专题 2.2 立方根（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 2.2 立方根 目录 一.知识梳理 1 （一）立方根定义 1 （二）立方根的性质 1 （三）开立方定义 1 二．题型分类精析 2 【题型1】立方根概念理解 2 【题型2】求—个数的立方根 2 【题型3】已知一个数的立方根,求这个数 2 【题型4】与立方根有关的规律探索 2 【题型5】立方根的实际应用 3 【题型6】算术平方根和立方根的综合应用 4 三．同步练习 4 【基础巩固（16题）】 4 【能力提升（16题）】 6 【中考真题8题】 8 一.知识梳理 （一）立方根定义 1.立方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的立方根（也叫做三次方根）. 2.立方根的符号表达：每个数都只有一个立方根，表示为. （二）立方根的性质 立方根的性质：正数有一个立方根；负数有一个立方根；0的立方根是0本身. （三）开立方定义 开立方定义：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数，表示为（a为任何数） 二．题型分类精析 【题型1】立方根概念理解 【例题 1】 （2024八年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，求的值． 【变式1】 （24-25八年级上·河北邢台·期中）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25八年级下·上海静安·期末）方程的根是 ． 【题型2】求—个数的立方根 【例题2】 （23-24七年级下·广东肇庆·期中）计算求值： （1）计算．； （2）已知，求的值． 【变式1】 （24-25七年级下·安徽黄山·期末）若的立方为，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 【变式2】 （24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，都是有理数，观察表中的运算，则 ． ，的运算 运算的结果 10 【题型3】已知一个数的立方根,求这个数 【例题 3】 （24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知的算术平方根是3，的立方根为． （1）求的值； （2）求的平方根． 【变式1】 （24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）若的立方根是4，则的平方根是（   ） A． B． C．4 D．8 【变式2】 （24-25七年级下·甘肃武威·期末）已知一个数的立方根为，则这个数为 ． 【题型4】与立方根有关的规律探索 【例题4】 （24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【变式1】 （24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【变式2】 （24-25七年级下·全国·假期作业）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【题型5】立方根的实际应用 【例题 5】 如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）这个魔方的棱长为________； （2）图中四边形为正方形，求出此正方形的面积及其边长； （3）如图2把正方形放到数轴上，使得与重合，那么在数轴上表示的数为________． 【变式1】 （24-25七年级下·广西桂林·期末）如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 【变式2】 （24-25八年级下·上海徐汇·期末）方程的根是 ． 【题型6】算术平方根和立方根的综合应用 【例题 6】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 【变式1】 （2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【变式2】 （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 三．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）一个数的平方根与这个数的立方根相等，这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．1或0 2．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．算术平方根是3 B．的平方根是 C．0的算术平方根是0 D．0.1的立方根是0.001 3．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 6．（24-25七年级下·北京丰台·期末）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）立方根等于本身的非负数是 ． 8．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）若，则 ． 9．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）若，则 ． 10．（22-23七年级下·广西南宁·期中）正方体的体积为7，则正方体的棱长为 ． 11．（21-22七年级下·黑龙江鹤岗·期末）的算术平方根为2，则x的立方根为 ． 12．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）有一组按规律排列的数：，则第n个数是 ；这组数的前1000个数中，无理数有 个． 三、解答题 13．（24-25七年级下·山西忻州·期中）求下列各式中x的值： （1）； （2）． 14．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． （1）求，的值； （2）求的平方根． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）把一个长、宽、高分别为的长方体铁块熔化后铸成一个正方体铁块（不计损耗），这个正方体的棱长是多少分米（结果保留小数点后两位）？ 16．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·山西·期中）体积为5的正方体棱长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 5．（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·期中）下列判断：①10的平方根是；②与互为相反数；③0.1的算术平方根是0.01；④，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（24-25七年级下·北京·期中）若，则的立方根是 ． 8．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知的平方根是，的立方根是，则 ． 9．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得： ． 10．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为 ． 11．（21-22七年级下·四川绵阳·阶段练习）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 12．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当时，．由此解决下列问题： （1）若，则 ； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）计算： （1）； （2）． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根分别是和． （1）求a的值； （2）求的立方根． 15．（24-25七年级下·重庆开州·期末）如图，数轴上点表示的数是，将点向右平移个单位长度得到点． （1）直接写出点表示的数； （2）已知点也在数轴上，并且位于原点与点之间，点表示的数为，求的值； （3）已知，两点也在数轴上，两点表示的数分别为，，点表示的数是的平方根，且点在点右侧，点表示的数是的立方根，求的立方根． 16．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）【发现】①；②；③；④；…… 根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：___________． 【归纳】等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数，，若_____，则；反之也成立． 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： 若与的值互为相反数，求的值． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.13133 2．（2024·山东烟台·中考真题）下列实数中的无理数是（    ） A． B．3.14 C． D． 3．（2023·四川巴中·中考真题）下列各数为无理数的是（    ） A．0.618 B． C． D． 4．（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·江西·中考真题）化简： 6．（2025·浙江·中考真题） ． 7．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算： ． 8．（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.2 立方根 目录 一.知识梳理 1 （一）立方根定义 1 （二）立方根的性质 1 （三）开立方定义 1 二．题型分类精析 2 【题型1】立方根概念理解 2 【题型2】求—个数的立方根 2 【题型3】已知一个数的立方根,求这个数 4 【题型4】与立方根有关的规律探索 5 【题型5】立方根的实际应用 7 【题型6】算术平方根和立方根的综合应用 9 三．同步练习 10 【基础巩固（16题）】 10 【能力提升（16题）】 17 【中考真题8题】 25 一.知识梳理 （一）立方根定义 1.立方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的立方根（也叫做三次方根）. 2.立方根的符号表达：每个数都只有一个立方根，表示为. （二）立方根的性质 立方根的性质：正数有一个立方根；负数有一个立方根；0的立方根是0本身. （三）开立方定义 开立方定义：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数，表示为（a为任何数） 二．题型分类精析 【题型1】立方根概念理解 【例题 1】 （2024八年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，求的值． 【答案】 解：本题考查了立方根的性质以及相反数的定义．由立方根的性质及相反数的定义可得，据此即可求解； 解：∵与互为相反数， ∴， 解得． 【变式1】 （24-25八年级上·河北邢台·期中）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的定义，由即可求解，掌握立方根的性质是解题的关键． 解：∵， ∴的相反数是， 故选：． 【变式2】 （24-25八年级下·上海静安·期末）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的概念，根据立方根的概念即可求解，掌握立方根的概念是解题的关键． 解：∵， ∴， 故答案为：． 【题型2】求—个数的立方根 【例题2】 （23-24七年级下·广东肇庆·期中）计算求值： （1）计算．； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查实数的混合运算，立方根的计算， （1）先根据算术平方根，立方根，绝对值的性质化简，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据求一个数的立方根的计算方法进行计算即可求解． 解：（1）解： ； （2）解：， 移项得，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】 （24-25七年级下·安徽黄山·期末）若的立方为，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键，根据立方根的定义解答即可． 解：由题意得：， 则， 解得：． 故选：C． 【变式2】 （24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，都是有理数，观察表中的运算，则 ． ，的运算 运算的结果 10 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．先建立二元一次方程组，利用加减消元法可得的值，再代入计算立方根即可得． 解：由题意得：， 解得， 则， 故答案为：3． 【题型3】已知一个数的立方根,求这个数 【例题 3】 （24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知的算术平方根是3，的立方根为． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）运用算术平方根和立方根知识求得a，b的值； （2）将a，b的值代入，再运用平方根知识进行求解． 解：（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， （2）解：当时，， ∴16的平方根为． 【变式1】 （24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）若的立方根是4，则的平方根是（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根和立方根，首先根据a的立方根是4求出a，然后根据平方根的定义求出a的平方根． 解：∵a的立方根是4， ∴， ∴a的平方根是：， 故选：A． 【变式2】 （24-25七年级下·甘肃武威·期末）已知一个数的立方根为，则这个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握立方根的概念是关键． 根据立方根的定义解答即可． 解：∵一个数的立方根为， ∴这个数是． 故答案为：． 【题型4】与立方根有关的规律探索 【例题4】 （24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 【变式1】 （24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 解：， ∴， 故选B． 【变式2】 （24-25七年级下·全国·假期作业）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ② 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． （1）利用立方根的性质求解即可； （2）①利用立方根的性质求解即可； ②利用立方根的性质求解即可． 解：（1）； ； ； ； ； 故答案为：，，1 ，10 ，100； （2）①； ； 故答案为：，； ② 故答案为：． 【题型5】立方根的实际应用 【例题 5】 如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）这个魔方的棱长为________； （2）图中四边形为正方形，求出此正方形的面积及其边长； （3）如图2把正方形放到数轴上，使得与重合，那么在数轴上表示的数为________． 【答案】（1）4；（2）正方形的面积是8，边长是；（3） 【分析】本题考查的是立方根、算术平方根在实际生活中的运用，实数与数轴，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． （1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长； （2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长； （3）根据两点间的距离公式可得出D在数轴上表示的数． 解：（1）解：由题意得，这个魔方的棱长为． 故答案为：4； （2）解：∵魔方的棱长为4， ∴小立方体的棱长为2， ∴正方形的面积为：， 边长为：， 答：正方形的面积是8，边长是； （3）解：∵A与重合，， ∴D在数轴上表示的数为． 故答案为：． 【变式1】 （24-25七年级下·广西桂林·期末）如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键．先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴棱长应变为原来的2倍． 故选：A． 【变式2】 （24-25八年级下·上海徐汇·期末）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型6】算术平方根和立方根的综合应用 【例题 6】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是： （1）由算术平方根和立方根的定义可求出，，即得出，，，代入中求值，再求其立方根即可； （2）由被开方数为非负数即可求出，由算术平方根的定义可求出，代入中求值，再求其平方根即可． 解：（1）∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的立方根为； （2）根据题意得， ∴， ∴ ∵n的算术平方根是5， ∴， ∴的平方根为． 【变式1】 （2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式2】 （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 解：由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 三．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）一个数的平方根与这个数的立方根相等，这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．1或0 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，立方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根，解答即可． 解：根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根， 故选：C． 2．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．算术平方根是3 B．的平方根是 C．0的算术平方根是0 D．0.1的立方根是0.001 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根．根据平方根，立方根，算术平方根，逐项分析判断即可求解． 解：A、，则算术平方根是，故该选项不符合题意；     B、没有平方根，故该选项不符合题意； C、的算术平方根是，故该选项符合题意；     D、的立方根是，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查立方根、平方根，先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入计算即可． 解：∵是数的立方根，是数的一个平方根， ∴， 则， 故选：C． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 5．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 解：， ∴， 故选B． 6．（24-25七年级下·北京丰台·期末）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 二、填空题 7．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）立方根等于本身的非负数是 ． 【答案】0和1 【分析】此题考查了立方根，根据立方根的意义进行解答即可． 解：立方根等于本身的非负数是0和1， 故答案为：0和1 8．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和立方根，代数式求值，由平方根和立方根的定义可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】直接根据立方根的概念即可求解． 解：， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了已知一个数的立方根，求这个数，熟练掌握立方根的概念：如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根，是解题的关键． 10．（22-23七年级下·广西南宁·期中）正方体的体积为7，则正方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据正方体体积公式及立方根定义解答． 解：设这个正方体的棱长为，根据题意得， ， ， 故答案为：． 11．（21-22七年级下·黑龙江鹤岗·期末）的算术平方根为2，则x的立方根为 ． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的定义求出x的值，然后根据立方根的定义求解即可． 解：∵的算术平方根为2， ∴， ∴， ∴， ∴x的立方根为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了算术平方根和立方根，熟知二者的定义是解题的关键． 12．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）有一组按规律排列的数：，则第n个数是 ；这组数的前1000个数中，无理数有 个． 【答案】 994 【分析】本题考查了立方根，数字规律的探索，找到规律是解题的关键；由再结合其它数可以得到规律：是一组数的立方根，被开方数是从2开始的偶数，据此可完成第一空；根据，可确定前1000项中的有理数，从而可确定无理数的个数，完成第二空． 解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵， 即前1000个数中是有理数的有2，4，6，8，10，12共6个，其余的数都是无理数， 而，即无理数有994个； 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·山西忻州·期中）求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握二者的定义是解题的关键； （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， 则； （2）解：∵， ∴， ∴， 则． 14．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 解：（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，； （2）解：由题知，， ∵， ∴的平方根是． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）把一个长、宽、高分别为的长方体铁块熔化后铸成一个正方体铁块（不计损耗），这个正方体的棱长是多少分米（结果保留小数点后两位）？ 【答案】 【分析】本题考查了几何体的体积，根据题意列出方程是解题关键． 先根据长方体体积公式算出长方体铁块体积，因为熔化后铸造成正方体体积不变，再根据正方体体积公式求其棱长． 设正方形的边长为，根据题意列出算式即可． 解：设正方形的边长为， 由题意可得：， 解得， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·山西·期中）体积为5的正方体棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体体积公式进行计算即可． 解：设正方体的棱长为a，则有： 解得， 所以，正方体的棱长为， 故选：B 【点拨】本题主要考查了立方根的应用，正确掌握立方体的体积公式是解答本题的关键． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数的运算，先根据立方根和算术平方根的定义得出a、b的值，再代入计算即可． 解：∵是数a的立方根，是数b的算术平方根， ∴，， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与立方根的基本概念及运算，熟练掌握平方根与立方根的基本概念及运算是解题的关键．根据平方根与立方根的基本概念及运算法则逐一验证即可． 解：A、因为，所以，所以A选项错误，不符合题意； B、因为，所以B选项错误，不符合题意； C、因为，所以C选项错误，不符合题意； D、因为，所以，所以D选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 5．（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 6．（24-25七年级下·全国·期中）下列判断：①10的平方根是；②与互为相反数；③0.1的算术平方根是0.01；④，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根的定义及非负数的性质，熟练掌握“正数平方根的特征、立方根的符号性质、算术平方根的计算、非负数和为的条件”是解题的关键．依次根据平方根、立方根、算术平方根的定义以及非负数的性质，对四个判断进行分析． 解：∵ 正数的平方根有两个，且互为相反数，是正数， ∴ 的平方根是，故①正确． ∵ 立方根性质：，即， ∴ 与互为相反数，故②正确． ∵ 算术平方根是非负数，且，， ∴ 的算术平方根是，不是，故③错误． ∵ 非负数（算术平方根、平方数）之和为时，各项均为， ∴ 由，得，， 解得，，则，故④正确． 综上，①②④正确，共个， 故选：． 二、填空题 7．（24-25七年级下·北京·期中）若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负性以及立方根的定义，根据绝对值和算术平方根的非负性求出，再求解立方根即可． 解：，，， ，， ，， ， ， 的立方根是， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知的平方根是，的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据题意求出值，再代入计算即可． 解：的平方根是， ， ； 的立方根是， ， ； ； 故答案为：． 9．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根有关计算，根据题意得出，，代入求解即可得到答案． 解：∵是数a的立方根，是数b的一个平方根， ∴，， ∴， 故答案为：1． 11．（21-22七年级下·四川绵阳·阶段练习）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得． 解：由数轴可知，， ，，， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 12．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当时，．由此解决下列问题： （1）若，则 ； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为 ． 【答案】 2.65 【分析】本题考查了相反数的定义、立方根、平方根、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意可知与互为相反数，即可得出答案； （2）根据题意得出，解方程即可得出的值，根据平方根是它本身的数为，求出的值，从而得出的值，再根据立方根的定义计算即可． 解：（1）根据题意可知与互为相反数， 故， 故答案为：2.65； （2）根据题意，得， 解得． 的平方根是它本身， ， 解得． ， 故的立方根为， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，算术平方根，立方根，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）先根据立方根、算术平方根、平方的定义化简，然后计算即可； （2）先根据立方根、算术平方根的定义化简，然后计算即可． 解：（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根分别是和． （1）求a的值； （2）求的立方根． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 解：（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）解：由可得， ， ， 的立方根是3． 15．（24-25七年级下·重庆开州·期末）如图，数轴上点表示的数是，将点向右平移个单位长度得到点． （1）直接写出点表示的数； （2）已知点也在数轴上，并且位于原点与点之间，点表示的数为，求的值； （3）已知，两点也在数轴上，两点表示的数分别为，，点表示的数是的平方根，且点在点右侧，点表示的数是的立方根，求的立方根． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了数轴上点的平移，绝对值的几何意义，平方根，立方根，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据数轴上点的平移规律，即可写出表示的数； （2）根据题意得到，再对绝对值化简求值即可； （3）由题意得，，代入求值即可． 解：（1）解：点表示的数是，将点向右平移个单位长度得到点， B表示：； （2）解：， ， 所以，， 所以； （3）解：点表示的平方根，且点在点右侧 点表示的是的立方根 的立方根为． 16．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）【发现】①；②；③；④；…… 根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：___________． 【归纳】等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数，，若_____，则；反之也成立． 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： 若与的值互为相反数，求的值． 【答案】发现：（答案不唯一）归纳：；应用： 【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的概念，根据题意正确找出规律是解题的关键． 发现：根据题目给出的规律解答； 归纳：根据已知的等式规律即可求解； 应用：根据题意列出方程，解方程求出x，根据算术平方根的概念解答即可． 解：发现：根据题意；如（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一） 归纳：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数，，若，则；反之也成立； 故答案为：； 应用：与的值互为相反数； ，                 解得，                           则． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.13133 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可． 解：A、是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、0.13133是有理数，不符合题意； 故选A． 2．（2024·山东烟台·中考真题）下列实数中的无理数是（    ） A． B．3.14 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 解：A、是有理数，不符合题意； B、3.14是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选C． 3．（2023·四川巴中·中考真题）下列各数为无理数的是（    ） A．0.618 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可． 解：由题意知，0.618，，，均为有理数， 是无理数， 故选：C． 【点拨】本题考查了无理数，立方根．解题的关键在于熟练掌握无理数是无限不循环小数． 4．（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得． 解：A、，是有理数，则此项符合题意； B、是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意； C、是无理数，则此项不符合题意； D、是无理数，则此项不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键． 二、填空题 5．（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 解：∵， ∴． 故答案为2． 6．（2025·浙江·中考真题） ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 解：， 故答案为：2． 7．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查实数的混合混算，先进行开方和乘方运算，再进行加法运算即可． 解：原式； 故答案为：3． 8．（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 【答案】 【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果． 解：根据题意得：， ， 故答案为： 【点拨】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$