图，做正四棱锥底面于点，则为底面的中心，取的中点， 连接、，则，， 因为，所以， 因为四个玻璃侧面的面积约1500平方米，所以平方米， 由可得， 所以， 则塔高约为米， 故答案为：20. 2．已知正四面体的棱长为2，，分别为，的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接,利用勾股定理求解. 【解析】 如图，连接, 在等边三角形中, 在等边三角形中, 所以，所以, 所以, 故答案为: . 题型3：棱锥的展开图 【例4】已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为 . 【答案】 【分析】立体图形中爬行距离最短问题可以转换到平面展开图中求两点距离最短，即为线段的长，解三角形求出线段的长度即可 【解析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点间的线段距离最短. 即蚂蚁爬行的最短的路线为， 由，，， ， 从而最短距离为. 【跟踪训练】 1．在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为 ． 【答案】 【分析】沿棱将正三棱锥展开，做出展开图，由题中条件，结合展开图，即可得出结果. 【解析】 将正三棱锥沿棱展开，得到如下图形， 由展开图可得，沿爬行时，路程最短； 因为，， 所以， 因此. 故答案为：. 题型4：棱锥中截面的有关计算 【例5】用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是 ．（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形． 【答案】①② 【分析】用平面截一个三棱锥，找到所有截面的种类即可求解. 【解析】如图：按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为三角形； 按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为四边形； 截面形状不可能为五边形， 所以①②正确， 故答案为：①② 【跟踪训练】 1．已知正六棱锥的底面边长和高都是a，那么最大的轴截面面积是 ． 【答案】 【分析】先判断出△PAD即为最大轴截面，直接求面积即可. 【解析】如图示：正六棱锥的最大的轴截面即为平面PAD. 底边为，高为,所以面积是. 故答案为：. 2．已知棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为121，则截得的棱台的高为 . 【答案】5 【分析】根据对应边比与面积比关系即可求解． 【解析】设棱台的高为x，则有 ，解之，得x＝5． 故答案为：5 题型5：圆锥的结构特征辨析 【例6】给出下列说法：（1）以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（2）以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（3）经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；（4）圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是 . 【答案】（2）（3）（4） 【分析】根据圆锥的定义及几何特征，逐一分析即可得出答案. 【解析】解：（1）不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥； （2）正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； （3）正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； （4）正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）. 【跟踪训练】 1．下列结论不正确的是 （填序号）. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥； ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥； ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线. 【答案】①②③ 【分析】根据空间几何体知识对结论逐一判断 【解析】①错误，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥. ②错误，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体不是圆锥. ③错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则，故，侧棱长要大于底边长 ④正确，符合圆锥母线的定义 故答案为：①②③ 2．将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得的几何体为 A．一个圆台 B．两个圆锥 C．一个圆柱 D．一个圆锥 【答案】B 【分析】根据旋转体的定义，可得将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周得到两个同底的圆锥组成的组合体，即可求解. 【解析】由题意，根据旋转体的定义，可得将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周得到两个同底的圆锥组成的组合体，故选B. 【点睛】本题主要考查了旋转体的概念及其应用，其中解答中熟记旋转体的概念，合理判定是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题. 题型6：圆锥中截面的有关计算 【例7】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是 .（填序号） 【答案】①⑤ 【分析】考察直观想象的能力，分为截面过圆锥的轴，以及截面平行于圆锥的轴，两种情况，即可得出答案. 【解析】当该截面过圆锥的轴时，所截得的图形为图①； 当该截面平行于圆锥的轴时，所截得的图形边缘为弧形，为图⑤. 故答案为：①⑤. 【跟踪训练】 1．若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥顶点到底面的距离为 . 【答案】 【分析】画出圆锥图像，根据题意顶点到底面的距离即圆锥的高，在直角三角形中即可解决. 【解析】如图所示， 是边长为2的等边三角形， 该圆锥顶点到底面的距离为. 故答案为： 2．从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为 . 【答案】 【分析】作出如图所示的轴截面，根据平面几何关系即可得解. 【解析】解：如图所示作出轴截面， 圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径， 设圆锥的截面圆的半径为， 因为，所以是等腰直角三角形. 又，所以，故， 所以截面积. 故答案为：. 题型7：圆锥的展开图及最短距离问题 【例8】圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角的正弦值为，则高等于 . 【答案】或 【分析】确定圆心角为或，根据弧长公式和圆柱高的计算公式计算得到答案. 【解析】侧面展开图圆心角的正弦值为，则圆心角为或，设底面圆半径为， 当时，，则，高； 当时，，则，高； 综上所述：高为或. 故答案为：或. 【例9】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、余弦定理可求出最短距离. 【解析】圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长为， ∴，则， 由余弦定理可知，． 故答案为：． 【跟踪训练】 1．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 . 【答案】 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥侧面展开图的问题，转化为平面上两点的距离问题即可. 【解析】解：由题意得： 圆锥的底面周长是，则，解得： 可知圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示： 则圆锥的侧面展开图中：，， 所以在圆锥侧面展开图中： 故答案为： 题型8：锥体的体积计算 【例10】正四棱锥的所有棱长均为1，则它的体积是 . 【答案】 【分析】根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得、的长，根据椎体体积公式，即可得答案. 【解析】 如图所示，正四棱锥棱长均为1，连接AC、BD交于点O，连接PO 根据正四棱锥的性质，可得平面ABCD. 所以，， 所以正四棱锥的体积. 故答案为:. 【例11】已知圆锥侧面展开图的周长为，面积为，则该圆锥的体积为 ． 【答案】或 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径、母线长，进而求出高即可计算作答. 【解析】设圆锥的底面圆半径为，母线长，则圆锥侧面展开图扇形弧长为， 依题意，，即，解得或， 当时，圆锥的高，体积为， 当时，圆锥的高，体积为， 所以该圆锥的体积为或. 故答案为：或 【例12】（2021秋•宝山区校级月考）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1，1，，则此三棱锥的高为 　 ． 【分析】根据题意，利用等体积法，即可求出三棱锥P﹣ABC高的大小． 【解答】解：如图所示， 三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且PA＝PB＝1，PC＝， 所以AB＝，AC＝BC＝， 所以△ABC的面积为S△ABC＝××＝， 设此三棱锥的高为h，则××1××1＝××h， 解得h＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用等体积法计算三棱锥高的问题，是基础题． 【跟踪训练】 1．底面边长和侧棱长都是的正三棱锥的体积是 ． 【答案】 【分析】分别计算底面积和高，然后代入体积公式即可完成求解. 【解析】   如图，记底面的中心为，则为正三棱锥的高. 因为，所以 ， 所以，又因为底面积为： ， 所以. 故答案为： 9．如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面夹角分析可得圆锥的母线，利用等体积法求点到面的距离. 【解析】因为AB是直径，则，且AB=8，∠BAC=30°， 可得， 又因为底面圆O，则圆锥的母线与底面成的角为， 可知为等边三角形，所以圆锥的母线， 设点A到平面PBC的距离为h， 利用等体积法，即， 解得，即点A到平面PBC的距离为. 故选：C. 题型9：锥体的表面积计算 【例13】已知四面体各棱的长均为1，则这个四面体的表面积为 . 【答案】 【分析】四个面均为正三角形，计算出三角形面积后可得四面体的表面积． 【解析】由题意四面体的表面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正四面体的表面积，掌握表面积的概念是解题基础．本题属于基础题． 【例14】正三棱锥的三条侧棱两两垂直，它的底面积为，则它的侧面积为________． 【答案】 【分析】设底面边长为，求出斜高和底面三角形的高，从而得底面积、侧面积，得出结论． 【详解】如图，正三棱锥，两两垂直，设为中点，则，， 又，所以，，， 所以侧＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查棱锥的侧面积，掌握正棱锥的性质是解题关键． 【例15】（2021·上海交大附中高二期末）已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____． 【答案】 【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl. 【例16】半径为3的半圆形纸片卷成一个无盖圆锥筒，则圆锥筒的高为 ． 【答案】/ 【分析】根据扇形弧长公式和勾股定理即可求解. 【解析】如图所示：图1是圆锥(图2)的侧面展开图. ，则扇形弧长， 设圆锥底面圆周长为，则，得， 则在Rt中，高， 故答案为： 【跟踪训练】 1．棱长都是3的三棱锥的侧面积S为 ． 【答案】/ 【分析】三棱锥的四个面是全等的正三角形，求解即可. 【解析】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以. 故答案为：. 2．已知正三棱锥的侧面积是，底面边长是6cm，则它的高是 cm． 【答案】 【分析】根据正三棱锥的性质，先求一个侧面三角形的面积，进而求得三棱锥的斜高，再结合勾股定理求解三棱锥的高即可. 【解析】如图，设正三棱锥，的中心为，则平面，取中点，则，连接如图. 由题意，，即，故. 又 ，所以高. 故答案为： 3．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆锥的表面积为，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的底面半径为______. 【答案】2 【分析】根据圆锥展开图的特征列出关于半径，母线长的方程组，解出即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意，有①， 由于侧面展开扇形的圆心角大小为， 所以，即②， 由①②得，， 即圆锥的底面半径为2， 故答案为：2. 4．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为 . 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，求出圆锥与圆柱的侧面积，即可求解 【解析】设圆锥的底面半径为， 由题意圆锥的轴截面是一个正三角形， 可知圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 所以圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为， 故答案为： 5．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为 . 【答案】或 【分析】分两种情况：①若绕直角边所在直线旋转，则形成的几何体为圆锥，直接求表面积；②若绕斜边所在直线旋转，则形成的几何体是同底的两个圆锥的组合体，分别求出两个圆锥的侧面积，即可求出表面积 【解析】若绕直角边所在直线旋转，则形成的几何体为圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线长就是直角三角形的斜边长，为， 所以所形成的几何体的表面积. 若绕斜边所在直线旋转，则形成的几何体是同底的两个圆锥的组合体，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1， 所以几何体的表面积. 综上，所形成的几何体的表面积是或. 故答案为：或. 题型10：锥体的体积与表面积综合 【例17】（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）暂堵､阳马､鳖膈出自中国古代名著《九章算术.商功》，其中阳马.鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼，取一长方体，如图长方体，沿平面斜切，一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为暂堵.再沿平面切开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥以矩形为底，棱与底面垂直，称为阳马，余下的三棱锥是四个面都是直角三角形的四面体，称为整膈.已知长方体中，，，，按以上操.作得到阳马，则该阳马的最长棱长为___________. 【答案】 【分析】根据题设所描述阳马的特征，应用勾股定理求各棱长，即可知最长棱长. 【详解】由题设结合题图，由阳马的结构特征可知：各棱长为， ∴最长棱长为. 故答案为：. 【例18】（2021秋•长宁区校级期中）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积； （2）求该蒙古包的体积． 【分析】（1）先计算圆锥和圆柱部分的侧面积，再求和即可． （2）先求出圆锥和圆柱部分的体积，再求和． 【解答】解：由题意可知BC＝DE＝3米，AE＝2米，BE＝3米，所以（米）． （1）圆锥部分的侧面积为（平方米）． 圆柱部分的侧面积为S2＝2π⋅BC⋅BE＝2π×3×3＝18π（平方米）． 所以该蒙古包的侧面积为（平方米）． （2）圆锥部分的体积为（立方米）， 圆柱部分的体积为（立方米）． 所以该蒙古包的体积为V＝V1+V2＝6π+27π＝33π（立方米）． 【点评】本题考查了简单组合体的表面积和体积的计算问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题． 一、填空题 1、已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为_____与母线的长为________． 【答案】，2； 【解析】设正三角形的边长为a，则a2＝，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为a＝，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2； 2．（2023春·上海虹口·高二统考期末）棱长都是3的三棱锥的高等于 . 【答案】 【分析】利用高、侧棱及侧棱在底面的射影构成一个直角三角形，结合直角三角形的边的关系即可求得三棱锥的高. 【详解】如图，    设正三棱锥的顶点P在底面上的射影为， 则在直角三角形中，， 所以三棱锥的高， 故答案为： 3．（2023秋·高二课时练习）边长为的正四面体的一个顶点到对应顶面的距离为 . 【答案】 【分析】根据已知条件求解正四面体的高即可． 【详解】边长为的正四面体的一个顶点到对应顶面的距离，就是正四面体的高，    如图为底面的内心，则平面， 又，所以． 故答案为：． 4．（2023·上海·高二专题练习）若某圆锥侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则，求得，进而得到圆锥的母线与底面所成的角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则，可得， 设圆锥的母线与底面所成的角为，则，， 所以圆锥的母线与底面所成的角为. 故答案为：. 5．（2023秋·高二课时练习）已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是 【答案】 【分析】先求出底面三角形的中心到底面三角形的边的距离及正三棱锥的斜高，再根据棱锥的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为， 所以正三棱锥的斜高为， 所以这个正三棱锥的侧面积为，底面积为， 所以正三棱锥的表面积为. 故答案为:. 6．（2023秋·高二课时练习）如图，在正四棱锥中，，则正四棱锥的体积为 .      【答案】/ 【分析】首先求四棱锥的高，再根据体积公式，即可求解. 【详解】作平面，垂足为点，点为正方形的中心，连结， ，，所以，    所以四棱锥的体积. 故答案为： 7．（2023秋·高二课时练习）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角的正弦值为，则高等于 . 【答案】或 【分析】确定圆心角为或，根据弧长公式和圆柱高的计算公式计算得到答案. 【详解】侧面展开图圆心角的正弦值为，则圆心角为或，设底面圆半径为， 当时，，则，高； 当时，，则，高； 综上所述：高为或. 故答案为：或. 8．已知一个圆锥的体积为，高为3，则该圆锥的母线与底面所成角的大小是 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由圆锥的体积公式即可得到其底面圆的半径，从而得到结果. 【解析】   设圆锥底面圆半径，母线为，高， 因为圆锥的体积为，即，解得， 则，所以. 故答案为：. 9．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则此四棱锥的全面积为 . 【答案】 【分析】分析正四棱锥各面的特征，求出所有面的面积之和即可. 【解析】正四棱锥的四个侧面都是腰长为3，底边长为4的等腰三角形，底面是边长为3的正方形，所以四棱锥的全面积为 故答案为 【点睛】本题主要考查正四棱锥的结构特征与全面积的定义，考查运算求解能力，属于基础题. 10．棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，构成的几何体的表面积为 ．    【答案】 【分析】在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，即可得出为正四面体，求出表面积即可． 【解析】在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，如图所示， 因为为正方体的面对角线， 所以， 所以为正四面体， 所以表面积为：， 故答案为：．    11（2023春·上海静安·高二统考期末）已知某食品罐头的体积是常量，其包装是金属材质的圆柱形，假设该圆柱形的高和底半径分别为和，为了使制作包装的金属材料最省，的值为 . 【答案】2 【分析】设食品罐头的体积是为常数），由题意可得，再写出圆柱的表面积，利用基本不等式求最值，即可求得的值． 【详解】设食品罐头的体积是为常数）． 由题意可得， 圆柱的表面积 ． 当且仅当，即时等号成立，此时． ． 故答案为：2． 12．（2022春·高二校考单元测试）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑. 以八角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为    【答案】 【分析】作出简图，依题意找出边长关系解三角形即可. 【详解】如图，    O为正八棱锥S­ABCDEFGH底面外接圆圆心，连接OA，OB，OE， 由题意可得，， 则. 故答案为：. 二、选择题 13．（2023秋·高二课时练习）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 【答案】C 【分析】根据棱锥的定义和几何结构，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，根据棱锥的几何结构，可得三棱锥有4个面是三角形    ，所以A正确； B中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧面都是三角形，所以B正确； C中，根据棱锥的定义，可得棱锥都没有两个互相平行的多边形面，所以C错误； D中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧棱交于一点，所以D正确. 故选：C. 14．已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出圆锥的底面半径和高即可求出圆锥的体积. 【解析】解：由题意 在圆锥中，设底面半径为 圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形 ∴ 解得： 由几何知识得 圆锥的高： ∴圆锥体积： 故选：C. 15．（2023秋·高二课时练习）如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面夹角分析可得圆锥的母线，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】因为AB是直径，则，且AB=8，∠BAC=30°， 可得， 又因为底面圆O，则圆锥的母线与底面成的角为， 可知为等边三角形，所以圆锥的母线， 设点A到平面PBC的距离为h， 利用等体积法，即， 解得，即点A到平面PBC的距离为. 故选：C. 16．（2022春·高二校考单元测试）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计)，假设该沙漏每秒钟漏的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论不正确的是(π≈3.14)（    ）    A．沙漏中的细沙体积为 B．沙漏的体积是 C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm D．该沙漏的一个沙时大约是1 985秒 【答案】B 【分析】对于A、B项，由圆锥的体积公式计算即可；对于C、D项，根据细沙的体积计算即可. 【详解】A项，根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径， 所以体积，即A正确； B项，沙漏的体积，即B错误； C项，设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知， ，所以，即C正确； D项，由上计算可得细沙的体积为， 沙漏每秒钟漏下的沙， 所以一个沙时为(秒)，即D正确． 故选：B 三、解答题 17．（2023秋·高二课时练习）如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体． (1)求该几何体的表面积； (2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）旋转后所得几何体为圆台，由圆台表面积公式进行计算即可； （2）将圆台侧面沿母线展开求解即可. 【详解】（1） 如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台， 其表面积为. （2）     将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环， ∵圆台上下底面半径的关系为，∴，∴， 又∵，∴，， 设，则的弧长，∴， 连接，取线段中点，连接，则， 在中，，，∴， ∴蚂蚁从点绕着圆台的侧面爬行一周回到点的最短路径即为线段， . ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 18．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，为垂足.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面，可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得出，再结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出平面，并计算出的长以及的面积，利用锥体的体积公式可求得四面体的体积. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，为的中点，则， 因为，、平面，因此，平面. （2）解：因为、分别为、的中点，则且， 因为平面，则平面， 因为平面，平面，所以，， 则， 因为为的中点，则， 因此，. 19．（2023秋·高二课时练习）如图，正方体的棱长为a，连接，，得到一个三棱锥；求：      (1)三棱锥的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正三棱锥及正方体的表面积公式计算即可； （2）利用割补法求体积即可. 【详解】（1）∵是正方体， ∴六个面都是正方形， ∴，即三棱锥A′­BC′D为正三棱锥， ∴， ∴. （2）显然，三棱锥是完全一样的， ∴ ＝.    20．（2022春·高二校考单元测试）在四棱锥中，底面是正方形，AC与BD交于点O，底面，F为BE的中点.    (1)求证：平面ACF； (2)求证：； (3)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用线线平行证线面平行即可； （2）利用线线垂直证线面垂直再证线线垂直即可； （3）根据三棱锥的体积公式计算. 【详解】（1）如图所示，连接. 由四边形是正方形可知，点O为的中点， 又F为的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）由底面，底面， ∴， ∵四边形是正方形，∴， 又，平面， ∴平面. 又平面，∴. （3）取中点，连接，在四棱锥中，底面，    ∵是的中位线，∴， ∴底面. ∵， 则，. ∴. 21．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，． (1)求证：平面平面； (2)试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为； (3)在(2)的条件下，求二面角的余弦值． 【答案】(1)见解析；(2)为的中点；(3). 【分析】(1)证明CD⊥平面PAD即可； (2)过E作EF⊥AB于F，则EF为E－ABC的高，分别求出P－ABCD和E－ABC的体积，再求出部分体积，由体积比即可得EF与PA的关系，即可知E点的位置； (3)连接、，与交于点，连接，二面角的平面角与∠EOF互余，故解三角形EOF即可. 【详解】(1)∵，∴． ∵平面，平面， ∴． ∵，∴平面． ∵平面，∴平面平面． (2)作于点， ∵在中，，∴， ∴平面． 设， 则． ． 由，得，解得， 即，故为的中点； (3)连接、，与交于点，连接， 由(2)可知平面，∴． 易知为正方形，∴． ∵，∴平面，故． ∴是二面角的平面角． 由平面，可知平面平面． ∴二面角与平面角互余． 设二面角的平面角为，则， 在中，， ， ∴二面角的余弦值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$