专题18：一元二次方程的应用（二）（5大知识点+8大题型+真题检验） 【暑假精品】2025-2026学年八年级上册数学暑假班预修提升课程（沪教版2024）

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题18 一元二次方程的应用（二） 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点02 一元二次方程应用题的主要类型 1.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 2.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 3.利息问题 (1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 5.形积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型01：利润问题 【例1】某商场将进货价为20元的水彩笔套盒以25元售出，平均每月能售出800盒．调查表明：当售价在25元至40元范围内时，这种水彩笔套盒的售价每上涨1元，销售量会减少10盒．为了实现平均每月10500元的销售利润，这种水彩笔套盒每盒的售价应定为多少元？ 【例2】某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件． (1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？ (2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？ 【跟踪训练】 1.某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价． 2.2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（sì）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 3.为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？ 4.2025 年宁波市马拉松于 3 月 23 日盛大展开． 某服装厂家为本次马拉松赛事生产了一批文化衫． 正常情况下，文化衫售价为每件 50 元时，则每天可售出 40 件． 通过市场调查发现， 若每件降价 5 元， 则每天可以多售出 10 件， 综合各项成本考虑， 规定每件文化衫售价不低于 35 元． 设售价为 元/件，解决以下问题： (1)当天文化衫的销售数量为_____件，（用 的代数式表示）． (2)当文化衫售价定为多少元时，每天能获得 2400 元的销售额？ (3)该服装厂一天所获得的文化衫销售额能否达到 2500 元？请计算说明． 5.某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 6.某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10000元？ 题型02：传播问题 【例3】国庆当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，试求小明给多少个人发了短信？ 【跟踪训练】 1.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 2．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 题型03：行程问题 【例4】汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【例5】飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 【例6】运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【跟踪训练】 1．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 题型04：工程问题 【例7】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【跟踪训练】 1．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 2．2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 题型05：图表信息问题 【例8】如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【跟踪训练】 1.如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 2.如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为(　　) A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225 C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225 3．某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： (1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ (2)该单位这次共有多少员工去旅游？ 4．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 题型06：动态几何问题 【例9】如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 【例10】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 【跟踪训练】 1．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 2．如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 3.如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过 后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 4．综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 5．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 一、选择题 1．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）一个群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息420条，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2.（2023嘉定区八年级期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级上·上海嘉定·期末）葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024松江区八年级期中）若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话次，设这些朋友一共人，则可列方程： ． 6.（2024青浦区八年级期中）2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价元，可列方程________． 7．（2024实验西校八年级期中）某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个赢利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天赢利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价元，可列方程为_____________________．（不需要化简） 8.（24-25八年级上·上海杨浦·期中）一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折 9．（2024兰生学校月考)如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 10．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 3、 解答题 11.（2021·安徽安庆市·八年级期末）安庆某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台． （1）若该商场某天降价了5元，则当天可售出台，当天共盈利______元． （2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？ （3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 12．（2025·上海静安·模拟预测）排球垫球作为河南中考体育“运动健康技能类”选考项目，成为同学们选考热点，排球的销量也一直在增加．某体育用品店，销售一种排球，进价为每个16元，按照每个30元销售，平均每月能卖出200个．调查发现，在不亏本的情况下，为减少库存，售价每降低0.5元，平均每月可多卖出10个． (1)合合说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500个．”请你判断合合的说法是否正确，并说明理由； (2)该体育用品店期望销售该排球平均每月的销售利润为2860元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请你用方程的思想说明该采纳谁的意见． 13．（2025·上海闵行·模拟预测）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 14.（2023上海民办浦东交中初级中学八年级月考）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动． （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？ 15．(2024-2025闵行文来中学期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题18 一元二次方程的应用（二） 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点02 一元二次方程应用题的主要类型 1.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 2.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 3.利息问题 (1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 5.形积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型01：利润问题 【例1】某商场将进货价为20元的水彩笔套盒以25元售出，平均每月能售出800盒．调查表明：当售价在25元至40元范围内时，这种水彩笔套盒的售价每上涨1元，销售量会减少10盒．为了实现平均每月10500元的销售利润，这种水彩笔套盒每盒的售价应定为多少元？ 【答案】这种水彩笔套盒每盒的售价应定为35元 【分析】设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵售价在25元至40元范围内， ∴； 答：这种水彩笔套盒每盒的售价应定为35元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【例2】某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件． (1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？ (2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？ 【答案】(1)把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元 (2)将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元 【分析】对于（1），设商品的售价定为x元，再表示出单间利润和销售量，然后根据单间利润×销售量=总利润列出方程，再求出解即可； 对于（2），设这天的利润为y元，结合（1）列出函数关系式，再配方讨论极值即可． 【详解】（1）设每件商品的售价定为x元，依题意，得 ， 整理得：， 解得：，， ∴把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元； （2）设这天的利润为y元， 则， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为1210， 答：将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数最大值的问题等，根据等量关系列出关系式（方程）是解题的关键． 【跟踪训练】 1.某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价． 【答案】40元 【分析】设每盒茶叶的进价为元，等量关系为：总售价总进价，据此列出方程求解． 【详解】解：设每盒茶叶的进价为元． ． 解得：或， 经检验：或都是原方程的解，但不合题意，应舍去． 答：每盒茶叶的进价为40元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，难点是得到余下茶叶的数量． 2.2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（sì）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 【答案】(1)款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； (2)售价应降低20元． 【分析】本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解． （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解． 【详解】（1）解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元. （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， . 答：售价应降低20元. 3.为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？ 【答案】每包降价4元 【分析】先设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元，然后根据：利润（售价进价）数量，列出方程并解答即可． 【详解】解：设当农产品礼包每包降价m元时，这种农产品在4月份可获利4620元， 由题意得：， 解得：， (舍去)， 答：当农产品礼包每包降价4元时，这种农产品在4月份可获利4620元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出相应的方程是解答本题的关键． 4.2025 年宁波市马拉松于 3 月 23 日盛大展开． 某服装厂家为本次马拉松赛事生产了一批文化衫． 正常情况下，文化衫售价为每件 50 元时，则每天可售出 40 件． 通过市场调查发现， 若每件降价 5 元， 则每天可以多售出 10 件， 综合各项成本考虑， 规定每件文化衫售价不低于 35 元． 设售价为 元/件，解决以下问题： (1)当天文化衫的销售数量为_____件，（用 的代数式表示）． (2)当文化衫售价定为多少元时，每天能获得 2400 元的销售额？ (3)该服装厂一天所获得的文化衫销售额能否达到 2500 元？请计算说明． 【答案】(1) (2)售价应定为 40 元 (3)不能达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出当天文化衫的销售数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当时，原方程没有实数根”． （1）利用当天文化衫的销售数量，可用含x的代数式表示出当天文化衫的销售数量； （2）利用销售总额=销售单价×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设该服装厂一天所获得的文化衫销售额能达到2500元，利用销售总额=销售单价×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该服装厂一天所获得的文化衫销售额不能达到2500元． 【详解】（1）解：根据题意得：当天文化衫的销售数量为（件）． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：当文化衫售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额； （3）解：该服装厂一天所获得的文化衫销售额不能达到2500元，理由如下： 假设该服装厂一天所获得的文化衫销售额能达到2500元， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该服装厂一天所获得的文化衫销售额不能达到2500元． 5.某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)45 (2)10元 【分析】（1）根据题意可求得销售数量件； （2）设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售童装获得的总利润＝每件童装的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可求得． 【详解】（1）（件）， 故答案为：45； （2）设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件童装应降价10元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6.某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10000元？ 【答案】当这种台灯的售价定为50或80元时，每个月的利润恰为10000元． 【分析】设这种台灯的售价为x元，根据一台的利润×总的台数=总的利润和这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只，列出方程，再求解即可． 【详解】解：设这种台灯的售价为x元，根据题意得： ， 解得， 答：当这种台灯的售价定为50或80元时，每个月的利润恰为10000元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 题型02：传播问题 【例3】国庆当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，试求小明给多少个人发了短信？ 【答案】12个人 【分析】首先设小明发短信给个人，根据每人只转发一次可得第一次转发共有人收到了短信，第二次转发有人收到了短信，由题意可得方程人收到了短信，再解方程即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 【详解】解：设小明发短信给个人，由题意得： ， 解得：，（不合题意舍去）， 答：小明发短信给12个人． 【跟踪训练】 1.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【答案】(1)12只 (2)2197只 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． （1）平均每只病鸡传染了x只健康鸡，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可； （2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得： ， 解，得，，(不符合题意舍去)， 答：每只病鸡传染健康鸡12只； （2）解：， 答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只． 2．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 题型03：行程问题 【例4】汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 【例5】飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 【例6】运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 【跟踪训练】 1．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 题型04：工程问题 【例7】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【跟踪训练】 1．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 2．2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵 (2)物业管理公司实际购买两种树共56棵 【分析】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案． （2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到方程式求出满足条件的值，即可得出答案． 【详解】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵， 根据题意，可得， 解得，． 答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵． （2）根据题意，可得， 整理得，， 解得：，， ∵，∴， ∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟， 答：物业管理公司实际购买两种树共56棵． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键． 题型05：图表信息问题 【例8】如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键． 根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数． 【解析】解：设最小数为x，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 【跟踪训练】 1.如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圈出的9个数可知最大数与最小数的差为16，设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，由“最大数与最小数的积为192”即可列出方程，得到答案． 【解析】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：， 设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为， 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键． 2.如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为(　　) A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225 C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225 【答案】C 【分析】最大数为x，则我们只需要将最小数用x表示出来即可列出方程． 【解析】∵最大数为x， ∴最小数用x表示为：x-16， ∴列方程为：x(x﹣16)=225， 故选：C 【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程． 3．某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： (1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ (2)该单位这次共有多少员工去旅游？ 【答案】(1)超过人 (2)该单位这次共有名员工去旅游 【分析】本题考查了有理数的乘法和一元二次方程的应用，解题关键根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． （1）先根据共支付给旅行社旅游费用元，确定旅游的人数的范围； （2）根据每人的旅游费用人数总费用，设该单位这次共有名员工去旅游列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵人数不超过人，人均费用为元， ∴， ∴员工人数一定超过人， ∴该单位这次去旅游，员工超过了20人； （2）解：设该单位这次共有名员工去旅游，根据题意列方程得： ， 整理得， 即， 解得，， 当时，，故舍去； 当时，，符合题意． 答：该单位这次共有35名员工去旅游． 4．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 题型06：动态几何问题 【例9】如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．设出运动所求的时间，可将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出． 【详解】解：设点P，Q运动的时间为，则，，则， 的面积等于， ，即， 解方程得，，， 经过或时，的面积等于． 【例10】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为t 秒，则，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴2或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 【跟踪训练】 1．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：设运动时间为t秒，则有，， ， ， ， 解得或5， 或时，的面积为． 故选：D． 2．如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 【答案】(1)， (2)1或5 【分析】（1）根据点，的运动速度及时间，即可用含的代数式表示出当运动时间为时，的长度； （2）根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，的长度；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；． （2）解：依题意得：， 即， 整理得：， 解得：，． 答：的值为1或5． 3.如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过 后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 【答案】10或15或30 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，培养了学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，解题的关键是分两种情况进行讨论． 分两种情况进行讨论： （1）当第一只蚂蚁在上运动时，列方程进行求解即可； （2）当蚂蚁在上运动，根据三角形的面积公式即可列方程求解． 【详解】解： 设后两只蚂蚁与点组成的三角形面积为 有两种情况： （1）如图 1，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，． （2）如图 2，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，（舍去）． 综上所述，在后，两只蚂蚁与点组成的三角形的面积均为． 4．综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 5．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；（2）分及两种情况，列出关于的方程． （1）利用的长的长点的运动速度运动时间，可用含的代数式表示出的长； （2）当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． 故答案为：； （2），，． 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 故答案为：． 一、选择题 1．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）一个群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息420条，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用发信息的总数=群里好友的人数×（群里好友的人数），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2.（2023嘉定区八年级期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：设每轮传染中平均一个人传染了人，则第一轮后共有人，第二轮后共有人，则可列方程： 故选： 3.（24-25八年级上·上海嘉定·期末）葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用总利润=每千克的销售利润×一天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为， 故选：D 二、填空题 4．（2024松江区八年级期中）若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话次，设这些朋友一共人，则可列方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程解实际应用，准确找到等量关系是解题的关键．根据等量关系列出方程即可得到答案． 【详解】解：设这些朋友一共人， 根据题意得，． 故答案为：. 6.（2024青浦区八年级期中）2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价元，可列方程________． 【答案】 【解析】 解：由题意得： ； 故答案为． 7．（2024实验西校八年级期中）某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个赢利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天赢利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价元，可列方程为_____________________．（不需要化简） 【答案】 【解析】 解：设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利元，平均每天的销售量为个，依题意得： ． 故答案为：． 8.（24-25八年级上·上海杨浦·期中）一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设每次打了折，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设每次打了折， 由题意得，， 解得：，（舍去）， 每次打了9折． 故答案为：9． 9．（2024兰生学校月考)如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 10．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 【答案】或 【分析】本考查了一元一次方程，一元二次方程的应用，分两种情况讨论，，，根据分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上， ∵正方形的边长为，为的中点， ∴ 依题意，，，则； ∵ ∴ ∴ ∴， 解得： 则 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，则， ∵，即 ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，或 则 故答案为：或． 3、 解答题 11.（2021·安徽安庆市·八年级期末）安庆某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台． （1）若该商场某天降价了5元，则当天可售出台，当天共盈利______元． （2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？ （3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）40；1800；（2）每台空气加湿器应降价20元；（3）商场平均每天盈利不能达到2500元．理由见解析． 【解析】 （1）（台），（元）． 故答案为：40；1800． （2）设每台空气加湿器应降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，依题意得：， 整理得：，解得：，． ∵尽快减少库存，∴的值应为20． （3）不能，理由如下：设每台空气加湿器应降价元，则每台盈利元，每天可以售出台， 依题意得：，整理得． ∵， ∴该方程无实数根， ∴商场平均每天盈利不能达到2500元． 12．（2025·上海静安·模拟预测）排球垫球作为河南中考体育“运动健康技能类”选考项目，成为同学们选考热点，排球的销量也一直在增加．某体育用品店，销售一种排球，进价为每个16元，按照每个30元销售，平均每月能卖出200个．调查发现，在不亏本的情况下，为减少库存，售价每降低0.5元，平均每月可多卖出10个． (1)合合说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500个．”请你判断合合的说法是否正确，并说明理由； (2)该体育用品店期望销售该排球平均每月的销售利润为2860元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请你用方程的思想说明该采纳谁的意见． 【答案】(1)合合的说法不正确，理由见解析； (2)采纳销售员乙的意见，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程中的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设售价降低元，平均每月的销售量能达到500个，根据“售价每降低0.5元，平均每月可多卖出10个”列出方程，可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可得出结论； （2）设售价降低元，可使平均每月的销售利润为2860元，根据利润、售价、进价之间的关系列出方程，解出结果后，再根据增加销售量可以减少库存即可得出结论． 【详解】（1）解：合合的说法不正确，理由如下： 设售价降低元，平均每月的销售量能达到500个， 依题意得，， 解得， 降价后每个的售价为（元）， 进价为每个16元，， 平均每月的销售量能达到500个时会亏本， 合合的说法不正确． （2）解：采纳销售员乙的意见，理由如下： 设售价降低元，可使平均每月的销售利润为2860元， 依题意，得， 整理，得， 解得，， 降价1元或3元都能达到销售利润为2860元的目标； 降低售价可以增加销售量，从而减少库存， 应采纳销售员乙的意见． 13．（2025·上海闵行·模拟预测）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 14.（2023上海民办浦东交中初级中学八年级月考）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动． （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？ 【答案】（1）2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2；（2）不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻，理由见解析； 【解析】 （1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2． 由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm， 则•(6−x)•2x＝8． 整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4． 所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2． （2）由题意得： S△ABC=×AC•BC=×6×8=24， 即：×2x×（6-x）=×24， x2-6x+12=0， △=62-4×12=-12＜0，该方程无实数解， 所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻． 15．(2024-2025闵行文来中学期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$