3.6函数的应用讲义-2026届高三数学一轮复习

§3.6 函数的应用 目录 知识点一：函数的零点与方程的根 2 考法1：确定函数零点所在位置 3 考法2：判断函数零点个数 5 考法3：利用函数零点情况求参数 10  已知函数零点所在的区间求参数 10  已知函数零点或方程根的个数求参数 13 考法4：嵌套函数的零点问题 16  判断嵌套函数的零点个数 16  由嵌套函数的零点情况求参数 18 知识点二：函数模型及其应用 22 考法5：利用函数图象刻画实际问题的变化过程 24 考法6：已知函数模型解决实际问题 26 【强化训练】 29 知识点一：函数的零点与方程的根 1. 函数的零点 (1) 定义：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． (2) 函数的零点、函数的图象与轴的交点、对应方程的根的关系： 2. 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即，使得，这个 也就是方程的解． · 【微点提醒】 (1) 符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但零点不一定唯一． (2) 并不是所有的零点都可以用该定理来判定，不满足该定理的函数也可能有零点．函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点，定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题． (3) 若函数在区间内有零点，且在区间上是单调函数，则函数在区间内至多有一个零点． 3. 二分法 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 考法1：确定函数零点所在位置 方法提炼 函数零点所在区间的判断方法： (1) 定理法：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有.若有，则函数在区间内必有零点．此法适用于能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负的题型. (2) 图像法：适用于容易画出函数图像的题型，通过观察图像与轴在给定区间是否有交点来判断. (3) 解方程法：当易解时，直接解方程的根，然后看所求得的根是否落在给定区间上. 【例1.1.】 函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 若，，，则（   ） A． B． C． D． 考法2：判断函数零点个数 方法提炼 判断函数零点个数的常用方法： (1) 代数法：令，求解方程，则有几个不同的解就有几个零点. (2) 函数零点存在定理：不仅要求函数图像在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. (3) 图像法 1　 画出函数图像，图像与轴交点的个数就是函数的零点个数. 2　 将函数拆成，则函数的零点个数即为和的图像的交点个数. (4) 利用函数性质：利用函数的单调性确定函数图像的起伏，则其零点个数不难得到；若函数是周期函数，则只需求出函数在一个周期内的零点个数. 【例2.1.】 函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知函数，若，则方程在的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2.3.】 函数在开区间的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【例2.5.】 已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（    ） A．9 B．10 C．17 D．12 考法3：利用函数零点情况求参数 方法提炼 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路： (1) 直接法：利用零点存在定理构造关于参数的不等式，通过解不等式确定参数取值范围. (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. 1　 方程有个根的图象与直线有个交点． 2　 方程有根． (3) 数形结合法： 1　 有个零点方程有个实数根函数与的图像有个交点 2　 数形结合找临界的常见情形：直曲相切或双曲公切（即两曲线相切于一点）的临界情况;曲线（或区间）端点以及函数图像的间断点处找临界. · 已知函数零点所在的区间求参数 【例3.1.】 函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【例3.3.】 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【例3.4.】 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． · 已知函数零点或方程根的个数求参数 【例3.5.】 已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3.6.】 已知函数，若函数的零点个数恰为2个，则（   ） A．或 B． C．或 D．或 【例3.7.】 已知函数的零点个数为2，求的取值范围为 . 考法4：嵌套函数的零点问题 · 判断嵌套函数的零点个数 方法提炼 嵌套函数的零点个数问题求解思路及步骤： (1) 确定内层函数和外层函数； (2) 确定外层函数的零点； (3) 确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 【例4.1.】 函数在上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【例4.2.】 若函数，求的零点个数. 【例4.3.】 已知函数，则函数的零点个数是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 · 由嵌套函数的零点情况求参数 方法提炼 已知复合函数实数根的个数，求参数问题处理思路： (1) 先根据解析式画出内（外）层函数图象； (2) 令内函数，结合函数图象及零点个数，分析函数根的个数； (3) 内外层函数相结合确定函数交点个数情况，从而得到关于参数的不等式，解出参数范围即可. 【例4.4.】 已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 【例4.5.】 已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知函数有三个零点，则三个零点之和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例4.7.】 已知函数记函数的个零点为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点二：函数模型及其应用 1. 三种增长型函数模型的性质 函数 性质　　　 在上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随的增大逐渐表现为与轴平行 随的增大逐渐表现为与轴平行 随值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时， · 【微点提醒】 “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 2. 常见的函数模型 (1) 一次函数模型：，（为常数且）,其增长特点是直线上升（）或直线下降（）. (2) 二次函数模型：，（为常数且）. 1　 有些问题的两变量之间是二次函数关系：如面积问题、利润问题、产量问题等，可构建二次函数模型，利用二次函数图像与单调性求解. 2　 建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题. (3) 反比例函数模型：，（为常数且）. (4) 与指数函数相关的模型：，（为常数，且） . 设原有量为，每次的增长率为，经过次的增长，该量增长到，则，复利问题、半衰期（衰减）问题都是符合指数增长模型． (5) 与对数函数相关的模型：,(为常数，且). (6) 与幂函数相关的模型：，（为常数，） (7) 分段函数模型 1　 很多实际问题中变量间的关系，不能用同一关系式给出，而是几个不同的关系式构成分段函数，如出租车与路程之间就是分段函数． 2　 要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 3　 构造分段函数时，力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏. （8） 对勾函数模型： 解决对勾函数的最值问题通常利用基本不等式，特别要注意基本不等式中等号成立的条件，当等号不能成立时，可通过判断函数的单调性解决函数的最值问题. 3. 解函数应用题的步骤（四步八字） (1) 审题：认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内在联系，及关键的等量关系． (2) 建模：通过抽象概括，引进数学符号，利用已有知识建立相应的数学模型，要注明符合实际意义的定义域； (3) 解模：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解； (4) 还原：将所求得的数学结果，还原到实际问题中去． 以上过程用框图表示如下： 考法5：利用函数图象刻画实际问题的变化过程 方法提炼 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法： (1) 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象； (2) 验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 【例5.1.】 如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．   B．     C．   D．   【例5.2.】 在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（    ） A． B． C． D． 考法6：已知函数模型解决实际问题 方法提炼 求解已知函数模型解决实际问题的关注点： (1) 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数； (2) 根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3) 利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 【例6.1.】 在跳水运动中，水花半径（单位：米）与运动员入水速度、入水时身体倾斜角度（弧度）、入水截面积相关．实验表明，当入水速度时，水花半径满足公式：，其中为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作时，入水速度、入水时身体倾斜角度、入水截面积，则入水产生的水花半径是（   ）（注：结果保留3位小数，其中） A．0.026m B．0.027m C．0.028m D．0.029m 【例6.2.】 某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（   ） A．12年 B．13年 C．14年 D．15年 【例6.3.】 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（    ）（参考数据：） A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5.0 【例6.4.】 遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（    ）（参考数据：） A．100小时 B．300小时 C．1000小时 D．3000小时 【强化训练】 1. 函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 2. 在一定条件下，大气压强（单位：百帕）随海拔高度（单位：米）的变化满足如下函数关系式：为正常数）．已知海拔高度0米处的大气压强为1000百帕，海拔高度10000米处的大气压强为250百帕，那么，若大气压强增加1倍，则海拔高度降低（    ） A．100米 B．2500米 C．5000米 D．7500米 3. 已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D． 4. 已知函数，存在实数b，使得方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 5. 已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6. 已知函数，若函数的四个零点从小到大排列依次为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7. （多选）已知函数，给出下列四个选项，其中正确是（ ） A．若，恰 有2个零点 B．存在负数，使得恰有1个零点 C．存在负数，使得恰有3个零点 D．存在正数，使得恰有3个零点 8. （多选）已知函数，则（   ） A．的零点个数为2 B．当时，有2个不同的零点 C．当时，有4个不同的零点 D．是有1个零点的充要条件 9. 已知函数满足，且，则函数的最大值为 ；方程的实数解的个数为 ． 10. 设函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §3.6 函数的应用 目录 知识点一：函数的零点与方程的根 2 考法1：确定函数零点所在位置 3 考法2：判断函数零点个数 5 考法3：利用函数零点情况求参数 10  已知函数零点所在的区间求参数 10  已知函数零点或方程根的个数求参数 13 考法4：嵌套函数的零点问题 16  判断嵌套函数的零点个数 16  由嵌套函数的零点情况求参数 18 知识点二：函数模型及其应用 22 考法5：利用函数图象刻画实际问题的变化过程 24 考法6：已知函数模型解决实际问题 26 【强化训练】 29 知识点一：函数的零点与方程的根 1. 函数的零点 (1) 定义：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． (2) 函数的零点、函数的图象与轴的交点、对应方程的根的关系： 2. 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即，使得，这个 也就是方程的解． · 【微点提醒】 (1) 符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但零点不一定唯一． (2) 并不是所有的零点都可以用该定理来判定，不满足该定理的函数也可能有零点．函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点，定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题． (3) 若函数在区间内有零点，且在区间上是单调函数，则函数在区间内至多有一个零点． 3. 二分法 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 考法1：确定函数零点所在位置 方法提炼 函数零点所在区间的判断方法： (1) 定理法：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有.若有，则函数在区间内必有零点．此法适用于能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负的题型. (2) 图像法：适用于容易画出函数图像的题型，通过观察图像与轴在给定区间是否有交点来判断. (3) 解方程法：当易解时，直接解方程的根，然后看所求得的根是否落在给定区间上. 【例1.1.】 函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 【例1.2.】 函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是． 故选：B． 【例1.3.】 若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即， 构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即， 构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即，但与作比较可得： 综上可知：， 故选：A. 考法2：判断函数零点个数 方法提炼 判断函数零点个数的常用方法： (1) 代数法：令，求解方程，则有几个不同的解就有几个零点. (2) 函数零点存在定理：不仅要求函数图像在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. (3) 图像法 1　 画出函数图像，图像与轴交点的个数就是函数的零点个数. 2　 将函数拆成，则函数的零点个数即为和的图像的交点个数. (4) 利用函数性质：利用函数的单调性确定函数图像的起伏，则其零点个数不难得到；若函数是周期函数，则只需求出函数在一个周期内的零点个数. 【例2.1.】 函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由的零点， 转化为的零点， 因为均为减函数， 在上单调递减且， 又， ， 若存在，使得，只需， 则即可，存在值， 在上有且只有一个零点，即有且只有一个零点. 故选：B 【例2.2.】 已知函数，若，则方程在的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由， 可得． 设，则方程在的根的个数等于方程在上的根的个数． 因为函数与函数都为增函数， 所以函数在单调递增． 则可推得，即方程， 依题即判断方程在的根的个数． 由于时，， 令，因为函数，在都单调递增， 所以函数在单调递增， 所以，即当时，方程在只有1个根． 所以方程在的根的个数为1， 即方程在的根的个数为1． 故选：B. 【例2.3.】 函数在开区间的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：法一： ， ， 令，则或， 即：或或， 如图所示： 由图像可知， 函数共8个零点. 法二：因为， 由，得，或， 所以，或，即，或，， 因为， 所以，或共个零点. 故选：D 【例2.4.】 当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 【例2.5.】 已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（    ） A．9 B．10 C．17 D．12 【答案】C 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 由可知，函数的图象关于直线对称， 则有，则，则， 所以，故是周期函数，周期. 又因为，所以，且有，则. 当时，是增函数， 且时，，时，，所以在上有且仅有一个零点. 函数与函数的图象如图， 由图可知，方程在区间上有10个根，去除后，还有9个根， 方程的根，即函数的图象与函数的图象的交点，有8个， 所以，方程在区间上的根的个数为. 故选：C. 考法3：利用函数零点情况求参数 方法提炼 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路： (1) 直接法：利用零点存在定理构造关于参数的不等式，通过解不等式确定参数取值范围. (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. 1　 方程有个根的图象与直线有个交点． 2　 方程有根． (3) 数形结合法： 1　 有个零点方程有个实数根函数与的图像有个交点 2　 数形结合找临界的常见情形：直曲相切或双曲公切（即两曲线相切于一点）的临界情况;曲线（或区间）端点以及函数图像的间断点处找临界. · 已知函数零点所在的区间求参数 【例3.1.】 函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【例3.2.】 曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 【例3.3.】 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 【例3.4.】 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点， 当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需； 当时，，令，得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 又，. 要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点， 则需满足，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故选：B · 已知函数零点或方程根的个数求参数 【例3.5.】 已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若函数恰有3个零点， 即函数与的图象有3个交点， ， 当时，，当时，， 函数的图象如下， 结合图象可得. 故选：A. 【例3.6.】 已知函数，若函数的零点个数恰为2个，则（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据题意画出函数的图象，如图：    函数的零点个数恰为2个，等价于方程的根的个数有2个， 显然不是方程的根，所以有的根的个数有2个， 即的图象与的图象的交点个数为2，易知， 若，则，解得； 若，因为左支已交于一点，所以右支必然只能交于一点， 所以，解得； 综上，． 故选：B． 【例3.7.】 已知函数的零点个数为2，求的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，即，， 故的零点个数为2等价于与的图像有2个交点， 画出的图象， 当时，，如图，此时有2个交点. 设与相切的切点坐标为， ，此时切线斜率为，解得：，， 当时，与的交点个数为1， 此时与的交点个数为2， 当时，与的交点个数为2， 故与的交点个数为3个，如下图： 当时，与的交点个数为0， 故与的交点个数为1个， 当时，设与相切的切点坐标为， ，恒过， 此时切线斜率为，解得， 此时， 所以当时，与的交点个数为1， 则与的交点个数为1个，如下图： 当时，与的图象没有交点， 当时，与的图象有2个交点， 故答案为： 考法4：嵌套函数的零点问题 · 判断嵌套函数的零点个数 方法提炼 嵌套函数的零点个数问题求解思路及步骤： (1) 确定内层函数和外层函数； (2) 确定外层函数的零点； (3) 确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 【例4.1.】 函数在上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】令函数，根据“勾函数”的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以当时，， 由，. 只有当时，的值分别对应. 又因为在上各有2个解， 所以在上有6个零点. 故选：C 【例4.2.】 若函数，求的零点个数. 【详解】令，则，所以， 解得，解得或， 当时，，求导得， 令，则，解得， 若时，，若，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，， 当时，在上单调递增，且， 所以有3个解，有2个解， 所以的零点个数为5个. 【例4.3.】 已知函数，则函数的零点个数是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由已知， 令，即， 当时，得或， 当时，明显函数在上单调递减，且，， 故存在，使， 画出的图象如下， 再画出直线，其中，    观察图象可得交点个数为个， 即函数的零点个数是. 故选：D. · 由嵌套函数的零点情况求参数 方法提炼 已知复合函数实数根的个数，求参数问题处理思路： (1) 先根据解析式画出内（外）层函数图象； (2) 令内函数，结合函数图象及零点个数，分析函数根的个数； (3) 内外层函数相结合确定函数交点个数情况，从而得到关于参数的不等式，解出参数范围即可. 【例4.4.】 已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意作出函数的图像， 由，令，有， 即，化简得， 解得或，若方程有且仅有5个不同实数根， 所以或，解得或， 即，所以， 故答案为：. 【例4.5.】 已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，作出函数的大致图象，如图． 令，由图可知，当时，关于的方程有2个不同的实数根； 当时，关于的方程无实数根； 当或时，关于的方程只有1个实数根． 因为关于的方程有3个不同实数根， 所以关于的方程的一个根在内， 另一个根在内，或一个根为0，另一个根在内． 当为方程的根时，，且方程的另一根为． 当时，方程的另一个根为，不符合题意； 当时，方程的另一个根为，不符合题意． 当为方程的根时，有，则或． 当时，方程的另一个根为，不符合题意； 当时，方程的另一个根为，不符合题意． 所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内． 令， 则即解得． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B. 【例4.6.】 已知函数有三个零点，则三个零点之和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】令，则，函数可转化为. 因为函数有三个零点，所以函数也有三个零点. 是偶函数，其图象关于轴对称. 因为有三个零点，根据偶函数的性质可知，必有一个零点为. 将代入中，可得，即，因式分解得. 因为，所以，解得. 当时，. 当时，，令，即，因式分解得，解得或. 因为是偶函数，所以当时，，令，即，因式分解得，解得或. 所以的三个零点为，，. 因为，，所以当时，；当时，；当时，. 即的三个零点为，，. 三个零点之和为. 故选：D. 【例4.7.】 已知函数记函数的个零点为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题可知， 令，则， 当时，，此时有唯一的零点； 当时，， 当时，单调递减，且， 所以存在，使得； 当时，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 所以在上无零点， 所以在其定义域上有两个零点． 当时，因为，所以由，得，解得； 当时，由，得，或， 所以函数共有3个零点，分别为， 所以． 故选：A． 知识点二：函数模型及其应用 1. 三种增长型函数模型的性质 函数 性质　　　 在上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随的增大逐渐表现为与轴平行 随的增大逐渐表现为与轴平行 随值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时， · 【微点提醒】 “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 2. 常见的函数模型 (1) 一次函数模型：，（为常数且）,其增长特点是直线上升（）或直线下降（）. (2) 二次函数模型：，（为常数且）. 1　 有些问题的两变量之间是二次函数关系：如面积问题、利润问题、产量问题等，可构建二次函数模型，利用二次函数图像与单调性求解. 2　 建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题. (3) 反比例函数模型：，（为常数且）. (4) 与指数函数相关的模型：，（为常数，且） . 设原有量为，每次的增长率为，经过次的增长，该量增长到，则，复利问题、半衰期（衰减）问题都是符合指数增长模型． (5) 与对数函数相关的模型：,(为常数，且). (6) 与幂函数相关的模型：，（为常数，） (7) 分段函数模型 1　 很多实际问题中变量间的关系，不能用同一关系式给出，而是几个不同的关系式构成分段函数，如出租车与路程之间就是分段函数． 2　 要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 3　 构造分段函数时，力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏. （8） 对勾函数模型： 解决对勾函数的最值问题通常利用基本不等式，特别要注意基本不等式中等号成立的条件，当等号不能成立时，可通过判断函数的单调性解决函数的最值问题. 3. 解函数应用题的步骤（四步八字） (1) 审题：认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内在联系，及关键的等量关系． (2) 建模：通过抽象概括，引进数学符号，利用已有知识建立相应的数学模型，要注明符合实际意义的定义域； (3) 解模：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解； (4) 还原：将所求得的数学结果，还原到实际问题中去． 以上过程用框图表示如下： 考法5：利用函数图象刻画实际问题的变化过程 方法提炼 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法： (1) 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象； (2) 验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 【例5.1.】 如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．   B．     C．   D．   【答案】A 【详解】根据题意可知在梯形中，； 当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为； 当时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形， 其面积为； 当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积， 即； 所以可得； 根据函数类型对比图象可得A正确. 故选：A 【例5.2.】 在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，点在第一条边上时，， 但点在第二条边上运动时，是随的增大先减小（减到最小时即为三角形的第二条边上的高的长度），然后再增大， 对比图象可知，A错误； 对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误； 对于C，一开始与的关系不是线性的，C错误； 对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为， 点在第一条边上时（即时），， 点在第二条边上运动时（即时），，依然单调递增， 点在第三条边上运动时（即时），，单调递减， 点在第四条边上运动时（即时），，单调递减， 且已知与的图象关于（其中）对称，D正确. 故选：D. 考法6：已知函数模型解决实际问题 方法提炼 求解已知函数模型解决实际问题的关注点： (1) 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数； (2) 根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3) 利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 【例6.1.】 在跳水运动中，水花半径（单位：米）与运动员入水速度、入水时身体倾斜角度（弧度）、入水截面积相关．实验表明，当入水速度时，水花半径满足公式：，其中为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作时，入水速度、入水时身体倾斜角度、入水截面积，则入水产生的水花半径是（   ）（注：结果保留3位小数，其中） A．0.026m B．0.027m C．0.028m D．0.029m 【答案】C 【详解】由题意可得：． 故选：C． 【例6.2.】 某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（   ） A．12年 B．13年 C．14年 D．15年 【答案】C 【详解】由题意可知，代入公式可得， 所以所以，所以至少需要14年， 故选：C 【例6.3.】 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（    ）（参考数据：） A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5.0 【答案】C 【详解】已知当，时，代入，解得. 小明在距离该视力表3米处进行检测,即，代入，求解； 因为题中参考数据已知，； 所以. 所以. 故选：. 【例6.4.】 遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（    ）（参考数据：） A．100小时 B．300小时 C．1000小时 D．3000小时 【答案】C 【详解】由题意得，所以，即， 两边同时取以10为底的对数，得，所以. 故选：C. 【强化训练】 1. 函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，因为在上连续且为增函数． 且，则． 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是． 故选：C. 2. 在一定条件下，大气压强（单位：百帕）随海拔高度（单位：米）的变化满足如下函数关系式：为正常数）．已知海拔高度0米处的大气压强为1000百帕，海拔高度10000米处的大气压强为250百帕，那么，若大气压强增加1倍，则海拔高度降低（    ） A．100米 B．2500米 C．5000米 D．7500米 【答案】C 【详解】由题意可得， 所以，， 设大气压强从250百帕增加1倍到500百帕，海拔高度降低米， 则，所以， 所以，即， 所以，所以. 故选：C. 3. 已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】函数，其定义域为， 且，所以函数是偶函数. 由于偶函数图象关于轴对称，且有且仅有一个零点，所以有， 即，所以. 故选：C. 4. 已知函数，存在实数b，使得方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，存在实数，使得有3个不同的实数解， 即二次函数在区间不单调，所以； 且二次函数的最小值要小于一次函数的上确界， 即，解得，综上得． 故选：C. 5. 已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则方程可转化为. 对进行因式分解可得，则，. 所以或. 当时，，因为指数函数在上单调递增，所以在上单调递增，且. 当时，，对其求导，. 令，即，解得（）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，也是最小值，. 对于： 当时，，即，，解得，有个根. 因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根. 结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根. 的取值范围为. 故选：B. 6. 已知函数，若函数的四个零点从小到大排列依次为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数有四个零点，所以方程有四个根， 所以方程有四个根， 所以函数的图象与函数的图象有四个交点， 作函数的图象可得 观察图象可得，，且， 所以，所以， 所以，故， 令可得，，故， 所以， 所以， 因为函数在上单调递减， 所以，即， 又， 所以， 所以的取值范围为， 故选：D. 7. （多选）已知函数，给出下列四个选项，其中正确是（ ） A．若，恰 有2个零点 B．存在负数，使得恰有1个零点 C．存在负数，使得恰有3个零点 D．存在正数，使得恰有3个零点 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，由，可得或，A正确； 对于B，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，B正确； 对于C，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，C错误； 对于D，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，D正确. 故答选：ABD. 8. （多选）已知函数，则（   ） A．的零点个数为2 B．当时，有2个不同的零点 C．当时，有4个不同的零点 D．是有1个零点的充要条件 【答案】BC 【详解】对于A，当时，，当且仅当取等号， 当时，由，，解得，因此的零点个数为1，A错误； 对于B，当时，由，得或， 当时，在上单调递增，，， ，则由，得；由，得，有2个不同的零点，B正确； 对于C，令，由，得，， 当时，方程有两个不等实根，则， ，，因此，函数的图象，如图： 直线与的图象有两个交点，则方程有两个不等的负根， 直线与的图象有两个交点，则方程有两个不等的正根， 因此有4个不同的零点，C正确； 对于D，当时，由选项C知，方程有两个不等实根， 则，，，因此， 观察图象知，直线、与的图象没有交点，即无零点，D错误. 故选：BC 9. 已知函数满足，且，则函数的最大值为 ；方程的实数解的个数为 ． 【答案】 2 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图，则函数的最大值为2， 方程的解，即为与的交点横坐标， 计算可得：，所以在有一个交点， ，， 且当时，无交点. 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为：； 10. 设函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】设，则，那么，都在函数的图象上 假设，因为函数单调递增，所以，即，与假设矛盾； 假设，因为函数单调递增，所以，即，与假设矛盾； 所以，则在上有解，即在上有解. 令，令，解得， 因此在上单调递增，在上单调递减； ，，， 所以，即， 故答案为：. 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