专题10 柱体（4大知识点+6大题型+真题检验）讲义-2025年高二数学暑假班预习提升（沪教版（2020））

上海高中数学2020必修第三册第11章空间几何体（预修课程） 专题10 柱体 知识点一、棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱；否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 知识点二、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 知识三、柱体的体积 1、祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”； （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等； 2、柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高) 知识点四、柱体的表面积公式 1、多面体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和； 所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 【说明】对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的； 2、柱体的表面积公式 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 【说明】 1、柱体的表面由底面和侧面组成；其中，底面是多边形或圆；因此，柱体的表面积等于两个底面的面积再加上所有侧面的面积；其中，所有侧面的面积之和称为柱体的侧面积； 其中，直棱柱的表面积：由定义得每个侧面都是矩形，且每个矩形的一边都等于棱柱的高，另一边是底面多边形的一条边；所以，直棱柱的侧面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长． 面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长； 同理，对于圆柱，因为侧面是一个曲面，不能像直棱柱那样直接求面积，但仍可以采用平面展开图的方法来求侧面积；将圆柱的侧面沿某条母线剪开，并展开在一个平面上，同样得到一个矩形，此矩形的一边等于圆柱的母线长（即其高），另一边等于底面圆的周长；这样，我们就得到了圆柱的表面积； 2、求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积； 题型1：棱柱的结构和分类 【说明】有关棱柱的结构特征问题的解题策略； （1）紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析： ①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征； （2）多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除； 【例1】下列几何体不属于棱柱的是（    ） A．  B．  C．   D．   【例2】下列命题中为真命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 【跟踪训练】 1、下面四个说法： ①长方体和正方体不是棱柱； ②五棱柱中五条侧棱相等； ③三棱柱中底面三条边都相等； ④由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． 其中正确说法的个数为（ ） A．0　　B．2 C．3　　　 D．4 2、关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)． ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； ②棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体． 3．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有 对． 题型2：圆柱的结构 【说明】注意理解圆柱的性质： （1）圆柱的上下底面为两个相等的圆面； （2）圆柱的轴截面为矩形，一组对边为底面的直径，一组对边为母线； （3）平行于底面的截面是与底面全等的圆面； 【例3】下列命题中正确的是（ ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【例4】用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 【跟踪训练】 1．如图，将矩形ABCD绕其 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱，边AB所在直线叫做该圆柱的 ，线段AD和BC分别旋转而成的圆面叫做该圆柱的 ，线段CD旋转而成的曲面叫做该圆柱的 ，CD叫做该圆柱的 ，圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做该圆柱的 ．棱柱和圆柱统称为 ． 2．圆柱的母线长为，底面的直径为，则圆柱的轴截面面积为 . 3．圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，则该圆柱轴截面面积为 . 题型3：祖暅原理与柱体的体积 【说明】求几何体体积，通常有方法： 1、直接法求几何体的体积，关键是弄清几何体的结构类型，准确求出底面积和高； 2、间接法：（1）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；（2）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积； 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解； 【例5】祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等；设为两个同高的几何体，在等高处的截面积不恒相等，的体积不相等，根据祖暅原理可知，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例6】若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为（ ） A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 【例7】如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（ ） A．5π B．6π C．20π D．10π 【例8】高为的两圆柱体枳分别为Vm和Vn，其侧面面积相等，则Vm与Vn的大小关系是（ ） A． B． C． D．不确定 【跟踪训练】 1．已知一个正方体棱长为1，则它的体积为（ ） A．1 B．4 C．6 D．8 2．已知正方体的表面积为24，则该正方体的体积为__________. 3．已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为（ ） A． B． C． D． 4．长方体中，，，则此长方体的对角线长是（    ） A．2 B． C． D． 5．长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为 ． 6．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、， （1）求这个长方体的对角线长。 （2）求这个长方体的的体积 题型4：柱体的展开图与表面积 【说明】求简单几何体的表面积（或）应注意：无论求旋转体的侧面积还是多面体的表面积，应明确展开图的形状，再求解侧面积公式中所需要的基本量．对于旋转体，应在各旋转体的轴截面中，利用关键的直角三角形或直角梯形求解各基本量；对于多面体，关键是利用直角三角形或直角梯形，求出侧面的高． 特别注意：表面积与侧面积的不同； 【例9】下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是（    ） A． B． C．  D．   【例10】已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ） A．22　 B．20 C．10 D．11 【例11】圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A．4πS B．2πS C．πS D．πS 【例12】长方体的12条棱的总长度为56，表面积为112，那么长方体的对角线长为_____ 【跟踪训练】 1．根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起？并画出该几何体.    2．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为 3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a，表面积为108，则a等于（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 4．如果圆柱的底面半径为，高为，那么它的侧面积等于（ ） A． B． C． D． 5．圆柱的母线长为，底面半径为，则圆柱的侧面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知一个直四棱柱底面是边长为2cm的菱形，高是3cm，则此直四棱柱的侧面积为________. 7．若长方体的三个面的面积分别是，求： （1）长方体的体对角线的长； （2）长方体的表面积. 题型5：最短距离问题 【例13】如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（    ） A． B． C．4 D． 【例14】如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，沿侧面爬行到点C处，则小虫爬行的最短距离是（    ）    A． B．2cm C． D．1cm 【跟踪训练】 1．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，求昆虫爬行的最短路程. 2．有一根高为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕1圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度． 题型6：柱体综合 【例15】有一堆规格相同的铁制（铁的密度为）六角螺帽共重，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是，内孔直径为，高为， （1）求一个六角螺帽的体积；（精确到） （2）问这堆六角螺帽大约有多少个？ （参考数据：） 【例16】如图,直三棱柱内接于高为的圆柱中,已知,,,为的中点,求： （1）圆柱的全面积和体积； （2）求直线与平面所成的角的大小. 一、填空题 1、若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为 (cm3) 2、长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是1∶2∶3，体对角线长为2，则这个长方体的体积是 3、已知圆柱 OO′的母线 l＝4 cm，表面积为 42π cm2，则圆柱 OO′的底面半径 r＝______cm. 4．（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为　　． 5．（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝　　． 6、中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为2，下底面边长为4，高为6的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ．    7、已知一个圆柱的轴截面是边长为2cm的正方形，则圆柱上底面边上任意一点和下底面圆心连成的直线与下底面所成角的大小为 8、已知正四棱柱的对角线长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则这个正四棱柱的体积等于___________ 9、如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 10、正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿表面移动到点D1时的最短的路程是________． ； 11、如图，水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜， 使AB所在直线与桌面所成的角为，则此时圆柱母线与水面所在平面所成的角大小为______． 12．（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则△ABC的面积的取值范围为 　　 ． 二、选择题 13、下列关于棱柱正确的（ ） A.所有的面都是平行四边形； B.每一个面都不会是三角形； C.两底面平行，并且各侧棱也平行； D.棱柱的侧棱总与底面垂直． 14．已知集合{正方体}，{长方体}，{正四棱柱}，{平行六面体}，则（    ） A． B． C． D．它们无确切包含关系 15、一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（ ） 　　 A． B．C．2　　　 D． 16．如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（    ） A． B． C．4 D． 三、解答题 17．正三棱柱中，是上一点，若． （）若底面边长为，侧棱长为，求该正三棱柱的表面积、体积． （）求证：平面． 18．（上海高二期末）已知圆柱的底面半径为r，上底面和下底面的圆心分别为和O，正方形ABCD内接于下底面圆O，与母线所成的角为. （1）试用r表示圆柱的表面积S； （2）若圆柱的体积为，求点D到平面的距离. 19．如图，直三棱柱中，，，，，分别是，的中点 （1）证明：平面; （2）若与平面所成角的正切值为，求三棱柱的体积. 20．（2019·上海市行知中学高二期中）如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 21．（2019·上海复旦附中高二期中）如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. （1）求圆柱的表面积；（2）求点到平面的距离； （3）求直线与所成的角. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020必修第三册第11章空间几何体（预修课程） 专题10 柱体 知识点一、棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱；否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 知识点二、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 知识三、柱体的体积 1、祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”； （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等； 2、柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高) 知识点四、柱体的表面积公式 1、多面体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和； 所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 【说明】对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的； 2、柱体的表面积公式 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 【说明】 1、柱体的表面由底面和侧面组成；其中，底面是多边形或圆；因此，柱体的表面积等于两个底面的面积再加上所有侧面的面积；其中，所有侧面的面积之和称为柱体的侧面积； 其中，直棱柱的表面积：由定义得每个侧面都是矩形，且每个矩形的一边都等于棱柱的高，另一边是底面多边形的一条边；所以，直棱柱的侧面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长． 面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长； 同理，对于圆柱，因为侧面是一个曲面，不能像直棱柱那样直接求面积，但仍可以采用平面展开图的方法来求侧面积；将圆柱的侧面沿某条母线剪开，并展开在一个平面上，同样得到一个矩形，此矩形的一边等于圆柱的母线长（即其高），另一边等于底面圆的周长；这样，我们就得到了圆柱的表面积； 2、求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积； 题型1：棱柱的结构和分类 【说明】有关棱柱的结构特征问题的解题策略； （1）紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析： ①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征； （2）多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除； 【例1】下列几何体不属于棱柱的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】根据棱柱的定义即可求解. 【解析】根据棱柱的定义可知A为三棱柱，B为四棱柱，C为五棱柱， 不属于棱柱的图形只有D选项. 故选：D. 【例2】下列命题中为真命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 【答案】D 【分析】根据空间几何体的几何特征和性质即可结合选项逐一求解. 【解析】对于A，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故A错误； 对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误； 对于C，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故C错误； 对于D，正四棱柱是平行六面体，故D正确. 故选：D. 【跟踪训练】 1、下面四个说法： ①长方体和正方体不是棱柱； ②五棱柱中五条侧棱相等； ③三棱柱中底面三条边都相等； ④由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． 其中正确说法的个数为（ ） A．0　　　 B．2 C．3　　　 D．4 【答案】B； 【解析】长方体和正方体是四棱柱，①错；棱柱的侧棱平行且相等，②正确；三棱柱中底面三条边不一定相等，③错；④正确，故选B； 2、关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)． ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； ②棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体． 【答案】②； 【解析】①不正确，反例如图所示． ②正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等， 所以侧面均为平行四边形． ③不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体． 3．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有 对． 【答案】4 【分析】考虑正六棱柱，相对的侧面也互相平行，即可得答案. 【解析】六棱柱的两个底面是相互平行的，当六个侧面中相对的侧面互相平行， 即有三对相对的侧面相互平行，比如正六棱柱， 此时六棱柱的表面中，互相平行的面最多有4对， 故答案为：4 题型2：圆柱的结构 【说明】注意理解圆柱的性质： （1）圆柱的上下底面为两个相等的圆面； （2）圆柱的轴截面为矩形，一组对边为底面的直径，一组对边为母线； （3）平行于底面的截面是与底面全等的圆面； 【例3】下列命题中正确的是（ ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D； 【解析】由圆柱的概念可知D正确； 【例4】用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱的轴截面的面积求法求解. 【解析】当圆柱的高时，， 所以圆柱的轴截面的面积为； 当圆柱的高，， 所以圆柱的轴截面的面积为， 故选：B 【跟踪训练】 1．如图，将矩形ABCD绕其 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱，边AB所在直线叫做该圆柱的 ，线段AD和BC分别旋转而成的圆面叫做该圆柱的 ，线段CD旋转而成的曲面叫做该圆柱的 ，CD叫做该圆柱的 ，圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做该圆柱的 ．棱柱和圆柱统称为 ． 2．圆柱的母线长为，底面的直径为，则圆柱的轴截面面积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱轴截面为矩形直接求解即可. 【解析】圆柱的轴截面面积. 故答案为：. 3．圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，则该圆柱轴截面面积为 . 【答案】20 【分析】轴截面为矩形，根据矩形的长和宽求出面积. 【解析】轴截面为矩形，两边长分别为5和4，故轴截面的面积为. 故答案为：20 题型3：祖暅原理与柱体的体积 【说明】求几何体体积，通常有方法： 1、直接法求几何体的体积，关键是弄清几何体的结构类型，准确求出底面积和高； 2、间接法：（1）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；（2）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积； 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解； 【例5】祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等；设为两个同高的几何体，在等高处的截面积不恒相等，的体积不相等，根据祖暅原理可知，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据逆否命题的等价性判断与的关系； 【答案】B； 【解析】“两个同高的几何体，等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，体积不相等，则等高处的截面积不恒相等”，所以； 反之“两个同高的几何体，体积相等，则等高处的截面积恒相等”不成立，即由推不出， 所以，是的必要不充分条件； 【例6】若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为（ ） A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 【答案】B 【解析】V长方体＝3×4×5＝60(cm3)； 【例7】如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（ ） A．5π B．6π C．20π D．10π 【答案】D； 【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π； 【例8】高为的两圆柱体枳分别为Vm和Vn，其侧面面积相等，则Vm与Vn的大小关系是（ ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据体积公式表示底面半径，再由侧面积相等列等式化简得，从而可判断. 【详解】设高为的两圆柱的底面半径分别为， 所以， 所以， 根据侧面积相等可得：， 整理得，所以. 故选：A. 【跟踪训练】 1．已知一个正方体棱长为1，则它的体积为（ ） A．1 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据棱长为的正方体的体积公式，求解即可. 【详解】正方体的棱长为1 该正方体的体积 故选：A 【点睛】本题考查正方体的体积公式，属于容易题. 2．已知正方体的表面积为24，则该正方体的体积为__________. 【答案】8 【分析】根据正方体表面积公式得到边长，进而得到体积公式. 【详解】正方体的表面积是24，设边长为a，则表面积为， 则该正方体的体积为. 故答案为：8. 3．已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体的棱长为，根据侧面积相等，可得圆柱的底面半径为，再根据体积公式可得答案. 【详解】设正方体的棱长为，则圆柱的高为，设圆柱的底面半径为， 则正方体的侧面积为，圆柱的侧面积为， 所以，所以， 所以正方体和圆柱的体积之比为. 故选：B. 【点睛】本题考查了正方体和圆柱的侧面积与体积公式，属于基础题. 4．长方体中，，，则此长方体的对角线长是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，作图，根据勾股定理和锐角三角函数，分别计算出长方形的长宽高，进而利用长方体的对角线的计算公式，直接计算可得答案 【解析】 由已知得，，，根据勾股定理和锐角三角函数，在直角三角形中，得，，在直角三角形中，由，可得，，则此长方体的对角线长为. 故选：B 5．长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为 ． 【答案】 【分析】由长方体的三个面的面积求出同一点出发的三条棱长，根据长方体的结构特征即可求出结果. 【解析】 设长方体从顶点B出发的三条棱长分别为，且，，，则，，， 所以长方体中线段的长等于. 故答案为： 6．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、， （1）求这个长方体的对角线长。 （2）求这个长方体的的体积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设此长方体的棱长分别为a，b，c，则，解出a，b，c，再利用长方体的对角线长l=即可． （2）由（1）知a，b，c，利用长方体体积公式即可得到结果． 【详解】（1）设此长方体的棱长分别为a，b，c，则，可得，解得，a=，b=1． 这个长方体的对角线长l==． （2）由（1）可知：V=abc=． 【点睛】熟练掌握长方体的侧面积、对角线长及体积计算公式是解题的关键． 题型4：柱体的展开图与表面积 【说明】求简单几何体的表面积（或）应注意：无论求旋转体的侧面积还是多面体的表面积，应明确展开图的形状，再求解侧面积公式中所需要的基本量．对于旋转体，应在各旋转体的轴截面中，利用关键的直角三角形或直角梯形求解各基本量；对于多面体，关键是利用直角三角形或直角梯形，求出侧面的高． 特别注意：表面积与侧面积的不同； 【例9】下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】依据棱柱展开图的特征对各个选项恢复成相应棱柱，即可得到所给图形中经过折叠不能围成一个棱柱的为选项B. 【解析】选项AD经过折叠可以围成四棱柱，选项C经过折叠可以围成三棱柱， 选项B经过折叠后有四个侧面，而上下底面为五边形，故不能围成棱柱. 故选：B 【例10】已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ） A．22　 B．20 C．10 D．11 【答案】A； 【解析】所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22； 【例11】圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A．4πS B．2πS C．πS D．πS 【答案】A； 【解析】底面半径是，所以正方形的边长是2π＝2，故圆柱的侧面积是(2)2＝4πS； 【例12】长方体的12条棱的总长度为56，表面积为112，那么长方体的对角线长为_____ 【答案】 【分析】设出该长方体的长宽高分别为a，b，c，由已知有：，，解之可得出对角线的长. 【详解】设该长方体的长宽高分别为a，b，c，则有：，即···① ，即···② ∴ ∴长方体的对角线的长为：， 故答案：. 【点睛】本题考查长方体的边长，表面积，对角线之间的关系，属于基础题. 【跟踪训练】 1．根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起？并画出该几何体.    【答案】J与N，A、M与D，H与E，G与F，B与C，几何体见解析 【分析】根据平面展开图画出几何体，根据图象得到答案. 【解析】绘制的几何体如图所示：      则J与N，A、M与D，H与E，G与F，B与C重合. 2．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为 【答案】22； 【解析】所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22； 3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a，表面积为108，则a等于（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用长方体表面积的计算方法直接计算即可. 【详解】长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a，则长方体的表面积为，解得a=6， 故选：D 【点睛】本题考查长方体表面积的计算方法，属于简单题. 4．如果圆柱的底面半径为，高为，那么它的侧面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆柱的侧面积公式可得结果. 【详解】由题意可知，圆柱的侧面积为. 故选：A. 5．圆柱的母线长为，底面半径为，则圆柱的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可. 【详解】圆柱的母线长为，底面半径为， 则圆柱的侧面积为. 故选：A 【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面积公式，属于基础题. 6．已知一个直四棱柱底面是边长为2cm的菱形，高是3cm，则此直四棱柱的侧面积为________. 【答案】24 【分析】由直四棱柱的性质直接求侧面积即可． 【详解】直四棱柱底面ABCD是边长为2的菱形，且四个侧面全等 ∴该直四棱柱的侧面积为S＝4×2×324． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了空间几何体的性质与面积的计算问题，是基础题． 7．若长方体的三个面的面积分别是，求： （1）长方体的体对角线的长； （2）长方体的表面积. 【答案】（1）.（2） 【分析】（1）设长方体的长，宽，高分别为，根据已知条件列出方程，求出，即可求出对角线； （2）根据已知条件，即可求解. 【详解】（1）设长方体的长，宽，高分别为，如图. 可令解得 ， ，∴该长方体的体对角线长为. （2）. 【点睛】本题考查长方体面的面积与边长的关系，明确长方体的对角线与长、宽、高的关系，属于基础题. 题型5：最短距离问题 【例13】如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】沿侧棱将正三棱柱的侧面展开，根据展开图，即可得出最小路径. 【解析】如图，沿侧棱将正三棱柱的侧面展开 由侧面展开图可知，当，，三点共线时，从点经点到的路线最短． 所以最短路线长为. 故选：B. 【例14】如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，沿侧面爬行到点C处，则小虫爬行的最短距离是（    ）    A． B．2cm C． D．1cm 【答案】A 【分析】小虫爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求. 【解析】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求，    在中，，， ∴. 故小虫爬行的最短距离是. 故选：A. 【跟踪训练】 1．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，求昆虫爬行的最短路程. 【答案】 【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为，利用勾股定理可求得结果. 【解析】作出圆柱的侧面展开图如下图所示， 则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短， 圆柱体的底面周长为，； 最短路程为：. 2．有一根高为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕1圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度． 【答案】． 【分析】将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示，然后利用勾股定理求解即可 【解析】因为圆柱型铁管的高为，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕1圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示． 其中矩形的宽为圆柱的周长，长为圆柱的高，则对角线的长即为铁丝的长度的最小值．此时铁丝的长度最小值为：， 即铁丝的最短长度为． 题型6：柱体综合 【例15】有一堆规格相同的铁制（铁的密度为）六角螺帽共重，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是，内孔直径为，高为， （1）求一个六角螺帽的体积；（精确到） （2）问这堆六角螺帽大约有多少个？ （参考数据：） 【答案】（1）；（2）261个. 【分析】（1）利用六棱柱的体积减去圆柱的体积即得解； （2）计算即得解. 【详解】（1）由题得 （2）这堆螺帽的个数为：（个） 答：每个螺帽的体积为，共有261个螺帽. 【点睛】本题主要考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【例16】如图,直三棱柱内接于高为的圆柱中,已知,,,为的中点,求： （1）圆柱的全面积和体积； （2）求直线与平面所成的角的大小. 【答案】（1）,；（2）. 【分析】(1)先求出底面半径,再根据上下底面积与侧面积之和求解全面积与体积即可. (2)连接,再证明直线与平面所成的角为,再求得与的长求解即可. 【详解】(1)易得底面直径,故全面积. 体积. (2) 连接,因为,故,又平面,故.又,故平面. 故直线与平面所成的角为. 又,.故, 故. 【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积与体积的求解,同时也考查了线面角的求解,需要根据题意证明出线面垂直,进而得出线面角.属于基础题. 一、填空题 1、若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为 (cm3) 【答案】60 cm3 ； 【解析】V长方体＝3×4×5＝60(cm3). 2、长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是1∶2∶3，体对角线长为2，则这个长方体的体积是 【答案】48； 【解析】依题意，设三条棱的长分别为x，2x，3x，则＝2，解得x＝2，即三条棱长分别为2，4，6，于是体积V＝2×4×6＝48. 3、已知圆柱 OO′的母线 l＝4 cm，表面积为 42π cm2，则圆柱 OO′的底面半径 r＝______cm. 【答案】3； 【解析】圆柱 OO′的侧面积为 2πrl＝8πr(cm2)，两底面面积为 2×πr2＝2πr2(cm2)， 所以 2πr2＋8πr＝42π， 解得 r＝3 或 r＝－7(舍去)， 所以圆柱的底面半径为 3 cm. 4．（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为　　． 【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可． 【解答】解：圆柱的底面半径为r＝1，高为h＝2， 所以圆柱的侧面积为S侧＝2πrh＝2π×1×2＝4π． 故答案为：4π． 【点评】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题． 5．（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝　　． 【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a＝16，由此求得a的值． 【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a， ∴（•a•a•sin60°）•a＝16，∴a＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题． 6、中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为2，下底面边长为4，高为6的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ．    【提示】由题目所给信息可得即求相应台体体积，由台体体积公式可得答案. 【答案】56 【解析】由题可得即求相应台体体积，设台体上底面面积为，下底面面积为，台体高为，则台体体积为. 故答案为：56； 7、已知一个圆柱的轴截面是边长为2cm的正方形，则圆柱上底面边上任意一点和下底面圆心连成的直线与下底面所成角的大小为 【答案】 【解析】如图所示，在圆柱上底面取一点，作垂直底面与， 连接，， 因为圆柱轴截面为正方形，所以， 又因为垂直底面，所以与下底面所成角为，，所以. 故答案为：； 8、已知正四棱柱的对角线长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则这个正四棱柱的体积等于___________ 【答案】 【详解】由正四棱柱的结构特征得：. 所以在中，故底面边长. 所以正四棱柱的体积为. 故答案为：； 9、如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 【答案】； 【解析】由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.； 10、正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿表面移动到点D1时的最短的路程是________． 【答案】； 【解析】将所给的正六棱柱按图1部分展开，则AD1＝＝， AD1′＝＝，∵AD1＜AD1′， ∴从A点沿正侧面到上底面到D1的路程最短，最短路程为. ； 11、如图，水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜， 使AB所在直线与桌面所成的角为，则此时圆柱母线与水面所在平面所成的角大小为______． 【提示】根据题意作出示意图即可得到答案. 【答案】 【解析】如图所示，由题意可知：， 母线与水平面所成角为：， 12．（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则△ABC的面积的取值范围为 　　 ． 【分析】上顶面圆心记为O，下底面圆心记为O'，连接OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，由于AB为定值，则S△ABC的大小随着CM的长短变化而变化， 分别求解CM的最大值和最小值，即可得到答案． 【解答】解：如图1，上底面圆心记为O，下底面圆心记为O'， 连接OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M， 则， 根据题意，AB为定值2，所以S△ABC的大小随着CM的长短变化而变化， 如图2所示，当点M与点O重合时，CM＝OC＝， 此时S△ABC取得最大值为； 如图3所示，当点M与点B重合，CM取最小值2， 此时S△ABC取得最小值为． 综上所述，S△ABC的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了空间中的最值问题，将三角形面积的最值问题转化为求解线段CM的最值问题进行求解是解题的关键，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题． 二、选择题 13、下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④棱柱的侧棱总与底面垂直． 其中正确说法的序号是________． 【答案】③； 【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； ②错误，棱柱的底面可以是三角形； ③正确，由棱柱的定义易知； ④错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直．所以说法正确的序号是③. 答案：③ 14．已知集合{正方体}，{长方体}，{正四棱柱}，{平行六面体}，则（    ） A． B． C． D．它们无确切包含关系 15、一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（ ） 　　 A． B． C．2　　　 D． 【答案】 D； 【解析】因为 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点， 所以，棱柱 EFCB­E1F1C1B1 的体积 V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC； 设甲中水面的高度为 h，则 S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝，故选 D. 16．如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（    ） A． B． C．4 D． 三、解答题 17．正三棱柱中，是上一点，若． （）若底面边长为，侧棱长为，求该正三棱柱的表面积、体积． （）求证：平面． 【答案】（），（）见解析 试题分析：（1）由等边三角形、矩形的面积公式可得柱体的表面积；由体积公式可得柱体的体积。（2）由题意可证得点D为BC的中点，连，交于点，则点O为的中点，连接，可得，从而可证得平面． 试题解析：（）在正三棱柱中，为等边三角形， ∵ 的边长为， ∴ ， ∴正三棱柱的表面面积， 体积． （）证明： ∵ ，， ∴ 点D为BC的中点。 连接，交于点，则点为的中点。 连接， 在中，，分别为，中点， ∴ ， 又平面，平面， ∴ 平面． 18．（上海高二期末）已知圆柱的底面半径为r，上底面和下底面的圆心分别为和O，正方形ABCD内接于下底面圆O，与母线所成的角为. （1）试用r表示圆柱的表面积S； （2）若圆柱的体积为，求点D到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用已知条件，通过求解三角形推出圆柱的高，然后求解圆柱的表面积S． （2）利用圆柱的体积，求出底面半径，通过VC﹣OEF＝VO﹣CEF，求解点C到平面OEF的距离． 【详解】解：（1）∵O1A与母线所成的角为30°，AO＝r，所以O1Or， 圆柱的表面积S＝2πr2+22（1）πr2． （2）∵圆柱的体积为9π，∴，∴r． 3． ， ， ∴， 【点睛】本题考查空间点线面的距离的求法，几何体的体积的求法，考查了直角三角形的解法，是基础题． 19．如图，直三棱柱中，，，，，分别是，的中点 （1）证明：平面; （2）若与平面所成角的正切值为，求三棱柱的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形可得答案； （2）求出与平面所成的角，根据与平面所成角的正切值为， 得到，根据三棱柱的体积公式可得答案. 【详解】（1）取中点，连接，，在直三棱柱中，， ∵为中点，为中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴.∵平面， 平面，∵平面. （2）取中点为，连接，，平面， 所以与平面所成的角为， 所以得， 由，，可得 三棱柱的体积为. 【点睛】要证明线面平行，可先证线线平行，而证线线平行，可以利用三角形的中位线、平行四边形的对边、梯形的上下底、面面平行的性质定理等，对这些性质要非常熟悉. 20．（2019·上海市行知中学高二期中）如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 【答案】（1）圆柱的侧面积（平方单位）,圆柱的体积（立方单位）（2） 【分析】（1）根据底面半径和高,利用侧面积和体积公式可求得; （2）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上．利用两点之间连线段长最小以及余弦定理可求得. 【详解】（1）圆柱的底面半径，高，圆柱的侧面积（平方单位）． 圆柱的体积（立方单位）； （2）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上． ∵，，，， ∴在三角形中,由余弦定理得， ∴的最小值等于． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面积和体积公式，同时也考查了侧面展开图的问题，考查计算能力，属于中档题. 21．（2019·上海复旦附中高二期中）如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. （1）求圆柱的表面积； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与所成的角. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据圆柱的表面积=侧面积+底面积×2； （2）根据等体积法，由求出点到平面的距离； （3）由，与所成角即为与所成角，通过余弦定理求出的大小即可. 【详解】 （1）是圆的直径 又 圆柱的表面积为 （2） 设点到平面的距离为 由，得 解得 点到平面的距离为 （3） 与所成角即为与所成角， 联结，则,, 即直线与所成的角为 【点睛】本题考查了圆柱的表面积公式，等体积法和异面直线所成角的求法．通常情况下，求点到平面距离都是用等体积法；异面直线所成角，去找其中一条直线或两条直线的平行线，得到相交的角，再通过余弦定理等方法求出角的大小．本题属于中等题． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$