精品解析：河南省商丘市夏邑县2024-2025学年八年级下学期6月期末摸底考试数学试题

河南省2024-2025学年第二学期期末教学质量调研 八年级数学（人教版） ·全册· 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形的对角线不具备的性质是（ 　 ） A. 对角线互相平分 B. 对角线一定相等 C. 对角线一定垂直 D. 对角线平分一组对角 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 下面是一次函数图象，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 或 5. 王林参加“优秀社区干部”评选，责任心、组织能力、群众基础三项得分（十分制）分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则王林的最终成绩为（ ） A. 8分 B. 分 C. 分 D. 分 6. 《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面图（ ）比较符合故事情节． A. B. C. D. 7. 三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 8. 已知四边形为平行四边形，从下列条件中：①；②；③；④，任选其中两个，不能判定四边形为正方形的组合是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 9. 将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（ ） A. 11 B. 12 C. 9 D. 10 10. 在平面直角坐标系中，平行四边形如图所示，A，C两点的坐标分别为，，将直线沿x轴向左平移个单位长度后与边BC有交点，则m值 不可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 甲、乙两位选手5次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，，则________选手成绩更稳定．（填“甲”或“乙”） 13. 已知点和点是一次函数图象上的点，则________．（填“”“”或“”） 14. 如图，是的中位线，的平分线交于点P，若，，则的长为________． 15. 在矩形中，的平分线交于点E，作点E关于的对称点F，若点F落在矩形的边上，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 随着数字AI技术的日渐成熟，智能化学习与巩固已经成为大势所趋，某校进行了“数字AI智能学习”专题培训，为了解培训效果，随机抽取若干名学生进行测试，并对成绩（单位：分，满分100分）进行分组整理，得出如下不完整的统计表，已知成绩在这一组数据为：70，71，72，73，73，74，76，77，77，78，79，79． 数字AI智能学习测试成绩频数分布表 分数段（分） 频数 百分比 等级 7 14% 差 9 中 12 24% 良 32% 优 6 12% 优 根据以上信息，回答下列问题， （1）本次抽样调查的样本容量为________，表格中的依次为________，________； （2）小文得知此次测试的平均成绩为76.8分，而其成绩为77分，他说：“我的成绩高于一半学生的成绩．”你认为该说法正确吗？请说明理由． 18. 如图，中，的平分线交于P． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，射线交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形． 19. 如图，在高速公路l同侧有C、D两个村庄，且两点到公路的距离，．F是的中点，且．现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等． （1）判断点E的位置________．（填“在点F左侧”“和点F重合”或“在点F右侧”） （2）求的长． 20. 河南有许多著名的花卉，如洛阳的牡丹，被誉为“花中之王”，开封的菊花也是重要花卉之一，象征着清净和高洁．河南某中学计划采购洛阳牡丹和开封菊花两种花卉用于校园美化．经问询知购买2份洛阳牡丹和3份开封菊花共需要39元；购买3份洛阳牡丹和2份开封菊花共需要36元． （1）分别求洛阳牡丹和开封菊花的单价． （2）若学校经过规划最终决定购买洛阳牡丹和开封菊花共计950份，且要求采购洛阳牡丹的份数不超过开封菊花份数的，请你设计一种费用最少的采购方案，并求出最少费用． 21. 如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在上，且，与的延长线交于点M，与的延长线交于点N，连接． （1）求证：； （2）若正方形边长为2，E为的中点，求的长 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点，且与坐标轴交于、B两点． （1）求m的值及一次函数解析式； （2）求的面积； （3）在第一象限内是否存在点P，使得四边形为平行四边形，若存在请直接写出点P坐标，若不存在请说明理由． 23. 【定义阅读】 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐点”． 定义理解】 （1）如图1，点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ①与的数量关系是_____； ②若，且点与点关于互为“和谐点”，则_____； 【性质操作】 （2）如图2，矩形中，点为边上一点，且，平分，射线交于点．点与点是否关于互为“和谐点”？说明理由； 【思维拓展】 （3）在矩形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，在点运动过程中，当点与点关于互为“和谐点”，且，，三点共线时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省2024-2025学年第二学期期末教学质量调研 八年级数学（人教版） ·全册· 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：被开方数不含能开方的因数；被开方数不含分母． 【详解】A：，被开方数3是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式条件； B：，被开方数含分母3，需化为，故不是最简； C：，0.3可写为，被开方数含分母10，需化为，故不是最简； D：，可化简为2，已非二次根式，故排除， 故选：A． 2. 菱形的对角线不具备的性质是（ 　 ） A. 对角线互相平分 B. 对角线一定相等 C. 对角线一定垂直 D. 对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相平分且垂直，且平分一组对角，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵菱形对角线互相平分且垂直，且平分一组对角， ∴A，C，D正确； ∵菱形对角线不一定相等， ∴B错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的性质，此题比较简单，注意熟记菱形的性质定理是解此题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算．利用二次根式的运算法则，逐一验证各选项的运算是否正确，即可． 【详解】解：A． 与，不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意． B． ，故本选项错误，不符合题意． C． ，故本选项正确，符合题意． D． ，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 4. 下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解是， 故选：C． 5. 王林参加“优秀社区干部”评选，责任心、组织能力、群众基础三项得分（十分制）分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则王林的最终成绩为（ ） A. 8分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键． 根据加权平均数的计算方法求出王林的最终成绩即可． 【详解】解：由题意可得王林的最终成绩为 分． 故选：D． 6. 《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面图（ ）比较符合故事情节． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了用函数图象表示变量之间的关系，根据题意可知，水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水已没过孩童头顶，这时水缸内的水位会上升，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，水流出后，孩童得救，此时水位会迅速下降．据此对照下面四幅图进行比较即可． 【详解】由分析得：比较符合故事情节． 故选：D． 7. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理． 本题可根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，对每个选项进行分析判断． 【详解】A、已知，根据平方差公式，可得，移项得到．在中，边所对的角是，所以是直角三角形，，该选项不符合题意； B、已知，移项可得， 因为三角形内角和为，即，把代入可得： ，即，解得， 所以是直角三角形，该选项不符合题意； C、已知，设，则， 由于三角形内角和为，所以，即，解得． 那么，所以是直角三角形，该选项不符合题意； D、计算． 因为，即． 根据勾股定理的逆定理，可知不是直角三角形，该选项符合题意． 故选：D． 8. 已知四边形为平行四边形，从下列条件中：①；②；③；④，任选其中两个，不能判定四边形为正方形的组合是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形，再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；根据正方形的判定方法解答即可． 【详解】解：选项A（①②）： 条件①：平行四边形邻边相等，说明是菱形， 条件②：同理，邻边相等，仍为菱形， 两条件均使四边形为菱形，但无法保证存在直角，故不能判定为正方形； 选项B（②③）： 条件②使平行四边形为菱形， 条件③（对角线相等）使平行四边形为矩形，故能判定四边形为正方形； 选项C（①④）： 条件①使平行四边形为菱形， 条件④：菱形邻角互补，又相等则每个角为，故能判定四边形为正方形； 选项D（②④）： 条件②使平行四边形为菱形， 条件④同理使每个角为90°，故能判定四边形为正方形； 故选：A． 9. 将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（ ） A. 11 B. 12 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求阴影部分的面积，如图可知，正方形的面积减去四个直角三角形的面积等于阴影部分的面积． 【详解】解：， 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，平行四边形如图所示，A，C两点的坐标分别为，，将直线沿x轴向左平移个单位长度后与边BC有交点，则m值 不可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平移的性质以及两条直线相交的问题，根据题意可知平移后的直线解析式为，根据平行四边形的性质结合点O、A、C的坐标，即可求出点B的坐标，再由平移后的直线与边有交点，再求解直线过临界点的解析式，即可得出结论． 【详解】解：将直线沿x轴向左平移个单位长度， 平移后的直线解析式为， 平行四边形，，，， ， ， 平移后的直线与边有交点， 当直线过，则， 解得， 当直线过，则， 解得， ， m值不可能5， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，的：， ∴； 故答案为：． 12. 甲、乙两位选手5次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，，则________选手成绩更稳定．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴，甲选手的成绩更稳定， 故答案为：甲 13. 已知点和点是一次函数图象上的点，则________．（填“”“”或“”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的函数值比较大小，熟知一次函数的增减性是解题的关键． 根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴该一次函数的函数值随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：＞． 14. 如图，是的中位线，的平分线交于点P，若，，则的长为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理得到，，，根据等腰三角形的判定定理求出，计算即可． 【详解】解：∵是的中位线， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：1． 15. 在矩形中，的平分线交于点E，作点E关于的对称点F，若点F落在矩形的边上，则的长为________． 【答案】4或##或4 【解析】 【分析】依题意分以下两种情况：①当点F落在边上时，根据对称的性质得，进而得是等腰直角三角形，则；②当点F落在边上时，根据对称的性质及角平分线定义得，在中，根据得，由勾股定理得，由此即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴， ∵是的平分线，点E关于的对称点F落在矩形的边上， ∴有以下两种情况： ①如图1：当点F落在边上时， 根据对称的性质得：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∵是等腰直角三角形， ∴； ②如图2：当点F落在边上时， 根据对称的性质得：， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 综上所述：AB的长为4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，角平分线的定义等知识点，理解矩形的性质、掌握分类讨论思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、零次幂、平方差公式等知识点，掌握相关法则成为解题的关键． （1）先运用完全平方公式和二次根式除法计算，然后再算加减即可； （2）先运用平方差公式和零次幂计算，然后再算加减即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 随着数字AI技术的日渐成熟，智能化学习与巩固已经成为大势所趋，某校进行了“数字AI智能学习”专题培训，为了解培训效果，随机抽取若干名学生进行测试，并对成绩（单位：分，满分100分）进行分组整理，得出如下不完整的统计表，已知成绩在这一组数据为：70，71，72，73，73，74，76，77，77，78，79，79． 数字AI智能学习测试成绩频数分布表 分数段（分） 频数 百分比 等级 7 14% 差 9 中 12 24% 良 32% 优 6 12% 优 根据以上信息，回答下列问题， （1）本次抽样调查的样本容量为________，表格中的依次为________，________； （2）小文得知此次测试的平均成绩为76.8分，而其成绩为77分，他说：“我的成绩高于一半学生的成绩．”你认为该说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）50，18%，16 （2）不正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查统计综合，涉及求样本容量、计算统计表中某项数据、由中位数做决策等知识，熟记相关统计量意义及其求法是解决问题的关键． （1）由频数为，百分比为，则样本容量为；进而列式；即可得到答案； （2）由数字AI智能学习测试成绩频数分布表分析出中位数在分，77分低于中位数，从而确定答案． 【小问1详解】 解：由的频数为，百分比为，则样本容量为； 则；； 故答案为：50，18%，16； 【小问2详解】 解：不正确． 理由如下： 50人成绩中位数为第25、26名的平均数，前两组共16人， 第25、26名的成绩为，， 中位数为 分低于中位数，即可确定小文说法不正确． 18. 如图，中，的平分线交于P． （1）请用无刻度直尺和圆规作，射线交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、角的作图等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据角的作图步骤作图即可； （2）证明，再证明四边形是平行四边形，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 证明：∵的平分线交于P． ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 19. 如图，在高速公路l同侧有C、D两个村庄，且两点到公路的距离，．F是的中点，且．现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等． （1）判断点E的位置________．（填“在点F左侧”“和点F重合”或“在点F右侧”） （2）求的长． 【答案】（1）在点F右侧 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键， （1）如图所示，取，则，根据全等三角形的判定和性质得到，于是得到点E在点F右侧， （2）根据（1）的结论得到． 【小问1详解】 解：∵F是的中点，， ∴， 如图所示，取， 则， 在和中， ∴， ∴， 点E即为所求， ∵， ∴点E在点F右侧， 故答案为∶在点F右侧； 【小问2详解】 解：由（1）知 20. 河南有许多著名的花卉，如洛阳的牡丹，被誉为“花中之王”，开封的菊花也是重要花卉之一，象征着清净和高洁．河南某中学计划采购洛阳牡丹和开封菊花两种花卉用于校园美化．经问询知购买2份洛阳牡丹和3份开封菊花共需要39元；购买3份洛阳牡丹和2份开封菊花共需要36元． （1）分别求洛阳牡丹和开封菊花的单价． （2）若学校经过规划最终决定购买洛阳牡丹和开封菊花共计950份，且要求采购洛阳牡丹的份数不超过开封菊花份数的，请你设计一种费用最少的采购方案，并求出最少费用． 【答案】（1）洛阳牡丹单价6元，开封菊花9元 （2）570份牡丹，380份菊花，费用最少为6840 元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题关键是掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法、一次函数的增减性． （1）分别设购买洛阳牡丹的价格为a元，购买开封菊花的价格为b元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购买洛阳牡丹x份，则购买开封菊花份，根据题意列关于x的一元一次方程并求其解集，设购买费用为W元，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最大，求出其最大值及此时的值即可． 【小问1详解】 解：设购买洛阳牡丹的价格为a元，购买开封菊花的价格为b元． 根据题意，得， 解得， 答：购买洛阳牡丹的价格为6元，购买开封菊花的价格为9元． 【小问2详解】 解：设购买洛阳牡丹x份，则购买开封菊花份． 根据题意，得， 解得， 设购买费用为W元，则， ∵， ∴W随x的减小而减小， ∵， ∴当时W值最小，， （份）． 答：购买洛阳牡丹570份，则购买开封菊花份可使费用最低，最低费用为元． 21. 如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在上，且，与的延长线交于点M，与的延长线交于点N，连接． （1）求证：； （2）若正方形的边长为2，E为的中点，求的长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据正方形性质得，再根据得，进而可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图：过点O作于点H，于点K，证明，再证明和全等得，则，由勾股定理得，由（1）可知和全等，则，然后在中运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形，对角线交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图：过点O作于点H，于点K， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为2， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点，且与坐标轴交于、B两点． （1）求m的值及一次函数解析式； （2）求的面积； （3）在第一象限内是否存在点P，使得四边形为平行四边形，若存在请直接写出点P坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）， （2）6 （3）存在，P坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象及性质以及平行四边形的性质是解题的关键． （1）将点代入求得m的值，再利用待定系数法求解即可； （2）直接根据坐标与图形及三角形面积公式求解即可； （3）四边形为平行四边形，则，根据点的坐标平移特点求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与正比例函数交于点， ∴，即， 将点C、A代入中， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，，即 ∴， ∴的面积． 【小问3详解】 解：存在点P，使得四边形为平行四边形， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，即． 23. 【定义阅读】 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐点”． 【定义理解】 （1）如图1，点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ①与的数量关系是_____； ②若，且点与点关于互为“和谐点”，则_____； 【性质操作】 （2）如图2，矩形中，点为边上一点，且，平分，射线交于点．点与点是否关于互为“和谐点”？说明理由； 【思维拓展】 （3）在矩形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，在点运动过程中，当点与点关于互为“和谐点”，且，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②；（2）点与点是关于互为“和谐点”，理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）①利用线段垂直平分线的性质可得答案； ②根据题中定义可得，再根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质求得，，进而可求解； （2）证明得到，进而可得，根据题中定义可得结论； （3）分当点F在的延长线上时，当点F在的延长线上时，当点F在线段上时三种情况，根据题中定义，结合勾股定理和矩形性质分别求解即可． 【详解】解：（1）①∵点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ∴； ②点与点关于互为“和谐点”，且， ， 又点与点都在线段的垂直平分线上， ，， ∴，， ∴； （2）点与点是关于互为“和谐点”，理由如下： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 又均为等腰三角形，其中， 点与点关于互为“和谐点”； （3）∵四边形是矩形，，， ∴，，， 当点F在的延长线上时，如图， ∵点与点关于互为“和谐点”， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； 当点F在的延长线上时，如图， ∵点与点关于互为“和谐点”， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； 当点F在线段上时，不存在，故不存在点与点关于互为“和谐点”，综上，满足条件的的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$