专题08 锥体-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题08 锥体 考点剖析 4 【知识点1】棱锥 4 【知识点2】圆锥 4 【知识点3】锥体的体积和表面积 4 过关检测 6 A组 双基过关 6 B组 巩固提高 8 C组 综合训练 17 D组 拓延伸 24 【知识点1】棱锥 观察图11-2-2中的图形，可以发现它们有如下的共同特征；有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥（pyramid）。其中，这个三角形或平面多边形称为棱锥的底面，其余的面称为棱锥的侧面，不在底面上的棱称为棱锥的侧棱，所有侧棱的公共点称为棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥（regular pyramid）。 提示：棱锥常用表示其顶点的字母与表示其底面多边形的记号之间加短横来记，例如，图11-2-2中，左边的三棱锥可记为P-ABC，右边的六棱锥可记为P-ABCDEF. 类比于棱柱的分类，按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等. 棱锥的概念和性质 名称 棱锥 正棱锥 定义 底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫棱锥 底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫做正棱锥 性质 1. 底面是多边形 2. 侧面是以棱锥顶点为公共顶点的三角形 3. 侧棱不一定相等 4. 棱锥截面性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比. 1. 底面是正多边形 2. 侧面都是全等的等腰三角形 . 3. 侧棱都相等. 4. 同左4，对正棱锥仍然成立. 5. 棱椎的高，斜高和斜高在底面上的射影以及棱锥的高，侧棱和侧棱在底面上的射影分别组成直角三角形. 【知识点2】圆锥 三棱锥由四个三角形围成，它就是10.2节例4中出现过的四面体。三棱锥是一种比较重要的棱锥，因为由平面多边形围成的多面体（见113节）总可以看成由三棱锥拼合而成，从而多面体的度量计算问题常常可以转化为三棱锥的问题；而且三棱锥的每个面都可以作为棱锥的底面，解决问题时便具有一定的灵活性。除了棱锥，还有一类常见的锥体就是圆锥。如图11-2-4，将直角三角形AOB绕其一条直角边A0所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥（cone）。其中，AO所在直线叫做圆锥的轴点A叫做圆锥的顶点，直角边OB旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边AB旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边AB叫做圆锥的母线，圆锥的顶点到底面间的距离（即AO的长度）叫做圆锥的高。 提示：圆锥可用表示顶点的字母与表示底面圆心的字母之间加短横来记，如图11-2-4的圆锥可记为圆锥A-O. 由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点。 方便起见，我们把棱锥与圆锥统称为锥体。 【知识点3】锥体的体积和表面积 可以证明（见本节的“探究与实践”，任一棱锥的体积都是与它同底等高的柱体的体积的三分之一，由此得到棱锥的体积公式： 其中，S为棱锥底面的面积，h为棱锥的高。 利用棱锥的体积公式和祖曜原理，可以进一步得出圆锥的体积公式： 其中，r为底面半径。 与柱体类似，锥体的表面积也等于侧面积与底面积之和；对于棱锥或圆锥来说，由于底面是一个平面多边形或一个圆，可以用平面几何的方法计算面积，因此求侧面积是关键；对于一般的棱锥来说，每个侧面都是三角形，其侧面积也易于求出，但难以写出一个一般的公式；对于圆锥来说，求其侧面积则是一个新的问题，下面我们只讨论正棱锥和圆锥的表面积。 依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为；如果棱锥底面多边形的周长是，底面面积是S底，那么容易求得棱锥的侧面积和表面积分别是： ； 对于圆锥，我们可以采用求圆柱侧面积的方法，将其沿一条母线剪开，展开在一个平面内；可以看到，圆锥侧面的平面展开图是一个以圆锥母线为半径的扇形，扇形的弧长就等于圆锥底面的圆周长，如图11-2-13所示，设圆锥的底面圆半径为r，则扇形的中心角（弧度）；由扇形的面积公式，可得S圆锥侧= 所以，圆锥的表面积公式为：S圆锥表= 考点剖析 【知识点1】棱锥 【例1】证明：在正三棱锥中，任意两条异面的棱都相互垂直. 证明：如图11-2-3，设P-ABC是正三棱锥，从而它的底面三角形ABC是正三角形，顶点P在底面上的射影O为△ABC的中心.两条异面的棱可以PC与为代表（其余情况完全类似），所以要证的是PC⊥AB. 连接CO并延长，与AB交于点D.因为O为△ABC的中心，所以CD⊥AB.又因为PO垂直于平面ABC，所以CD是PC在平面ABC上的射影；由三垂线定理，知PC⊥AB. 【知识点2】圆锥 【例2】 如图11-2-5，用平行于圆锥P-O1底面的平面截这个圆锥，得到一个小圆锥P-O2.如果这两个圆锥的高分别是h1、h2，求这两个圆锥的底面面积之比. 【解析】设PA是大圆锥的一条母线，过PA和PO1的平面与两个圆锥的底面的交线分别为直线O1A和O2B，则由两个平面平行的性质定理，知OA//O2B；所以△PO1B∽△POA，所以 【知识点3】锥体的体积和表面积 【例3】如图11-2-6，设E、F分别是给定正方体ABCD-A1B1C1D1的棱和CD上的任意点.求证：三棱锥的体积是定值. 证明：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.因为AB//CD，所以当点F在CD上移动时，它与AB的距离（即△FAB的高）都等于BC，三角形FAB的面积为定值. 又因为正方体的棱C1D1与下底面平行，所以C1D1上任意一点到下底面的距离都等于a，所以三棱锥E-ABF的体积均为定值 为定值. 【例4】设台体上、下底面积分别为S'和S， 上下底面的距离为h.求证： 证明：设去掉的锥体和原来的锥体的体积分别为V'和V，去掉的锥体高为，则 因为，可解得，所以 例5　如图11-2-8，设台体上、下底面积分别为和，上下底面的距离为．求证：． 证明　设去掉的锥体和原来的锥体的体积分别为和，去掉的锥体高为，则 ，．图11-2-8 因为，可解得，所以 ． 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海·期末）高为3，底面半径为1的圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】由题意，圆锥的底面圆的半径为，高为， 所以该圆锥的体积为. 故答案为：. 2．（23-24高二上·上海崇明·期末）已知正三棱锥的底面边长为2，高为1，则其体积为 ． 【答案】/ 【分析】应用棱锥的体积公式求体积即可. 【详解】由正三棱锥性质知：底面是边长为2的等边三角形，故底面积为， 又三棱锥的高为1，故体积为. 故答案为： 3．（2023高二上·上海·专题练习）如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 . 【答案】 【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】由圆锥的侧面积公式 故答案为：2π 4．（23-24高二上·上海·期末）已知圆锥的底面直径为8，高是3，则母线长为 . 【答案】5 【分析】根据勾股定理得到母线长. 【详解】由题意得， 由勾股定理得. 故答案为：5 5．（23-24高二上·上海黄浦·期末）已知一个三棱柱与一个四棱锥的底面面积和体积均相等，若三棱柱的高为1，则四棱锥的高为 ． 【答案】3 【分析】记四棱锥的底面积和高分别为S，h，然后根据棱锥、棱柱体积公式可得. 【详解】记四棱锥的底面积和高分别为S，h， 由题意知，，得， 即四棱锥的高为3. 故答案为：3 6．（23-24高二上·上海·期中）若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面展开图面积是 . 【答案】 【分析】直接利用圆锥侧面积公式即可. 【详解】由题意得. 故答案为：. 7．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且    (1)求证：平面平面 (2)求点到平面的距离 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用面面垂直判定定理进行证明； （2）利用等体积变换求得点到平面的距离； 【详解】（1）因为底面是正方形，侧面是等边三角形，且， 则面平面 又平面，则平面平面 （2）取的中点，是等边三角形， 由（1）知平面平面，平面平面，则平面 由 8．（2023高二上·上海·专题练习）一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？（精确到0.1 ） 【答案】 【分析】由棱锥侧面积的求法求屋顶上铺一层油毡纸的面积即可. 【详解】如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高．    在中，m，m， 所以m，而底面周长m， 所以需油毡纸，故需要油毡纸约. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点在截面上（含边界），则线段的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等体积法求得正确答案. 【详解】设到平面的距离为， ， ， 解得，所以线段的最小值等于. 故选：B 10．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点p出发，绕圆锥爬行一周后回到点p处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥体积为 . 【答案】/ 【分析】从圆锥的底面圆上的点p出发，绕圆锥爬行一周后回到点p处，最短路程为.本来是空间最值问题，利用展开图，转化为平面两点连线最短问题，即两点之间线段最短，即，再利用的长计算出对应的弧长，因为因为展开图得弧长与圆锥底面圆的周长相等，进而算圆锥底面圆的半径，再算出面积，圆锥的高；带入圆锥的体积公式求出体积. 【详解】圆锥的侧面展开图为扇形，从点P绕圆锥爬行一周后回到点P处，根据两点之间线段最短，爬行的最短路程为展开图中线段,即，已知圆锥形物体的母线长为3，即,在中，由余弦定理得， 又因为，所以，所以, 因为展开图得弧长与圆锥底面圆的周长相等，所以,即. 又勾股定理得, 所以圆锥体积. 故答案为：               11．（23-24高二下·上海黄浦·期中）如图，在直三棱柱中，，，若与平面所成的角为，则四棱锥的体积 ．    【答案】 【分析】连接，即可证明平面，则为与平面所成的角，进而求得，即可得四棱锥的体积. 【详解】如图，在直三棱柱中， ∵，则，即，又平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，连接，则为与平面所成的角，即， ∵，∴， 又，∴. ∴.    故答案为：. 12．（23-24高二下·上海·期中）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据展开图和圆锥的关系，可设圆锥的底面半径为，则在展开图扇形中有，求得，再由圆锥的高为，利用面积公式即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为， 则展开图扇形的弧长为，半径为母线长， 所以，， 所以圆锥的高为， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高二下·上海·期中）在空间中有三点满足，，在空间中取两个点（不计顺序），使得这5点可以组成正四棱锥，这两点的选法数是 ． 【答案】3 【分析】先证明所求的正四棱锥的侧棱长均为，底面是边长为的正方形或对角线长为的正方形，然后分两种情况讨论，进而得到所求的正四棱锥的个数，即两点的选法数. 【详解】正四棱锥的底面是正方形，其四条边相等且四个角都是直角；四条侧棱的长度也都相等. 这表明，在一个正四棱锥中，两顶点之间的距离只有三种可能的取值：侧棱长，底面边长，底面对角线长. 同时，侧棱长一定大于底面对角线长的一半. 假设点是底面中的一个顶点，则在四棱锥中，点总共引出一条侧棱，一条底面对角线，两条底面的边. 现在点引出了两条线段，且长度均为. 由于，所以不是直角，故不可能都是底面的边； 由于长度相等，而底面的对角线和底面的边的长度之比是，故不可能一个是底面的边，另一个是底面对角线； 由于长度相等，正四棱锥的侧棱都相等，而由知不是等边三角形，故不可能一个是底面的边或底面对角线，另一个是侧棱. 因此，我们排除了所有可能性，这导致矛盾，故点不是底面中的一个顶点. 故我们所要构成的正四棱锥只有以下两种可能： ①底面边长为，侧棱长均为； ②底面对角线长为，侧棱长均为. 如果是可能性①，我们需要再选择两个点，使得四个点构成边长为的正方形， 且，这时，我们需要考虑的就是四个点构成的正方形的情况数目. 由于不计顺序，故我们不妨设四个点构成的四边形是. 如上图所示，设为的中点，正方形的中心为， 则点的位置和正方形的位置能够互相确定对方， 所以我们只需要考虑点的可能情况数目. 因为点是的中点，，所以， 因为， 所以，因为，面，面， 所以面， 故都在直线在点处的法平面内. 首先，，，， 而与此同时，有，. 从而，点要满足的条件是：在一个包含的平面内，且，. 由于， 故这样的点总共有2个，所以满足条件的正方形总共有2个. 这表明，对于可能性①，满足条件的正四棱锥总共有2个； 如果是可能性②，我们需要再选择两个点，使得四个点构成边长为的正方形，且. 如上图所示，设为的中点，平面的过点的垂线为， 则为正方形的中心. 此时，由于垂直于平面，在平面内，故. 而，，在平面内相交于，故垂直于平面. 由垂直于平面，点在直线上，故在直线上. 而，故在不计顺序的情况下，点至多有一种选择. 由于，故底面对角线长为，侧棱长均为的正四棱锥是存在的. 这表明，对于可能性②，满足条件的正四棱锥总共有1个. 综上，满足条件的正四棱锥总共有3个. 故答案为：3. 14．（23-24高二下·上海·期中）已知正四棱锥底面边长为，高与斜高夹角为，则它的体积为 ． 【答案】 【分析】取的中点为，连接，得到，在直角中，求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设正四棱锥的高为，斜高为， 因为正四棱锥的底面边长为，取的中点为，连接，则， 又因为高与斜高夹角为，即， 在直角中，可得，解得， 所以正四棱锥的体积为. 故答案为：. 15．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积. 【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故， 则. 故答案为：. 16．（23-24高二下·上海·开学考试）如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆锥过轴的截面面积为 ，圆柱的底面半径为 ．    【答案】 1 【分析】求出圆柱的高，即可求解圆锥过轴的截面面积，通过比例关系求出圆柱的底面半径即可． 【详解】圆锥的高，圆锥过轴的截面面积为：；    设圆柱的底面半径，由相似知识可知，解得． 故答案为：；1． 17．（2023高二上·上海·专题练习）如图，已知在直三棱柱中，，，，点D是AB的中点，求三棱锥的体积． 【答案】8 【分析】利用割补法或直接法求棱锥体积. 【详解】因为，，，所以； 方法1、由题意可知. 又. . ， 所以，. 方法2、在中，过C作，垂足为F， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又. 在中，. ∴. 18．（21-22高二上·上海闵行·阶段练习）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．    (1)求证：平面； (2)求证：⊥平面； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）作辅助线，由中位线性质得到四边形为平行四边形，得到线线平行，得到线面平行； （2）由勾股定理逆定理得到线线垂直，结合为等腰直角三角形得到线面垂直； （3）再（2）的基础上，结合为的中点，利用求出答案. 【详解】（1）证明：取中点F，连， 因为E为的中点， 所以且， 又，， 所以且， 故四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面；    （2）证明：由题意：，． ∵， ∴⊥， 又平面⊥平面，平面平面，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴PD⊥AB， ∵为等腰直角三角形， ∴⊥， ∵，平面， ∴⊥平面；                        （3）∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵⊥平面，平面， ∴⊥， 又，故， 由（2）得，⊥平面，又为的中点， 所以. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．（23-24高二上·上海·期末）已知正方体的棱长为a，长为定值的线段在棱上移动（），若P是上的定点，Q是上的动点，则四面体的体积是（    ） A．有最小值的一个变量 B．有最大值的一个变量 C．没有最值的一个变量 D．是一个常量 【答案】D 【分析】作出图形，由几何知识可证为定值，点到平面的距离也为定值，从而求解. 【详解】连接，如图，则由题意知到为点到的距离，又因为为定值，故为定值， 又因为，所以，又因为平面，平面，所以平面， 又由是棱上动点，故点到平面的距离也为定值，即四面体的底面积和高均为定值， 故四面体的体积为定值，故D正确. 故选：D.    20．（23-24高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，，．设是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，且恒成立，则正实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于的不等式，解不等式即可. 【详解】因为、、两两垂直，且，，，所以，即，则， 根据已知条件恒成立，则有，解得 所以正实数的最小值为 故答案为： 21．（23-24高二上·上海松江·阶段练习）在直三棱柱中，，则点B到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】利用等体积法求点面距离即可. 【详解】由题设为等边三角形，各侧面均为正方形，故， 所以中上的高为，则，若点B到平面的距离为， 又，由直棱柱的结构特征知：到面的距离是中边上的高为， 所以，则，即点B到平面的距离为. 故答案为： 22．（23-24高二上·上海·期末）在圆锥中，是底面圆周上一点.设的长为1，且圆锥的侧面展开图是半圆. (1)记圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积______（用表示）；在本题中，求圆锥的侧面积； (2)求母线与底面所成角的大小. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的半径为，弧长为，即可得；由侧面展开图是半圆，结合扇形弧长与圆心角及半径的关系可得本题中的； （2）连接、，易得即为母线与底面所成角，计算该角即可得. 【详解】（1）由圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的半径为，弧长为， 故； 本题中，可得，由侧面展开图是半圆，故，即， 故. （2）连接、，则垂直底面，故即为母线与底面所成角， 又在底面上，故， 则，即， 即母线与底面所成角的大小为. 23．（23-24高二上·上海·期末）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2，其中，，三点共线）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米，底面半径为2.4米.圆柱高为3米，底面半径为2米. (1)求几何体的体积； (2)如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求. 【答案】(1) (2)异面直线所成角的正切值为，该亭子满足建筑要求. 【分析】（1）用圆锥体积公式和圆柱体积公式直接代入求解. （2）圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角，等于，然后直接求解. 用的正切值转化出然后判断是否满足建筑要求. 【详解】（1） （2）观察圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角，等于，，所以， 因为 所以该亭子满足建筑要求. 24．（23-24高二上·上海·期末）在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，． (1)若圆锥侧面积为，求圆锥的体积； (2)设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆锥侧面积公式求得母线长，可得圆锥的高，进而由圆锥的体积公式计算即可； （2）由条件得点是线段中点，取中点，则，又，所以平面，从而是直线与平面所成的角，计算即可. 【详解】（1）设圆锥底面半径为，母线长为，， 则侧面积，解得， 于是圆锥的高， 圆锥的体积． （2）中，，，则点是线段中点， 取中点，连接，， 则，又，则， 由直线平面，平面，得， 结合，且，平面， 所以平面， 因此直线是在平面内的射影， 从而是直线与平面所成的角， ∵，∴， 又，得， 即直线与平面所成的角的正切值为 25．（23-24高二上·上海·期末）如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点. (1)求证：平面； (2)若，，，求直线与平面所成的角（结果用反三角函数表示）. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意首先得到，再由母线垂直底面得到，结合线面垂直的判定定理即可得解. （2）作出线面角，并设其为参数，利用等体积法，即，结合已知条件表示出相应的底面积和高即可求解. 【详解】（1）由题意是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点， 所以， 因为是圆柱的母线， 所以底面， 又因为底面， 所以， 又因为面， 所以平面. （2） 过点作面，垂足为点，连接， 因为面，所以，即为直线与平面所成的角，不妨设， 因为，，，所以， 由（1）可知底面，又底面， 所以， 又，， 所以，， 又由（1）可知平面，且平面， 所以， 又因为，， 所以， 而，即， 所以， 解得，所以， 即直线与平面所成的角为. D组 拓延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 26．（23-24高二下·上海·开学考试）如图所示，在梭长为6的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角的正切值的取值范围为 . 【答案】 【分析】在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，设在平面的射影为，连接，则即为直线与平面所成角，在平面上的射影为，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解. 【详解】如图所示， 在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体， 连接、，则四边形是菱形， 设在平面的射影为， 则正三棱锥可知，点是的外心， ，则， 由，得，所以， 再结合，得， 从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆， 该圆恰为的内切圆，记为圆， 同理，在平面（即平面）上的射影为的外心， 连接，则在平面上的射影为， 进而即为直线与平面所成角，记， 则，其中为定值， 而对于，由圆的几何知识可知，当运动到中点时，取得最小值， 此时取得最大值， 当运动到射线与圆的公共点时，取得最大值， 此时取得最小值， 综上所述，直线与平面所成角的正切值为取值范围为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 27．（23-24高三上·湖北武汉·期末）棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为 . 【答案】 【分析】 首先分水面平行于一组对棱和水面平行于正四面体的一个面两种情况，舍去前一种情况，结合正四面体几何特征求出其体积，根据相似关系得到棱长比，进而求出面积即可. 【详解】若水面至少与2条棱平行，且这两条棱不共面，即两条棱为对棱时， 如图所示，若水面平行与，不妨取特殊情况讨论， 记中点分别为，    则，，则四边形为平行四边形， 即水面形状为平行四边形，不符合题意； 则水面至少平行的2条棱相交共面，不妨设水面为， 下求正四面体体积， 如图所示，即中点为，连接，设平面，则是三等分点， 因为正四面体棱长为10，所以， ， 则， 所以，    如下图所示，正四面体容器倒放时，棱锥部分为水体部分，    设， 则，则，则， 所以水面面积； 如下图所示，正四面体容器正放时，棱台部分为水体部分，    设， 则，则，水面面积更大，不符合. 综上，水面面积的最小值为. 故答案为： 【点睛】 方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有： （1）定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解； （2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解； （3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解. 28．（23-24高二上·上海·期末）如图，正四面体中，点，，，，，分别是所在棱的中点，则当，（），，（）时，的所有可能取值共有 种. 【答案】13 【分析】分类考虑的两个端点的所处位置情况，即当两点取自四面体的顶点，或当两点取自6条棱的中点，或当两点中一个取自四个顶点中，另一个取自6条棱的中点，再分类考虑的情况，分类计算，综合即可求得答案. 【详解】正四面体中，设棱长为a，四个面上每个顶点与对边中点的连线长均为， 连接，则，则，同理， 则每组相对棱中点的连线长均为， 当两点取自四面体的顶点时，不妨假设为， 此时当，j从2取到10时，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时，不取2，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时（），则的值，其中有，等， 比较以上数量积的结果可知的不同数值为： 共9个； 当两点取自6条棱的中点时，不妨假设为，同理可计算取等情况时的值； 此时当，j从2取到10时，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时，不取2，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时（），则的值， 比较以上数量积的结果可知的不同数值为： 共9个； 当两点中一个取自四个顶点中，另一个取自6条棱的中点时， 可求得的不同值为： 共13个， 综合以上可得可能取值共有： 共13种， 故答案为：13 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要分类讨论，先考虑向量所处的位置情况，再考虑，结合数量积的定义，分类计算，可求得答案. 29．（23-24高二上·上海·期末）三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角是由公共端点且不共面的三条射线以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】 作出图形，，，,平面与平面所成的角为，作，平面，则该二面角的平面角为.要解决三棱锥体积的最大值，需要先把体积用函数式表示出来，即，接下来就根据条件把和用同一个变量表示出来即可求解. 【详解】 由题意，，,平面与平面所成的角为， 作，平面，则该二面角的平面角为， 由题意得：， 因为，， 所以，， ， ， ， 当时，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是等体积转换法，再结合条件等式将体积表示成同一个变量的函数即可求解. 30．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点.    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 【答案】(1)； (2)存在，，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据题意只需证明平面，即可得到，从而可得答案； （2）存在实数m，使得直线与平面垂直．只需证明，，即可得到直线平面； （3）计算，，设与平面的斜足为O，则，则P为AO的中点，从而可得答案. 【详解】（1）连接，由四边形为正方形，可得， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成的角的大小为； （2）存在实数，使得直线直线与平面垂直．理由如下： 当时，， 因为BC＝1，所以，所以，则， 所以，即， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，所以平面， 又平面，所以. 同理可证，又， 所以直线平面； （3）设与平面的斜足为O， 因为， ， 所以,则. 若，则，故. 所以在线段上取一点P，要使三棱锥与三棱锥的体积相等，则P为AO的中点，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 锥体 考点剖析 4 【知识点1】棱锥 4 【知识点2】圆锥 4 【知识点3】锥体的体积和表面积 4 过关检测 6 A组 双基过关 6 B组 巩固提高 8 C组 综合训练 17 D组 拓展延伸 24 【知识点1】棱锥 观察图11-2-2中的图形，可以发现它们有如下的共同特征；有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥（pyramid）。其中，这个三角形或平面多边形称为棱锥的底面，其余的面称为棱锥的侧面，不在底面上的棱称为棱锥的侧棱，所有侧棱的公共点称为棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥（regular pyramid）。 提示：棱锥常用表示其顶点的字母与表示其底面多边形的记号之间加短横来记，例如，图11-2-2中，左边的三棱锥可记为P-ABC，右边的六棱锥可记为P-ABCDEF. 类比于棱柱的分类，按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等. 棱锥的概念和性质 名称 棱锥 正棱锥 定义 底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫棱锥 底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫做正棱锥 性质 1. 底面是多边形 2. 侧面是以棱锥顶点为公共顶点的三角形 3. 侧棱不一定相等 4. 棱锥截面性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比. 1. 底面是正多边形 2. 侧面都是全等的等腰三角形 . 3. 侧棱都相等. 4. 同左4，对正棱锥仍然成立. 5. 棱椎的高，斜高和斜高在底面上的射影以及棱锥的高，侧棱和侧棱在底面上的射影分别组成直角三角形. 【知识点2】圆锥 三棱锥由四个三角形围成，它就是10.2节例4中出现过的四面体。三棱锥是一种比较重要的棱锥，因为由平面多边形围成的多面体（见113节）总可以看成由三棱锥拼合而成，从而多面体的度量计算问题常常可以转化为三棱锥的问题；而且三棱锥的每个面都可以作为棱锥的底面，解决问题时便具有一定的灵活性。除了棱锥，还有一类常见的锥体就是圆锥。如图11-2-4，将直角三角形AOB绕其一条直角边A0所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥（cone）。其中，AO所在直线叫做圆锥的轴点A叫做圆锥的顶点，直角边OB旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边AB旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边AB叫做圆锥的母线，圆锥的顶点到底面间的距离（即AO的长度）叫做圆锥的高。 提示：圆锥可用表示顶点的字母与表示底面圆心的字母之间加短横来记，如图11-2-4的圆锥可记为圆锥A-O. 由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点。 方便起见，我们把棱锥与圆锥统称为锥体。 【知识点3】锥体的体积和表面积 可以证明（见本节的“探究与实践”，任一棱锥的体积都是与它同底等高的柱体的体积的三分之一，由此得到棱锥的体积公式： 其中，S为棱锥底面的面积，h为棱锥的高。 利用棱锥的体积公式和祖曜原理，可以进一步得出圆锥的体积公式： 其中，r为底面半径。 与柱体类似，锥体的表面积也等于侧面积与底面积之和；对于棱锥或圆锥来说，由于底面是一个平面多边形或一个圆，可以用平面几何的方法计算面积，因此求侧面积是关键；对于一般的棱锥来说，每个侧面都是三角形，其侧面积也易于求出，但难以写出一个一般的公式；对于圆锥来说，求其侧面积则是一个新的问题，下面我们只讨论正棱锥和圆锥的表面积。 依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为；如果棱锥底面多边形的周长是，底面面积是S底，那么容易求得棱锥的侧面积和表面积分别是： ； 对于圆锥，我们可以采用求圆柱侧面积的方法，将其沿一条母线剪开，展开在一个平面内；可以看到，圆锥侧面的平面展开图是一个以圆锥母线为半径的扇形，扇形的弧长就等于圆锥底面的圆周长，如图11-2-13所示，设圆锥的底面圆半径为r，则扇形的中心角（弧度）；由扇形的面积公式，可得S圆锥侧= 所以，圆锥的表面积公式为：S圆锥表= 考点剖析 【知识点1】棱锥 【例1】证明：在正三棱锥中，任意两条异面的棱都相互垂直. 【知识点2】圆锥 【例2】 如图11-2-5，用平行于圆锥P-O1底面的平面截这个圆锥，得到一个小圆锥P-O2.如果这两个圆锥的高分别是h1、h2，求这两个圆锥的底面面积之比. 【知识点3】锥体的体积和表面积 【例3】如图11-2-6，设E、F分别是给定正方体ABCD-A1B1C1D1的棱和CD上的任意点.求证：三棱锥的体积是定值. 【例4】设台体上、下底面积分别为S'和S， 上下底面的距离为h.求证： 例5　如图11-2-8，设台体上、下底面积分别为和，上下底面的距离为．求证：． 图11-2-8 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海·期末）高为3，底面半径为1的圆锥的体积为 . 2．（23-24高二上·上海崇明·期末）已知正三棱锥的底面边长为2，高为1，则其体积为 ． 3．（2023高二上·上海·专题练习）如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 . 4．（23-24高二上·上海·期末）已知圆锥的底面直径为8，高是3，则母线长为 . 5．（23-24高二上·上海黄浦·期末）已知一个三棱柱与一个四棱锥的底面面积和体积均相等，若三棱柱的高为1，则四棱锥的高为 ． 6．（23-24高二上·上海·期中）若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面展开图面积是 . 7．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且    (1)求证：平面平面 (2)求点到平面的距离 8．（2023高二上·上海·专题练习）一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？（精确到0.1 ） B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点在截面上（含边界），则线段的最小值等于（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点p出发，绕圆锥爬行一周后回到点p处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥体积为 . 11．（23-24高二下·上海黄浦·期中）如图，在直三棱柱中，，，若与平面所成的角为，则四棱锥的体积 ．    12．（23-24高二下·上海·期中）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 ． 13．（23-24高二下·上海·期中）在空间中有三点满足，，在空间中取两个点（不计顺序），使得这5点可以组成正四棱锥，这两点的选法数是 ． 14．（23-24高二下·上海·期中）已知正四棱锥底面边长为，高与斜高夹角为，则它的体积为 ． 15．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ． 16．（23-24高二下·上海·开学考试）如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆锥过轴的截面面积为 ，圆柱的底面半径为 ．    17．（2023高二上·上海·专题练习）如图，已知在直三棱柱中，，，，点D是AB的中点，求三棱锥的体积． 18．（21-22高二上·上海闵行·阶段练习）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．    (1)求证：平面； (2)求证：⊥平面； (3)求三棱锥的体积． C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．（23-24高二上·上海·期末）已知正方体的棱长为a，长为定值的线段在棱上移动（），若P是上的定点，Q是上的动点，则四面体的体积是（    ） A．有最小值的一个变量 B．有最大值的一个变量 C．没有最值的一个变量 D．是一个常量 20．（23-24高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，，．设是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，且恒成立，则正实数的最小值为 ． 21．（23-24高二上·上海松江·阶段练习）在直三棱柱中，，则点B到平面的距离为 . 22．（23-24高二上·上海·期末）在圆锥中，是底面圆周上一点.设的长为1，且圆锥的侧面展开图是半圆. (1)记圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积______（用表示）；在本题中，求圆锥的侧面积； (2)求母线与底面所成角的大小. 23．（23-24高二上·上海·期末）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2，其中，，三点共线）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米，底面半径为2.4米.圆柱高为3米，底面半径为2米. (1)求几何体的体积； (2)如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求. 24．（23-24高二上·上海·期末）在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，． (1)若圆锥侧面积为，求圆锥的体积； (2)设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值． 25．（23-24高二上·上海·期末）如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点. (1)求证：平面； (2)若，，，求直线与平面所成的角（结果用反三角函数表示）. D组 拓延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】26．（23-24高二下·上海·开学考试）如图所示，在梭长为6的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角的正切值的取值范围为 . 27．（23-24高三上·湖北武汉·期末）棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为 . 28．（23-24高二上·上海·期末）如图，正四面体中，点，，，，，分别是所在棱的中点，则当，（），，（）时，的所有可能取值共有 种. 29．（23-24高二上·上海·期末）三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角是由公共端点且不共面的三条射线以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为 . 30．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点.    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$