专题2.5 实数的初步认识（章节复习）知识梳理+27个高频易错考点讲练 共54题-2025-2026学年苏科版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题2.5 实数的初步认识（章节复习） （知识梳理+27个高频易错考点讲练 共54题） 考点讲练1：求一个数的算术平方根 3 考点讲练2：利用算术平方根的非负性解题 4 考点讲练3：估计算术平方根的取值范围 5 考点讲练4：与算术平方根有关的规律探索题 5 考点讲练5：算术平方根的实际应用 7 考点讲练6：平方根概念理解 8 考点讲练7：求一个数的平方根 9 考点讲练8：求代数式的平方根 10 考点讲练9：已知一个数的平方根，求这个数 11 考点讲练10：利用平方根解方程 12 考点讲练11：立方根概念理解 13 考点讲练12：求一个数的立方根 13 考点讲练13：已知一个数的立方根，求这个数 15 考点讲练14：立方根的实际应用 16 考点讲练15：算术平方根和立方根的综合应用 17 考点讲练16：无理数 19 考点讲练17：无理数的大小估算 19 考点讲练18：无理数整数部分的有关计算 20 考点讲练19：实数概念理解 21 考点讲练20：实数的分类 21 考点讲练21：实数的性质 22 考点讲练22：实数与数轴 23 考点讲练23：实数的大小比较 24 考点讲练24：程序设计与实数运算 25 考点讲练25：求一个数的近似数 26 考点讲练26：求近似数的精确度 26 考点讲练27：近似数推断取值范围 27 知识点 重点归纳 常见易错点 算术平方根 1.概念：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 概念中特别强调为正数 2.表示方法: 平方根的符号与除号很像，但不同。 3.性质: ①规定：0的算术平方根是0；②非负性 0的算术平方根是0，是一个规定。 平方根 1.概念：如果，那么这个数叫做的平方根, 也叫二次方根。 此处概念当中没有说是正是负。注意与算术平方根的概念区别. 2.表示方法: 3.性质: ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数;②0的平方根是0；③负数没有平方根。 正数的平方根有两个：互为相反数。 开平方 1.概念：求一个数的平方根的运算叫做开平方。 注意理解平方根是数，是开平方运算的结果；而开平方是一种运算。 2.关系：开平方与平方互为逆运算。 立方根 1.概念：一般的如果，那么这个数叫做的立方根, 也叫三次方根。 从立方根的记号可以看出，一个数的立方根只有一个，而且一个数的立方根与这个数本身符号相同。 2.表示方法: 3.性质: ①正数的立方根是正数;②0的立方根是0；③负数的立方根是负数。 开立方 1.概念：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 开立方和立方根的区别：开立方是一种运算，立方根是个数。 2.关系：开立方与立方互为逆运算。 实数 1.概念：有理数与无理数统称为实数。 注意带根号的数不一定都是无理数:例如：，因为，属于有理数范围；带的数也不一定是无理数，例如：，因为是有理数 2.分类：实数分成有理数与无理数。 3. 无理数的常见形式： ①根号型：如②型：化简后仍带有的数，如2，③构造型：如0.1010010001…… 4. 实数与数轴上的点是一一对应的关系。 数轴上的点与实数一一对应 5. 实数的大小比较方法： 方法1：将要比较的数画在数轴上，借助数轴比较 方法2：将要比较的数化成小数再比较； 方法3：平方（立方）后比较 注意根据题目条件选择合适的方法 6. 有理数的运算性质及运算律实数范围内适用。 要注意混合运算的运算顺序。 近似值 1. 准确值：与实际完全相同相同数据叫作准确值。 2. 能够在一定程度上反被考察对象的大小与准确值非常接近，但又不完全相等的数据称为近似值。 3. 精确度：一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。 4. 取近似值的方法：四舍五入法、去尾法、进一法 考点讲练1：求一个数的算术平方根 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）9的算术平方根是（    ） A． B．3 C． D．81 【答案】B 【思路引导】本题考查算术平方根的概念，需明确算术平方根的定义． 根据算术平方根的定义，即可解答． 【规范解答】解：9的算术平方根是3． 故选B． 2．（22-23八年级上·福建厦门·开学考试）数学解密：若第一个式子是，第二个式子是，第三个式子是，第四个式子是…，观察以上规律并猜想第六个式子是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了算术平方根，分析题意，找出规律是解题关键． 先找出前面四个式子的规律，得出第个式子是，进而求出第六个式子即可． 【规范解答】解：，即， ，即， ，即， ，即， 第六个式子为，即． 故答案为：． 考点讲练2：利用算术平方根的非负性解题 3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）等腰三角形的两边为a、b，且满足，那么它的周长为 ． 【答案】15 【思路引导】本题考查等腰三角形的定义，非负性，根据非负性求出的值，根据三角形的三边关系确定底边和腰长，进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 当为腰长时，不能构成三角形， ∴6为腰长， ∴等腰三角形的周长为：； 故答案为：15． 4．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）若m，n为实数，且，则的平方根是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了绝对值、算术平方根的非负性、平方根等知识点等知识，掌握相关知识并能灵活运用是解题的关键． 先根据绝对值和算术平方根的非负性求得m、n的值，再根据平方根的计算即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∴的平方根是． 故答案为：． 考点讲练3：估计算术平方根的取值范围 5．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）估计的值应该在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．5和6之间 【答案】A 【思路引导】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式计算后进行估算即可，将原式进行正确的计算是解题的关键． 【规范解答】 ， ∵， ∴， ∴， ∴原式的值在6和7之间， 故选：A． 6．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了估计无理数以及算术平方根等知识，得出的大致范围是解题关键，首先利用，进而得出答案． 【规范解答】一个边长为的正方形的面积为30， ， ， ， 故选：C． 考点讲练4：与算术平方根有关的规律探索题 7．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【思路引导】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【规范解答】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 8．（23-24七年级上·湖北·期中）已知，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查算术平方根，解决本题的关键是掌握算术平方根的运算．运用算术平方根解题即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故答案为：． 考点讲练5：算术平方根的实际应用 9．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________；边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：4．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2，；（2）1，13，；（3）不可行，理由见详解 【思路引导】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【规范解答】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；边长为； （3）不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 10．（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，这个正方体的体积是： 且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是 ． 【答案】36 【思路引导】本题考查了立方根的应用、算术平方根的应用、有理数的混合运算，求出正方体的边长为，计算出，，，得到这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个，由此即可得解． 【规范解答】解：这个正方体的体积是， 这个正方体的边长为， ，，， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是， 故答案为：36． 考点讲练6：平方根概念理解 11．（21-22七年级下·北京·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据正数有两个平方根，且它们互为相反数，依此列式计算即可． 【规范解答】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：4． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）有下列说法：①的平方根是4； ②表示6的算术平方根的相反数； ③的立方根是；④是的平方根. 其中，正确的说法有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了平方根、立方根的相关概念，掌握相关结论即可． 【规范解答】解：①，的平方根是，故①错误； ②表示6的算术平方根的相反数，故②正确； ③的立方根是，故③正确； ④，是的平方根，故④正确； 故选：C 考点讲练7：求一个数的平方根 13．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）的立方根是 ，的平方根是 ，的绝对值是 ． 【答案】 / 【思路引导】此题主要考查了平方根，算术平方根和立方根和绝对值．直接利用立方根以及算术平方根和平方根、绝对值的性质分别分析得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴的立方根是； 的平方根是； ∵ ∴ ∴ ∴， ∴的绝对值是． 故答案为：，，． 14．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)37 (2) 【思路引导】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，平方根以及完全平方公式的应用． （1）将变形为，将，代入求解即可． （2）先求出，再求的平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 考点讲练8：求代数式的平方根 15．（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路引导】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【规范解答】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【考点剖析】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 16．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路引导】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可； 【规范解答】解：∵的算术平方根是；的平方根是， ∴，， ∴，． ∵是的整数部分，， ∴． ∴． ∵的平方根是． ∴的平方根为． 【考点剖析】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 考点讲练9：已知一个数的平方根，求这个数 17．（24-25八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】25 【思路引导】本题考查了平方根的知识点，解题的关键是根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出的值，从而求出这个正数． 【规范解答】解：根据题意得，， 解得， ， ∴这个正数是， 故答案为： 25． 18．（23-24八年级上·福建泉州·期末）一个正数的两个平方根分别是与． (1)求和正数的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【思路引导】本题考查了平方根和立方根的定义． （1）根据平方根的定义可得一个正数的两个平方根互为相反数，则有，解方程得，即一个正数的两个平方根分别为和1，利用平方根的定义即可求解； （2）根据立方根的定义解答即可． 【规范解答】（1）解：一个正数的两个平方根分别为和， ， ， 这个正数为． ； （2）解：，， ， 的立方根为． 考点讲练10：利用平方根解方程 19．（21-22九年级上·广西河池·期中）解方程： 【答案】或 【思路引导】本题考查了利用平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义得到，再解一元一次方程即可． 【规范解答】解： ， 解得：或． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题考查了根据立方根和平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ∴， ∴或 ， 解得：或； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 考点讲练11：立方根概念理解 21．（2023七年级·全国·专题练习）当x取 时，有意义． 【答案】任意实数 【思路引导】本题考查了立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 根据立方根的定义，可得出的取值范围． 【规范解答】解：∵任何实数都有立方根， ∴可取任意实数， ∴可取任意实数． 故答案为：任意实数． 22．（2024八年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，求的值． 【答案】 【规范解答】本题考查了立方根的性质以及相反数的定义．由立方根的性质及相反数的定义可得，据此即可求解； 解：∵与互为相反数， ∴， 解得． 考点讲练12：求一个数的立方根 23．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）计算．其中第（2）题运用乘法公式计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）首先计算有理数的乘方，算术平方根和立方根，绝对值，然后计算乘法，最后计算加法； （2）分子利用完全平方公式化简，分母利用平方差公式化简，然后求解即可． 【规范解答】（1） ； （2） ． 【考点剖析】此题考查了有理数的乘方，算术平方根和立方根，绝对值，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）根据算术平方根、立方根的定义化简，再合并即可； （）根据二次根式的性质、零指数幂、绝对值的性质化简，再合并即可； 本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减运算，掌握实数和二次根式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点讲练13：已知一个数的立方根，求这个数 25．（24-25八年级上·山西长治·期中）一个正数的两个不同的平方根是和，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)42 (2) 【思路引导】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握平方根和立方根相关概念是解题关键． （1）根据平方根的定义，求得；再根据立方根的定义，求得；然后利用无理数的估算，求得，代入求值即可得到答案； （2）根据（1）求出的值，再根据平方根的定义进行计算，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：一个正数的两个不同的平方根是和， ， ． 的立方根是， ， ， 是的整数部分，， ， ． （2）解：由（1），得，，， ， 的平方根是． 26．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方根，立方根，无理数的整数部分，先得出，则，结合的立方根是，是的整数部分，分别得出，，然后求出，最后求出其的平方根，即可作答． 【规范解答】解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 则， ∴， ∵的立方根是，是的整数部分，且， ∴，， ∴， ∴， ∴9的平方根是． 考点讲练14：立方根的实际应用 27．（24-25八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【思路引导】本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案； （2）根据，其中，是雷雨持续时间，开立方，可得答案． 【规范解答】（1）解：把代入，得． ∴ 答：这场雷雨大约能持续； （2）解： 把代入，得． ∴． 答：这场雷雨区域的直径大约是． 28．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，是一块体积为的立方体铁块． (1)求这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长． 【答案】(1)这个铁块的棱长为 (2)另一个小立方体铁块的棱长为 【思路引导】本题考查立方根的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意列出式子再进行计算即可． 【规范解答】（1）根据题意，得 铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）设另一个小立方体铁块的棱长为， 则． ∵， ∴． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 考点讲练15：算术平方根和立方根的综合应用 29．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了立方根、平方根、算术平方根． （1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可； （2）先求出的值，再求出平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是3． ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴的平方根为． 30．（23-24七年级下·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平方根，立方根概念， （1）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值，代入计算即可得出答案； （2）先得出的值，即可得出结果； 【规范解答】（1）∵的算术平方根是2， ∴，解得： ∵的立方根是2 ∴，解得： ∵是的整数部分，而， ∴， ∴； （2）由（1）可知，的整数部分是， ∵是的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 考点讲练16：无理数 31．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）在实数中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【规范解答】解： 是分数，不是无理数； 是整数，不是无理数； 是无限循环小数，不是无理数； 是整数，不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数， 所以，无理数有1个， 故选：A． 32．（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列四个数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或不能表示为整数之比． 【规范解答】解：由无理数的定义可得，四个数中只有是无理数， 故选：D． 考点讲练17：无理数的大小估算 33．（24-25八年级上·北京·期末）比较大小：（1） 6；（2） 3 【答案】 【思路引导】本题主要考查了实数大小比较及无理数的估算，根据，得到，，据此可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 34．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【规范解答】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 考点讲练18：无理数整数部分的有关计算 35．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知是的整数部分，则的值是 ． 【答案】1 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算，求代数式的值，根据题意得到是解题的关键．先估算出，可得，再代入，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵a是的整数部分， ∴， ∴． 故答案为：1． 36．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查与无理数整数有关的计算，先利用夹逼法求出，原数减去得到，再进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 考点讲练19：实数概念理解 37．（21-22七年级下·新疆阿克苏·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】直接利用相反数的定义，进而得出答案． 【规范解答】解：的相反数是． 故选：A． 【考点剖析】本题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 38．（2022七年级上·上海·专题练习）若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据相反数的定义化简即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴的相反数为， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了实数，相反数，掌握一个数a的相反数是是解题的关键． 考点讲练20：实数的分类 39．（20-21八年级上·河南驻马店·期末）在3.14159，4，1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），4.21，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【规范解答】解：3.14159是有限小数，属于有理数； 4是整数，属于有理数； 4.21是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 无理数有1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），π共2个． 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 40．（21-22八年级上·广东佛山·期末）下列实数是无理数的是（　　） A． B． C． D．2022 【答案】C 【思路引导】根据无理数的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：A．，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； B．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； C．是无理数，故本选项符合题意； D．2022是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【考点剖析】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是无限不循环小数． 考点讲练21：实数的性质 41．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）的相反数是 ；的平方根是 ；的算术平方根是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了相反数的定义，算术平方根和平方根的定义，熟练掌握知识点是解答本题的关键． 根据相反数的定义，算术平方根和平方根的定义，即可解答． 【规范解答】解：①的相反数是； ②∵， ∴4的平方根是， 即的平方根是； ③∵ ∴9的算术平方根是3， 即的算术平方根3． 故答案为，，3． 42．（21-22八年级下·广东江门·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D．b 【答案】A 【思路引导】先根据题意得到，然后化简绝对值和二次根式即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得， ∴， ∴， 故选A． 【考点剖析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，二次根式的化简，正确得到是解题的关键． 考点讲练22：实数与数轴 43．（24-25八年级上·北京·期末）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【规范解答】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴， ∵点表示的数为2， ∴点表示的数为， 故选：B． 44．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，数轴上表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【思路引导】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可． 【规范解答】解：∵， ∴数轴上表示的点是点C， 故选：C． 考点讲练23：实数的大小比较 45．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）已知，如图所示，点在数轴上，且．回答下列问题： (1)写出数轴上点A表示的数； (2)比较与的大小；（写出简要过程） (3)设点在数轴上，点表示的数是，且满足，如果是非零整数，直接写出符合条件的N点有几个？ 【答案】(1) (2) (3)四个 【思路引导】本题主要考查勾股定理，数轴上的点所对应的实数，无理数的估算，解题的关键是掌握勾股定理． （1）先利用勾股定理求出的长度，再根据即可得到的长度，从而得到A对应的数． （2）根据无理数的大小比较方法比较即可； （3）根据（2）的结果求解即可． 【规范解答】（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， （3）∵，， ∴满足的非零整数有共四个． 46．（20-21九年级上·四川乐山·期中）比较大小 ．（填“>”或“<”） 【答案】> 【思路引导】先用减去，再进行整理，然后两边平方得出与0的大小关系，最后进行移项，即可得出答案． 【规范解答】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：>． 【考点剖析】此题主要考查了实数的大小的比较，解题的关键是通过移项、平方比较出与0的关系，再根据两个正数中绝对值大的数大，两个负数中绝对值大的反而小进行解答． 考点讲练24：程序设计与实数运算 47．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查程序流程图与实数的运算，根据流程图，进行计算即可． 【规范解答】解：是有理数，是有理数，是无理数，输出， 故选A． 48．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图是一个数值转换器，当输入的时，输出的y等于（    ）    A．8 B． C． D．4 【答案】B 【思路引导】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可． 【规范解答】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出，， 故选B． 【考点剖析】本题考查了程序计算，算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根，无理数的计算与判定是解题的关键． 考点讲练25：求一个数的近似数 49．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）用四舍五入法将精确到千位所得到的近似数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．把百位上的数字7进行四舍五入即可． 【规范解答】解：用四舍五入法将精确到千位，所得到的近似数为． 故答案为：． 50．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）2024年10月20日泰州市半程马拉松鸣枪开赛，本次半程马拉松赛道全长21.0975千米，将21.0975精确到0.01的近似值是 ． 【答案】21.10 【思路引导】本题主要考查了近似数，将21.0975精确到0.01就是看7，再根据“四舍五入”得出近似数即可． 【规范解答】解：将21.0975精确到0.01的数是21.10． 故答案为：21.10． 考点讲练26：求近似数的精确度 51．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）据人民网消息，2024年国庆假期，我国国内旅游出游约7.65亿人次．其中近似数“7.65亿”精确到的数位是（    ） A．百分位 B．十分位 C．千万位 D．百万位 【答案】D 【思路引导】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数的精确度．根据近似数“7.65亿”中5所在的数位，可以写出近似数“7.65亿”精确到的数位． 【规范解答】解：近似数“7.65亿”精确到百万位， 故选：D． 52．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）扬州是旅游城市，扬州包子，扬州炒饭，扬州狮子头，阳春面等特色美食吸引着全国各地的游客，国庆长假仅10月1日一天扬州共接待游客万人次，99.88万精确到 位． 【答案】百 【思路引导】题目主要考查近似数的精确位数，熟练掌握近似数的精确度的确定方法是解题关键．根据近似数的精确位数即可得出结果． 【规范解答】解：万， ∴万是精确到了百位， 故答案为：百． 考点讲练27：近似数推断取值范围 53．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把数精确到百分位得到的近似数是，则下列的值的不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，根据精确到百分位，那么是对千分位上的数字进行四舍五入，据此求出原数的范围即可得到答案． 【规范解答】解：∵把数精确到百分位得到的近似数是， ∴， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 54．（22-23七年级上·浙江温州·期中）用四舍五入法精确到百分位得到近似数，则原数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据近似数的求法，依次判断各选项即可． 【规范解答】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 【考点剖析】题目主要考查近似数的计算方法，熟练掌握四舍五入的方法是解题关键． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 实数的初步认识（章节复习） （知识梳理+27个高频易错考点讲练 共54题） 考点讲练1：求一个数的算术平方根 3 考点讲练2：利用算术平方根的非负性解题 3 考点讲练3：估计算术平方根的取值范围 3 考点讲练4：与算术平方根有关的规律探索题 4 考点讲练5：算术平方根的实际应用 4 考点讲练6：平方根概念理解 5 考点讲练7：求一个数的平方根 5 考点讲练8：求代数式的平方根 5 考点讲练9：已知一个数的平方根，求这个数 6 考点讲练10：利用平方根解方程 6 考点讲练11：立方根概念理解 6 考点讲练12：求一个数的立方根 6 考点讲练13：已知一个数的立方根，求这个数 7 考点讲练14：立方根的实际应用 7 考点讲练15：算术平方根和立方根的综合应用 8 考点讲练16：无理数 9 考点讲练17：无理数的大小估算 9 考点讲练18：无理数整数部分的有关计算 9 考点讲练19：实数概念理解 9 考点讲练20：实数的分类 9 考点讲练21：实数的性质 10 考点讲练22：实数与数轴 10 考点讲练23：实数的大小比较 10 考点讲练24：程序设计与实数运算 11 考点讲练25：求一个数的近似数 11 考点讲练26：求近似数的精确度 11 考点讲练27：近似数推断取值范围 12 知识点 重点归纳 常见易错点 算术平方根 1.概念：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 概念中特别强调为正数 2.表示方法: 平方根的符号与除号很像，但不同。 3.性质: ①规定：0的算术平方根是0；②非负性 0的算术平方根是0，是一个规定。 平方根 1.概念：如果，那么这个数叫做的平方根, 也叫二次方根。 此处概念当中没有说是正是负。注意与算术平方根的概念区别. 2.表示方法: 3.性质: ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数;②0的平方根是0；③负数没有平方根。 正数的平方根有两个：互为相反数。 开平方 1.概念：求一个数的平方根的运算叫做开平方。 注意理解平方根是数，是开平方运算的结果；而开平方是一种运算。 2.关系：开平方与平方互为逆运算。 立方根 1.概念：一般的如果，那么这个数叫做的立方根, 也叫三次方根。 从立方根的记号可以看出，一个数的立方根只有一个，而且一个数的立方根与这个数本身符号相同。 2.表示方法: 3.性质: ①正数的立方根是正数;②0的立方根是0；③负数的立方根是负数。 开立方 1.概念：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 开立方和立方根的区别：开立方是一种运算，立方根是个数。 2.关系：开立方与立方互为逆运算。 实数 1.概念：有理数与无理数统称为实数。 注意带根号的数不一定都是无理数:例如：，因为，属于有理数范围；带的数也不一定是无理数，例如：，因为是有理数 2.分类：实数分成有理数与无理数。 3. 无理数的常见形式： ①根号型：如②型：化简后仍带有的数，如2，③构造型：如0.1010010001…… 4. 实数与数轴上的点是一一对应的关系。 数轴上的点与实数一一对应 5. 实数的大小比较方法： 方法1：将要比较的数画在数轴上，借助数轴比较 方法2：将要比较的数化成小数再比较； 方法3：平方（立方）后比较 注意根据题目条件选择合适的方法 6. 有理数的运算性质及运算律实数范围内适用。 要注意混合运算的运算顺序。 近似值 1. 准确值：与实际完全相同相同数据叫作准确值。 2. 能够在一定程度上反被考察对象的大小与准确值非常接近，但又不完全相等的数据称为近似值。 3. 精确度：一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。 4. 取近似值的方法：四舍五入法、去尾法、进一法 考点讲练1：求一个数的算术平方根 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）9的算术平方根是（    ） A． B．3 C． D．81 2．（22-23八年级上·福建厦门·开学考试）数学解密：若第一个式子是，第二个式子是，第三个式子是，第四个式子是…，观察以上规律并猜想第六个式子是 ． 考点讲练2：利用算术平方根的非负性解题 3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）等腰三角形的两边为a、b，且满足，那么它的周长为 ． 4．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）若m，n为实数，且，则的平方根是 ． 考点讲练3：估计算术平方根的取值范围 5．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）估计的值应该在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．5和6之间 6．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点讲练4：与算术平方根有关的规律探索题 7．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 8．（23-24七年级上·湖北·期中）已知，则 ． 考点讲练5：算术平方根的实际应用 9．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________；边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：4．请通过计算说明是否可行． 10．（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，这个正方体的体积是： 且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是 ． 考点讲练6：平方根概念理解 11．（21-22七年级下·北京·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）有下列说法：①的平方根是4； ②表示6的算术平方根的相反数； ③的立方根是；④是的平方根. 其中，正确的说法有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练7：求一个数的平方根 13．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）的立方根是 ，的平方根是 ，的绝对值是 ． 14．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知，求： (1)的值； (2)的值． 考点讲练8：求代数式的平方根 15． （22-23七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 16． 已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 考点讲练9：已知一个数的平方根，求这个数 17．（24-25八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 18．（23-24八年级上·福建泉州·期末）一个正数的两个平方根分别是与． (1)求和正数的值． (2)求的立方根． 考点讲练10：利用平方根解方程 19． （21-22九年级上·广西河池·期中）解方程： 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 考点讲练11：立方根概念理解 21．（2023七年级·全国·专题练习）当x取 时，有意义． 22．（2024八年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，求的值． 考点讲练12：求一个数的立方根 23．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）计算．其中第（2）题运用乘法公式计算． (1) (2) 24．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 考点讲练13：已知一个数的立方根，求这个数 25．（24-25八年级上·山西长治·期中）一个正数的两个不同的平方根是和，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的平方根． 26． （24-25八年级上·福建漳州·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 考点讲练14：立方根的实际应用 27．（24-25八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 28．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，是一块体积为的立方体铁块． (1)求这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长． 考点讲练15：算术平方根和立方根的综合应用 29．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 30．（23-24七年级下·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 考点讲练16：无理数 31．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）在实数中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列四个数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练17：无理数的大小估算 33．（24-25八年级上·北京·期末）比较大小：（1） 6；（2） 3 34．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 考点讲练18：无理数整数部分的有关计算 35．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知是的整数部分，则的值是 ． 36．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 考点讲练19：实数概念理解 37．（21-22七年级下·新疆阿克苏·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 38．（2022七年级上·上海·专题练习）若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 考点讲练20：实数的分类 39．（20-21八年级上·河南驻马店·期末）在3.14159，4，1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），4.21，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（21-22八年级上·广东佛山·期末）下列实数是无理数的是（　　） A． B． C． D．2022 考点讲练21：实数的性质 41．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）的相反数是 ；的平方根是 ；的算术平方根是 ． 42．（21-22八年级下·广东江门·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D．b 考点讲练22：实数与数轴 43．（24-25八年级上·北京·期末）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，数轴上表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 考点讲练23：实数的大小比较 45．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）已知，如图所示，点在数轴上，且．回答下列问题： (1)写出数轴上点A表示的数； (2)比较与的大小；（写出简要过程） (3)设点在数轴上，点表示的数是，且满足，如果是非零整数，直接写出符合条件的N点有几个？ 46．（20-21九年级上·四川乐山·期中）比较大小 ．（填“>”或“<”） 考点讲练24：程序设计与实数运算 47.（23-24七年级下·湖北黄石·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C．2 D． 48．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图是一个数值转换器，当输入的时，输出的y等于（    ）    A．8 B． C． D．4 考点讲练25：求一个数的近似数 49.（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）用四舍五入法将精确到千位所得到的近似数是 ． 50．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）2024年10月20日泰州市半程马拉松鸣枪开赛，本次半程马拉松赛道全长21.0975千米，将21.0975精确到0.01的近似值是 ． 考点讲练26：求近似数的精确度 51．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）据人民网消息，2024年国庆假期，我国国内旅游出游约7.65亿人次．其中近似数“7.65亿”精确到的数位是（    ） A．百分位 B．十分位 C．千万位 D．百万位 52．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）扬州是旅游城市，扬州包子，扬州炒饭，扬州狮子头，阳春面等特色美食吸引着全国各地的游客，国庆长假仅10月1日一天扬州共接待游客万人次，99.88万精确到 位． 考点讲练27：近似数推断取值范围 53．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把数精确到百分位得到的近似数是，则下列的值的不可能是（    ） A． B． C． D． 54．（22-23七年级上·浙江温州·期中）用四舍五入法精确到百分位得到近似数，则原数可能是（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$