专题 2.1 平方根（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 2.1 平方根 目录 一.知识梳理 1 （一）平方根 1 （二）算术平方根 2 （三）算术平方根与平方根区别与联系 2 二．题型分类精析 2 【题型1】求一个数的平方根 2 【题型2】已知一个数的平方根，求这个数 2 【题型3】利用平方根解方程 3 【题型4】求一个数的算术平方根 3 【题型5】利用算术平方根的非负性求解 3 【题型6】算术平方根的估算问题 4 【题型7】算术平方根的规律探索问题 4 【题型8】算术平方根的实际应用问题 5 【题型9】平方根与算术平方根综合 6 三．同步练习 6 【基础巩固（16题）】 8 【能力提升（16题）】 6 【中考真题5题】 8 一.知识梳理 （一）平方根 1.平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（也叫做二次方根）. 2.平方根的表示：一个数（0）的正的平方根，用符号“”表示，叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，的负的平方根记做读作“负根号”，因此非负数的平方根常常记作，读作：“正负根号”. 3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. （二）算术平方根 1.算术平方根的定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，则这个正数叫就叫做的算术平方根.记为“”，读作“根号”.特别地，我们规定0的算术平方根是0，即. 2.算术平方根的性质：一个正数有一个算数平方根，是;0有一个算术平方根，是它本身；负数没有算术平方根. 3.算术平方根的非负性：对于的算术平方根具有双重非负性：（1）被开方数0；（2）0. （三）算术平方根与平方根区别与联系 1.平方根与算术平方根的区别 （1）一个正数 （2）0的平方根、算术平方根都是0； （3）负数都没有平方根、算术平方根. 2.平方根与算术平方根的联系： （1）二者有着包含关系：平方根中包括算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的哪一个；（2）存在条件相同；非负数才有平方根和算术平方根. 二．题型分类精析 【题型1】求一个数的平方根 【例题 1】 （2025七年级下·天津·专题练习）求下列各数的平方根： （1）4 （2） （3）0.01 【变式1】 （24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． （1）0.36； （2）； （3）． 【题型2】已知一个数的平方根，求这个数 【例题 2】 （24-25七年级下·广西南宁·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与． （1）求的值及这个正数； （2）若，求的值． 【变式1】 （23-24七年级下·河南漯河·期中）若与是某个正数的平方根，则这个正数是 ． 【变式2】 （24-25七年级下·云南楚雄·期末）已知一个正数的平方根是和，则的值是（    ） A．4 B． C．36 D． 【题型3】利用平方根解方程 【例题3】 （24-25七年级下·甘肃陇南·期中）求下列各式中的值． （1）； （2）． 【变式1】 （23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）已知，则x的值是 ． 【变式2】 （23-24八年级上·四川乐山·期末）如果，则（   ） A．10 B． C．5 D． 【题型4】求一个数的算术平方根 【例题 4】 （24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： （1）； （2）0.04； （3）． 变式 （24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： （1）； （2）； （3）． 【题型5】利用算术平方根的非负性求解 【例题 5】 （22-23七年级下·四川德阳·期中）已知的算术平方根是5，b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）求的平方根． 【变式1】 （2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25八年级下·广西防城港·期中）已知实数、满足，则代数式的值为 ； 【题型6】算术平方根的估算问题 【例题6】 （24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． （1）直接写出小正方形的边长为___________； （2）小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 【变式1】 （24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25七年级下·山东滨州·期中）根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 【题型7】算术平方根的规律探索问题 【例题 7】 （24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）规律探究，观察，即，即． （1）猜想等于什么？并通过计算验证你的猜想； （2）写出符合这一规律的一般等式（用含有n的式子表示出来）． 【变式1】 （24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 【变式2】 （21-22七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型8】算术平方根的实际应用问题 【例题8】 （24-25七年级下·山东济宁·期中）现有一张面积为的长方形纸片，它的长与宽的比为． （1）求长方形纸片的长和宽； （2）要在这张长方形纸片上裁剪一个面积为正方形纸片，试判断能否裁剪出来，并说明理由． 【变式1】 （24-25七年级下·全国·假期作业）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是 ． 【变式2】 （24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，用面积为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是（　　） A． B．3 C． D．6 【题型9】平方根与算术平方根综合 【例题9】 （24-25七年级下·山东德州·阶段练习）计算 （1）已知的平方根为的算术平方根为4，求的平方根． （2）求的值： 【变式1】 （2022·河北张家口·一模）与结果相同的是（    ） A． B． C． D．方程的解 【变式2】 （23-24七年级下·全国·期末）若，则 ． 三．同步练习​ 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南开封·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．5是25的算术平方根 B．的平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是 2．（24-25七年级下·北京·期中）若m，n为实数，且，则的值为（   ） A．1 B．0 C．81 D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 4．（2025七年级下·全国·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 5．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）已知，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·河南驻马店·三模）若的值是有理数，则a的最小偶数值是 ． 8．（24-25七年级下·山东烟台·期中）已知，则的值为 ． 9．（24-25七年级下·天津河东·期末）如果是2025的两个平方根，那么 ． 10．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是 ． 11．（23-24七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）若m，n满足，则是 ． 12．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 三、解答题 13．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）计算． （1）； （2）． 14．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）探究发散： （1）完成下列填空①，②，③___________． ④，⑤，⑥___________． （2）根据上述计算结果，若，则___________． （3）利用你发现的规律完成下题：有理数在数轴上的位置如图所示． 化简： 15．（23-24七年级下·安徽六安·期中）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m． （1）实数m的值是______； （2）求的值； （3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 16．（24-25七年级下·福建莆田·期中）定理：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数．为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中为有理数，求和的值； （2）如果，其中m、n为有理数，求的值． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 2．（2024·四川内江·中考真题）16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2023·山东滨州·中考真题）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ． 5．（2023·湖北荆州·中考真题）若，则 ． 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（黑龙江省牡丹江市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江西宜春·期末）若一个正数的两个平方根是和，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D．49 3．（23-24八年级下·四川巴中·期中）若实数x，y满足，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为（　　） A．17 B．17或22 C．22 D．13 4．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）估计的值应该在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．5和6之间 5．（24-25七年级下·山东济宁·期末）二十五宝玺为清代乾隆皇帝指定的代表国家政权的二十五方御用国宝的总称，其中大清受命之宝，白玉质，面是正方形．已知玉玺面的面积为，则其边长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）实数、在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A． B．2 C． D． 二、填空题 7．（2025·湖南湘潭·一模）计算： ． 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）化简： ． 9．（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）已知是一个正数，它的一个平方根比另一个平方根大2，则的值为 ． 10．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知，若，则 ． 11．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）若a、b为等腰的两边，且a、b满足，则的周长为 ． 12．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）求下列各式中的值． （1）； （2）． 14．（23-24七年级下·北京密云·期末）已知一个正实数a的两个平方根分别是x和． （1）若，求a的值． （2）求代数式的值． 15．（24-25七年级下·湖南常德·期中）已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，完成下列各题． （1）用“”“”或“”填空； ___________0，______________0，______________0，_____________0； （2）化简：． 16．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在学习了平方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确． 解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或．① （i）当时，解得，，，∴这个数为16；② （ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③ 综上所述，这个数为16或4． （1）①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________； （2）已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.1 平方根 目录 一.知识梳理 1 （一）平方根 1 （二）算术平方根 2 （三）算术平方根与平方根区别与联系 2 二．题型分类精析 2 【题型1】求一个数的平方根 2 【题型2】已知一个数的平方根，求这个数 3 【题型3】利用平方根解方程 5 【题型4】求一个数的算术平方根 6 【题型5】利用算术平方根的非负性求解 7 【题型6】算术平方根的估算问题 8 【题型7】算术平方根的规律探索问题 10 【题型8】算术平方根的实际应用问题 12 【题型9】平方根与算术平方根综合 14 三．同步练习 15 【基础巩固（16题）】 15 【能力提升（16题）】 23 【中考真题5题】 32 一.知识梳理 （一）平方根 1.平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（也叫做二次方根）. 2.平方根的表示：一个数（0）的正的平方根，用符号“”表示，叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，的负的平方根记做读作“负根号”，因此非负数的平方根常常记作，读作：“正负根号”. 3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. （二）算术平方根 1.算术平方根的定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，则这个正数叫就叫做的算术平方根.记为“”，读作“根号”.特别地，我们规定0的算术平方根是0，即. 2.算术平方根的性质：一个正数有一个算数平方根，是;0有一个算术平方根，是它本身；负数没有算术平方根. 3.算术平方根的非负性：对于的算术平方根具有双重非负性：（1）被开方数0；（2）0. （三）算术平方根与平方根区别与联系 1.平方根与算术平方根的区别 （1）一个正数 （2）0的平方根、算术平方根都是0； （3）负数都没有平方根、算术平方根. 2.平方根与算术平方根的联系： （1）二者有着包含关系：平方根中包括算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的哪一个；（2）存在条件相同；非负数才有平方根和算术平方根. 二．题型分类精析 【题型1】求一个数的平方根 【例题 1】 （2025七年级下·天津·专题练习）求下列各数的平方根： （1）4 （2） （3）0.01 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平方根．解题的关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 根据平方根的定义计算即可．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根． 解：（1）解： 的平方根为； （2）解：， 的平方根为； （3）解：， 的平方根为． 【变式1】 （24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． （1）0.36； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）没有平方根，理由见分析；（3）； 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题． （1）根据正数有两个平方根可得答案； （2）根据负数没有平方根可得答案； （3）根据正数有两个平方根可得答案． 解：（1）解：∵， ∴0.36有平方根，平方根为； （2）没有平方根，理由如下： ∵没有实数的平方等于， ∴没有平方根； （3）∵， ∴有平方根，平方根为． 【题型2】已知一个数的平方根，求这个数 【例题 2】 （24-25七年级下·广西南宁·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与． （1）求的值及这个正数； （2）若，求的值． 【答案】（1）的值为0，正数的值为4；（2）的值为1 【分析】本题考查平方根的意义及求平方根、一元一次方程的应用等知识点，掌握一个正数有两个平方根且互为相反数是解题的关键． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求y值即可，求出x的值即可； （2）将代入得到关于k的方程求解即可． 解：（1）解：由题意可知：，解得：； ∴． 答：求的值为0，正数的值为4 （2）∵， ∴，即，解得：． 答：求的值为1． 【变式1】 （23-24七年级下·河南漯河·期中）若与是某个正数的平方根，则这个正数是 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义，利用分类讨论思想求出的值是解此题的关键．根据平方根的定义得出或，求出，再求出的值，即可求出个正数． 解：∵与是一个正数的平方根， ∴或， 解得：或， ∴或1， ∴这个正数是或1， 故答案为：或1． 【变式2】 （24-25七年级下·云南楚雄·期末）已知一个正数的平方根是和，则的值是（    ） A．4 B． C．36 D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义（一个正数有两个平方根，且互为相反数）是解本题的关键．根据一个正数有两个平方根，且互为相反数列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可． 解：根据题意得：， 解得：， 故选：B． 【题型3】利用平方根解方程 【例题3】 （24-25七年级下·甘肃陇南·期中）求下列各式中的值． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键． （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 解：（1） ， 解得：，； （2） 或， 解得，； 【变式1】 （23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）已知，则x的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键． 解：， ， 解得或． 【变式2】 （23-24八年级上·四川乐山·期末）如果，则（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，运用平方根解方程．通过观察方程结构，利用平方差公式将原方程转化为关于的方程，结合非负性确定最终解． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【题型4】求一个数的算术平方根 【例题 4】 （24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： （1）； （2）0.04； （3）． 【答案】（1）；（2）0.2；（3）10 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）（2）（3）根据算术平方根的定义进行计算，即可作答． 解：（1）依题意，， （2）依题意，， （3）依题意，． 变式 （24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查算术平方根的概念，关键是掌握算术平方根的定义．如果一个正数的平方根等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此可计算． （1）由从而可得答案； （2）由从而可得答案； （3）由从而可得答案 解：（1）∵， 的算术平方根是； （2）∵， 的算术平方根是； （3）∵， 的算术平方根是 【题型5】利用算术平方根的非负性求解 【例题 5】 （22-23七年级下·四川德阳·期中）已知的算术平方根是5，b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查算术平方根和非负性，求一个数的平方根： （1）根据算术平方根的定义求出，非负性，求出的值即可； （2）先将的值代入，求出代数式的值，再求平方根即可． 解：（1）的算术平方根是5， ， b、c满足， ，， ，； （2）由（1）可知，， 25的平方根是． 【变式1】 （2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，不等式的性质和在数轴上表示不等式的解集．得出是解题的关键． 根据题意得出且，求解即可； 解：∵实数，满足，， ∴且， ∴，， ∴， 在数轴表示为， 故选：A． 【变式2】 （24-25八年级下·广西防城港·期中）已知实数、满足，则代数式的值为 ； 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握非负数的性质的应用是解题关键． 根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求出x、y的值，再代入计算即可． 解：， ，， ，， ， 故答案为：1． 【题型6】算术平方根的估算问题 【例题6】 （24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． （1）直接写出小正方形的边长为___________； （2）小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 【答案】（1）10；（2）能成功，理由见分析 【分析】本题主要考查了算术平方根，正方形的性质，长方形的性质，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． （1）利用正方形的性质和算术平方根的意义解答即可； （2）设长方形的长宽分别为，，长方形的面积公式和算术平方根的意义求得长方形的长，再与小正方形的边长作比较即可． 解：（1）解∶面积为大正方形拼成如图2所示的两个相同的小正方形，每个小正方形的面积为， 小正方形的边长为． 故答案为∶10； （2）解：在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，能成功． 理由∶依题意设长方形的长、宽分别为，， 则， 即， 解得（不符合题意，舍去），， 则长方形的长、宽分别为， ， 即， 小明可以剪出这样的长方形． 【变式1】 （24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了估计无理数以及算术平方根等知识，得出的大致范围是解题关键，首先利用，进而得出答案． 解：一个边长为的正方形的面积为30， ， ， ， 故选：C． 【变式2】 （24-25七年级下·山东滨州·期中）根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么开方的结果的小数点就向左移动一位，据此求解即可． 解：∵， ∴， 故答案为：． 【题型7】算术平方根的规律探索问题 【例题 7】 （24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）规律探究，观察，即，即． （1）猜想等于什么？并通过计算验证你的猜想； （2）写出符合这一规律的一般等式（用含有n的式子表示出来）． 【答案】（1）；见分析；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，类比题目中所给的运算方法进行计算是解决问题的关键. （1）类比题目中的计算方法解答即可 （2）根据算式规律写出一般等式，即可求解． 解：（1）， 验证：. （2） ∵左边右边 ∴ 【变式1】 （24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与算术平方根有关的规律探索，观察可知，第n排第n个数为，而同一排相邻的两个数，右边的那个数的开方数比前面的数的开方数大1，据此求解即可． 解：第1排，第1个数为1， 第2排第2个数为2， 第3排第3个数为3， 第4排第4个数为4， ……， 以此类推可知，第n排第n个数为， ∴第1排到第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）， 故答案为：． 【变式2】 （21-22七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 【题型8】算术平方根的实际应用问题 【例题8】 （24-25七年级下·山东济宁·期中）现有一张面积为的长方形纸片，它的长与宽的比为． （1）求长方形纸片的长和宽； （2）要在这张长方形纸片上裁剪一个面积为正方形纸片，试判断能否裁剪出来，并说明理由． 【答案】（1）长方形纸片的长和宽分别为，；（2）不能，理由见分析 【分析】本题考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根，是解题的关键： （1）设长为，宽为，根据面积公式进行求解即可； （2）求出正方形的边长与长方形的宽进行比较即可． 解：（1）设长为，宽为，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴长方形纸片的长和宽分别为，； （2）不能，理由如下： 由题意，正方形的边长为：， ∵， ∴不能裁剪出来． 【变式1】 （24-25七年级下·全国·假期作业）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的大小比较，根据算术平方根的定义即可求得答案． 解：设大正方形的边长为a，中正方形的边长为b，小正方形的边长为c， 根据题意，得， 故，， ∴， ∴b可能为， 故答案为： （答案不唯一）． 【变式2】 （24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，用面积为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的应用，由题意可得大正方形的面积为6，进而根据算术平方根的意义即可求解，掌握算术平方根的意义是解题的关键． 解：由题意得，大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故选：C． 【题型9】平方根与算术平方根综合 【例题9】 （24-25七年级下·山东德州·阶段练习）计算 （1）已知的平方根为的算术平方根为4，求的平方根． （2）求的值： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义及应用，解题的关键是根据定义列出方程求解未知数，再计算相关值． （1）根据平方根和算术平方根的定义列出方程，求出和的值，再计算的平方根． （2）通过移项、系数化为1，再根据平方根的定义求出的值． 解：（1）解：由题意得 解得， ∴， ∴的平方根是； （2） 解： ． 【变式1】 （2022·河北张家口·一模）与结果相同的是（    ） A． B． C． D．方程的解 【答案】C 【分析】先计算算术平方根可得，再化简绝对值、有理数的乘方、利用平方根解方程逐项判断即可得． 解：， ， ， 方程的解为， 故选：C． 【点拨】本题考查了算术平方根、利用平方根解方程等知识点，熟练掌握平方根的性质是解题关键． 【变式2】 （23-24七年级下·全国·期末）若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用算术平方根定义解方程，涉及算术平方根、平方根及立方根定义与求法，利用平方根、算术平方根及立方根的解法求解即可得到答案，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 解：， ，解得或， 故答案为或． 三．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（黑龙江省牡丹江市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根等知识点，掌握算术平方根和平方根的区别与联系成为解题的关键． 根据算术平方根、平方根的定义及性质逐项判断即可． 解：A．，故该选项错误，不符合题题意； B．表示算术平方根，结果应为非负数，即，故该选项错误，不符合题题意； C．，故，故该选项错误，不符合题题意； D．，则，正确，符合题意． 故选D． 2．（24-25七年级下·江西宜春·期末）若一个正数的两个平方根是和，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D．49 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数这一性质来求解 。 根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于a的方程，求解a后再计算x的值。 解：因为一个正数的两个平方根分别是和， 所以， 解得：， 则， 所以； 3．（23-24八年级下·四川巴中·期中）若实数x，y满足，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为（　　） A．17 B．17或22 C．22 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，由非负数的性质求出x和y的值，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系确定可能的边长组合，计算周长． 解：∵， ∴且， 解得． 以4和9为边长的等腰三角形有两种可能： 腰为4，底为9：此时三边为4、4、9． 但，不满足三角形三边关系，舍去． 腰为9，底为4：此时三边为9、9、4． ，，满足三角形三边关系． 符合条件的三角形周长为． 故选C． 4．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）估计的值应该在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式计算后进行估算即可，将原式进行正确的计算是解题的关键． 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式的值在6和7之间， 故选：A． 5．（24-25七年级下·山东济宁·期末）二十五宝玺为清代乾隆皇帝指定的代表国家政权的二十五方御用国宝的总称，其中大清受命之宝，白玉质，面是正方形．已知玉玺面的面积为，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，已知正方形面积为，求边长，根据正方形面积公式，边长等于面积的算术平方根即可得出结论． 解：设正方形边长为，则面积为， ， 综上，边长为， 故选：B． 6．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）实数、在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，绝对值，数轴，有理数的加减， 根据数轴上点的位置可得，且，再根据有理数的加减法法则计算判断，然后去掉绝对值计算即可． 解：根据题意，得，且， 原式． 故选：A． 二、填空题 7．（2025·湖南湘潭·一模）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根，理解其定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义计算即可． 解：． 故答案为： ． 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据一个非负数的平方根的平方等于原数可得答案. 解：， 故答案为： 9．（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）已知是一个正数，它的一个平方根比另一个平方根大2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根．设正数的一个平方根为，则另一个平方根为，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程进行求解即可． 解：设正数的一个平方根为，则另一个平方根为， 根据题意得， 解得， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知，若，则 ． 【答案】0.236 【分析】本题主要考查了积的算术平方根的性质，灵活运用此性质是本题的关键．根据积的算术平方根的性质即可解决． 解：， 则． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）若a、b为等腰的两边，且a、b满足，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解． 解：根据题意，， 解得， （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8， 不能组成三角形； （2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能组成三角形， 周长为． 故答案为：20． 12．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 三、解答题 13．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）求下列各式中的值． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键． （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 解：（1）解： ， 解得：，； （2）解： 或， 解得，； 14．（23-24七年级下·北京密云·期末）已知一个正实数a的两个平方根分别是x和． （1）若，求a的值． （2）求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，平方根的概念，熟知平方根的相关知识是解题的关键． （1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，则，即，再根据，利用整体代入法求解即可． 解：（1）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和，且， ∴； （2）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和， ∴，即， ∴． 15．（24-25七年级下·湖南常德·期中）已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，完成下列各题． （1）用“”“”或“”填空； ___________0，______________0，______________0，_____________0； （2）化简：． 【答案】（1），，，；（2） 【分析】本题考查了数轴，涉及有理数的大小比较，有理数的加减运算，完全平方公式，算术平方根的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由数轴可得，再根据有理数的运算法则即可判断式子的符号； （2）由数轴可得，，然后根据算术平方根的意义化简，再进行整式加减计算． 解：（1）解：由数轴可得， ∴，，， 故答案为：，，，； （2）解：由数轴可得，， ∴ ． 16．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在学习了平方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确． 解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或．① （i）当时，解得，，，∴这个数为16；② （ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③ 综上所述，这个数为16或4． （1）①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________； （2）已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数． 【答案】（1）③，算术平方根不能为负数；（2）25或 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键． （1）错误的在第③部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去． （2）根据一个数的算术平方根是，平方根是，即或，求出m的值，即可解答． 解：（1）解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或． （i）当时， 解得， ， ， ∴这个数为16； （ii）当时， 解得， ， 由这个数的算术平方根为，得 ， ∴不符合题意，舍去． 故答案为：③，算术平方根不能为负数． （2）∵一个数的算术平方根是，平方根是， ∴或． （i）当时， 解得， ， ， ∴这个数为25； （ii）当时， 解得， ， ， ∴这个数为； 综上所述，这个数为或． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南开封·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．5是25的算术平方根 B．的平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的性质及计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 根据平方根和算术平方根的性质，逐一分析选项． 解：A. 25的算术平方根是5，正确． B. ，9的平方根是，正确． C. 0的平方根和算术平方根均为0，正确． D. ，16的平方根是，但选项仅指出，错误． 故选：D． 2．（24-25七年级下·北京·期中）若m，n为实数，且，则的值为（   ） A．1 B．0 C．81 D． 【答案】A 【分析】本题考查平方与算术平方根的非负性，求代数式的值．根据平方和算术平方根的非负性求出m，n的值，再代入计算即可． 解：∵，，且， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，整体思想的正确运用是解题的关键． 根据已知，求出，再求出，根据得出，求出的值即可． 解：， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，绝对值和算术平方根的非负性，先根据非负数的性质和相反数的定义求出，，得出，最后根据平方根定义求出结果即可． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∵14的平方根为， ∴的平方根为． 故选：A 5．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）已知，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考了非负数的性质和各象限内点坐标的特征，求出a，b的值是解题的关键． 根据非负数的性质求出a，b的值，结合各象限内点坐标的特征即可得出答案． 解：， ， 而， ，， ，， 点在第二象限 故选：B． 6．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，即可求出，从而可得出，即证明为直角三角形，且a，b为直角边，最后根据三角形面积公式求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴为直角三角形，且a，b为直角边， ∴的面积为． 故选B． 【点拨】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理．熟练掌握非负数的性质和勾股定理逆定理是解题关键． 二、填空题 7．（2025·河南驻马店·三模）若的值是有理数，则a的最小偶数值是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的概念、求一个数的算术平方根，根据有理数的概念和算术平方根的求法进行判断即可． 解：∵的值是有理数，且为最小的偶数， ∴，此时是有理数， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·山东烟台·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值与算术平方根的非负性以及解二元一次方程组，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性，根据非负性列方程组求解是解题的关键．本题可根据绝对值与算术平方根的非负性，列出关于、的方程组，求解出、的值，再代入计算 ． 解：，，且， ， 用第二个方程减去第一个方程可得：， 即， 化简得，解得， 把代入，得，解得， 则． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·天津河东·期末）如果是2025的两个平方根，那么 ． 【答案】2025 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，，整体代入法进行求解即可． 解：由题意，得：， ∴； 故答案为：2025． 10．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．先根据立方根的性质求出的值，再根据无理数的估算可得的值，然后根据算术平方根的性质求解即可得． 解：的立方根是2， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴， 则的算术平方根是， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）若m，n满足，则是 ． 【答案】3 【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据算术平方根的非负性可得，再代入求值即可． 解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律探索问题，根据题干中的数据总结规律可知第n个数的符号为，分母为，分子为，即可得出答案． 解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； ， 第个数是； 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）计算． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是： （1）利用算术平方根、立方根的定义化简，然后计算加减即可； （2）先利用算术平方根、立方根的定义化简，然后计算除法，最后计算减法即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）探究发散： （1）完成下列填空①，②，③___________． ④，⑤，⑥___________． （2）根据上述计算结果，若，则___________． （3）利用你发现的规律完成下题：有理数在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（1）先确定乘方的符号，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 解：（1）解：③；⑥； （2）解：由（1）总结归纳可得： 当，则； （3）解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ． 【点拨】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 15．（23-24七年级下·安徽六安·期中）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m． （1）实数m的值是______； （2）求的值； （3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查数轴上两点的距离公式，实数的混合运算，非负数的性质，求一个数的平方根． （1）由题意可直接求出m的值即可； （2）将（1）所求的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义可得出，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，进而可求出的平方根． 解题关键是理解数轴上两点间的距离，实数的混合运算法则，最后求的平方根有两个． 解：（1）解：依题意得：， 故答案为： （2）由（1）得：， （3）依题意得：， ，， ，， ， 的平方根为 16．（24-25七年级下·福建莆田·期中）定理：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数．为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中为有理数，求和的值； （2）如果，其中m、n为有理数，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； （2）先根据题干提供的方法列出m和n的方程组求解，然后代入算即可； 本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，算术平方根的意义等知识，掌握题目介绍的解题方法是解答本题的关键． 解：（1）解:∵，其中为有理数， ∴，； ∴，． （2）∵， ∴， ∵m、n为有理数， ∴， 解得， ∴． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 解：∵， ∴2的算术平方根是， 故选：C． 2．（2024·四川内江·中考真题）16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的定义，一个正数的平方根有2个，它们互为相反数．根据平方根的定义即可求解． 解：∵，， ∴16的平方根是， 故选：D． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式乘法运算、算术平方根等知识点，熟练掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据整式乘法运算、算术平方根逐项判断即可． 解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 二、填空题 4．（2023·山东滨州·中考真题）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ． 【答案】/米 【分析】由正方形的边长是其面积的算术平方根可得答案． 解：一块面积为的正方形桌布，其边长为， 故答案为： 【点拨】本题考查的是算术平方根的含义，理解题意，利用算术平方根的含义表示正方形的边长是解本题的关键． 5．（2023·湖北荆州·中考真题）若，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解． 解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$