吉林省长春希望高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

2024—2025学年度下学期希望高中期末考试试题 高一数学 一、单选题 1．已知平面向量，若，则（    ） A． B． C．2 D． 2．学校准备举办王者荣耀比赛，从24名最强王者，16名无双王者，8名荣耀王者中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取最强王者的人数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是（    ） A．过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面 B．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．垂直于同一条直线的两条直线平行 5．有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 7．已知圆锥底面半径为2，其母线与下底面所成角为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（    ）    A． B． C． D． 9．如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（    ）． A．4 B． C． D．8 二、多选题 10．给定一组数据5，2，1，2，3，3，2，3，5，4，则这组数据的（    ） A．极差为4 B．标准差为 C．平均数为3 D．中位数为3 11．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则三角形有两个解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若的面积，则 12．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D．的最大值为3 三、填空题 13．已知，复平面内表示复数（其中是虚数单位）的点在虚轴上，则 . 14．若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积 四、解答题 15．已知平面向量. (1)求函数在上的单调区间； (2)当时，求函数的最小值及此时的值. 16．2025年吉林市马拉松赛将于5月18日正式开赛.为积极参与马拉松比赛，吉林市某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是. (1)求图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的平均数； (3)根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的第80百分位数； (4)根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？ 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，为的中点，为的中点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题： (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 18．在长方体中，侧面为正方形，，为线段（不包含端点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题． (1)若，求的长度； (2)求点到平面距离的取值范围． 19．定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为. (1)求函数的“相关向量”的模长； (2)在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知. ①求周长的最大值； ②求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2024—2025学年度下学期希望高中期末考试试题 高一数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D C A B C A ACD 题号 11 12 答案 ACD ACD 1．B 【分析】根据向量共线的坐标公式得到三角方程，利用同角的商数关系计算即得. 【详解】由可得：， 显然则得. 故选：B. 2．C 【分析】借助分层抽样定义计算即可得. 【详解】抽取最强王者的人数是. 故选：C. 3．C 【分析】由已知可得，再根据复数的除法运算化简即可. 【详解】因为，整理得，所以. 故选：C. 4．D 【分析】由立体几何中的基本事实相关概念可判断各选项正误. 【详解】由选项内容可知，ABC选项为立体几何中的基本事实，D选项，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，可能相交，可能平行，故D不是立体几何中的基本事实. 故选：D 5．C 【分析】根据样本平均数和方差的性质，即可求解. 【详解】根据样本数据平均数公式可知，，方差. 故选：C 6．A 【分析】易知与互为异面直线，根据线面垂直的判定定理与性质即可证明. 【详解】如图，易知与互为异面直线. 连接，则， 又面，面， 所以，又面， 所以面，又面， 所以. 故选：A 7．B 【分析】首先计算出母线长，再利用圆锥的侧面积转化为扇形面积即可得到答案． 【详解】易得圆锥的母线长为，底面周长是，所以该圆锥的侧面积为扇形面积， 弧长为，半径为，则侧面积为. 故选：B. 8．C 【分析】根据空间向量的线性关系即可求解. 【详解】, 故选：C 9．A 【分析】由题意，还原直观图得原图后，可得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 如图所示，还原直观图得原图： 所以， 则原平面图形的面积为. 故选：A. 10．ACD 【分析】求出极差、平均数、标准差、中位数逐项判断可得答案. 【详解】将数据从小到大排列为：， 极差为；平均数为； 标准差为；中位数为3. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】A利用正弦定理判断；B.利用正弦定理判断；C利用正弦定理把边转化为角，再利用二倍角公式求解判断；D利用三角形面积公式和余弦定理求解判断. 【详解】A选项，由正弦定理得，因为，所以，则， 故A正确； B选项，因为，，，由正弦定理得， 则，因为，所以， 则，所以三角形有一解，故B错误； C选项，因为，所以， 即，所以或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故C正确； D选项， 因为面积，即， 所以，即，因为， 所以，故D正确. 故选：ACD 12．ACD 【分析】应用向量垂直计算判断A，应用向量平行得出正切进而得出角判断B，根据投影向量公式计算得出夹角判断C，应用向量坐标模长公式计算结合正弦值域判断D. 【详解】对于A，由，得，因此，故A正确； 对于B，若，则，所以，所以，故B错误； 对于C，因，， 由在上的投影向量为，解得， 又，，故C正确； 对于D，因， 故， 当，即时， 也即时，取得最大值9，即的最大值为3，故D正确. 故选：ACD. 13．或 【分析】根据复数的概念和复数的几何意义可知，解方程，即可得到结果. 【详解】由题意可知，，解得或. 故答案为：或. 14．16π 【详解】如图所示，三棱锥的所有顶点都在球的表面上， 以为平面， 所以，所以， 所以截球所得的圆的半径为, 所以球的半径为， 所以的表面积为. 点睛：本题考查了有关球的组合体问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）借助球的性质，得到球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径. 15．(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为； (2)的最小值为此时. 【分析】（1）根据数量积的坐标运算以及三角恒等变换化简，利用整体的思想以及结合正弦函数的图象即可求解单调区间； （2）利用整体的思想求解即可. 【详解】（1）， 令得； 令得； 得 的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）当时,，此时， ， 的最小值为， 此时，即. 16．(1)0.005 (2) (3) (4) 【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得实数的值； （2）根据频率分布直方图求平均数，即每小组的中点值乘以频率加起来即可； （3）第80百分位数指的是频率累计到0.8的点，根据已知，即可求出； （4）求出样本中小于80分钟之频率，总数乘以频率可得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1， 可得， 解得． （2）由频率分布直方图可得平均分为： . （3）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 故第80百分位数落在，设为m， 由，得， 故第80百分位数为． （4）样本中80分钟之前频率为， 因此估计该校3000名学生中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的学生人数为． 17．(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）分别以，，所在直线为，，轴建立坐标系，利用向量法能证明直线平面． （2）设与所成的角为，利用向量法能出与所成角． （3）设直线与平面所成角为，利用向量法能出直线与平面所成角的余弦值． 【详解】（1）如图，分别以，，所在直线为，，轴建立坐标系，    ， ，， 设平面的法向量为， 则，取，解得， ，又平面， 直线平面． （2）设与所成的角为， ，， ， ， 与所成角为． （3）设直线与平面所成角为， 则，， 直线与平面所成角的余弦值为． 18．(1)1； (2). 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，设且，应用向量垂直的坐标表示列方程求参数m，即可得长度； （2）求出面的一个法向量，应用点面距离的向量求法求范围. 【详解】（1）构建如下图示的空间直角坐标系，则，设且， 则，，又， 则，可得， 所以的长度为1. （2）若是面的一个法向量，则， 令，则，而，故， 所以点到平面距离，， 所以，且，故. 19．(1)1； (2)①；②. 【分析】（1）利用二倍角公式及和角的余弦公式化简，再求出函数的“相关向量”，进而求出模. （2）①利用定义求出，再利用余弦定理及基本不等式求出最大值；②利用数量积的定义及运算律列式，由（1）求出范围，换元借助二次函数求出范围. 【详解】（1）函数， 因此函数的“相关向量”为，， 所以所求模长为1. （2）①由函数的“相关向量”为，得， 由，得，在中，由余弦定理得， 则， ，当且仅当时取等号，， 所以周长的最大值为 ②由①知， ，而， 即，当且仅当时取等号，于是， 令，则 所以的取值范围为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$