专题02 分式的化简求值强化练习（专项训练）数学北京版2024八年级上册

专题02 分式的化简求值强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知字母的值求分式化简的结果 1 题型二、已知代数式的值求分式化简的结果 2 题型三、选取合适的值求分式化简的结果 3 题型四、分式化简的步骤错误问题 5 题型五、分式化简的新定义问题 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、已知字母的值求分式化简的结果 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，后求值：，其中 3．先化简再求值 ，其中 4．先化简，再求值：，其中，． 5．先化简，再求值：，其中． 6．先化简，再求值：，其中． 7．先化简，再求值：，其中． 8．先化简，再求值：，其中． 题型二、已知代数式的值求分式化简的结果 9．先化简，再求值：若，求代数式的值． 10．先化简，再求值：设，求的值． 11．先化简，再求值：，其中x、y满足． 12．（1）计算：； （2）已知，求的值． 13．先化简，再求值：，其中x满足． 14．先化简，再求值：，其中x满足方程：． 15．先化简，再求值：，其中 16．先化简，再求值：，其中． 题型三、选取合适的值求分式化简的结果 17．先化简：，再从，，0，1，2中选择一个合适的数，作为的值代入求值． 18．化简并求值：，其中x满足的整数 19．先化简，再求值：，其中x是满足的一个整数，任意取一个满足题意的x代入求值． 20．（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 21．先化简代数式，再从2，，1，四个数中选择一个合适的数代入求值． 22．先化简，再求值：，请你从，，，这几个数中，给赋予一个恰当的值，并求出代数式的值． 23．先化简：，再在中选择一个适当的整数代入求值． 24．化简：，并在中选择一个合适的值，代入求分式的值． 题型四、分式化简的步骤错误问题 25．王老师在黑板上写了一道题目，计算：．丹丹同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让丹丹同学回去认真检查．请你仔细阅读丹丹同学的计算过程，帮助丹丹同学改正错误． 解： ① ② ③ ④ (1)上述计算过程中，哪一步开始出现错误？ ；（用序号表示） (2)从①到②是否正确？ ；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ； (3)请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当，时的值． 26．下面是王林同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后，解答下列问题． 王林的作业：                 第一步             第二步                   第三步                       第四步 (1)王林的作业是从第______步开始出现错误的，错误的原因是______． (2)已知，求的值． 27．以下是小华化简分式 的过程： 解：原式 …①            ⋯② ………    ……③ ． ． ……………④ (1)小华的解答过程在第 步出现错误； (2)请你帮助小华写出正确的解答过程，并选择一个合适的x值代入求值． 28．下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)这位同学的解答，在第_____步出现错误，错误的原因是_____； (2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 29．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 ＝…第五步 任务一：填空： （1）以上化简步骤中，第一步进行的运算是________． A．整式乘法B．因式分解 （2）以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据：________． （3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因：________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并从不等式组的解集中选择一个合适的整数作为x的值，代入求值； 30．（1）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： ①以上化简过程中，第三步是进行分式的______，它的依据是______； ②上述解题过程中，从第______步开始出现错误，写出正确的化简过程； （2）先化简，再求值：，其中． 31．下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… (1)小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 32．在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕． 请根据如下的“接力游戏”完成两个任务： 接力游戏： 老师：化简： 甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学： 【任务一】 （1）在“接力游戏”中，丁同学是依据_______进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律 （2）在“接力游戏”中，从_______同学开始出现错误． 【任务二】 （3）请你写出正确的解答过程，并从0，1，2这三个数中选取一个合适的数代入求值． 题型五、分式化简的新定义问题 33．新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（    ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 34．定义新运算：，若，则的值是 ． 35．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．同时我们也可以将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，如：，那么若分式：的值为整数．则整数取值为： ． 36．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 37．对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 38．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，那么称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，那么所代表的代数式为_______________； (3)在（2）的条件下，如果“雅中式”的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 39．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简：，若该式的值为整数，求整数x的所有值． 40．阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：， 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，； 假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如： ． (1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）． (2)探究：将假分式化为带分式______． (3)拓展：先化简，并求x取何整数时，该式的值为整数． 1．（2025·北京西城·一模）已知，下列结论正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为负数 D．若为正整数，则可能为3 2．（2025·江苏苏州·一模）已知：，则的值为（   ） A． B． C．2025 D． 3．（2025·安徽芜湖·一模）已知，计算的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 4．（2025·河南郑州·一模）已知，则的值为 ． 5．若，则代数式的值为 ． 6．（2025·浙江嘉庆·一模）嘉嘉和淇淇在学习分式时，老师布置了一道题“计算：”． 嘉嘉的解法 解： 淇淇的做法 解： ① ② ③ ④ (1)老师在批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们最先出错的是哪一步？ (2)请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． 7．先化简，再求值：，其中． 8．先化简，再求值：，从的整数解中选取一个合适的代入求值． 9．计算：．下面是甲同学的部分计算过程： 解：原式 (1)甲同学解法的依据是___________．(填序号) ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． (2)请写出完整的解答过程，并从，0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值． 10．（2025·浙江舟山·一模）先化简，再求值：，其中满足． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分式的化简求值强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知字母的值求分式化简的结果 1 题型二、已知代数式的值求分式化简的结果 2 题型三、选取合适的值求分式化简的结果 3 题型四、分式化简的步骤错误问题 5 题型五、分式化简的新定义问题 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、已知字母的值求分式化简的结果 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值问题，解本题的关键在正确运用分式的混合运算进行化简．分式的运算顺序：先乘方，再乘除，再加减（如果有括号先算括号里面的，再算括号外面的）利用分式的混合运算法则，首先对括号里面的分式先通分化为同分母分式再加减，同时将除式的分子因式分解，再利用分式除法要乘以除式的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后利用的值代入其，即可得出结果． 【详解】解： ； 当时，原式． 2．先化简，后求值：，其中 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，再约分得到最简结果，把的值代入计算，即可解题． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 3．先化简再求值 ，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，分式的加减乘除混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，继而计算出字母的值，代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式． 4．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查分式化简，解题关键是熟练掌握乘法公式和几种因式分解法，含负号的多项式可以先添加括号再整体处理． 根据混合运算法则，括号中的式子“”需要先通分，后续再合并同类型及因式分解，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可 【详解】解： ． ． 当时， 原式 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式． 原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： =， ， 当时，原式． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内的，对多项式因式分解，然后约分化简．再把代入进行计算即可． 【详解】解：原式． 当时，原式． 题型二、已知代数式的值求分式化简的结果 9．先化简，再求值：若，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将转化为，再整体代入计算可得． 【详解】解： ； ， ， ∴原式． 10．先化简，再求值：设，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先通分，利用同分母分式减法法则进行计算，约分到最简，最后将代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 11．先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】；2 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，根据，得到，整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ． ， ． 原式． 12．（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）6；（2）； 【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则和方法是解答本题的关键． （1）原式分别化简，然后再进行加减运算即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据得出，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； ∵， ∴ ∴原式． 13．先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【分析】先对分式进行化简，通过通分、因式分解等操作将原式化为最简形式；再根据已知方程变形得到与化简后式子相关的部分，代入求值．本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和方程变形技巧是解题的关键． 【详解】解：     ； ∵， ∴， 即， 则． 14．先化简，再求值：，其中x满足方程：． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，再根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 15．先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了分式和整式的混合运算，涉及负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行整式的混合运算，再进行分式的混合运算，然后计算出，再代入求值即可． 【详解】解： ， 而， ∴原式． 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对原式进行化简，通过因式分解和约分简化式子；再根据非负数的性质（平方数和算术平方根均为非负，若和为则各自为 ）求出、的值，最后代入化简后的式子求值．本题主要考查了分式的化简求值、因式分解、非负数的性质，熟练掌握分式运算规则和非负数性质（几个非负数的和为，则每个非负数都为 ）是解题的关键． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴原式． 题型三、选取合适的值求分式化简的结果 17．先化简：，再从，，0，1，2中选择一个合适的数，作为的值代入求值． 【答案】，当时，则原式；当时，则原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有有意义， ∴， ∴且， 当时，则原式；当时，则原式． 18．化简并求值：，其中x满足的整数 【答案】，当时，原式；当时，原式． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算法则、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，再从找到满足题意的x的值代入计算即可． 【详解】解： ； ∵x满足的整数， ∴x的值为， ∵当分式无意义， ∴当时，原式；当时，原式． 19．先化简，再求值：，其中x是满足的一个整数，任意取一个满足题意的x代入求值． 【答案】；当时，原式；当时，原式；当时，原式． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的两个分式的分母分解因式，再把两个分式通分化简，接着把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵负分数要有意义， ∴且且 ∵x是满足的整数， ∴x可以取、1、3， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 20．（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】（1），4；（2），当时，原式；当时，原式 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1） 当时，原式； （2） ，， ∴， 当时，原式； 当时，原式． 21．先化简代数式，再从2，，1，四个数中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】本题考查分式的化简求值，理解分式有意义的条件，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．原式先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后根据分式有意义的条件选取合适的值代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当或2时，原分式无意义， ， 当时，原式． 22．先化简，再求值：，请你从，，，这几个数中，给赋予一个恰当的值，并求出代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ∵ ∴当时，原式 23．先化简：，再在中选择一个适当的整数代入求值． 【答案】，取，原式，取，则原式；取，则原式；取，则原式． 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键，注意取值时要取使得分式有意义的数． 利用分式的运算法则化简分式，再代入除了不满足条件的，在取值范围内的整数即可求解． 【详解】解：原式 ，且， 取，则原式． （注：也可取．取，则原式；取， 则原式；取，则原式．） 24．化简：，并在中选择一个合适的值，代入求分式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是主要代入求值时要保证分母不为0；先把分式的分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行约分，进而得到化简结果，代入合适的值即可 【详解】解： ， ∵要使分式有意义，m取2 ∴当时， 原式 题型四、分式化简的步骤错误问题 25．王老师在黑板上写了一道题目，计算：．丹丹同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让丹丹同学回去认真检查．请你仔细阅读丹丹同学的计算过程，帮助丹丹同学改正错误． 解： ① ② ③ ④ (1)上述计算过程中，哪一步开始出现错误？ ；（用序号表示） (2)从①到②是否正确？ ；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ； (3)请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当，时的值． 【答案】(1)① (2)否；错用去括号法则 (3)完整正确的解答过程见解析，原式的值为 【分析】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则和运算顺序，零指数幂，负整数指数幂的法则，是解题的关键． （1）根据运算顺序，先算除法可知，第①步开始出现错误； （2）去括号时，出现错误； （3）按照分式的运算法则和运算顺序，进行计算，根据负整数指数幂和零指数幂的法则，求出x的值，将x，y的值代入化简后的式子中，进行计算求值即可． 【详解】（1）解：根据分式的运算顺序，应该先算除法，丹丹同学第①步先算的减法， ∴从第①步开始出现错误； 故答案为：①； （2）解：在去括号时，括号前面是“”号，括号里面的每一项都要变号，丹丹同学括号里的第二项没有变号，出现错误， ∴从①到②不正确，错用去括号法则； 故答案为：否，错用去括号法则； （3）解：原式 ； ， 原式． 26．下面是王林同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后，解答下列问题． 王林的作业：                 第一步             第二步                   第三步                       第四步 (1)王林的作业是从第______步开始出现错误的，错误的原因是______． (2)已知，求的值． 【答案】(1)二；不应该去分母 (2) 【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的加减运算法则即可解答； （2）先根据分式的运算法则化简，由得到，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：王林的作业是从第二步开始出现错误的，错误的原因是不应该去分母． 故答案为：二；不应该去分母． （2）解： ， ， ， 原式． 27．以下是小华化简分式 的过程： 解：原式 …①            ⋯② ………    ……③ ． ． ……………④ (1)小华的解答过程在第 步出现错误； (2)请你帮助小华写出正确的解答过程，并选择一个合适的x值代入求值． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干已有的过程，发现第②步的是错误的，应为，即可作答． （2）先通分括号内，再运算乘法，化简得，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，小华的解答过程在第②步出现错误， 应把改为． 故答案为：②； （2）解： ∵x不能取0，2，4 把代入，得 28．下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)这位同学的解答，在第_____步出现错误，错误的原因是_____； (2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】(1)二；去括号没有变号 (2)；当时，原式的值为（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的化简求值， （1）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再把的值代入计算即可； 解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 【详解】（1）解：在第二步出现错误，错误的原因是去括号没有变号， 故答案为：二；去括号没有变号； （2） ， ∵（为整数），且、、， 当时，原式； 当时，原式． 29．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 ＝…第五步 任务一：填空： （1）以上化简步骤中，第一步进行的运算是________． A．整式乘法B．因式分解 （2）以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据：________． （3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因：________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并从不等式组的解集中选择一个合适的整数作为x的值，代入求值； 【答案】任务一：（1）B（2）二，分式的基本性质；（3）三，括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：，当时代数式值为1． 【分析】本题主要考查分式的化简求值，分式有意义的条件，分式的约分和解不等式组等，熟练掌握运算法则是解题关键． 任务一：（1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据通分及分式的基本性质即可求解； （3）根据去括号法则即可判断； 任务二：将原分式化简，然后解不等式组，再考虑分式有意义的条件，选取值代入求解即可； 【详解】任务一：填空： （1）第一步中，将转化为，这是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，属于因式分解， 故选：B． （2）第二步，是对两个分式进行通分． 通分的依据是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．这里是给的分子分母同乘，使其分母和的分母相同，方便后续计算． 故答案为：二，分式的基本性质； （3）第三步开始出错． 第二步通分后得到， 同分母分式相减，分子相减应为，去括号后是，而原步骤中写成了，是去括号时符号处理错误． ∴此处错误，理由是括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 故答案为：三，括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 任务二； 原式 ； 解不等式①． 解不等式②到． 所以不等式组的解集是． 因为原式分母不能为，即即，即，中且， 所以可以取． 当时，代入，得． 30．（1）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： ①以上化简过程中，第三步是进行分式的______，它的依据是______； ②上述解题过程中，从第______步开始出现错误，写出正确的化简过程； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）①通分，分式的基本性质；②四，见解析；（2） 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键． （1）①根据题中的步骤可知第三步是通分，再根据分式的基本性质即可得出答案； （2）根据异分母运算法则判断，然后按照先通分在加减的运算法则即可得出答案； （3）根据分式混合运算法则化简，然后再代入求值即可得出答案． 【详解】解：（1）①以上化简过程中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 故答案为：通分；分式的基本性质 ②上述解题过程中，从第四步开始出现错误， 故答案为：四； 正确化简过程如下： 原式 （2）原式 ， 当时，原式． 31．下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… (1)小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)二、三 (2)； 时，值为7，时，值为6． 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． （1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，他在分式的减法出现了错误，根据分式的约分方法可得涉及约分的步骤； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第三步， 故答案为：二、三； （2）解：原式= = = = ∵，， ∴，2，3 ∴可取4，5 当时，原式（或当时，原式） 32．在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕． 请根据如下的“接力游戏”完成两个任务： 接力游戏： 老师：化简： 甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学： 【任务一】 （1）在“接力游戏”中，丁同学是依据_______进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律 （2）在“接力游戏”中，从_______同学开始出现错误． 【任务二】 （3）请你写出正确的解答过程，并从0，1，2这三个数中选取一个合适的数代入求值． 【答案】（1）C；（2）乙；（3）过程见解析，1 【分析】本题主要考查了分式的化简求解． （1）利用分式的基本性质回答即可； （2）根据去括号的法则解答即可； （3）根据分式的四则混合运算法则计算，并选择合适的值代入求解即可． 【详解】解：（1）在“接力游戏”中，丁同学是依据分式的基本性质进行变形的． 故选：C （2）在“接力游戏”中，从乙同学开始出现错误， 故答案为：乙 （3）原式 ∵， ∴当时，原式 题型五、分式化简的新定义问题 33．新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（    ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 【答案】C 【分析】根据新定义运算逐个验证正确与否即可． 【详解】A、，A说法正确； B、，B说法正确； C、由已知条件得：，化简得：，C说法错误； D、由已知得：，，D说法正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确运用新定义的运算规则． 34．定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了分式的化简求值，根据定义得到，整体代入所求分式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 35．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．同时我们也可以将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，如：，那么若分式：的值为整数．则整数取值为： ． 【答案】/ 【分析】由题意直接根据“和谐分式”的定义将分式化简变形即可． 【详解】解：原式 为整数， 当或时， 分式的值为整数，此时或或1或． 又分式有意义时， ， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． 36．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 37．对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 【答案】(1)， (2)；． 【分析】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． （）根据新定义，把，代入即可求出的值； （）根据新定义把，代入即可求出的值； 根据是整数，即可求出整数的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：，，是，的“友好数”， ∴ ； ∵是整数，且是整数， ∴． 38．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，那么称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，那么所代表的代数式为_______________； (3)在（2）的条件下，如果“雅中式”的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 【答案】(1)不是的“雅中式”； (2) (3)整数的值为，，，，，，． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式； （2）再化简，根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到是的因数，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 不是的“雅中式”； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：由（2）得， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是：， 的值为：，，，，，，，． ， 的值为，，，，，，． 39．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简：，若该式的值为整数，求整数x的所有值． 【答案】(1)②③ (2) (3)， 【分析】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （1）由“和谐分式”的定义对①②③变形即可得； （2）由原式可得； （3）将原式变形为，据此得出或，即或或1或，又、1、、，据此可得答案． 【详解】（1）①，不是和谐分式； ②，是和谐分式； ③，是和谐分式； 故答案为：②③ （2）， （3）原式 ， 当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又分式有意义时、1、、， ． 40．阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：， 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，； 假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如： ． (1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）． (2)探究：将假分式化为带分式______． (3)拓展：先化简，并求x取何整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真 (2) (3)， 【分析】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正确计算是解题的关键． （1）根据真假分式的定义判断即可； （2）仿照例题计算即可； （3）先化简，再根据要求确定x的值． 【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数， ∴是真分式， 故答案为：真． （2）解：， 故答案为：． （3）解： ∵该式的值为整数，且，0，1， ∴． 1．（2025·北京西城·一模）已知，下列结论正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为负数 D．若为正整数，则可能为3 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件、分式的化简、通过分式计算即可判断A；根据分式有意义的条件可判断B；通过不等式的性质可判断C，通过分式求值可判断D． 【详解】解：，故A选项错误，不符合题意； 当时，，分式无意义，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； 当时，，不是正整数，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·江苏苏州·一模）已知：，则的值为（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，进行整体代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式； 故选：D． 3．（2025·安徽芜湖·一模）已知，计算的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的化简求值，先计算括号内的减法，再计算除法，得到化简结果，把已知等式变形后整体代入即可. 【详解】解： ∵ ∴， ∴原式 故选：B 4．（2025·河南郑州·一模）已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据，可以得到，然后两式做差，即可得到所求式子的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：8． 5．若，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简和代数式求值，熟练掌握分式化简方法和整体法求代数式值是解题的关键． 先化简分式得，再将变形，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：3 6．（2025·浙江嘉庆·一模）嘉嘉和淇淇在学习分式时，老师布置了一道题“计算：”． 嘉嘉的解法 解： 淇淇的做法 解： ① ② ③ ④ (1)老师在批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们最先出错的是哪一步？ (2)请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． 【答案】(1)嘉嘉最先出错的是第①步，淇淇最先出错的是第②步； (2)， 【分析】本题考查了异分母分式减法，分式化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据异分母分式减法运算法则判断即可； （2）根据异分母分式减法法则进行计算，然后再把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1）解：嘉嘉最先出错的是第①步，原因是直接去掉了分母； 淇淇最先出错的是第②步，原因是合并时分子减分子，符号错误． （2）解： ， 当时，原式． 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先将原式的分子分解因式，约分后得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 8．先化简，再求值：，从的整数解中选取一个合适的代入求值． 【答案】；，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据平方差公式和完全平方公式运算和进行括号内的加法运算，然后把除法改成乘法后约分即可化简，最后从的整数解中选取有意义的值代入即可求解． 【详解】解：原式 ， 整数解为，0，1， 又，且时，分式有意义， 当时，原式． 9．计算：．下面是甲同学的部分计算过程： 解：原式 (1)甲同学解法的依据是___________．(填序号) ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． (2)请写出完整的解答过程，并从，0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1)③ (2)；当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值问题，掌握相关的运算法则、公式和运算律是解题的关键． （1）根据题意可知括号内的每一项都乘以，使用的是乘法分配律； （2）顺着提示的思路先约分再合并，再根据分母和除数不为0选择合适的值带入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知括号内的每一项都乘以，使用的是乘法分配律， 故答案为：③； （2）原式 ， ， ， 原式． 10．（2025·浙江舟山·一模）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再由得，进而代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$