专题02 实数的初步认识（期末复习优选题集训 16个高频易错题型讲练 共48题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册培优讲练

该初中数学讲义以“实数的初步认识”为核心，通过16个高频易错题型系统构建知识体系，用表格归纳算术平方根规律、实例解析非负性应用等，清晰呈现平方根、立方根、实数性质等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“易错突破+素养导向”的练习设计，如规律探索题（观察算术平方根排列规律）培养推理意识，实际应用题（康熙《积求勾股法》问题）提升应用意识。每个题型配典型例题和解题步骤，基础生可掌握方法，优秀生能深化思维，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题02 实数的初步认识 （16个高频易错题型讲练 共48题） 易错题型1 利用算术平方根的非负性解题 1 易错题型2 估计算术平方根的取值范围 3 易错题型3 与算术平方根有关的规律探索题 5 易错题型4 算术平方根的实际应用 7 易错题型5 已知一个数的平方根，求这个数 10 易错题型6 利用平方根解方程 11 易错题型7 与立方根有关的规律探索 13 易错题型8 立方根的实际应用 16 易错题型9 算术平方根和立方根的综合应用 17 易错题型10 无理数的大小估算 19 易错题型11 无理数整数部分的有关计算 21 易错题型12 实数的性质 23 易错题型13 实数与数轴 25 易错题型14 实数的大小比较 26 易错题型15 程序设计与实数运算 27 易错题型16 近似值 30 易错题型1 利用算术平方根的非负性解题 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质，若两个非负式互为相反数，则每个非负式都等于零，由此列出方程组求解． 【规范解答】解：与互为相反数， ． ，， 且． 即解得 ． 故答案为：9． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，18 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式、多项式乘法法则以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式、多项式乘法法则和非负数的性质是解题的关键． 先根据完全平方公式、多项式乘法法则化简代数式，再利用非负数的性质求出、的值，最后代入求值． 【规范解答】解： ， 因为，且，， 所以，， 解得，． 当，时，原式． 3．（25-26八年级上·重庆·月考）先化简，再求值：其中 【答案】， 【思路点拨】本题考查整式的化简求值以及算术平方根、绝对值的非负性，解题关键是先根据非负数的性质求出的值，再化简整式后代入计算． 先通过多项式乘法、去括号、合并同类项化简整式；再利用算术平方根与绝对值的非负性，求出的值；最后将的值代入化简后的式子计算结果． 【规范解答】 将代入得： 原式= 易错题型2 估计算术平方根的取值范围 4．（25-26八年级上·重庆·期中）估计的值应在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】D 【思路点拨】本题考查算术平方根的估计，掌握知识点是解题的关键． 通过比较算术平方根估算的范围，进而得到的区间即可． 【规范解答】解：∵，，且， ∴． ∴，即． ∴在3到4之间． 故选D． 5．（25-26八年级上·四川内江·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【思路点拨】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“青一区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【规范解答】（1）解： ，， ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， ，即， 的“青一区间”为， ， ，即， ， ， 为正整数， 或 当时，， 当时，， 的值为2或； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 两式相减，得， ， 的算术平方根为， ∵ ∴， ， 的算术平方根的“青一区间”是． 6．（25-26八年级上·江苏南京·期中）利用表格中的数据计算的近似值是 （结果保留整数）． a a2 17 289 4.12 18 324 4.36 【答案】19 【思路点拨】本题考查算术平方根和近似数，根据题干得到算术平方根的值是解题的关键． 根据表格数据，当时，，因此，同理得，据此进行计算，将结果四舍五入保留整数即可． 【规范解答】解：由表格可知，当时， 所以 又因为， 所以 因此． 故答案为：19． 易错题型3 与算术平方根有关的规律探索题 7．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．通过观察可知第n行第列：n为偶数时，n为奇数时，由此规律即可求解． 【规范解答】解：第2行第1列， 第3行第2列， 第4行第3列， 第5行第4列， …… 第n行第列： n为偶数时， n为奇数时， 当时，第101行第100列为． 故选：B． 8．（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【规范解答】解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海·月考）已知；；； 根据上述式子猜想规律，并求出 （n为正整数，结果用含有n的式子表示） 【答案】 【思路点拨】本题考查了数字类规律探索，算术平方根，根据已知等式发现一般规律是解题关键．观察已知等式发现，连续奇数的和的平方根等于奇数的个数，则，把原式变形为即可求解． 【规范解答】解：观察已知等式发现，连续奇数的和的平方根等于奇数的个数， 1个奇数的和：； 2个奇数的和：； 3个奇数的和：； 4个奇数的和： …… 归纳可得：， ∴ 故答案为：． 易错题型4 算术平方根的实际应用 10．（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 【答案】(1)直角三角形的三边长为15，20，25； (2) 【思路点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，先求出的值，再得出的值，即可解答； （2）设直角三角形的三边长分别为，，，利用三角形的面积公式得出，则有． 【规范解答】（1）解：当面积S等于150时， 第一步：， 第二步：， 第三步：直角三角形的三边长分别为，，， 直角三角形的三边长为15，20，25； （2）解：设直角三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴， ∴直角三角形的面积， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）为设计我校十四岁青春礼梦想卡，小明制作了一张面积为的正方形梦想卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将梦想卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】(1)信封的长、宽分别为 (2)能，计算见解析 【思路点拨】本题考查算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键： （1）设信封的长、宽分别为，列出方程进行求解即可； （2）求出正方形的边长，与信封的宽比较大小，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：设信封的长、宽分别为， 由题意，，解得（负值舍去）； ∴， 答：信封的长、宽分别为； （2）能； 由题意，正方形卡片的边长为， ∵， ∴， ∴梦想卡不折叠就能放入此信封． 12．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图所示，由多个边长均为1的小正方形拼成一个大正方形，则图中阴影部分的正方形的边长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查算术平方根的应用，涉及正方形面积计算和面积割补法．解题关键是通过面积割补法（大正方形面积减空白部分面积）求出阴影正方形的面积，再由面积推导边长；易错点是误判空白三角形的直角边长度，导致面积计算错误． 先确定大正方形边长为4，面积为；再计算空白部分（4个直角三角形）的总面积：每个三角形直角边为1和3，面积为，4个总面积为；最后用大正方形面积减空白面积得阴影正方形面积，由正方形面积公式得边长为． 【规范解答】解：大正方形面积为， 空白部分是4个直角边为1和3的三角形，总面积为． 阴影正方形面积为， 故其边长为． 故答案为：． 易错题型5 已知一个数的平方根，求这个数 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了平方根的性质与算术平方根的计算，解题的关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程，求解得的值； （2）将的值代入计算结果，再求其算术平方根． 【规范解答】（1）解：由题意得 化简得： 解得： （2）将代入，得： 9的算术平方根是3． 14．（25-26八年级上·河北唐山·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)8 【思路点拨】本题考查了平方根的性质和算术平方根的定义，解题的关键是利用“一个正数的两个不同平方根互为相反数”列方程求解． （1）根据平方根互为相反数的性质列方程求，再代入平方根的表达式平方得； （2）代入和的值计算代数式，再根据算术平方根的定义求解． 【规范解答】（1）解：∵正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 解得． ∵， ∴． ∴，； （2）解：∵， 又∵， ∴的算术平方根是． 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，或0 (2)当时，平方根为；当时，平方根为． 【思路点拨】本题主要考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意、理解相关定义是解题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义列出关于a、b的二元一次方程组即可求出a，b的值，再根据算术平方根的意义确定c的值即可； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵的立方根是的算术平方根是2， ∴，解得：， ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴或0， ∴，，或0． （2）解：当，，时，则，所以的平方根为； 当，，时，则，所以的平方根为． 综上，当时，平方根为；当时，平方根为． 易错题型6 利用平方根解方程 16．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）根据平方根的定义解方程：． 【答案】 【思路点拨】本题考查利用平方根的定义求解一元二次方程．整理方程，利用平方根的定义即可求解． 【规范解答】解： 根据平方根的定义，， 当时，； 当时，． 综上，方程的解为． 17．（25-26八年级上·上海·阶段练习）解方程： 【答案】或 【思路点拨】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．利用平方根的性质求解方程即可． 【规范解答】解： ∴或． 18．（2025·河北·模拟预测）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数展开式的各项系数的规律． 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了“杨辉三角”与展开式的规律的应用，熟练掌握“杨辉三角”的规律是解题的关键． 依次对每个结论进行分析判断，利用“杨辉三角”揭示的展开式的规律，结合相关数学知识进行推理． 【规范解答】解：展开式有项，令，，则系数和为，故结论①错误． ，故结论②正确． ，当时，，解得或，故结论③错误． ，根据二项式定理展开，除最后一项外，其余项都含有因数，所以除以的余数为，今天是星期一，天后是星期日，故结论④错误． 故选：A． 易错题型7 与立方根有关的规律探索 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则 ． 【答案】0 【思路点拨】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【规范解答】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 20．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【规范解答】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 21．（25-26八年级上·广东河源·阶段练习）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（） ； ． 【思路点拨】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【规范解答】解：（） ； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由 ； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错题型8 立方根的实际应用 22．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的值是 ． (结果用含字母 的代数式表示) 【答案】 【思路点拨】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右(或向左)移动1位． 根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 23．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了立方根，正确掌握立方根的定义是解题关键． 根据正方体体积比求出边长比，再根据表面积与边长平方成正比，求出表面积比． 【规范解答】解：设正方体的边长为，则体积， 则正方体的体积为， 正方体的边长为． 正方体的表面积为， 正方体的表面积为， ． 故选：A． 24．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知是9的平方根，的算术平方根是4． (1)求a与b的值； (2)当时，求的立方根． 【答案】(1)，或 ， (2)5 【思路点拨】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念及求法，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据平方根定义得到或，再根据算术平方根定义，结合或分情况讨论求解，即可解题； （2）根据推出a与b的值，再将a与b的值代入中计算，进而得到结果，最后根据立方根定义求解，即可解题． 【规范解答】（1）解： 是9的平方根， 或， 解得或， 的算术平方根是4． ， 则当时，有，解得； 当时，有，解得； （2）解： ， ，， ， 的立方根为． 易错题型9 算术平方根和立方根的综合应用 25．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查平方根、立方根和算术平方根的计算，掌握平方根，立方根和算术平方根的计算方法是解题的关键． 根据的平方根是可得，根据的立方根是可得，将m和n代入求解即可． 【规范解答】解：∵的平方根是， ∴ 解得， ∵的立方根是， ∴ 将，代入得，， ∴， ∴的算术平方根为4． 26．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查立方根和平方根，根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算的平方根． 【规范解答】解：因为且的立方根是它本身，所以． 因为的算术平方根是4，所以，解得． 因此， 所以的平方根为． 故答案为：． 27．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的定义．根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解、的值，再代入，再根据平方根的定义求解． 【规范解答】解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得：，； ∴， ∴的平方根为． 易错题型10 无理数的大小估算 28．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，若数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应在线段（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了实数与数轴，无理数的大小估计， 先估算出，然后根据数轴上点的位置即可得出答案． 【规范解答】解： ， ， ， 点代表数， 点代表数， 表示的点应在线段上， 故选：D． 29．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，三张边长分别为，，大小不同的正方形纸片叠放在一起，为边的正方形纸片的面积为．（点O，A，B，C在同一直线上） (1)求的长． (2)若，则： ① ； ②m的整数部分为 ，n的小数部分为 ． 【答案】(1)的长为 (2)①19；②3， 【思路点拨】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式以及无理数的估算，解题的关键是利用正方形面积与边长的关系，结合线段长度关系和完全平方公式求解． （1）根据正方形面积等于边长的平方，得出的值，再通过二次根式化简求出的长； （2）①由线段和差关系用表示和，利用平方差公式简化计算；②先估算的取值范围，再通过不等式变形确定的整数部分，用减去其整数部分得到的小数部分． 【规范解答】（1）解：∵以为边的正方形面积为， ∴， ∴（）． 答：的长为 （2）①解：∵，，， ∴，， ∴ 故答案为：19． ②解：∵，即， ∴，即，的整数部分为；，即， ∴的小数部分为 故答案为：； 30．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）如图，在数轴上，被墨迹覆盖的实数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了实数与数轴的对应关系．关键是明确数轴上的点表示的数的大小，估计无理数的取值范围． 根据题意得出被墨迹覆盖的实数在到之间，再根据每个选项中的范围进行判断． 【规范解答】解： 被墨迹覆盖的实数在到之间， ∴在到之间，选项A不符合题意； ∵， ∴被墨迹覆盖的实数不可能是，故B符合题意； ∵， ∴C、D选项不符合题意； 故选：B． 易错题型11 无理数整数部分的有关计算 31．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知和是某个正数的两个平方根，的立方根是2，是的整数部分． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)10 【思路点拨】本题主要考查了平方根、立方根、无理数的估算、代数式求值等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的概念求解即可； （2）根据立方根的概念求出，根据无理数的估算求出，把代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵和是某个正数的两个平方根， ，解得：， ∴， ． （2）解：∵的立方根是2， ，即， ∵是的整数部分，， ∴， ， ∴的算术平方根是10． 32．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)的值为，的值为，的值为 (2)的平方根是 【思路点拨】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义，无理数的估算分别求得，，的值； （2）由（1）可知，，，根据平方根的定义，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵ 的立方根是 ， ∴ ， ∴ ． ∵ 的算术平方根是 ， ∴ ， ∴ ． ∵ 是 的整数部分，且 ， ∴ 的整数部分 ． （2）解：∵，，， ∴ ， ∴ 的平方根是 ． 33．（25-26八年级上·山西晋城·期中）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路点拨】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提． 根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行计算即可． 【规范解答】解：由题可知，，， ， ， ． 是的整数部分， ， ， 的平方根为． 易错题型12 实数的性质 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． (1)若，则的算术平方根为______； (2)若，其中是x的平方根，则x的值为______． 【答案】(1)3 (2)4 【思路点拨】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根为3， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得：， ∵m，n是x的平方根， ∴， 故答案为：4． 35．（25-26八年级上·四川成都·期中）若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 【答案】A 【思路点拨】本题考查了有理数、无理数的概念理解，算术平方根的性质，实数的性质等知识点． 根据无理数和有理数的性质，有理数与无理数的和一定是无理数；有理数与无理数的积不一定无理数（如乘以0）；无理数的平方不一定有理数；无理数的平方根不一定有意义或不一定无理数（如a为负数时无意义）． 【规范解答】解：∵ a 是无理数，b 是有理数， A：假设是有理数，则，由于有理数减有理数仍为有理数，故a为有理数，与已知矛盾，∴一定是无理数，A 正确； B：若，则为有理数，∴ B 错误； C：例如（无理数），则为无理数，∴ C 错误； D：若，则无实数意义；若，且为有理数，则为有理数，与已知矛盾，故为无理数，但由于 a 可能为负数，∴不一定是无理数，D 错误； 因此，正确答案为 A， 故选：A． 36．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）如果和互为相反数，那么的立方根是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查实数的性质，算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据互为相反数的两个数和为0，结合算术平方根的非负性求出的值，进而求出的立方根即可． 【规范解答】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：2． 易错题型13 实数与数轴 37．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则S的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，结合数轴，点应在3~4之间（E靠近4），即可得出，据此确定S的取值范围． 【规范解答】解：正方形面积，，点E在数轴上A右侧（A表示1），则E表示． 结合数轴，点应在3~4之间（E靠近4）， ∴， ∴， ∴， 选项B中符合条件，其余选项不符合， 故选B． 38．（25-26八年级上·上海·期中）点是数轴上的三个点，点所对应的数分别为、，点到点的距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查实数与数轴，一元一次方程，两点间的距离，分类讨论，根据点到点的距离是它到点距离的2倍，列出方程是解题关键． 分两种情况进行讨论，点C在点A，点B之间和点C在点B右侧时，分别根据点到点的距离是它到点距离的2倍，列出方程即可解答． 【规范解答】解：∵点C到点A的距离是它到点B距离的2倍， ∴点C不可能在点A左侧， 设C表示的数为a， 分两种情况：①当点C在点A和点B之间时， 则，， ∴， 解得：； ②当点C在点B右侧时， 则，， ∴， 解得： ． 综上，点C表示的数是或． 故答案为：或． 39．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，正方形面积为10，其顶点在数轴原点处，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，，则点，所表示的数是（    ） A．100的平方根 B．10的平方根 C．的平方根 D．的平方根 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平方根的定义，实数与数轴；根据正方形面积求出边长，再根据数轴，求出点，对应的数． 【规范解答】解：依题意，， ∴点，所表示的数分别是和， ∴点，所表示的数是10的平方根， 故选：B． 易错题型14 实数的大小比较 40．（25-26八年级上·山东青岛·期中）比较大小： （填“”“ ”“ ”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的大小比较和无理数的估算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过比较分子的大小来确定分数的大小，由于分母相同，只需比较分子和1的大小，然后即可求解 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 41．（25-26八年级上·河南南阳·期中）比较大小： ．(填“”、“”或“”) 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的大小比较；由于为负数，为正数，根据正数大于负数，即可比较大小． 【规范解答】解：因为，所以，因此． 而，所以． 故答案为：． 42．（25-26八年级上·四川成都·期中）比较大小： （填“>”、“=”、“<”）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．通过计算两数的差，判断其正负，从而比较大小． 【规范解答】解： ， ，且， ， 因此 ，即， 故答案为：． 易错题型15 程序设计与实数运算 43．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【规范解答】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 44．（25-26八年级上·山东青岛·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【思路点拨】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键． 根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可完成解答． 【规范解答】解：的算术平方根是， ∵是有理数， ∴取立方根为， ∵是有理数， ∴取算术平方根为， ∵是无理数， ∴． 故选：A． 45．（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）如图是一个数值转换器（） （1）当输入的x为时，输出的y值是 ； （2）若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ； 【答案】 【思路点拨】本题考查实数与程序流程图，算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质，是解题的关键： （1）根据流程图进行计算，直至运算结果为无理数，输出即可； （2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值，进行求解即可； 【规范解答】解：（1），，，为无理数，输出； 故答案为：； （2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 综上：的值为． 易错题型16 近似值 46．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法正确的是（  ） A．是精确到百分位 B．万精确到万位 C．是精确到百位 D．近似数和的精确度一样 【答案】A 【思路点拨】本题考查近似数的精确度，掌握相关知识是解决问题的关键．根据数字的表示形式判断其精确的位数即可． 【规范解答】解：∵ 有两位小数，∴精确到百分位，A正确； ∵ 万，最后一位有效数字9在十位，∴精确到十位，不是万位，B错误； ∵ 最后一位数字0在个位，∴精确到个位，不是百位，C错误； ∵ 精确到千分位，精确到百分位，∴精确度不同，D错误． 故选：A． 47．（25-26八年级上·湖南郴州·开学考试）一个小数的整数部分是最大的三位数，小数部分的千分位是最小的合数，百分位是最小的质数，十分位是最小的自然数，这个数是 ，用四舍五入法省略百分位后面的尾数求近似数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了合数，质数与自然数及近似数，掌握合数，质数与自然数的概念是解题关键． 先分析出最大的三位数，最小的合数，最小的质数，最小的自然数，再写出这个数即可，根据四舍五入法进行求解即可． 【规范解答】解：最大的三位数是999， 最小的合数是4， 最小的质数是2， 最小的自然数是0， 则这个数写作：，用四舍五入法省略百分位后面的尾数求近似数是． 故答案是：，． 48．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）回忆课本中探究有多大的方法，完成下列各题： (1)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到个位）； (2)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到十分位）； (3)若，其中为正整数，，若均为有理数，且，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【思路点拨】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）估算无理数的大小即可； （2）估算无理数的大小即可； （3）估算无理数的大小即可． 【规范解答】（1）解：，即， 的整数部分为1， 又，而， ， ； （2），即， 的整数部分为3， 又， ， ，即的十分位上数字是6， ； ； （3） 的整数部分是2， 又，， （精确到十分位）； 的整数部分为，小数部分为， ，其中m为正整数，， ， ， ， ． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数的初步认识 （16个高频易错题型讲练 共48题） 易错题型1 利用算术平方根的非负性解题 1 易错题型2 估计算术平方根的取值范围 2 易错题型3 与算术平方根有关的规律探索题 3 易错题型4 算术平方根的实际应用 3 易错题型5 已知一个数的平方根，求这个数 4 易错题型6 利用平方根解方程 5 易错题型7 与立方根有关的规律探索 6 易错题型8 立方根的实际应用 6 易错题型9 算术平方根和立方根的综合应用 7 易错题型10 无理数的大小估算 7 易错题型11 无理数整数部分的有关计算 8 易错题型12 实数的性质 9 易错题型13 实数与数轴 9 易错题型14 实数的大小比较 10 易错题型15 程序设计与实数运算 10 易错题型16 近似值 11 易错题型1 利用算术平方根的非负性解题 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若与互为相反数，则的值为 ． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26八年级上·重庆·月考）先化简，再求值：其中 易错题型2 估计算术平方根的取值范围 4．（25-26八年级上·重庆·期中）估计的值应在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 5．（25-26八年级上·四川内江·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 6．（25-26八年级上·江苏南京·期中）利用表格中的数据计算的近似值是 （结果保留整数）． a a2 17 289 4.12 18 324 4.36 易错题型3 与算术平方根有关的规律探索题 7．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为 ． 9．（25-26八年级上·上海·月考）已知；；； 根据上述式子猜想规律，并求出 （n为正整数，结果用含有n的式子表示） 易错题型4 算术平方根的实际应用 10．（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）为设计我校十四岁青春礼梦想卡，小明制作了一张面积为的正方形梦想卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将梦想卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 12．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图所示，由多个边长均为1的小正方形拼成一个大正方形，则图中阴影部分的正方形的边长为 ． 易错题型5 已知一个数的平方根，求这个数 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 14．（25-26八年级上·河北唐山·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 易错题型6 利用平方根解方程 16．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）根据平方根的定义解方程：． 17．（25-26八年级上·上海·阶段练习）解方程： 18．（2025·河北·模拟预测）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数展开式的各项系数的规律． 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 易错题型7 与立方根有关的规律探索 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则 ． 20．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是 ． 21．（25-26八年级上·广东河源·阶段练习）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 易错题型8 立方根的实际应用 22．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的值是 ． (结果用含字母 的代数式表示) 23．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 24．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知是9的平方根，的算术平方根是4． (1)求a与b的值； (2)当时，求的立方根． 易错题型9 算术平方根和立方根的综合应用 25．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根． 26．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为 ． 27．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 易错题型10 无理数的大小估算 28．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，若数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应在线段（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 29．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，三张边长分别为，，大小不同的正方形纸片叠放在一起，为边的正方形纸片的面积为．（点O，A，B，C在同一直线上） (1)求的长． (2)若，则： ① ； ②m的整数部分为 ，n的小数部分为 ． 30．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）如图，在数轴上，被墨迹覆盖的实数不可能是（    ） A． B． C． D． 易错题型11 无理数整数部分的有关计算 31．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知和是某个正数的两个平方根，的立方根是2，是的整数部分． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 32．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 33．（25-26八年级上·山西晋城·期中）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 易错题型12 实数的性质 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． (1)若，则的算术平方根为______； (2)若，其中是x的平方根，则x的值为______． 35．（25-26八年级上·四川成都·期中）若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 36．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）如果和互为相反数，那么的立方根是 ． 易错题型13 实数与数轴 37．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则S的值可能为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·上海·期中）点是数轴上的三个点，点所对应的数分别为、，点到点的距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是 ． 39．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，正方形面积为10，其顶点在数轴原点处，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，，则点，所表示的数是（    ） A．100的平方根 B．10的平方根 C．的平方根 D．的平方根 易错题型14 实数的大小比较 40．（25-26八年级上·山东青岛·期中）比较大小： （填“”“ ”“ ”）． 41．（25-26八年级上·河南南阳·期中）比较大小： ．(填“”、“”或“”) 42．（25-26八年级上·四川成都·期中）比较大小： （填“>”、“=”、“<”）． 易错题型15 程序设计与实数运算 43．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 44．（25-26八年级上·山东青岛·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 45．（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）如图是一个数值转换器（） （1）当输入的x为时，输出的y值是 ； （2）若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ； 易错题型16 近似值 46．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法正确的是（  ） A．是精确到百分位 B．万精确到万位 C．是精确到百位 D．近似数和的精确度一样 47．（25-26八年级上·湖南郴州·开学考试）一个小数的整数部分是最大的三位数，小数部分的千分位是最小的合数，百分位是最小的质数，十分位是最小的自然数，这个数是 ，用四舍五入法省略百分位后面的尾数求近似数是 ． 48．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）回忆课本中探究有多大的方法，完成下列各题： (1)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到个位）； (2)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到十分位）； (3)若，其中为正整数，，若均为有理数，且，求的值． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $