13.3.1 三角形的内角（第1课时）（教学课件）满分全攻略备课系列-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

人教版（2024）八年级数学上册 第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角（第1课时） 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°，会将文字语言、符号语言相互转化，发展几何直观.（重点） 2.会运用三角形内角和定理进行角度的相关计算和证明，提高运算能力和推理能力.（重难点） 新课导入 新课导入 在小学，通过度量或剪拼，我们已经知道三角形的内角和等于１８０°，这样的方法获得的结论可靠吗？ 测量 48° 72° 60° 60°＋48°＋72°＝180° 锐角三角形 剪拼 A B C 2 1 由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于１８０°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于１８０°．因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三 角形的内角和等于１８０° 知识点讲解 探 究 下面给出了两种剪拼的方法．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 想一想，直线l与△ABC 的边BC有什么关系？ 你能由这个图想出证明 “三角形的内角和等于１８０°”的方法吗？ 证法1：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 证明 “三角形的内角和等于１８０°” 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法2：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 证明 “三角形的内角和等于１８０°” 定义与概念 以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下三角形的内角和定理： 三角形的内角和等于180°. 文字语言 几何语言 图形 三角形的内角和等于180° 在△ ABC 中， ∠ A＋∠ B＋ ∠ C=180° 总结归纳 1.三角形内角和定理的证明主要是运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再证明这个角或这两个角的和是180°. 2. 为了帮助解答几何图形问题，在原图基础之上另外所作的具有较大价值的直线或线段被称为辅助线. 典型例题 例1（课本例题）如图，在△ABC中，∠BAC=40 °，∠B=75 °， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线， 得∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°–∠B –∠BAD =180°–75°–20° =85°. 经典例题 A B C D 例2（课本例题）如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢？ 分析：A,B,C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB. 50° 40° 30° 经典例题 解：∠CAB= ∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. 由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°. 所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°. 在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB =180°-60°-30°=90°. 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°, 从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 你还能给出其他解法吗？ 50° 40° 30° 例2（课本例题）如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢？ 50° 40° 30° F 如图所示，过点C作CF∥BE,则CF∥AD. 所以∠ACF=∠CAD=50°，∠BCF=∠CBE=40°， 所以∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°. 因为∠CAB= ∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°， 所以在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB =180°-90°-30°=60°. 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°， 从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 例2（课本例题）如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢？ 课堂练习 知识点1 三角形内角和定理 1.［2024山东烟台期中］如图，在证明内角和等于 时，延长至 ， 过点作，得到，，由于 ，可 得到 ，这个证明方法体现的数学思想是( ) D A.数形结合 B.特殊到一般 C.一般到特殊 D.转化 基础题 【解析】，， ，即 ， ，这个证明方 法体现了转化的数学思想，故选D. 19 2.［2025吉林松原期中］在中， ，则此三角形是( ) C A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 【解析】， 设， ， ，即 ，解得 ， 最大角为 ， 此三角形是钝角三角形，故选C. 关键点拨 见比设参，利用内角和定理列出方程是解题的关键. 20 3.［2025福建莆田校级期中］如图，在 中， ， ，是的角平分线 延长线上一 动点（不与点重合），过点作于点，当 点运动 时， 的度数( ) D A.随点运动而变化，离 点越近，度数越大 B.不变，为 C.随点运动而变化，离 点越远，度数越大 D.不变，为 【解析】 ， ， ， 平分， ， ， ， ， 当点运动时，的度数不变，为 . 故选D. 21 4.［2024上海黄浦区调研］如图，在中， ，按图中虚线将 剪 去后， ______. 【解析】如图. ， ， ， ， ，故答案为 . 22 5.［2025江西南昌质检］ 【模型理解】 （1）如图（1），和交于点，求证： ； 图（1） 【证明】在中， ，在 中， ， . 23 【模型应用】 图（2） （2）如图（2），，分别平分， ，求证： . 【解】同（1）中模型可得，在和 中，有 ，在和 中，有 ， ，分别平分 ， ，，， . 24 知识点2 三角形内角和定理与平行线的综合 6.［2025河南周口期中］如图所示，以下描述错误的是( ) C A.点位于点北偏西 方向 B.点位于点北偏东 方向 C.点位于点北偏西 方向 D. 【解析】如图.由题意得， ， ， ， . A选项，点位于点 北偏西 方向，故A不符合题意； B选项，点位于点北偏东 方向，故B不符合题意； C选项，点位于点北偏西 方向，故C符合题意； D选项， ，故D不符合题意.故选C. 25 7.［2025广东深圳期中］如图， 的两边被一张长方形纸片遮挡 部分，若 ， ，则 ____. 【解析】如图，由题意可得 ， ， .故答案为 . 26 8.如图，是的高，的两条角平分线， 相交于点， ， . （1）求 的度数； 提升题 解：是 的高， . 又 ， ， . 是的角平分线， ， . . 27 （2）求 的度数. 解： ， ， ， ， ，是 的角平分线， ， . ， . 返回 8.如图，是的高，的两条角平分线， 相交于点， ， . 28 9.材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样 的图形叫作“规形图”. 拓展题 （1）观察图①，试探究与，， 之间的数量关系，并说明理由. 解： . 理由：连接,由三角形的内角和是 ，得 , ， . , , ， . . 29 （2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： Ⅰ.如图②，把一块三角尺放置在 上，使三角尺的两条直角边， 恰好分别经过点，，若 ，则 ____ ； 50 Ⅱ.如图③，平分，平分，若 ， ，求 的度数. [解析] 由（1）得 ， ， . 又平分，平分 ， . . 30 课堂小结 求角度 证法 应用 转化为一个平角 或同旁内角互补 辅助线 三角形的内角和等于180 ° 作平行线 转化思想 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第14页练习 第1，2题 1.如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰∠CBD=45°.从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？ A B D C 解:∵ ∠CAD = 30°，且∠D = 90°， ∴∠ACD=180°-∠D-∠CAD=180°-90°- 30°= 60°. ∵∠CBD = 45°，且∠D = 90°， ∴∠BCD=180°-∠D-∠CBD=180°-90°- 45°=45°， ∴∠ACB = ∠ACD - ∠BCD=60°- 45°= 15°. 课本练习 2.如图，在△ABC中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度数. 解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C = 180°. ∵∠A = 40°， ∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°= 140°， 在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED = 180°. ∴∠ADE+∠AED=180°-∠A=180°-40°= 140°， ∴∠B+∠C+∠ADE+∠AED =140°+140°= 280°. C B A E D 感谢观看 $$