浙江省杭州市西湖区2024-2025学年下学期七年级期末教学质量调研数学试题卷

浙江省杭州市西湖区2024-2025学年第二学期七年级期末教学质量调研数学试题卷 一、选择题:本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．=(　　) A．-2 B．2 C． D． 2． 要使分式有意义，则的取值应满足（　　） A． B． C． D． 3． 要了解某地三个片区共2.7万名初中生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　） A．抽取某一片区的七年级学生进行调查 B．抽取三个片区的九年级学生进行调查 C．抽取某所学校的所有学生进行调查 D．按片区各抽取3所学校，对9所学校的所有学生进行调查 4． 如图，直线，被直线所截，若要使，则需具备条件（　　） A． B． C． D． 5． 下列各式中，运算结果为的是（　　） A． B． C． D． 6． 若， ，则的值为（　　） A．-12 B．-6 C．12 D．6 7． 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何. 意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺. 设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（　　） A． B． C． D． 8． 如图，直线 AB， CD 与直线 l 分别交于点 E， F， 的平分线 EG 交 CD 于点 G， 于点 H. 若 ， 则(　　) A． B． C． D． 9． 近年来，我国新能源汽车产业实现高质量发展. 上图是2018-2023年我国汽车销量和新能源汽车销量折线统计图，则（　　） A．2018-2023年新能源汽车销量一直保持增长 B．2020-2023年新能源汽车销量的年增长率持续增大 C．2020-2021年新能源汽车销量的年增长率最大 D．2022年新能源汽车销量占当年汽车销量的比例最大 10． 如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFH 的面积和为 58，点 C 在线段 BE 上，点 H 在线段 CD 上，延长 FH 交 AB 于点 G. 若 ，则长方形 BCHG 的面积为（　　） A．21 B．24 C．34 D．42 二、填空题:本大题有6个小题，每小题3分，共18分 11．分解因式： －9=　 　． 12． 如图，将长方形 ABCD 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到长方形 A'B'C'，若 ， ，则重合部分的面积为　 　. 13． 如图，是某市今年连续30天中晴天、阴天、雨天天数的扇形统计图，则晴天有　 　天. 14． 已知，则分式的值为　 　. 15． 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入　 　个大铁球和　 　个小铁球.（写出一组符合要求的值即可） 16． 如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图1，再沿PM折叠得到图2，已知，. ①如图1，若，则的度数为　 　； ②如图2，若，则的度数为　 　（用含k的代数式表示）. 三、解答题:本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．解方程或方程组. （1） （2） . 18．（1）计算：. （2）当时，求代数式的值. 19． 为了解某校七年级男生的耐力情况，某兴趣小组随机抽取了该年级部分男生的1000m跑成绩，将所得数据进行整理，分成，，，，五组，并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）. 抽取的男生1000m跑成绩频数表 组别 频数 频率 A 3 a B 6 0.1 C 12 0.2 D b c E 15 0.25 请根据所给信息，解答下列问题： （1）填空：=　 　，=　 　，=　 　. （2）补全频数分布直方图. （3）若该校七年级有800名男生，请根据样本估计1000m跑成绩在3'45”(不含3'45”)内的男生人数. 20．如图，已知直线 l与直线 AB，CD 分别交于点 E，F， 于点 G， 与 互余. （1） 判断直线 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由. （2） 若 ，求 的度数. 21．定义关于*的一种运算：是整数)，例如：. （1） 求 的值. （2） 若 ，求 的值. 22．综合与实践 【问题情境】 自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的. 这一效果正是利用了角反射器的原理. 最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的. 【数学探究】 如图，入射光线DE经过两次反射后，得到光线FG，已知，. （1） 如图1，AB，BC是两个互相垂直的平面镜，， ①若，求的度数. ②试判断入射光线DE和反射光线FG是否平行，并说明理由. （2） 如图2，改变镜子位置，设平面镜AB，BC的夹角，，，求的值（用含有或的代数式表示）. 23．为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍。已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元。 （1） 求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价。 （2） 甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）. ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系. 24．将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形ABCD内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合.两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为. （1）若，，，直接写出的值. （2）若，，求的值. （3）已知长方形ABCD的周长为36，面积为80，，求的值. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】负整数指数幂 【解析】【解答】解：，A、B、C错误。 故答案为： D. 【分析】本题考查负整数指数幂公式，只需准确套公式计算即可。 2．【答案】B 【知识点】分式有无意义的条件 【解析】【解答】解：依题意，解得，A、C、D错误。 故答案为：B . 【分析】分式有意义的条件就是分母不为0，解一个简单的不等式即可。 3．【答案】D 【知识点】抽样调查的可靠性 【解析】【解答】解：A.抽取一个片区的七年级学生，样本不具有代表性，A错误； B.虽然抽取了三个片区的学生，但都是九年级学生，样本不合适，B错误； C.抽取某所学校的所有学生，样本没有涵盖三个片区，不具有代表性，C错误； D.按片区各抽取3所学校，对九所学校的所有学生进行调查，样本完全具有代表性，D正确。 故答案为：D . 【分析】抽样调查需要选取合适的样本，否则不能代表总体的情况。本题要了解三个片区2.7万初中生的视力情况，样本必须包含三个片区的一部分学生，而且学生应该覆盖初中三个年级。 4．【答案】D 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：A.与是一对对顶角，它们相等对于证明两直线平行没有帮助，A错误； B.与是一对邻补角，它们互补对于证明两直线平行没有帮助，B错误； C.与是一对同旁内角，但并不互补，所以不能推出两直线平行，C错误； D.，同旁内角互补，两直线平行，D正确。 故答案为：D . 【分析】本题考查平行线的判定，应该在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的关系上入手，满足三者中的任一个都能使. 5．【答案】A 【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算 【解析】【解答】解：A.，A正确； B.，B错误； C.，C错误； D.，D错误。 故答案为：A . 【分析】本题考查整式运算里的几个基本公式，包含同底数幂的乘除法（）、幂的乘方（）、积的乘方（）、整式加法中的合并同类项的方法（系数相加，字母及其指数不变），只需准确套公式计算即可。 6．【答案】C 【知识点】因式分解的应用-化简求值 【解析】【解答】解： ∵ ∴原式= A、B、D错误。 故答案为：C . 【分析】先将所给代数式分解因式，其结果中刚好包含，整体代入计算就可以得到答案。 7．【答案】A 【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组 【解析】【解答】解：依题意，列方程组如下 故答案为：A . 【分析】这是一道方程的实际应用问题，需要从文字中发现两个量，木头长度和绳子长度，找到它们之间的两个等量关系：绳子不对折时，比木头长4.5尺；绳子对折时，比木头短1尺。根据这两个等量关系就可以列出一元二次方程组。 8．【答案】B 【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∵EG平分∠BEF ∴ ∴ ∴FE=FG，是等腰三角形 又∵ ∴ A、C、D均没有条件可证明，错误。 故答案为： B. 【分析】“平行线+角平分线”是一个经典组合，它可以带来线段相等，这里就易证w为等腰三角形，再结合三线合一性质就能判断选项B正确。 9．【答案】C 【知识点】折线统计图 【解析】【解答】解：A.2018-2019年新能源汽车销量下降，A错误； B.年增长率反映在折线统计图中就是图形的陡峭程度，线条越陡，增长率越大，反之越小。图中可以看出2020-2021年的增长率比2021-2022年的增长率大，所以2020-2023年的增长率并没有持续增大，B错误； C.由图可以看出2020-2021年新能源汽车的年增长率最大，C正确； D.每一年新能源汽车销量占当年汽车销量的比例计算方法是用这一年的新能源汽车销量除以两种汽车销量之和，经过计算可知，D错误。 故答案为：C . 【分析】本题主要考查学生对折线统计图的理解能力，线条的攀高或走低能反映出数据的变化趋势，而线条的陡峭程度反映数据的增长率大小，在某些情况下还需要通过计算来比较不同的结果才能得出答案。 10．【答案】A 【知识点】完全平方公式及运用 【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFH的边长为b，则. ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∴长方形BCHG的面积为 故答案为：A . 【分析】本题运用整体思维求解，虽然不能将两个正方形的边长分别求出来，但可以利用它们之间的和与平方和的关系，巧妙变形从而得到整体的值，而这个整体就是要求的长方形的面积，问题得解。 11．【答案】 【知识点】因式分解﹣公式法 【解析】【解答】 －9= ． 12．【答案】8 【知识点】平移的性质 【解析】【解答】解：如图所示 易求 ∴重合部分矩形的面积为 故答案为：8 . 【分析】本题利用平移的知识，不难分析出重合部分是个矩形，它的长和宽也很容易算出，套用矩形面积公式计算即可。 13．【答案】14 【知识点】扇形统计图 【解析】【解答】解：（天） 故答案为：14 . 【分析】本题考查学生对扇形统计图的认识，根据图中各个扇形的圆心角占周角的比例与这一项占总体的比例相等，可以先计算168°占360°的比例是多大，再用这个比例乘以30天就可以求出晴天的天数。 14．【答案】 【知识点】分式的约分；分式的化简求值-整体代入 【解析】【解答】解： 故答案为： . 【分析】注意到题目所给的条件和要求的代数式之间在形式上似乎很有联系，故先将要求的代数式向条件的形式变形，然后将条件式整体代换进来，最后通过约分得到答案。 15．【答案】3；2 【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题 【解析】【解答】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y，依题意可列方程组 解得 另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21，则依题意有 这个二元一次方程的整数解有，，， 故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） . 【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案。 16．【答案】25； 【知识点】平行线的应用-折叠问题；数形结合 【解析】【解答】解：①∵ ∴ 由折叠的性质可知 ②∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， 由折叠的性质可知 ∴ 解得 ∴ 故答案为：①25；②. 【分析】①首先由平行线的性质求出∠AMP的度数，再结合折叠的性质可求出∠AMN度数； ②需要灵活运用平行线的性质以及两次折叠的关系找出相关角的等量关系，建立方程求解，同时，多个字母参与运算考查学生的代数运算能力。 17．【答案】（1）解： ①+②，得：5x=5， 解得x=1 将x=1代入①得，y=-4， ∴原方程组的解为； （2）解：4x-6=x+6 3x=12 x=4 经检验x=4是方程的解. 【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程 【解析】【分析】（1）解二元一次方程组的核心思想是消元（包括代入消元和加减消元），本题采用加减消元法先消去未知数y，解出x之后再求y； （2）解分式方程第一步就是去分母，得到相应的整式方程后，就能很快解出未知数的值，但一定要记得验根。 18．【答案】（1）解：原式= = （2）解：原式= = = 当x=-3时，原式=14 【知识点】利用整式的混合运算化简求值；同分母分式的加、减法 【解析】【分析】（1）本题主要考查的是分式的化简，同分母分式相减，分母不变，分子相减，同时要求学生能熟练进行因式分解，以便进一步约分。 （2）本题是整式的乘法、加法与减法的混合运算，尤其是乘法中的完全平方公式以及多项式乘多项式的方法，另外要注意后半句部分的符号容易出错，因为括号前面是个负号。化简之后代值计算属于有理数的简单混合运算，注意计算要细心。 19．【答案】（1）0.05；24；0.4 （2）解： ​​​​​​​ （3）解：（0.05+0.1+0.2）×800=280（人） 答：在3'45”内的男生人数有280人. 【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本的频数估计总体的频数 【解析】【解答】解：（1） ∴ （2）见答案 （3）见答案 【分析】（1）抓住公式，在频数分布表中用B、C、E组任一组的频数除以对应的频率即可求出样本容量为60，用它减去其他四组的频数就能得到，分别用A、D两组的频数除以60就能求出对应的频率； （2）根据第（1）问求出的频数，在D组画出高度为24的条形图即可。 （3）抽样调查的意义在于可以用样本的结论估计总体的情况，根据（1）（2）的分析与解答可知，样本中1000m跑成绩在（不含）内的男生包括A、B、C三组，这三组总共占样本容量的比例有多大，那么可以估计在七年级全体800名男生中也有这么大的比例的男生1000m跑成绩在（不含）内，所以列式（0.05+0.1+0.2）×800即可。 20．【答案】（1）解：； 理由如下： ∵， ∴∠2+∠4=90°， ∵ 与 互余， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠1=∠4， ∴； （2）解：∵∠1+∠2=90°，， ∴∠2=22.5°，∠1=67.5°， ∴∠5=∠1=67.5°， ∵， ∴∠3+∠5=180°， ∴∠3=112.5°， 【知识点】对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【解析】【分析】（1）目测不难猜想，要证明两直线平行，不外乎证明三种角的关系（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）之一，或者是平行公理的推论（平行于同一条直线的两条直线平行），本题显然选择前一种思路。另外，这里要用到同角的余角相等来代换相等的两个角（∠1=∠4），从而由同位角相等得出两直线平行。 （2）根据∠1与∠2互余，以及它们之间的3倍关系易求出各自的度数，而∠5与∠1是对顶角关系，故∠5=∠1，此时发现要求的∠3与已求的∠5刚好是平行线AB、CD被第三条直线所截的同旁内角，是互补的关系，因此可以求出∠3度数。 21．【答案】（1）解：= （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；整体思想 【解析】【分析】（1）新定义题型其实都是送分题，只需要按部就班操作即可，注意将具体算式中的数字与题目所给的字母a、b对应准确。 （2）这一问稍微要灵活一点，首先根据得出，接着变形为，然后发现.多数同学会卡在，因为会顺手想要解出a的值，那样就很麻烦了，因为这个关于a的一元二次方程的解并不好求，且求出的结果较复杂，如果代入来计算就越做越困难。 22．【答案】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②； 理由如下：∵， ， ∴， ∵ ∴ ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题 【解析】【分析】（1）①要求∠GFC就是要求∠EFB，那么放在中来看，只要知道∠BEF即可，而∠BEF=∠AED=70°，问题就迎刃而解了。 ②这一问利用两个平角的和减去四个小角得到同旁内角（）互补，从而说明两直线平行； （2）本题是在第（1）问的基础上对条件作一些改变，使相关的角的度数一般化，解题思路并不复杂，只需要用含字母的代数式分别表示出，再将两者相加即可得出结论。 23．【答案】（1）解：设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个， 由题意得：， 解得：， 答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个； （2）解：①甲：元， 乙： 答：甲商场付款金额为元， 乙商场付款金额为元； ②由题意得：48a+20b=36a+15b+510， 则12a+5b=510. 【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）这里根据题意设两个未知数，建立相应的二元一次方程组模型，求解即可； （2）①这一问考察学生的文字理解能力，对于打折销售类问题，不仅要知道，还要充分考虑到两个商场不同的促销方式，列出符合题意的代数式，然后能准确化简结果； ②在第①问的基础上做这一问就很简单了，直接建立起关于a、b的一个等式，化简就得到它们之间应满足的关系。 24．【答案】（1）解： （2）解：作辅助线如下图 图1 图2 设AB=x，AD=y， ∴ ， ∴， 由题意得：，b=2， ∴​​​​​​​ （3）解：设AB=x，AD=y，且（y＞x＞0） 则， ∴， ∵y＞x＞0， ∴， ∵a=2(x+y-b)=2(18-b)=28， ∴b=4， 由（1）得 【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法；数形结合 【解析】【解答】解：（1）作辅助线如图所示 ∵ ∴b=8， ∴ （2）见答案 （3）见答案 【分析】（1）图1中的阴影部分周长可以转化为长方形CDEF的周长，它的长与宽都很容易找到，只要套用长方形的周长公式计算即可； （2）两个图形中的阴影部分的面积都可以转化为两个不同的矩形面积之和，再分别用相应的代数式表示出来，通过运算化简得到，而，b=2，整体代入就能得出答案。 （3）同样设长方形的宽为x，长为y，由（2）可知，结合这一问给出的条件可以变形得到，同时利用可以求出b=4，代入计算即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$