11.2.1棱锥与圆锥（教学课件）数学沪教版必修第三册

该高中数学课件聚焦锥体（棱锥、圆锥）的定义、结构特征及度量，通过实物图片情境引入抽象几何体，类比棱柱分类引出棱锥命名，衔接圆锥定义，为台体学习铺垫，构建知识支架。 其亮点在于以情境引入培养数学眼光，通过典例分析（如三垂线定理证明垂直、相似比求面积比）发展数学思维，用精确数学语言描述定义与推导。帮助学生建立空间观念，教师可借助结构化内容提升教学效率。

11.2 锥体 1 棱锥与圆锥 第11章 简单几何体 沪教版2020必修第三册·高二 情境引入 思考：如图，这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？ 由此，我们将讨论一些简单锥体的形状特征和度量方法 思考：将图片抽象为以下的空间几何体，可以发现它们有哪些共同特征？ 一般地，有一个面是多边形，或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥. 新知初探 这个三角形或平面多边形面称为棱锥的底面； 棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥. 底面 侧面 侧棱 顶点 其余的面称为棱锥的侧面； 不在底面上的棱称为棱锥的侧棱； 所有侧棱的公共点称为棱锥的顶点； 顶点到底面的距离叫做棱锥的高。 4 讨论:类比于棱柱的分类，按照底面多边形的边数，尝试给以下几个图形命个名。 注：棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如左边的三棱锥可记作棱锥 三棱椎 又叫四面体. 四棱锥 六棱锥 注意：一定要三角形交于同一个顶点. 问：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体就是棱锥吗？ 棱锥的结构特征 1.仅有一个底面是多边形 2.侧面都是三角形 3.各侧面有且只有一个公共顶点 6 在棱锥中，三棱锥是一种比较重要的棱锥。因为由平面多边形围成的多面体总可以看成由三棱锥拼合而成，从而多面体的度量计算问题常常可以转化为三棱锥的问题；而且三棱锥的每个面都可以作为棱锥的底面，解决问题时便具有一定的灵活性． 除了棱锥，还有一类常见的锥体就是圆锥． 在圆锥的形成中，所在直线叫做圆锥的轴； 点叫做圆锥的顶点； 直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； 直角三角形的斜边都叫做圆锥侧面的母线； 圆锥的顶点到底面间的距离（即的长度）叫做圆锥的高. B 轴 底面 母线 B A O 圆锥：以直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥. 圆锥 8 圆锥的结构特征 底面是圆面横截面是比底面小的圆面，轴截面为等腰三角形; 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线; 母线有无数条，且长度都相等，侧面由无数条母线组成. 由此可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点． 方便起见，我们把棱锥与圆锥统称为锥体． 9 分析：设是正三棱锥，故是正三角形， 顶点在底面上的射影为的中心.两条异面的棱可以为代表（其余情况完全类似），所以要证的是. 典例分析 例1.证明：在正三棱锥中，任意两条异面的棱都相互垂直. 证明：连接并延长，与交于点. 为的中心，. 又平面，是在平面上的射影. 利用正三棱锥性质找射影 应用三垂线定理证明垂直 由三垂线定理，知. 典例分析 例2.如图，用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，得到一个小圆锥如果这两个圆锥的高分别是，求这两个圆锥的底面面积之比. 解:设是大圆锥的一条母线，过和的平面与两个圆锥的底面的交线分别为直线和. 则由两个平面平行的性质定理，知∥. △∼△， =（ 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体. 思考：在例2中，大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体是什么？ 讨论1：圆台是旋转体，那圆台是由什么平面图形旋转形成的？ 讨论2：圆台的轴、底面、侧面和母线定义分别是什么？ 圆台是由直角梯形绕直角边旋转一周所形成的几何体. 12 棱台: 按棱台底面边数分类: 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。 五棱台:由五棱锥截得的棱台 四棱台:由四棱锥截得的棱台 三棱台:由三棱锥截得的棱台 棱锥被一个平行于底面的平面所截，截去一个小棱锥后剩下的多面体. 练习1.下面是关于棱锥、棱台的四种说法： ①棱锥的侧面只能是三角形； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中说法错误的是（ ）. A.① B.② C.③ D.④ 课堂检测 D 练习2.下列命题中，正确的是（ ）. A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 D 练习3.如图，以直角梯形的下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体。说出这个几何体的结构特征。 解：几何体如右图所示，其中，垂足为, 这个几何体是由圆柱和圆锥组合而成的。 其中圆柱的底面分别是和，侧面是由梯形的上底绕轴旋转形成的； 圆锥的底面是侧面是由梯形的边绕轴旋转而成的. 16 练习4.用平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，得到一个小棱锥．已知这两个棱锥的高分别是，求这两个棱锥的底面面积之比． 1.确定相似关系： 分析：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的小棱锥与原棱锥是相似的。相似棱锥的高之比等于它们的相似比。 这里小棱锥的高为,原棱锥的高为所以它们的相似比为. 2.根据相似图形面积比与相似比的关系求解： 分析：对于相似图形，面积比等于相似比的平方。 因为棱锥的底面是相似多边形，所以两个棱锥底面面积之比等于相似比的平方，即: 17 课堂小结 底面 侧面 侧棱 顶点 B 轴 底面 母线 B A O 圆锥 棱锥 课后作业 选做题：预习下一课； 必做题：小组合作：显然，通过延长圆台的任意一条母线都可以使它们交于一点，从而得到一个圆锥．如图，这样的几何体是否也可以通过延长棱的方法得到一个棱锥？ 感谢聆听! $