6.4 一次函数的应用 第3课时 借助两个一次函数（图象）解决实际问题 导学案 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

本文围绕借助两个一次函数（图象）解决实际问题展开，承接一次函数相关知识背景，为后续函数综合应用奠基。通过探究双函数图象问题、例题及测评等环节，培养学生数学眼光、思维与语言表达素养，引导学生从现实情境中抽象数学问题并解决。 该设计创新点在于紧密联系生活实际，采用问题驱动教法。从学生层面看，提升其解决实际问题能力；从教师层面看，提供清晰授课思路；从课堂效果看，有效突破教学难点。

4　一次函数的应用 第3课时　借助两个一次函数（图象）解决实际问题 [学习目标] 1．进一步训练学生的识图能力。 2．能利用函数图象解决简单的实际问题。 [新知探究] [任务 探究双函数图象问题] 活动：阅读并解答下列问题. 如上图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的关系，根据图象填空。 （1）当销售量为2t时，销售收入=_________元，销售成本=_________元； （2）当销售量为6t时，销售收入=_________元，销售成本=_________元； （3）当销售量等于_________时，销售收入等于销售成本； （4）当销售量_________时，该公司赢利（收入大于成本）；当销售量_________时，该公司亏损（收入小于成本）； （5）当销售量_________时，该公司赢利（收入减成本）1000元； （6）l1对应的函数表达式是________________；l2对应的函数表达式是_________； （7）你能借助（6）的结论求（5）吗？ 思考？设l1对应的一次函数为y=k1x+b1，k1和b1的实际意义各是什么？设l2对应的一次函数为y=k2+b2，k2和b2的实际意义各是什么？与同伴进行交流. 例 如图是某景区游览路线示意图，甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙，图中l1，l2分别表示甲，乙两人到观景台1的路程S（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系. 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： （1）哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？ （2）甲和乙哪个人的速度快？ （3)30 min内甲能否追上乙? （4）到达观景台3后道路分岔、甲能否在到达观景台3前追上乙? （5）设与对应的两个一次函数分别为s=k1t+b1，与s=k2t+b2，k1,k2实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ 思考?你能用其他方法解决（1）～（4）吗？ [即时测评] 1.我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶，图中l1、l2分别表示两船相对于海岸的距离s(海里)与追赶时间t(分)之间的关系. （1）15分钟内B能否追上A？为什么？ （2）当A逃离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查，照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？为什么？ （3）l1与l2所对应的两个一次函数y=k1x+b1 与y=k2x+b2中，k1 ，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？ [当堂达标] 1．如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系；l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系．根据图象判断，该公司盈利时，销售量（　　） A．小于12件 B．等于12件 C．大于12件 D．不低于12件 2．小强和爷爷经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y（米）与爬山所用时间x（分）的关系（从小强开始爬山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（　　） （1）小强让爷爷先上 米. （2）山顶离山脚的距离有 米. 先爬上山顶？ （3）图中两条线段的交点表示 . 3.A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．根据图象填空： （1）乙先出发 　　h后，甲才出发； （2）大约在乙出发 　　h后，两人相遇，这时他们离A地 　　km； （3）甲的速度是 　　km/h；乙的速度是 　　km/h． 4.A，B两地相距30千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地出发，他们都保持匀速行驶，同向而行．甲、乙两人各自到A地的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的关系分别用图中直线l1，l2在第一象限的部分表示．根据图象回答下列问题： （1）两人出发时乙在甲前多少千米？ （2）甲、乙两人骑车的速度分别是多少？ （3）若设l2的表达式为s＝kt+b，则b与k的实际意义是什么？ （4）当他们行驶3.5时，甲能否追上乙？说明理由． 答案： [当堂达标] 1.C 2.（1）80 （2）400 小强 （3）小强用了2分钟在距离山脚160米处追上了爷爷 3.（1）1 （2）1.5 20 （3）40 4.解：（1）由图象得，两人出发时乙在甲前30千米； （2）如图所示：甲的速度为：30÷1.5＝20（km/h）， 乙的速度为：（40﹣30）÷1＝10（km/h）； （3）若设l2的表达式为s＝kt+b，则k表示乙车的速度， b表示A，B两地的距离； （4）当他们行驶3.5时，甲能追上乙，理由如下： 设l1的关系式为：s1＝kt，则30＝k×1.5，解得：k＝20，故s1＝20t； 设s＝kt+b，将（0，30）代入，得b=30， 将（1，40）代入，得k+b=40， 解得k=10， 故l2的关系式为s＝10t+30； 20t＝10t+30， t＝3， ∴经过3小时，甲能追上乙， ∴当他们行驶3.5时，甲能追上乙． 学科网（北京）股份有限公司 $$