精品解析：安徽省六安市霍邱县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

霍邱县2024~2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 7，8，9 B. 8，15，17 C. 1，1，2 D. 2，3，4 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 4. 方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 5. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则的度数和为（ ） A B. C. D. 6. 若一组数据2，4，x，6，8的平均数是6，则这组数据的方差是（ ） A. 2 B. 8 C. 2 D. 40 7. 如图，在平行四边形中，点、分别在、延长线上，且满足．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为(　　) A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 9. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 10. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分） 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为___________． 12. 已知方程的两根是、，则代数式的值为_____ 13. 如图，正方形的顶点分别在轴，轴上，是菱形的对角线．若，则点的坐标是___________． 14. 如图，已知矩形中，，，点M，N分别在边，上，沿着折叠矩形，使点B，C分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合）． （1）若为线段的中点，则____________； （2）折痕的长度的取值范围为_____________． 三、解答题（本大题共有9个小题，共计90分） 15. 计算： 16. 解方程： 17. 如图，的三个顶点坐标分别为，求的周长与边上的高． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 19. 下面是小明设计“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 20. 为了解七、八年级学生对消防知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了消防知识的测试，现从中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生成绩分为A、B、C、D四个等级．分别是A：；B：；C：；D：，其中，七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，88，82，89．下图为八年级学生成绩的扇形统计图： 八年级学生成绩扇形统计图 两组数据的平均数，中位数，众数，方差如下表： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 八年级 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：____________，____________，______________． （2）根据以上数据，你认为在此次消防知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可） （3）若该校七年级有800名学生参加测试，八年级有760名学生参加测试，请估计两个年级参加测试的学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 21. 如图，在中，，为边上的中线，过C点作，连接，且． （1）求证：四边形菱形 （2）若，，求四边形的面积 22. 某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： （1）当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利___________元． （2）为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ （3）在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 23. 数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作． （1）如图1，“雅思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论； （2）“雅学”小组的同学在图1基础上连接，得到图2，发现图2中线段与之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由； （3）“雅问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，，当时，连接，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 霍邱县2024~2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．根据最简二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 7，8，9 B. 8，15，17 C. 1，1，2 D. 2，3，4 【答案】B 【解析】 【分析】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，由此求解即可． 【详解】解：A、∵72+82≠92，∴此选项不符合题意； B、∵82+152＝172，∴此选项符合题意； C、∵12+12≠22，∴此选项不符合题意； D、∵22+32≠42，∴此选项不符合题意． 故选B． 【点睛】考查了勾股数，说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…. 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，得到，求解即可． 【详解】要使在实数范围内有意义， ∴ 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0． 4. 方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加1，再进行配方，即可得出答案． 【详解】x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， ∴方程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，m＝1，n＝5， 故选A． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法的步骤是本题的关键，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则的度数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案．本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 若一组数据2，4，x，6，8的平均数是6，则这组数据的方差是（ ） A. 2 B. 8 C. 2 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的意义，可求出x的值，再根据方差的计算公式，求出这组数据的方差，进而做出选择即可． 【详解】解：由题意得，2+4+6+x+8=6×5， 解得：x=10， S2= [(2−6)2+(4−6)2+(6−6)2+(10−6)2+(8−6)2]=8, 故选：B． 【点睛】考查平均数、方差的意义和计算方法，掌握平均数、方差的意义和计算方法是解决问题的关键． 7. 如图，在平行四边形中，点、分别在、的延长线上，且满足．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．根据平行四边形的性质，，可得是等腰三角形，再根据，可得四边形是平行四边形，根据，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平四边形， ，，， ， ， ， ， 是等腰三角形，即， ，，点在的延长线上， ， ， ， 故选：C 8. 在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为(　　) A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 连接，， 点和点分别是和的中点， 是的中位线， ． 同理可得， ， ，， 四边形是平行四边形． ， ，且， ， 平行四边形是菱形， 与互相垂直平分． 故选：A． 9. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 10. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值． 【详解】解：∵AB＝3，BC＝4， ∴矩形ABCD的面积为12，AC＝， ∴AO＝DO＝AC＝， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为3， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF， ∴3＝××EO+×EF， ∴5（EO+EF）＝12， ∴EO+EF＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形性质是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分） 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式的被开方数相等，据此列出方程求解． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：2． 12. 已知方程的两根是、，则代数式的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，计算多项式乘多项式，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后将变形为，再将与的值代入求值即可． 【详解】解：方程的两根是、， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得： ，， ， 故答案为：． 13. 如图，正方形的顶点分别在轴，轴上，是菱形的对角线．若，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，菱形的性质，正方形的性质，根据题意作出辅助线，利用菱形的性质判断出是等腰三角形是解题的关键． 过点作于点，根据四边形是菱形可知，可得出是等腰三角形，即可得到，再根据勾股定理求出即可得出结论． 【详解】解：过点作于点， 四边形是菱形， ， 是等腰三角形， 点是的中点， ， ， 四边形是正方形， ， ∴， ， 故答案为． 14. 如图，已知矩形中，，，点M，N分别边，上，沿着折叠矩形，使点B，C分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合）． （1）若为线段的中点，则____________； （2）折痕的长度的取值范围为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）设，则，运用勾股定理计算即可． （2）根据垂线段最短，可得当时，取得最小值，当与点A重合时，取得最大值，运用折叠性质，勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵矩形中，，，沿着折叠矩形，为线段的中点， ∴； 设，则， ∴， ∴， 解得， 故答案：． （2）根据垂线段最短，可得当时，取得最小值， ∵矩形中，，，， ∴四边形是矩形， ∴； 当与点A重合时，取得最大值， ∵矩形中，，，沿着折叠矩形， ∴； 设，则， ∴， ∴， 解得． ∵矩形中，沿着折叠矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； 过点N作于点E， 则四边形是矩形， ∴； ∴， ∴， 故折痕的长度的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共有9个小题，共计90分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键；先计算二次根式的乘除法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 16. 解方程： 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程－因式分解法．利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴， 即，， 解得：，． 17. 如图，的三个顶点坐标分别为，求的周长与边上的高． 【答案】周长为；高为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，等积法求高，根据勾股定理求出三边的长，周长公式求出周长，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，等积法求出边上的高即可． 【详解】解：由题意可得：，， 则的周长为：； 因为 ∴是直角三角形， ∴边上的高为：． 18. 已知关于一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2），方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【小问1详解】 证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 19. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）作图见解答过程； （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形． 【小问1详解】 四边形为所求作的菱形． 【小问2详解】 ，， ， 在中，． 即． 四边形为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）． ， 四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：，，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 20. 为了解七、八年级学生对消防知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了消防知识的测试，现从中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生成绩分为A、B、C、D四个等级．分别是A：；B：；C：；D：，其中，七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，88，82，89．下图为八年级学生成绩的扇形统计图： 八年级学生成绩扇形统计图 两组数据的平均数，中位数，众数，方差如下表： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 八年级 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：____________，____________，______________． （2）根据以上数据，你认为在此次消防知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可） （3）若该校七年级有800名学生参加测试，八年级有760名学生参加测试，请估计两个年级参加测试的学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】（1）88；；35 （2）八年级成绩更好，理由见解析 （3）544人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、平均数、中位数、方差，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数及方差的意义分析即可； （3）用七、八年级的学生数分别乘以样本中成绩优秀人数所占比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：由题意得，七年级学生的成绩众数； 八年级等级、的学生成绩共有（人）， 由题意得，八年级学生的成绩从小到大排列后第10位、第11位分别为87、88， 八年级学生的成绩中位数； 八年级等级C的学生成绩所占百分比为，即． 故答案为：88；；35． 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好，理由如下： 七、八年级学生成绩的平均数都是分，而八年级学生成绩的中位数分高于七年级学生成绩的中位数86分（答案不唯一）． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级参加测试的学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有544人． 21. 如图，在中，，为边上的中线，过C点作，连接，且． （1）求证：四边形为菱形 （2）若，，求四边形的面积 【答案】（1）见解析 （2）36 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质、平行线的性质及角的代换证明，推出，得出四边形为平行四边形，进而可得结论； （2）先根据直角三角形的性质和菱形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可求出的面积，而，进而求解． 【小问1详解】 证明：∵，为边上的中线， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 【小问2详解】 ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． 22. 某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： （1）当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利___________元． （2）为了更多让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ （3）在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 【答案】（1）14000 （2）每盒应降价40元 （3）本次销售活动中每天利润不能达到15000元，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，一元二次方程的根的判别式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据每盒的利润数量总利润求解即可； （2）根据每天销售这种节能材料获利达14400元，列一元二次方程，求解即可； （3）若销售活动中每天利润能达到15000元，得到方程，再根据根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，（元）， 故答案为：14000； 【小问2详解】 解：设每盒应降价元，根据题意，得： 化简方程，得： 解得：或， 因为更多的让利消费者，所以每盒应降价40元． 答：每盒应降价40元． 【小问3详解】 解：本次销售活动中每天利润不能达到15000元，理由如下： 设每盒应降价元，根据题意，得： 化简方程，得：， ， ∴方程无实数解， 所以，本次销售活动中每天利润不能达到15000元． 23. 数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作． （1）如图1，“雅思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论； （2）“雅学”小组的同学在图1基础上连接，得到图2，发现图2中线段与之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由； （3）“雅问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，，当时，连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质、角平分线的性质和正方形的判定方法，进行证明即可； （2）连接交于点O，连接，由（1）得四边形为正方形，，然后由线段垂直平分线的性质即可证明结论； （3）过点作交于点，延长，交的延长线于点，证明四边形为菱形，可得，进而得到，最后再运用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 证明：四边形为矩形， ， ， 四边形平行四边形， 平行四边形是矩形， 平分， ， ， ， 矩形为正方形． 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接交于点，连接，如图： 由（1）得，四边形是正方形， ， 垂直平分， 四边形为矩形， ， ． 【小问3详解】 解：过点作交于点，延长，交的延长线于点，如图所示： 由题意得四边形为平行四边形， ， 又易得四边形为菱形， ， ， ， ， ， 线段的长为． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及勾股定理、平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，学会添加辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$