精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

集宁二中2024-2025学年高一下学期数学期末考试卷 一、单选题 1. 若复数，则（ ） A. B. 10 C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的定义求解. 【详解】． 故选：A． 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数量积的坐标表示列方程即可求解. 【详解】向量，则，解得. 故选：C. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将不等式化为不等式，结合三个二次的关系即可求得答案. 【详解】不等式即不等式， 故，即不等式的解集为， 故选：B 4. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，再得到伸缩变换后的解析式. 【详解】将函数的图象向左平移个单位， 可得的图象； 再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍可得． 故选：B． 5. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 6. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则该圆台的体积（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出母线，根据侧面积列出方程，求出母线，进而得到圆台的高，得到圆台的体积. 【详解】设该圆台的母线长为，根据题意可得，解得， 由题意得，， 所以该圆台的高为，则． 故选：B 7. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1、2；红球有两个，编号为3，4．从盒中不放回的依次取出两个球，表示事件“第一次取出的是红球”，表示事件“取出的两球同色”，表示事件“取出的两球不同色”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列举出事件A，事件B，事件C，及总事件包含的情况，进而求解判断各选项即可. 【详解】由题意，事件A包含， 事件B包含， 事件C包含， 显然， 与不互斥，与不互斥，故AB错误， 总事件的情况为， ，共12种情况， 其中包含，共8种情况， 故，故C错误， 事件包含，共6种情况， 则包含事件，共4种情况， 故，故D正确. 故选：D. 8. 古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过如图来构造无理数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求出，然后利用两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】由图可知，，则， 所以. 所以 . 故选：B. 二、多选题 9. 从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球.下列结论正确的是（ ） A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球不都是红球的概率为 C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球中恰有1个红球的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，分别根据相互独立事件的概率公式计算即可． 【详解】解：设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，则，， 则2个球都是红球的概率为，故正确， 2个球不都是红球的概率为，故不正确． 至少有1个红球的概率为，故正确， 2个球中恰有1个红球的概率为，故正确， 故选：． 10. 已知甲､乙两组数据分别为，和，若甲､乙两组数据的平均数相同，则（ ） A. 甲组数据的中位数为10 B. 乙组数据的第75百分位数为9.5 C. 甲､乙两组数据的极差相同 D. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平均数相同求出参数，后利用平均数，中位数，极差，方差的计算公式求解即可. 【详解】甲组共有5个数据，从小到大排列后，10为中间数字，所以甲组数据的中位数为选项正确； 由题意得甲､乙两组数据的平均数相同，且易知甲组数据的平均数均为10， 故乙组数据的平均数也为10，故得，所以， 又，乙组数据从小到大排列为， 所以乙组数据的第75百分位数为选项错误； 易知甲组数据极差为4，乙组数据极差为选项错误； 两组数据平均数相同，乙组数据离散程度更大，方差更大，D选项正确， 故选：AD． 11. 在中，角，，所对的边分别是，，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则为直角三角形 D. 若，则面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角形边的关系判断A；利用正弦定理判断B；利用余弦定理推理判断C；利用三角形面积公式计算判断D. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，由正弦定理，得，即，B正确； 对于C，当时，由余弦定理得：， ，为直角三角形，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为_____. 【答案】. 【解析】 【分析】根据正方体的表面积，可得正方体边长，然后计算外接球的半径，利用球的表面积的公式，可得结果. 【详解】设正方体边长，正方体外接球的半径为 由正方体的表面积为24，所以 则，又，所以 所以外接球的表面积为： 故答案为： 【点睛】本题考查正方体外接球的表面积，属基础题. 13. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出总平均数，然后根据分层方差和总方差关系直接计算可得. 【详解】总平均数， 则总样本方差. 故答案为： 14. 图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由二面角的平面角定义作出所求角，解三角形，即可求得答案. 【详解】在正方形中，连接交于O点，连接， 则，即，又平面，平面， 故，而平面， 故平面，平面，则， 即得为二面角的平面角， 设正方体的棱长为2， 则， 故， 即二面角的正切值为， 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【小问1详解】 由题意，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 16. 为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间，其频率分布直方图如图所示． （1）求m的值； （2）用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩； （3）现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据平均数的计算公式即可求解， （3）列举样本点，即可根据古典概型的概率公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 【小问2详解】 平均数为 【小问3详解】 ，，的频率分别为，故之比为，因此从，，抽取5个人，则需要从，，分别抽取的人数为1，3，1， 设的1个人为，的3个人为，的1一个人为, 故样本空间为,共有10个， 则2人体能测试成绩在的样本点有共有3个， 故概率为， 17. 如图，在正方体中，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判断，结合三角形中位线性质推理得证. （2）连接，连接，利用几何法求出线面角. 【小问1详解】 在正方体中，连接，由为的中点，得为的中点， 又为的中点，则，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接，连接，由平面，平面， 得，而，平面， 因此平面，是直线与平面所成的角， 在中，，又，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用条件证明四边形是正方形，继而可由与证得平面； （2）先利用条件求出的长，推得，从而得到的面积，再根据等体积即可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 如图，连接，因点为的中点，且， 则可得，易知四边形是正方形，则， 因平面，平面，故， 又平面，故平面. 【小问2详解】 在中，， 在中，， 又，因，则， 则的面积为，又的面积为， 设点到平面的距离为，则由可得， 则，即点到平面的距离为. 19. 已知的面积为，三边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求三角形外接圆半径. （3）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义及面积公式的表示化简即可得解； （2）由余弦定理求得，根据正弦定理即可解得三角形外接圆半径； （3）由余弦定理得，从而可得最值. 【小问1详解】 由得， ， 又因为，所以， 解得； 【小问2详解】 由余弦定理, 将, , 代入可得： , 则， 已知,则， 根据正弦定理 (为三角形外接圆半径), 将和的值代入正弦定理可得：, 解得. 【小问3详解】 由余弦定理可得：， 得， ，即， 解得，当且仅当时等号成立. 所以当时，周长为的最大值为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集宁二中2024-2025学年高一下学期数学期末考试卷 一、单选题 1. 若复数，则（ ） A. B. 10 C. D. 20 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则该圆台的体积（ ） A. B. C. D. 7. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1、2；红球有两个，编号为3，4．从盒中不放回的依次取出两个球，表示事件“第一次取出的是红球”，表示事件“取出的两球同色”，表示事件“取出的两球不同色”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. D. 8. 古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过如图来构造无理数，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球.下列结论正确的是（ ） A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球不都是红球的概率为 C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球中恰有1个红球的概率为 10. 已知甲､乙两组数据分别为，和，若甲､乙两组数据的平均数相同，则（ ） A. 甲组数据的中位数为10 B. 乙组数据的第75百分位数为9.5 C. 甲､乙两组数据的极差相同 D. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 11. 在中，角，，所对的边分别是，，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则为直角三角形 D. 若，则面积为 三、填空题 12. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为_____. 13. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为___________. 14. 图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为____________. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 16. 为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间，其频率分布直方图如图所示． （1）求m的值； （2）用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩； （3）现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在的概率． 17. 如图，在正方体中，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的大小. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 19. 已知的面积为，三边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求三角形外接圆半径. （3）若，求周长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $