第1章 三角形（高效培优讲义）数学苏科版2024八年级上册

第1章 三角形 单元复习 教学目标 ①理解三角形的三边关系、边角关系，并能用该关系解决相关问题； ②知道并会画出三角形中三条重要线段：三角形的中线、高线、角平分线； ③掌握全等三角形的定义、性质和判定方法； ④掌握线段垂直平分线、角平分线的性质和判定方法； ⑤掌握等腰三角形、等边三角形的定义、性质和判定方法； ⑥掌握含30度角的直角三角形的性质和斜边中线的性质。 教学重难点 1.重点 （1）全等三角形的性质与判定的综合运用； （2）等腰（等边）三角形的性质与判定； （3）垂直平分线、角平分线的性质和判定。 2.难点 （1）全等三角形的重要模型（截长补短、倍长中线、一线三等角、手拉手、半角等）； （2）三角形的各类辅助线作法（构造全等、角平分线、垂直平分线、三线合一等）。 知识点01 三角形中的线段和角1．三角形的三边关系： 由两点之间线段最短可知，三角形的任意两边之和 第三边；任意两边之差 第三边。这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差＜第三边＜两边之和建立不等式。 相关知识回归：（1）三角形的内角和180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 2.大边对大角，大角对大边（新增内容）： 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大。 3. 三角形中线的定义： 在三角形中，连接一个顶点与它的 的线段叫做三角形的中线。如图，AM是△ABC的中线。 4. 三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 BM = CM＝ BC。 ②中线平分三角形的 。即： ③中线分三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 。5. 三角形角平分线的定义： 在三角形中，一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的 是三角形的角平分线。如图，AD是△ABC的角平分线。角平分线相关的角度计算常与内角和或外角定理结合考查。 6. 三角形角平分线的性质： ①AD是三角形的角平分线∠1 ∠2。 ②三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比。即 。（利用1.4的知识点证明） ③三角形有 条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的 。 7. 三角形高线的定义： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 与 之间的线段是三角形的高线。如图，BD是△ABC的高线BD⊥AC。 2. 三角形高的画法： 一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点；三画：画出垂线段。 3. 锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形所有高线的图示： 4. 三角形的垂心：三角形有 条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的 。 5. 高线与垂心的位置与三角形形状的关系： 锐角三角形的三条高都在 ，垂心在 。 直角三角形有两条高是 ，垂心在 。 钝角三角形有两条高在 ，垂心在 。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点，测得，，则池塘两岸间的距离可能是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川达州·期中）给出下列说法：①从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点的到这条直线的距离；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】（1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】（3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 知识点02 全等三角形 1、全等图形：能够完全 的两个图形（即形状、大小相同的图形）叫做全等图形。 2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫 。 注意：一个图形经过 、 、 后，位置变化了，但 、 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 3、对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 ，重合的边叫 ，重合的角叫 。 注意：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。 如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 4、全等三角形的性质 全等三角形的 相等；全等三角形的 相等； 拓展：全等三角形对应边上的高 ，对应边上的中线 ，对应边上的角平分线 ；全等三角的周长 ，面积 。全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．全等三角形的形状相同、大小相等 B．全等三角形的对应边相等、对应角相等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的周长相等 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，，下面四个结论中，不正确的是（    ）． A．和的面积相等 B．和的周长相等 C． D．，且 知识点03 全等三角形的判定 1、全等三角形判定1——“边角边”公理 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“”或“”）. 如下图，若AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△（SAS）. 2、有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形全等。 如上图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。 3、全等三角形判定2——“角边角”公理 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“”或“”）. 如下图，若∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC ≌△（ASA）. 4、全等三角形判定3——“角角边”公理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“”或“”）。 如下图，若∠A＝∠，BC＝，∠B＝∠，则△ABC ≌△（AAS）。 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等，这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论。 5.三个角分别相等的两个三角形不一定全等. 如上图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等。这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等。 6、全等三角形判定4——“边边边”公理 三边分别相等的两个三角形全等。（简写成“”或“”）. 如下图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△（SSS） 7、三角形的稳定性 （1）三角形具有（三边长度确定，形状不会改变）。 （2）多边形不稳定。要想稳定，中间加入边，构造成多个三角形。 8、直角三角形全等的判定——HL定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“”）。 如下图，如果＝AB，＝AC，∠C＝∠＝90°，则△ABC≌△（HL） 这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证：(1) (2)． 2.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小华和爸妈在五一假期期间去方特游乐园乘坐了海盗船，如图，已知海盗船的转轴B到地面的距离，小华在乘坐的过程中，当海盗船的船头摆动到最高点A处时，于点C，此时点C到地面的距离，当船头从A处摆动到处时，，求点到的距离． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）综合与实践 【阅读理解】（1）如图1，在Rt中，，为斜边上的中点．为了探究中线与斜边的数量关系，某数学小组经过合作探究，猜想．为了证明这一猜想，他们采用了“倍长中线法”，即将中线延长到，使得，连接．据此将他们的证明过程补充完整． 证明：为的中点 在与中， （①______） （②______ ______） （③______） 在与中， （④______） 【深入探究】（2）如图2，和为等腰直角三角形，．若点在线段上，连接为线段的中点，连接和．猜想和的数量、位置关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，将（2）中条件改为点是内一点，其余不变．问（2）中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 知识点04 线段垂直平分线与角平分线 1.线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端的 ． 2.线段的垂直平分线的逆定理（判定定理）：到线段两端点距离相等的点在线段的 上。 3、线段垂直平分线的尺规作图（步骤）：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线。 拓展：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，这点是三角形外接圆的圆心（外心）。 注意：线段的垂直平分线性质是证明两线段相等的常用方法之一；同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。 4、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的 。 如图1，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF。 图1 图2 图3 5、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在 上。 如图2，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB。 拓展：三角形三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等，这点是三角形内切圆的圆心（内心）。 6、角的平分线的尺规作图（步骤）：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E；（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；（3）画射线OC，即射线OC即为所求（如图3所示）。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图①，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，点是边上一点，且，点是边上一动点（不包括两端点），连接，．老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】（1）填空：______；（填“>”“=”或“<”） 【问题探究】（2）任务一：如图②，若．求证：； （3）任务二：如图③，，，，若，试说明．此时，点关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 知识点05 等腰三角形 1.等腰三角形：有两条边 的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做 ，相等的两个角叫做 。 2.等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对 ”。 3.等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的底边上 和 、顶角 互相重合。简称“ ”。 4.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对 ”。 5.等腰三角形的性质的作用：证明两条线段或两个角相等的一个重要依据。 6.等边三角形：三边都相等的三角形叫做 ，也称为正三角形。 7.等边三角形的性质定理：等边三角形的各个内角都等于 。 注意：等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴。 8.等边三角形的判定定理： （1）三个角 的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的 是等边三角形。 9.直角三角形的重要性质： （1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的 ； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 2．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则 ． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求的度数；(2)如图2，过点作于，若，求证：． 4．（24-25六年级下·山东济南·期末）在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，吗？请说明理由；(2)在（1）的结论下，试求：的度数；(3)设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 题型01 三角形的三边关系 【典例1】（24-25七年级下·北京海淀·期末）一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．12 【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期中）如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是 ． 【变式2】（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知，，为三角形的三边，化简的结果是 【变式3】（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）已知两条线段a、b，其长度分别为和．另有长度分别为、、、的四条线段，其中能够与线段a、b一起组成三角形的有几条（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型02 三角形的边角关系(大角对大边) 【典例1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中，，______________________（___________） （___________），_____________________， ，______________________，（___________） 【变式1】（24-25八年级上·北京昌平·期末）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在关系．如图1，2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E． 证明：由折叠可得，． 因此可得结论，在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对角较大． 【探究结论】（1）类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题： “在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对边较大” 已知：在中，．求证：． 如图3，小聪的思路是：在内部作…… 请你根据小聪的思路，完成证明； 证明： 【应用结论】（2）在三角形中，，平分，点E为边上任意一点（不与点A，点C重合），连接，交于点F．求证：． 【变式2】（24-25八年级上·广东汕头·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由），∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 【变式3】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？ 【观察猜想】（1）如图1，在中，．猜想与的大小关系：________； 【操作证明】（2）如图2，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点，连接．发现：由于，……，根据发现，请证明（1）中所猜想的结论； 【应用结论】（3）在中，已知，那么、、有怎样的大小关系？________（用“”表示出来） 【类比探究】（4）如图3，在中，．小洛同学运用类似的操作进行探究：折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接．请证明：． 【变式4】（24-25七年级下·成都·课后作业）在中，，说明． (1)如图①，小明以“折叠”为思路说明：将沿折叠，使点落在边的点处，然后可以说明，请尝试写出小明的思路；(2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由． 题型03 三角形中的重要线段相关的概念 【典例1】（24-25七年级下·上海静安·期中）下列判断错误的是（    ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 【变式1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A．B．C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线，中线，高均在三角形内部 B．三角形的重心是三角形三边垂直平分线的交点 C．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 D．凸多边形的所有内角中，最多有3个锐角 【变式3】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【变式4】（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）如图是一张钝角三角形纸片，妙妙同学想通过折纸的方式完成如下任务：①找出线段的中点；②折出的平分线；③折出点到直线的垂线段．则她只通过折纸就能完成的任务是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型04 三角形中的重要线段相关的运算 【典例1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期末）如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ． 【变式4】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日 星期一 过三角形或四边形顶点作一条平分图形的面积的直线今天，我在课堂中学到了三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．如图1，在中，是边上的中线，则． 我思考如何过四边形一个顶点作一条直线，将四边形分成面积相等的两部分． 我把自己的想法跟老师交流，老师给我的指导是在面积不变的情况下把四边形化成三角形，再利用三角形的中线平分三角形的面积，进一步平分四边形的面积． 如图2，老师在网格中画出四边形，四个顶点都在格点上（网格线的交点），连接，要求过点画一条直线与平行，然后在该直线上找到合适的点，使，再根据三角形的中线平分三角形的面积，就可以画出的中线，将四边形的面积平分为面积相等的两部分． 任务：(1)材料中“将四边形的面积平分为面积相等的两部分转化为画出三角形的中线”体现的数学思想是_______． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．方程思想    D．建模思想 (2)根据老师的指导，在图2的网格图中，帮小聪完成作图． (3)如图3，在图1的基础上，点分别是的中点，连接．若，求的面积． 题型05 全等三角形的判定 【典例1】（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 【变式3】（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：；(2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【变式4】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，．求证：(1)．(2)． 题型06 全等三角形的性质与判定综合 【典例1】（24-25八年级上·河南·期末）如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：；（2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明；（4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）综合与实践 用一般观念研究筝形 研究对象：筝形 研究思路：类比线段、角、三角形，按“定义一性质一应用”的路径，由特殊到一般进行研究． 研究角度：整体——对称性 要素——边角及相关元素的关系 研究方法：观察（度量、实验）——猜想——验证 研究内容： 【一般概念】如图，在四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探索】根据定义，探索筝形的性质，得出如下结论： 内角：筝形有一组对角相等 对角线：…… 问题解决：(1)尺规作图：如图2，已知，求作一点，使得四边形是等形．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)已知：如图3，在筝形中，．证明：． (3)如图4，连接筝形的对角线，相交于点． ①猜想与的位置关系，与的数量关系，请分别说明理由． ②如图4，在筝形中，已知，则筝形的面积是 ． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知中，平分，且，点是延长线上一点，且，过点作交于点，则以下结论①，②，③，④，⑤为等腰三角形；其中正确的有 ．(填序号) 【变式3】（24-25七年级下·江西·阶段练习）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． [初步感知]如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”）；（2）求证：． [拓展应用]（3）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分；(2)如图2，作，交延长线于F，求证：； (3)如图3，若，且，，求的面积． 题型07 全等三角形的重要模型与辅助线 【典例1】（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究 【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容：如图1，都是等腰直角三角形，，作出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形． 【操作发现】（1）在图1中画出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系：________，_______． 【探究理由】（2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，设CE，AC分别与BD交于点F，G，试判断CE与BD的数量关系和位置关系，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在BC上，DE与CA交于点．若与关于直线AD对称，且，则 ①_________；②线段EF的长是________． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 【变式3】（24-25七年级下·江西抚州·期末）【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请求的度数． 【变式4】（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】（3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：；（4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 题型08 线段垂直平分线的性质与判定 【典例1】（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式1】（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与，相交于点D，E，连接．若，的周长为18，则的周长为 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：；(2)求的长． 题型09 角平分线的性质与判定 【典例1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东珠海·三模）如图，在中， (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点D，使得；不写作法，保留痕迹 (2)在的条件下，若与相交于点E，，，求的比值． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰中，，，平分．在线段上有一动点，连接，为直线上异于的一点，连接、． (1)如图，当点在射线上时，若，直接写出：______； (2)如图，当点在射线的反向延长线上时， 若（1）中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系，请证明； 若，且，，求的值． 题型10 角平分线与垂直平分线的尺规作图与应用 【典例1】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【变式2】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式4】（24-25八年级下·河南郑州·期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：    (1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？ (2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个） 题型11 等腰三角形的性质：三线合一与等角对等边 【典例1】（2025·云南昆明·三模）如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【变式2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式3】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 题型12 等边三角形的性质与判定的运用 【典例1】95．（24-25七年级下·上海金山·期末）某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究：于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展：由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在等边三角形中，，于相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，，，在外侧作等边，过点作于，则的长为 ． 【变式4】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：；(2)线段与有什么样的数量关系？请说明理由． 题型13 等腰（等边）三角形性质与判定综合 【典例1】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论，①；②；③；④是等边三角形；⑤；⑥平分；⑦平分；⑧．其中错误的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，在和中，若，，，、交于点M，连接，则下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，在中，于点E，于点F，交于点H，且平分于点D，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【变式4】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）感知： 如图（1），在中，分别以、为边在外部作等边三角形、，连接、．求证：； 应用：如图（2），在中，，分别以、为边在内部作等腰三角形、，点恰好在边上，使，，且，连接，，，的面积为，求的面积． 题型14 30°角的直角三角形与斜边中线的性质 【典例1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点C为圆心，的长为半径画弧，交于B，D两点；②分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E：③作射线交于点F．若，，则的长为 ． 【变式3】（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ． 【变式4】（24-25八年级上·重庆永川·期中）如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 5．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，为内一点，平分，，垂足为，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， ， ，的垂直平分线交于点D， 交于点 E，若， 则等于 （    ） A．10 B．12 C．16 D．18 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·福建三明·期末）已知射线在内部，为射线上一点，如图所示．点分别在上（不与重合），连结，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且B，C，D在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（   ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2025八年级上·重庆·专题练习）如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么 12．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，若，则 ． 14．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，点为的外心（三角形三条垂直平分线的交点），若，，则的大小为 ． 15．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是 ． 16．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，中，，点在外，且，垂直平分交线段、于、，连接，若，则的度数为 ． 17．（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，为边上的高线，为边上的中线，，交于点，连接．则下列结论正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则． 18．（24-25八年级下·全国·期中）如图，是等边内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的度数为 ． 19．（24-25七年级下·浙江·期中）如图方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上．(1)画出中边上的高；(2)画出中边上的中线；(3)直接写出的面积为______． 20．（24-25七年级下·广东深圳·期末）尺规作图题(1)图1，校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图法帮小亮画出P点．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰)；(2)图2，已知一个点O，请用尺规作图作一个以点O为顶点的直角．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰) 21．（24-25七年级下·湖北·假期作业）如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差；(2)若边上的高为，求边上的高． 22．（2025·广东茂名·二模）综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】(1)根据方案一，求、两点间的距离；(2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 23．（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读下列材料，并完成相应任务． 实验探究：三角形中边与角之间的关系 问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间有怎样的大小关系呢？ 问题具化：如图1，在中，，则与有怎样的大小关系？ 思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边，使条件和问题转化或聚焦，并构造全等三角形解决问题． 问题解决：如图2，在长边上截取，作的平分线，交于点，连接．求证：． 证明：∵平分，∴． 又∵，，∴．（依据1：________）∴． ∵，（依据2：________）；∴．∴． 得出结论：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，其中大边________． 类比探究：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等，其中大角所对的边较大． 已知：如图3，在中，．求证：． 证明：………… 任务：(1)“问题解决”中的依据1是指：________；依据2是指：________． (2)将材料中“得出结论”补充完整：________．(3)完成“类比探究”部分中的证明过程． 24．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 25．（24-25八年级下·山东青岛·期中）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则，，∴ 【性质应用】(1)如图②，是的边上的一点．若，，则___； (2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______；(3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． (4)在中，，，是边上的高．求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 26.（2025·吉林长春·模拟预测）我们定义：如图①，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【阅读材料】（1）如图②，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是__________； 【问题探索】（2）如图①，是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图①中与的数量关系，并给予证明； 【拓展运用】（3）如图③，当时，是的“旋补三角形”， ，垂足为点E，的反向延长线交于点D．若，，直接写出的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形 单元复习 教学目标 ①理解三角形的三边关系、边角关系，并能用该关系解决相关问题； ②知道并会画出三角形中三条重要线段：三角形的中线、高线、角平分线； ③掌握全等三角形的定义、性质和判定方法； ④掌握线段垂直平分线、角平分线的性质和判定方法； ⑤掌握等腰三角形、等边三角形的定义、性质和判定方法； ⑥掌握含30度角的直角三角形的性质和斜边中线的性质。 教学重难点 1.重点 （1）全等三角形的性质与判定的综合运用； （2）等腰（等边）三角形的性质与判定； （3）垂直平分线、角平分线的性质和判定。 2.难点 （1）全等三角形的重要模型（截长补短、倍长中线、一线三等角、手拉手、半角等）； （2）三角形的各类辅助线作法（构造全等、角平分线、垂直平分线、三线合一等）。 知识点01 三角形中的线段和角 1．三角形的三边关系： 由两点之间线段最短可知，三角形的任意两边之和 大于 第三边；任意两边之差 小于 第三边。这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差＜第三边＜两边之和建立不等式。 相关知识回归：（1）三角形的内角和180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 2.大边对大角，大角对大边（新增内容）： 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大。 3. 三角形中线的定义： 在三角形中，连接一个顶点与它的 对边中点 的线段叫做三角形的中线。如图，AM是△ABC的中线。 4. 三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 中点 BM = CM＝ 1/2 BC。 ②中线平分三角形的 面积 。即： ③中线分三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有 3 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 重心 。 5. 三角形角平分线的定义： 在三角形中，一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的 线段 是三角形的角平分线。如图，AD是△ABC的角平分线。角平分线相关的角度计算常与内角和或外角定理结合考查。 6. 三角形角平分线的性质： ①AD是三角形的角平分线∠1 = ∠2。 ②三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比。即 。（利用1.4的知识点证明） ③三角形有 3 条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的 内心 。 7. 三角形高线的定义： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点 与 垂足 之间的线段是三角形的高线。如图，BD是△ABC的高线BD⊥AC。 2. 三角形高的画法： 一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点；三画：画出垂线段。 3. 锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形所有高线的图示： 4. 三角形的垂心： 三角形有 3 条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的 垂心 。 5. 高线与垂心的位置与三角形形状的关系： 锐角三角形的三条高都在 三角形内部 ，垂心在 三角形内部 。 直角三角形有两条高是 三角形的边 ，垂心在 三角形的直角顶点上 。 钝角三角形有两条高在 三角形外 ，垂心在 三角形外 。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点，测得，，则池塘两岸间的距离可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，∵，，∴由三角形三边关系定理得：， ∴，∴、间的距离可能是，故选：B． 2．（24-25七年级下·四川达州·期中）给出下列说法：①从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点的到这条直线的距离；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点的到这条直线的距离，故①不正确，不符合题意；②三角形的角平分线是线段，故②不正确，不符合题意； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以在三角形内,也可在三角形的边上，还可以在三角形外，故③不正确，不符合题意；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故④正确，符合题意；；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，故⑤正确，符合题意． 故正确的有④⑤故选：B． 3．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】（1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】（3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 【答案】（1）见解析  （2）见解析  （3） 【详解】（1）方法一：∵垂直平分，∴，∴， ∵，∴； 方法二：将沿边的高翻折，∴， 又∵是的外角，∴，∴； 方法三：由折叠可得， ∵是的外角，∴，∴； 方法四：∵，∴， 又∵是的外角，∴， 又∵，∴； 方法五：∵，∴， 又∵是的外角，∴， 又∵，∴； （2）如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 则∴，∴， ∵，∴，∴点在线段上， 根据三角形的两边之和大于第三边可得， 又∵，∴； （3）解：延长到，使得，连接， 又∵，∴，∴，， 又∵，∴，∴， ∴． 知识点02 全等三角形 1、全等图形：能够完全 重合 的两个图形（即形状、大小相同的图形）叫做全等图形。 2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形 。 注意：一个图形经过 平移 、 翻折 、 旋转 后，位置变化了，但 形状 、 大小 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 3、对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 对应顶点 ，重合的边叫 对应边 ，重合的角叫 对应角 。 注意：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。 如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 4、全等三角形的性质 全等三角形的 对应边 相等；全等三角形的 对应角 相等； 拓展：全等三角形对应边上的高 相等 ，对应边上的中线 相等 ，对应边上的角平分线 相等 ；全等三角的周长 相等 ，面积 相等 。全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．全等三角形的形状相同、大小相等 B．全等三角形的对应边相等、对应角相等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的周长相等 【答案】C 【详解】解：A、全等三角形的形状相同、大小相等，原说法正确，故此选项不符合题意； B、全等三角形的对应边相等、对应角相等，原说法正确，故此选项不符合题意； C、面积相等的两个三角形，形状不一定相同，不一定全等，原说法错误，故此选项符合题意； D、全等三角形的周长相等，原说法正确，故此选项不符合题意；故选：C． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，，下面四个结论中，不正确的是（    ）． A．和的面积相等 B．和的周长相等 C． D．，且 【答案】C 【详解】解：∵，∴两个全等的三角形是一定能够完全重合的图形， ∴和的面积与周长都相等．∴选项A、B都正确，不符合题意． 又∵，∴∴（全等三角形的对应角相等） ∴与不一定相等，∴选项C不正确，符合题意． 又∵，∴（全等三角形的对应边相等） 又∵∴（内错角相等两直线平行）∴选项D正确，不符合题意． 知识点03 全等三角形的判定 1、全等三角形判定1——“边角边”公理 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）. 如下图，若AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△（SAS）. 2、有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。 如上图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。 3、全等三角形判定2——“角边角”公理 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）. 如下图，若∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC ≌△（ASA）. 4、全等三角形判定3——“角角边”公理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 如下图，若∠A＝∠，BC＝，∠B＝∠，则△ABC ≌△（AAS）。 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等，这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论。 5.三个角分别相等的两个三角形不一定全等. 如上图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等。这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等。 6、全等三角形判定4——“边边边”公理 三边分别相等的两个三角形全等。（简写成“边边边”或“SSS”）. 如下图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△（SSS） 7、三角形的稳定性 （1）三角形具有稳定性（三边长度确定，形状不会改变）。 （2）多边形不稳定。要想稳定，中间加入边，构造成多个三角形。 8、直角三角形全等的判定——HL定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）。 如下图，如果＝AB，＝AC，∠C＝∠＝90°，则△ABC≌△（HL） 这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证：(1) (2)． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵，∴． （2）证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 2.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小华和爸妈在五一假期期间去方特游乐园乘坐了海盗船，如图，已知海盗船的转轴B到地面的距离，小华在乘坐的过程中，当海盗船的船头摆动到最高点A处时，于点C，此时点C到地面的距离，当船头从A处摆动到处时，，求点到的距离． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， ，，， 在与中 ，，， ，． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）综合与实践 【阅读理解】（1）如图1，在Rt中，，为斜边上的中点．为了探究中线与斜边的数量关系，某数学小组经过合作探究，猜想．为了证明这一猜想，他们采用了“倍长中线法”，即将中线延长到，使得，连接．据此将他们的证明过程补充完整． 证明：为的中点 在与中， （①______） （②______ ______） （③______） 在与中， （④______） 【深入探究】（2）如图2，和为等腰直角三角形，．若点在线段上，连接为线段的中点，连接和．猜想和的数量、位置关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，将（2）中条件改为点是内一点，其余不变．问（2）中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①②③两直线平行，同旁内角互补④全等三角形的对应边相等（2）猜想：，且，证明见解析（3）（2）中结论仍成立，理由见解析 【详解】解：（1）根据题意得，①② ③两直线平行，同旁内角互补④全等三角形的对应边相等 故答案为：①，②，③两直线平行，同旁内角互补，④全等三角形的对应边相等； （2）猜想：，且． 证明：如图，为线段的中点， 为斜边的中线，为斜边的中线，从而由（1）中结论，有． 为等腰直角三角形，， ，， ，； （3）解：（2）中结论仍成立，理由如下． 如图，延长到，使得．连接．延长和交于． 设和交于．为的中点，， 在与中，， ，，， 在与中，， ，，， 在与中，，， ，，， ，，， 又，，． 知识点04 线段垂直平分线与角平分线 1.线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端的 距离相等 ． 2.线段的垂直平分线的逆定理（判定定理）：到线段两端点距离相等的点在线段的 垂直平分线 上。 3、线段垂直平分线的尺规作图（步骤）：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线。 拓展：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，这点是三角形外接圆的圆心（外心）。 注意：线段的垂直平分线性质是证明两线段相等的常用方法之一；同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。 4、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的 距离相等 。 如图1，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF。 图1 图2 图3 5、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在 角的平分线 上。 如图2，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB。 拓展：三角形三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等，这点是三角形内切圆的圆心（内心）。 6、角的平分线的尺规作图（步骤）：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E；（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；（3）画射线OC，即射线OC即为所求（如图3所示）。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知垂直平分，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 【答案】见详解 【详解】证明：∵在中，，是边上的中线， ∴，，平分，，∴， 在与中，，∴，∴， ∴，即，即平分． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 【答案】32 【详解】解：连结，设，则，， 垂直平分，，， ，，，， 的周长为．故答案为：32． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图①，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，点是边上一点，且，点是边上一动点（不包括两端点），连接，．老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】（1）填空：______；（填“>”“=”或“<”） 【问题探究】（2）任务一：如图②，若．求证：； （3）任务二：如图③，，，，若，试说明．此时，点关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）理由见解析；或 【详解】（1）解：∵，分别是，的高，∴，， 又∵平分，∴，故答案为：； （2）证明：如图1，过点作于点， ∵是的高，∴， 在和中，，∴，∴， 又由（1）知：，∴， 在和中，，∴， ∴，即； （3）解：如图2，延长交的延长线于点， ∵，∴，即，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，又∵，，∴平分，∴； 当时，如图3，在线段上取点， ∵点关于的对称点落在边上，，，，∴， 过点作于点，由（2）知：，， ∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴， 又∵，∴； 当时，如图4，延长交的延长线于点，在线段上取点， ∵点关于的对称点落在边上，，，，∴， 由前面结论可得：，，，， ∴， 又∵，∴平分， 又∵，，∴，∴， 又∵，，∴， 又∵，∴；综上所述，的面积为或。． 知识点05 等腰三角形 1.等腰三角形：有两条边 相等 的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做 腰 ，相等的两个角叫做 底角 。 2.等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对 等角 ”。 3.等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的底边上 高线 和 中线 、顶角 平分线 互相重合。简称“ 三线合一 ”。 4.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对 等边 ”。 5.等腰三角形的性质的作用：证明两条线段或两个角相等的一个重要依据。 6.等边三角形：三边都相等的三角形叫做 等边三角形 ，也称为正三角形。 7.等边三角形的性质定理：等边三角形的各个内角都等于 60° 。 注意：等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴。 8.等边三角形的判定定理： （1）三个角 相等 的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的 等腰三角形 是等边三角形。 9.直角三角形的重要性质： （1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的 一半 ； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵是 的边的中点，，， ∴、 均为直角三角形， 在中， ，，∴是等腰三角形． 2．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则 ． 【答案】4 【详解】解：∵，∴为等腰直角三角形，且； 在中，，∴．故答案为：． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求的度数；(2)如图2，过点作于，若，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析； 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ，， ∴，∴ ． （2）证明：由（1）得：，，，， ，∴，，∴， ． 4．（24-25六年级下·山东济南·期末）在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，吗？请说明理由；(2)在（1）的结论下，试求：的度数；(3)设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析(2)(3)，理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下： ，，即， 在与中，，； （2），，，， 又，，即； （3），理由：，即． 在与中，，， ，，， ，． 题型01 三角形的三边关系 【典例1】（24-25七年级下·北京海淀·期末）一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．12 【答案】C 【详解】解：三角形的两边长分别为7和4，设第三条边长为， ，，只有C选项满足条件，故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期中）如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，解得：．故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知，，为三角形的三边，化简的结果是 【答案】/ 【详解】解：、、 是三角形的三边长，，，， ，故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：A、，，，最大边为，另两边之和为， ，∴ 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，，，最大边为，另两边之和为， ，∴ 三线段共线，无法构成三角形； C、，，，最大边为，另两边之和为， ，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； D、，，，最大边为，另两边之和为， ，且，均成立，满足三边关系，能组成三角形，故选：D ． 【变式4】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）已知两条线段a、b，其长度分别为和．另有长度分别为、、、的四条线段，其中能够与线段a、b一起组成三角形的有几条（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】解：由题知  ，，， 能与a、b一起组成三角形的第三边c满足，可选、，故选：B． 题型02 三角形的边角关系(大角对大边) 【典例1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中，，______________________（___________） （___________），_____________________， ，______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；三角形中，大角对大边 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 【变式1】（24-25八年级上·北京昌平·期末）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在关系．如图1，2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E． 证明：由折叠可得，． 因此可得结论，在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对角较大． 【探究结论】（1）类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题： “在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对边较大” 已知：在中，．求证：． 如图3，小聪的思路是：在内部作…… 请你根据小聪的思路，完成证明； 证明： 【应用结论】（2）在三角形中，，平分，点E为边上任意一点（不与点A，点C重合），连接，交于点F．求证：． 【答案】[探究结论]证明见解析；[应用结论]证明见解析 【分析】[探究结论]可得，由得到，即可证明； [应用结论] 在上截取，连接，证明，再运用结论证明． 【详解】[探究结论]证明：，． ，，； [应用结论]证明：在上截取，连接． 平分，．，． ，，． ，．，． 【变式2】（24-25八年级上·广东汕头·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由），∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 【答案】见解析；（1）见解析；（2） 【详解】解：∵，∴； （1）证明：由折叠知，，在中，，∴，∴； （2）解：由折叠知，，， ∵，∴，∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴． 【变式3】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？ 【观察猜想】（1）如图1，在中，．猜想与的大小关系：________； 【操作证明】（2）如图2，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点，连接．发现：由于，……，根据发现，请证明（1）中所猜想的结论； 【应用结论】（3）在中，已知，那么、、有怎样的大小关系？________（用“”表示出来） 【类比探究】（4）如图3，在中，．小洛同学运用类似的操作进行探究：折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接．请证明：． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解：由图观察猜想得：,故答案为：； （2）证明：由折叠可得, ,,； （3）解：由（2）知，长边对大角， 又∵，∴，故答案为：； （4）证明：由折叠知，, 在中，,,． 【变式4】（24-25七年级下·成都·课后作业）在中，，说明． (1)如图①，小明以“折叠”为思路说明：将沿折叠，使点落在边的点处，然后可以说明，请尝试写出小明的思路；(2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， 为的外角，，，即． （2）证明：作的角平分线，将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，如图所示：由折叠的性质得：， 为的外角，，，即． 题型03 三角形中的重要线段相关的概念 【典例1】（24-25七年级下·上海静安·期中）下列判断错误的是（    ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 【答案】A 【详解】解．A．三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高的交点不一定在三角形内，说法错误，符合题意；B．三角形的三条中线交于三角形内一点，说法正确，不符合题意； C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点，说法正确，不符合题意； D．三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，说法正确，不符合题意．故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，作图正确的是：故选D． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线，中线，高均在三角形内部 B．三角形的重心是三角形三边垂直平分线的交点 C．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 D．凸多边形的所有内角中，最多有3个锐角 【答案】D 【详解】解：A、锐角三角形的角平分线，中线，高均在三角形内部，但直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形的内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形的内部，故原说法错误，不符合题意；B、三角形的重心是三角形的三条中线的交点，故原说法错误，不符合题意； C、有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形可能全等，故原说法错误，不符合题意； D、凸多边形的所有内角中，最多有3个锐角，故原说法正确，符合题意．故选：D 【变式3】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【详解】解：由图①的折叠方式可知，，所以是的角平分线． 由图②的折叠方式可知，， 因为，所以，所以，所以是的高线． 由图③的折叠方式可知，，所以是的中线．故选：． 【变式4】（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）如图是一张钝角三角形纸片，妙妙同学想通过折纸的方式完成如下任务：①找出线段的中点；②折出的平分线；③折出点到直线的垂线段．则她只通过折纸就能完成的任务是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重合，且折痕过点，则：折痕即为边上的高；故选D． 题型04 三角形中的重要线段相关的运算 【典例1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是中线，∴，故D选项不正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，符合题意； ∵是高，∴，∴，故A选项不正确，不符合题意； ∵是角平分线，∴，故C选项不正确，不符合题意；故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期末）如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 【答案】 【详解】解：∵为的中线，∴， 又∵的周长为，，∴， ∴的周长为，故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②③④ 【详解】解：是的中线，，故②正确，符合题意； 是角平分线，，，， ，，， ，∴，故④正确，符合题意； ，，∴ ，故③正确，符合题意；过点F作于点P， ∵，是角平分线，∴，在中，，∴， 故①错误，不符合题意；故答案为：②③④ 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，E是的中点，∴，， 设，∵，∴，， ∴∵ ∴解得，∴，， 则设，则， ∵，∴解得，即的面积为，故答案为： 【变式4】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日 星期一 过三角形或四边形顶点作一条平分图形的面积的直线今天，我在课堂中学到了三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．如图1，在中，是边上的中线，则． 我思考如何过四边形一个顶点作一条直线，将四边形分成面积相等的两部分． 我把自己的想法跟老师交流，老师给我的指导是在面积不变的情况下把四边形化成三角形，再利用三角形的中线平分三角形的面积，进一步平分四边形的面积． 如图2，老师在网格中画出四边形，四个顶点都在格点上（网格线的交点），连接，要求过点画一条直线与平行，然后在该直线上找到合适的点，使，再根据三角形的中线平分三角形的面积，就可以画出的中线，将四边形的面积平分为面积相等的两部分． 任务：(1)材料中“将四边形的面积平分为面积相等的两部分转化为画出三角形的中线”体现的数学思想是_______． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．方程思想    D．建模思想 (2)根据老师的指导，在图2的网格图中，帮小聪完成作图． (3)如图3，在图1的基础上，点分别是的中点，连接．若，求的面积． 【答案】(1)(2)见解析(3)1 【详解】（1）解：由题意知，思路从三角形向四边形拓展的过程中体现的是转化思想；故选：B； （2）解：如图所示：过点作交延长线于，则，， 即， 取中点，则平分，那么也将四边形的面积平分为面积相等的两部分； （3）解：点是的中点，. 是的中点，.是的中点，. 题型05 全等三角形的判定 【典例1】（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故D符合题意；故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、仅知直角和斜边长度，缺少另一条边或角的信息，由直角三角形全等的判定定理可知，无法判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则不能唯一确定三角形，不符合题意； B、已知三角形两边及，不是的夹角，由三角形全等的判定定理可知，无法判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则不能唯一确定，不符合题意； C、已知三角形两边及边，边是的夹边，由三角形全等的判定定理，能判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则能唯一确定，符合题意； D、由可知，三条线段无法构成三角形，无法唯一确定，不符合题意；故选：C． 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 【答案】①③、②；见解析 【详解】证明：，，即 在与中 . 【变式3】（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：；(2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，见解析 【详解】（1）证明：分别是的平分线，． ，． 又，．同理，．． 在和中，． （2）解：，理由如下：由（1）得，∴， 在和中，，．． ，． 【变式4】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，．求证：(1)．(2)． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：，和均为直角三角形． 在和中，，． （2），∴， ，， ，，∴． 题型06 全等三角形的性质与判定综合 【典例1】（24-25八年级上·河南·期末）如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：；（2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明；（4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE−CE 【详解】（1）证明：∵，∴． 又∵ ，，∴，，∴． 又∵，∴． （2） 解：∵，∴，． 又∵，∴． （3） 解：∵，∴． 又∵ ，，∴，，∴． 又∵，∴． ∴，，，∴ （4） 解：．理由如下：∵，∴． 又∵ ，，∴，，∴． 又∵，∴，∴，． 又∵，∴． 【变式1】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）综合与实践 用一般观念研究筝形 研究对象：筝形 研究思路：类比线段、角、三角形，按“定义一性质一应用”的路径，由特殊到一般进行研究． 研究角度：整体——对称性 要素——边角及相关元素的关系 研究方法：观察（度量、实验）——猜想——验证 研究内容： 【一般概念】如图，在四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探索】根据定义，探索筝形的性质，得出如下结论： 内角：筝形有一组对角相等 对角线：…… 问题解决：(1)尺规作图：如图2，已知，求作一点，使得四边形是等形．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)已知：如图3，在筝形中，．证明：． (3)如图4，连接筝形的对角线，相交于点． ①猜想与的位置关系，与的数量关系，请分别说明理由． ②如图4，在筝形中，已知，则筝形的面积是 ． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)①，见解析；② 【详解】（1）如图，四边形即为所求 （2）如图，连接；在与中，，； （3）①；，理由如下 由（2）可得，，， 在和中，，，， ，，； ②四边形是筝形，，∵ ． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知中，平分，且，点是延长线上一点，且，过点作交于点，则以下结论①，②，③，④，⑤为等腰三角形；其中正确的有 ．(填序号) 【答案】①②④⑤ 【详解】解：平分，， 在和中，，，，，①正确； ，，，，， ，，， ，，是等腰三角形，⑤正确； ，，②正确； 当时，，，， ，而不一定成立，故③不正确； 作于，如图所示：平分，，， 在和中，，， ，同理：，， ，，④正确；故答案为：①②④⑤． 【变式3】（24-25七年级下·江西·阶段练习）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． [初步感知]如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”）；（2）求证：． [拓展应用]（3）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：∵在中，为中线，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，故答案为：； （2）证明：由（1）可知：，， ，，，； （3）解：，，， ，在和中，，，， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，，， ，，，与的面积之和为． 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分；(2)如图2，作，交延长线于F，求证：； (3)如图3，若，且，，求的面积． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)的面积为． 【详解】（1）证明：∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴平分． （2）证明：作，交于点，则，， 又∵，∴，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴． （3）解：∵，，∴，， ∴，，∵，∴， 又∵，∴， 设，则，∵，∴， ∵，∴，∴，∴ ∴，，∴，∴， 延长，作交延长线于点，在延长线上截取，连接，交延长线于点， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，， ∴，，， 在和中，，∴， ∵，，∴，∴，∴，答：的面积为． 题型07 全等三角形的重要模型与辅助线 【典例1】（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究 【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容：如图1，都是等腰直角三角形，，作出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形． 【操作发现】（1）在图1中画出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系：________，_______． 【探究理由】（2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，设CE，AC分别与BD交于点F，G，试判断CE与BD的数量关系和位置关系，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在BC上，DE与CA交于点．若与关于直线AD对称，且，则 ①_________；②线段EF的长是________． 【答案】（1）画图见解析，，；（2），，理由见解析；（3）①，② 【详解】解：（1）如图， 即为所求，，， 证明：设、分别与交于点、， ∵绕点逆时针旋转得到，∴， ∴，，， 在和中，，∴，∴， 故答案为：，； （2），；理由：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，∴，，， 在和中，，∴，∴， 故答案为：，； （3）①∵与关于对称，∴，∴， 由旋转的性质可知，，故答案为：； ②由旋转的性质可知，，∵与关于对称， ∵，∴，故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 【答案】3或7 【详解】解：当为线段上时，作于点， 由旋转的性质得，， ∵，∴， ∴，∴，，， ∵，，， ∴，∴，∴； 当为线段上时，作交延长线于点， 同理，∴，，， ∵，，，∴， ∴，∴；综上，的长为3或7．故答案为：3或7． 【变式2】（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 【答案】B 【详解】解：A、在中，，∴， ∵平分，平分，∴， ∴，故正确，不符合题意； B、若，∴，∴，∴， 而由已知条件无法证明，故错误，符合题意； C、如图，延长至G，使，连接， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵为角平分线，∴，∴，∴， ∵，∴，故正确，不符合题意； D、如图，作的平分线交于点G，由选项A得， ∴，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，故正确，不符合题意；故选B． 【变式3】（24-25七年级下·江西抚州·期末）【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请求的度数． 【答案】（1）；（2）结论仍成立，理由见解析；（3） 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点，使，连接， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴．故答案为：． （2）结论仍成立，理由如下：如图2，延长到点，使，连接， ∵，∴， 在和中，∴，∴， 在和中，，∴， ∴．故答案为：． （3）∵，，， ∴， 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，∴， 在和中，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，∴． 【变式4】（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】（3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：；（4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）（3）见解析（4），证明见解析 【详解】解：（1）∵，∴的取值范围为：，即； 故答案为：； （2）如图1，延长至点E，使，连接， ∵是的中线，∴， ∵，∴，∴， 中，，∴，∴， ∴，故答案为：； （3）证明：如图2，延长至点F，使，连接， 同理得：，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （4），证明如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，则， ∵是的中线，∴，同理得， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∴，∴． 题型08 线段垂直平分线的性质与判定 【典例1】（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【详解】解：∵，且点为线段的中点，∴垂直平分，∴， ∵垂直平分，∴，∴， ∵，∴，∴．故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与，相交于点D，E，连接．若，的周长为18，则的周长为 ． 【答案】28 【详解】解：根据作图知垂直平分线段，∴， ∵，∴，即， ∴的周长，故答案为：28． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：∵和分别垂直平分和，∴，， ∴的周长，故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：平分，，，． 在的垂直平分线上，． 在与中，，． ．．故选：B． 【变式4】（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：；(2)求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，，∴，， 又∵，∴，∴， ∵平分，，，∴，， 又∵，∴，∴； （2）解：在和中，∴， ∴，由（）得，∴， ∴， ∵，，∴，∴． 题型09 角平分线的性质与判定 【典例1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作，，， 点是的三个内角平分线的交点，， 点到边的距离是， 面积为，即， ，，即的周长为．故选：． 【变式1】（2025·广东珠海·三模）如图，在中， (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点D，使得；不写作法，保留痕迹 (2)在的条件下，若与相交于点E，，，求的比值． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图， 则点D即为所求． （2）解:过点E作于点M，于点 平分，，． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 【答案】【定理】平分；【运用】证明见解析 【详解】解：定理：于于，平分，故答案为：平分； 运用：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，，，，， ，，，，， ，，平分． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：①∵和的平分线相交于点，，， ∴，故①符合； ②过作于点，于点，如图： 和的平分线相交于点，∴点在的平分线上，， ，故②符合题意； ③∵，∴， ∵分别是与的平分线，， ∴，∴，∴，如图，在上取一点，使，连接， ∵是的角平分线，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故③符合题意；故选：D． 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰中，，，平分．在线段上有一动点，连接，为直线上异于的一点，连接、． (1)如图，当点在射线上时，若，直接写出：______； (2)如图，当点在射线的反向延长线上时， 若（1）中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系，请证明； 若，且，，求的值． 【答案】(1)(2)①，证明见解析 ② 【详解】（1）解：在上取一点，使得，连接，如图所示： ，．平分，，， ≌，，． ，，． ，≌，． ，， ，故答案为：； （2）解：①若中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系为：，理由如下：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ，． ，． ，．，， ，≌，，． ，，≌，，； 由可知：，，， ，．，， 设，则，，， ，，． 题型10 角平分线与垂直平分线的尺规作图与应用 【典例1】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【答案】4 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处，∴中转站P可选择的点有共有4个．故答案为：4． 【变式2】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【详解】解：凉亭到草坪三个顶点的距离相等， 凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点，故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为P，则P点就是修建发射塔的位置． 【变式4】（24-25八年级下·河南郑州·期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：    (1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？ (2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个） 【答案】(1)见解析(2)见解析（答案不唯一） 【详解】（1）如图1所示：M点即为所求．       （2）如图2所示（答案不唯一）． 题型11 等腰三角形的性质：三线合一与等角对等边 【典例1】（2025·云南昆明·三模）如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵，，∴，∴，选项正确，不符合题意； B、∵，平分，∴，选项正确，不符合题意； C、根据题意得：，选项错误，符合题意； D、平分，， ∵，，选项正确，不符合题意；故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】C 【详解】解：为边上的高，， 的周长为24，，， 在中，点为的中点， 的周长．故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【详解】解：延长交于， 平分，，，， 在和中，，，， ，，，故选：． 【变式3】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴，同理：， ∵的周长，，∴， ∵的周长为， ∴的周长是，故选：． 【变式4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 【答案】见详解 【详解】证明：∵在中，，是边上的中线， ∴，，平分，，∴， 在与中，，∴， ∴，∴， 即，即平分． 题型12 等边三角形的性质与判定的运用 【典例1】（24-25七年级下·上海金山·期末）某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究：于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展：由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）欢欢，证明见解析 【详解】（1）证明：在中，∴ ∵∴∴ ∴∴∴∴是等边三角形； （2）证明：∵，∴， 又∵，，∴∴ ∵∴∴是等边三角形； （3）欢欢的探究是正确的，证明如下，∵，是的角平分线，∴ ∵是边上的高，∴ 又∵，，∴∴ ∵∴∴是等边三角形； 小海：已知中线，，不能证明，则不能得出，故不正确； 乐乐：角平分线角平分线，不能证明，则不能得出，故不正确； 故答案为：欢欢． 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意；故选D． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在等边三角形中，，于相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是等边三角形，∴，， 在和中，，∴， ∴，故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，，，在外侧作等边，过点作于，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：在上截取，连接，， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∴，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴． 【变式4】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：；(2)线段与有什么样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，见解析 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴， 过P作的平行线至于F，∴， ∴，∴是等边三角形；∴， ∵，∴，∵，∴， 又，，∴，∴； （2）解：结论：，理由：∵，是等边三角形，∴， ∵，∴，∴． 题型13 等腰（等边）三角形性质与判定综合 【典例1】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：如图，，，是等腰直角三角形， ，是中点，，、都是的余角，， 在与中，，，同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到，是直角，是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到，则， 故③正确； ④，，，， ，④错误；正确结论为①②③．故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论，①；②；③；④是等边三角形；⑤；⑥平分；⑦平分；⑧．其中错误的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：∵与为等边三角形，∴，，， ∴，即，，， ∴，∴，，，， ∵，∴， ∴，∵， ∴，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴，∴，故①②③④⑤正确； 过B作于M，于N，如图所示： ∵，，∴， ∴，∴平分，⑦正确；∴， ∵，∴，， ∴，，∴， ∵在和中，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，即，故⑧错误； 根据已知条件，不能证明平分，故⑥错误；综上分析可知：错误的有2个．故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，在和中，若，，，、交于点M，连接，则下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：，，即， 又，，，，①结论正确； ，， ， ，，②结论正确； 如图，过点作，， ，，平分，③结论正确； 假设平分，，平分， ，，即， 又，，， 而题干中没有说明，即无法判断平分，④结论错误；故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，在中，于点E，于点F，交于点H，且平分于点D，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：，， ∴是等腰直角三角形，，结论①正确； ，， ，，，， 在和中，，， ，，∴，故④正确； 平分，， ，，， ，，故③正确； ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴不全等， ∴，故②错误；故答案为：①③④． 【变式4】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）感知： 如图（1），在中，分别以、为边在外部作等边三角形、，连接、．求证：； 应用：如图（2），在中，，分别以、为边在内部作等腰三角形、，点恰好在边上，使，，且，连接，，，的面积为，求的面积． 【答案】感知：证明见解析；应用： 【详解】感知：证明：∵和为等边三角形， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴； 应用：解：过A点作的高线，垂足为F． ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵的面积是，∴，∴， ∴的面积是，∴的面积是． 题型14 30°角的直角三角形与斜边中线的性质 【典例1】33．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】解：如图，连接，∵垂直平分，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，，∴，∴，∴， ∵，∴．故选：A 【变式1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，在中，，点D为边的中点， ,故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点C为圆心，的长为半径画弧，交于B，D两点；②分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E：③作射线交于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ． 【答案】77 【详解】解：，为边的中点，，，， ，．故答案为：77． 【变式4】（24-25八年级上·重庆永川·期中）如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 【答案】①③④ 【详解】解：是等边三角形，， 在和中，，，， ，，故①正确； ，，，，，③正确； ，，，故④正确； 无法证明，以及，故②和⑤错误；故答案为：①③④． 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵分别是的高线、角平分线、中线， ∴，，，，不一定相等， 故选项A，B，C正确，选项D错误．故选：D． 2．（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）．故选：B． 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确．故选：D． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 【答案】B 【详解】解：Ⅰ可以根据“”来作出完全相同的三角形，Ⅱ可以根据“”来作出完全相同的三角形． 故选：B． 5．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，，∴，，， 由三角形三边关系得，∴，∴， 又∵，∴可能的值10，选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意．故选：D． 6．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，为内一点，平分，，垂足为，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：平分，， ，， ，，，， 又，，，，， ，，故选：A． 7．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， ， ，的垂直平分线交于点D， 交于点 E，若， 则等于 （    ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【详解】解：因为的垂直平分线交于点D， 所以可得，即为等腰三角形，所以， 又因为 ，所以， 又因为，所以，所以， 则在中，，所以 ．故选：B ． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在上截取，∵，∴，∴， A. OABCO的线段表示为：,    B. OACBO的线段表示为：,     C. OBACO的线段表示为：,    D. OBCAO的线段表示为：, ∴， ∵，∴，故B不符合题意； 在上截取，∵，∴，∴， 又 ∵，∴，故C不符合题意； ． ， ∵，∴，故D不符合题意；故选：A． 9．（24-25七年级下·福建三明·期末）已知射线在内部，为射线上一点，如图所示．点分别在上（不与重合），连结，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】解：A、如图所示：，，是线段的垂直平分线，即，故选项正确，不符合题意； B、如图所示：，，是等腰的角平分线，， ，则；故选项正确，不符合题意； C、如图所示：由，，无法确定，进而无法确定，故选项错误，符合题意； D、如图所示：，，，，则； 故选项正确，不符合题意；故选：C． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且B，C，D在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（   ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵为等边三角形，， ∵，， ∵四边形中，， ．故结论①正确； 如图，过E点作的延长线于F点，作于G点．则， ，，， 又，，，∴为的平分线．故结论②正确； ， 平分，∴垂直平分，∴．故结论③正确； ，而， ，．故结论④不正确； 综上，正确的结论有3个．故选：C． 11．（2025八年级上·重庆·专题练习）如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么 【答案】 【详解】解：过点作的平行线，交的延长线于点， ∵是等边三角形，∴，，∴是等边三角形， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵、都是等边三角形，∴，即， ∵，∴，故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【答案】3 【详解】解：由题意得，，∴， 若，则（舍）； 若，则，∴边的长为3，故答案为：3． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，若，则 ． 【答案】/60度 【详解】解：∵，，∴，， ∵，∴， 又∵E是斜边的中点，∴，∴， ∴．故答案为：． 14．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，点为的外心（三角形三条垂直平分线的交点），若，，则的大小为 ． 【答案】 【详解】∵点为的外心，，， ∴点P为三边垂直平分线的交点，∴， ∴，，， ∵，∴，故答案为：． 15．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵是的中点，∴，∵．∴． 又∵．∴．∴，，， 又∵∴， ∴，故答案为：． 16．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，中，，点在外，且，垂直平分交线段、于、，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/76度 【详解】解∶连接，∵，，∴，， ∵垂直平分，∴，，，∴， ∵，，，∴， 又，∴，∴，∴， ∵，∴，答案为：． 17．（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，为边上的高线，为边上的中线，，交于点，连接．则下列结论正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则． 【答案】①③④ 【详解】解：若，∵为边上的中线，∴， ∵为边上的高线，且三角形的三条高线交于一点，∴，故①正确； 若，∵为边上的高线，为边上的中线， ∴无法得到点F的位置，无法得到与的关系，故②错误； 若，∵为边上的高线，∴为边上的中线，∴， ∵为边上的中线，∴，∴， ∴，∴，∴，故③正确； 若，∴点F是的三条垂直平分线的交点，∴，， ∵为边上的高线，为边上的中线，∴，，即， ∴是等边三角形，∴点F是的三条角平分线的交点， ∴是的角平分线，∴，故④正确；故答案为：①③④． 18．（24-25八年级下·全国·期中）如图，是等边内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【详解】解：绕点按顺时针方向旋转得到， ∴，且，是等边三角形，， 是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， 旋转得到，∴，∴， 当时，，∴， ∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 故答案为：或或． 19．（24-25七年级下·浙江·期中）如图方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高；(2)画出中边上的中线；(3)直接写出的面积为______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， （3）解：．故答案为：． 20．（24-25七年级下·广东深圳·期末）尺规作图题(1)图1，校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图法帮小亮画出P点．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰)；(2)图2，已知一个点O，请用尺规作图作一个以点O为顶点的直角．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰) 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）如图所示，点P即为所求； （2）如图所示，直角即为所求； 21．（24-25七年级下·湖北·假期作业）如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差；(2)若边上的高为，求边上的高． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：的周长为，的周长为， ∵是的边上的中线，∴， ∴； （2）设边上的高为， ∵是的中线，∴，∴，即，解得． 22．（2025·广东茂名·二模）综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】(1)根据方案一，求、两点间的距离；(2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 【答案】(1)(2)方案与图见解析， 【详解】（1）解：如图，连接．由原地旋转可得， 又，，； （已知）；；故：A、B两点间的距离为． （2）解：（方法不唯一）方案： 1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C； 2、连接并延长到，使；连接并延长到，使； 3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离． 证明：，，（对顶角相等）， ，． 23．（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读下列材料，并完成相应任务． 实验探究：三角形中边与角之间的关系 问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间有怎样的大小关系呢？ 问题具化：如图1，在中，，则与有怎样的大小关系？ 思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边，使条件和问题转化或聚焦，并构造全等三角形解决问题． 问题解决：如图2，在长边上截取，作的平分线，交于点，连接．求证：． 证明：∵平分，∴． 又∵，，∴．（依据1：________）∴． ∵，（依据2：________）；∴．∴． 得出结论：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，其中大边________． 类比探究：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等，其中大角所对的边较大． 已知：如图3，在中，．求证：． 证明：………… 任务：(1)“问题解决”中的依据1是指：________；依据2是指：________． (2)将材料中“得出结论”补充完整：________．(3)完成“类比探究”部分中的证明过程． 【答案】(1)（或两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等）；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(2)所对的角较大(3)见解析 【详解】（1）解：证明：∵平分，∴． 又∵，，∴．（依据1：）∴． ∵，（依据2：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴．∴． 故答案为：（或两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等）；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）解：由（1）得，， ∵且对应三角形的边为，对应三角形的边为， ∴得出结论：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，其中大边所对的角较大， 故答案为：所对的角较大． （3）解：证明如下：在的内部作，使，交于点∴， 在中，有，∴，． 24．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【答案】（1），，，；（2）见解析；（3）见解析 【详解】（1）证明：∵，，直线垂直平分；故答案为，； （2）如图，连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），则为的垂直平分线．理由如下：，， ，，，，， 而，垂直平分； （3）如图（3），为所作． 25．（24-25八年级下·山东青岛·期中）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则，，∴ 【性质应用】(1)如图②，是的边上的一点．若，，则___； (2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______；(3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． (4)在中，，，是边上的高．求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 【答案】(1)(2)，(3)(4)①；②， 【详解】（1）解：如图，过点A作于E， 则，，∴； （2）解：∵和是等高三角形， ∴，∴； ∵和是等高三角形，∴，∴； （3）解：∵和是等高三角形， ∴，∴； ∵和是等高三角形，∴，∴． （4）解：如图，设，∵在中，，，是边上的高， ∴，，∴， ∴，则，∵与是等高三角形，∴； ②∵，，∴，． 26.（2025·吉林长春·模拟预测）我们定义：如图①，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【阅读材料】（1）如图②，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是__________； 【问题探索】（2）如图①，是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图①中与的数量关系，并给予证明； 【拓展运用】（3）如图③，当时，是的“旋补三角形”， ，垂足为点E，的反向延长线交于点D．若，，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3） 【详解】解：（1）∵是中线，∴， ∵，，∴， ∴，而，∴，，， 由三角形三边关系可得：，即，∴， （2），理由如下：如图1，延长至点E使，连接，      ∵是的“旋补中线”，∴是的中线，即， 又∵，∴，∴，， ∵，∴，∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，，∴， ∵，，∴，∴． （3）如图，作于H，作交延长线于F， ∵，∴，∴， ∵，即，∴，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴是的中线，∵，， 结合（1）的结论可得：，即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$