专题2.2 立方根（知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）同步培优讲练-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

专题2.2 立方根 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：立方根的定义 1 知识点梳理02：立方根的特征 2 知识点梳理03：立方根的性质 2 知识点梳理04：立方根小数点位数移动规律 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：立方根概念理解 2 考点2：求一个数的立方根 3 考点3：已知一个数的立方根，求这个数 4 考点4：与立方根有关的规律探索 4 考点5：立方根的实际应用 5 考点6：算术平方根和立方根的综合应用 6 中考真题 实战演练 6 难度分层 拔尖冲刺 7 基础夯实 7 培优拔高 8 知识点梳理01：立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【要点提示】一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点梳理02：立方根的特征 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【要点提示】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点梳理03：立方根的性质 （1）； （2）； （3）. 【要点提示】第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点梳理04：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 考点1：立方根概念理解 【典例精讲】（24-25八年级上·广东清远·期中）下列说法中，不正确的是（   ） A．的绝对值是 B．的平方根是 C．的算术平方根是1 D．的立方根是1 【变式训练1】（23-24七年级下·广西梧州·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是3，c是最大的负整数． (1)求的值； (2)若是a的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【变式训练2】（23-24七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______； (2)625的四次方根为______；的五次方根为______； (3)求下列的值： ①； ②． 考点2：求一个数的立方根 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如果，那么的立方根是（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·山西阳泉·期中）计算． (1) ； (2)． 【变式训练2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）计算； （2）解方程． 考点3：已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是3，求的平方根． 【变式训练1】解下列方程 (1) (2) 考点4：与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（24-25七年级下·河南许昌·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 【变式训练】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 考点5：立方根的实际应用 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程： (1) ； (2)． 【变式训练】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）小明和小红各制作了一个正方体盒子，制作完后，小明对小红说：“我制作的盒子的表面积是，你的呢？”小红低头想了一下说：“先不告诉你我制作的盒子表面积是多少，我制作的盒子比你的盒子的体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？ 考点6：算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【变式训练】（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值． （2）已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 1．（2025·浙江·中考真题） ． 2．（2025·江西·中考真题）化简： 3．（2023·上海·中考真题）计算： 4．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝ ． 5．（2021·四川攀枝花·中考真题）以下各数是有理数的是（　　） A． B． C． D．π 基础夯实 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．的立方根是 B．的平方根是 C．平方根等于本身的数有， D．的立方根是 2．（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列说法正确的个数为（    ） ①没有平方根； ②36的平方根是； ③立方根等于它本身的数是0，1； ④49的算术平方根是7． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级上·广西桂林·期中）已知a，b为实数，满足，且，则的值 ． 5．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 6．（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 7．（24-25七年级下·福建福州·期中）（1）计算：；     （2）求的值：． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 9．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)这个魔方的棱长为________； (2)图中四边形为正方形，求出此正方形的面积及其边长； (3)如图2把正方形放到数轴上，使得与重合，那么在数轴上表示的数为________． 培优拔高 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下列说法：①1的平方根是；②正数的绝对值是它本身；③算术平方根等于它本身的数只有1；④立方根等于它本身的数有2个；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）的整数部分记为a，算术平方根等于本身的正整数记为b，那么的立方根是 ． 5．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是 ． 6．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当时，．由此解决下列问题： （1）若，则 ； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为 ． 7．（23-24八年级上·江西九江·期中）（1）解方程：； （2）解方程：． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知七个实数，，，，，，，其中五个数已经在数轴上分别用点、、、、表示．（以下问题请用原数作答） (1)点表示数0，点表示数_____，点表示数_____，点表示数_____； (2)借助圆规，在数轴上准确地用点表示数（提示：注意观察正方形的面积），并将所有的实数用“”连接． ______________________________ 9．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）通过学习，我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分．所以用来表示的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ； (2)已知的整数部分为，的整数部分为，求的立方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 立方根 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：立方根的定义 1 知识点梳理02：立方根的特征 2 知识点梳理03：立方根的性质 2 知识点梳理04：立方根小数点位数移动规律 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：立方根概念理解 2 考点2：求一个数的立方根 5 考点3：已知一个数的立方根，求这个数 6 考点4：与立方根有关的规律探索 7 考点5：立方根的实际应用 10 考点6：算术平方根和立方根的综合应用 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 18 知识点梳理01：立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【要点提示】一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点梳理02：立方根的特征 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【要点提示】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点梳理03：立方根的性质 （1）； （2）； （3）. 【要点提示】第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点梳理04：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 考点1：立方根概念理解 【典例精讲】（24-25八年级上·广东清远·期中）下列说法中，不正确的是（   ） A．的绝对值是 B．的平方根是 C．的算术平方根是1 D．的立方根是1 【答案】D 【思路引导】根据绝对值，平方根、算术平方根、立方根，零指数幂，负整数指数幂；的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A. 的绝对值是，故该选项正确，不符合题意；     B. 的平方根是，故该选项正确，不符合题意； C. 的算术平方根是1，故该选项正确，不符合题意；     D. 的立方根是，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【考点剖析】本题考查了绝对值，平方根、算术平方根、立方根的定义，零指数幂，负整数指数幂；理解并掌握以上知识是解题的关键． 【变式训练1】（23-24七年级下·广西梧州·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是3，c是最大的负整数． (1)求的值； (2)若是a的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】(1)26 (2) 【思路引导】本题主要考查平方根，算术平方根以及立方根的概念熟练掌握平方根的性质算术平方根的性质以及立方根的概念是解题的关键； （1）由正数的两个平方根分别是和，可求得的值，由的立方根是3，可以求得的值，由c是最大的负整数，可求得的值，即可求得的值； （2）根据算术平方根的概念即可求得的值，从而求得的值，根据立方根的概念可求得的值，从而求得的值，即可求得结果． 【规范解答】（1）解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 又∵的立方根是3， ∴， ∴， 又∵c是最大的负整数， ∴， ； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴，， ∴， ∴4的平方根是． 【变式训练2】（23-24七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______； (2)625的四次方根为______；的五次方根为______； (3)求下列的值： ①； ②． 【答案】(1)若，那么叫做的五次方根 (2)， (3)①或；② 【思路引导】本题考查了四次方根和五次方根的意义，解题的关键是熟练掌握四次方根和五次方根的意义，准确进行计算． （1）依照平方根和立方根的定义即可得出答案； （2）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （3）根据四次方根和五次方根的意义求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：若，那么叫做的五次方根， 故答案为：若，那么叫做的五次方根． （2）解：∵， ∴625的四次方根是． ∵， ∴的五次方根是． 故答案为：，． （3）解：①， 或． ② ． 考点2：求一个数的立方根 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如果，那么的立方根是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查多项式的乘法，立方根．通过展开左边多项式并比较系数，确定a和b的值，再计算的立方根． 【规范解答】解：， 又 ， ，， ， ． 故选B． 【变式训练1】（24-25七年级下·山西阳泉·期中）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本本题主要考查了立方根，算术平方根，绝对值的性质，实数的运算法则，理解相关知识是解答关键． （1）根据算术平方根，、立方根、实数加减法的运算法则来求解； （2）根据立方根、算术平方根，绝对值的性质、实数的运算法则来进行计算求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）计算； （2）解方程． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题主要考查了实数的运算，立方根，解一元一次方程等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先算乘方，再算加减即可得解； （2）先利用立方根的定义对方程进行变形，然后再解一元一次方程即可得解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：， ， ， ． 考点3：已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查平方根，算术平方根和立方根的意义，熟练掌握定义是解答本题的关键． 根据立方平方根和算术平方根的定义，求出a、b的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【规范解答】解：因为的立方根是， 所以． 所以， 因为的算术平方根是3． 所以， 所以， 所以， 所以的平方根为． 【变式训练1】解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平方根和立方根，掌握它们的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义计算即可； （2）根据立方根的定义计算即可． 【规范解答】（1）解：， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴． 考点4：与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（24-25七年级下·河南许昌·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 【答案】(1)2，27 (2)①；② 【思路引导】本题考查了数的立方根的估算，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键 （1）观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可； （2）根据（2）中的方法先进行猜想，然后进行验证即可 【规范解答】（1）∵的个位数是3，而末位数为3， ∴猜想的立方根的个位数为7， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为2， 验证：， ∴19683的立方根是27； 故答案为2，27； （2）解：①∵的个位数是，而，末位数为 ， ∴猜想的立方根的个位数为． 又， ，且 ． ∴猜想的立方根的十位数为7， 验证： ． ∴ ． ②∵的末位数是1，而， ∴猜想的立方根的末位数为1， 又∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：； 故答案为，； 【变式训练】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，；当时，；当时， 【思路引导】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、、和四种情况进行分析即可得． 【规范解答】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴由上述规律得：，． ①当时，，则此时； ②当时，； ③当时，，则此时； ④当时，； 综上，当或时，；当时，；当时，． 考点5：立方根的实际应用 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题主要考查了利用平方根解方程，立方根的实际应用（利用立方根的概念解方程）等知识点，熟练掌握利用平方根、立方根的概念解方程是解题的关键． （1）将看作一个整体，利用平方根解方程即可； （2）将看作一个整体，利用立方根的概念解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）小明和小红各制作了一个正方体盒子，制作完后，小明对小红说：“我制作的盒子的表面积是，你的呢？”小红低头想了一下说：“先不告诉你我制作的盒子表面积是多少，我制作的盒子比你的盒子的体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？ 【答案】能， 【思路引导】本题考查了算术平方根和立方根的运算．解答本题的关键是要掌握好正方体的体积公式． 首先利用正方体的表面积公式求出体积，再利用立方根的定义求出棱长进而求出表面积即可． 【规范解答】解：小明制作的盒子棱长为， 所以其体积为， 则小红制作的盒子的体积为， 其棱长为， 所以其表面积为． 考点6：算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据题意得出，，计算即可得到答案； （2）把代入计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， ，； （2）解：当时， 17的平方根是， 的平方根是． 【变式训练】（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值． （2）已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 【答案】（1）64；（2）2 【思路引导】此题考查了实数的运算、无理数的估算和算术平方根、立方根的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用算术平方根，立方根定义求出a与b的值，代入原式计算即可求出值； （2）根据题意，利用无理数估算的方法求出x与y的值，即可求出的算术平方根的值． 【规范解答】解：（1）∵的算术平方根是3，的立方根是2， ∴，， 解得：，， 则； （2）解：∵，其中x是整数，且，， ∴，， 则， ∴的算术平方根是2． 1．（2025·浙江·中考真题） ． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：2． 2．（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】2 【思路引导】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴． 故答案为2． 3．（2023·上海·中考真题）计算： 【答案】 【思路引导】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解． 【规范解答】解：原式 ． 【考点剖析】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键． 4．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝ ． 【答案】﹣1 【思路引导】先计算立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂，再进行计算即可解答． 【规范解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0 ＝﹣+﹣1 ＝0﹣1 ＝﹣1 故答案为：﹣1． 【考点剖析】本题考查了立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂等知识点，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 5．（2021·四川攀枝花·中考真题）以下各数是有理数的是（　　） A． B． C． D．π 【答案】C 【思路引导】根据有理数和无理数的分类判断即可； 【规范解答】解：A．根据无理数的定义，是无理数，那么A不符合题意． B．根据无理数的定义，是无理数，那么B不符合题意． C．根据有理数的定义，是有理数，那么C符合题意． D．根据无理数的定义，π是无理数，那么D不符合题意． 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了实数的分类，准确分析判断是解题的关键． 基础夯实 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．的立方根是 B．的平方根是 C．平方根等于本身的数有， D．的立方根是 【答案】D 【思路引导】本题考查平方根与立方根的概念，根据平方根与立方根的概念逐一分析各选项即可，正确理解平方根与立方根的概念是解题的关键． 【规范解答】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、的平方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、平方根等于本身的数有，原选项说法错误，不符合题意； 、的立方根是，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了算术平方根、平方根、立方根的定义及性质等知识点，掌握算术平方根与平方根的区别与联系成为解题的关键． 根据平方根、立方根的定义及性质逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列说法正确的个数为（    ） ①没有平方根； ②36的平方根是； ③立方根等于它本身的数是0，1； ④49的算术平方根是7． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐一判断各说法的正误． 【规范解答】①负数没有平方根，正确； ②36的平方根是，正确； ③立方根等于本身的数包括0、1、，原说法缺少，错误； ④49的算术平方根是7，正确． 综上，正确的有①、②、④，共3个， 故选：C． 4．（23-24八年级上·广西桂林·期中）已知a，b为实数，满足，且，则的值 ． 【答案】4或5 【思路引导】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值．先根据立方根和算术平方根的定义求出的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，即， ∴或， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了用数轴判断式子正负，立方根和算术平方根． 先由数轴得到，再计算即可． 【规范解答】解：由数轴可知：， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 6．（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【规范解答】解：由图可知： ． 故答案为： 7．（24-25七年级下·福建福州·期中）（1）计算：；     （2）求的值：． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查实数的运算及利用立方根定义求方程. （1）根据求算术平方根，求绝对值，求立方根，进行计算即可得出答案； （2）先移项，再根据立方根的概念进行求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：原式 （2）解： 8．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)4；5 (2) 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，； （2）由（1）知，， ∴， ∵13的平方根为， ∴的平方根为． 9．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)这个魔方的棱长为________； (2)图中四边形为正方形，求出此正方形的面积及其边长； (3)如图2把正方形放到数轴上，使得与重合，那么在数轴上表示的数为________． 【答案】(1)4 (2)正方形的面积是8，边长是； (3) 【思路引导】本题考查的是立方根、算术平方根在实际生活中的运用，实数与数轴，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． （1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长； （2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长； （3）根据两点间的距离公式可得出D在数轴上表示的数． 【规范解答】（1）解：由题意得，这个魔方的棱长为． 故答案为：4； （2）解：∵魔方的棱长为4， ∴小立方体的棱长为2， ∴正方形的面积为：， 边长为：， 答：正方形的面积是8，边长是； （3）解：∵A与重合，， ∴D在数轴上表示的数为． 故答案为：． 培优拔高 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据立方根，算术平方根，平方根的定义及其特性解答即可． 本题考查了立方根，算术平方根，平方根，任意实数都有立方根，非负性有平方根，熟练掌握定义和条件是解题的关键． 【规范解答】A. ，错误，不符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C. 错误，不符合题意；     D. ，正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下列说法：①1的平方根是；②正数的绝对值是它本身；③算术平方根等于它本身的数只有1；④立方根等于它本身的数有2个；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查平方根，绝对值，立方根，平行线的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：1的平方根是；故①错误； 正数的绝对值是它本身；故②正确； 算术平方根等于它本身的数有；故③错误； 立方根等于它本身的数有，共3个；故④错误； 如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，分两种情况： （1），的两边相互平行，如图所示 ， ， ， ， ； （2），的两边相互平行，如图所示 ， ， ， ， ， ∴这两个角相等或互补；故⑤错误； 故选A． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二次根式的计算，立方根．熟练掌握二次根式的性质，运算法则，立方根的性质是解题的关键． 根据算二次根的合并法则，除法法则，分母有理化法则，性质，立方根的性质，逐项判断即可求解． 【规范解答】解：A、与不是同类二次根式，不可以合并，故本选项不正确，不符合题意； B、，故本选项不正确，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项不正确，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）的整数部分记为a，算术平方根等于本身的正整数记为b，那么的立方根是 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了无理数的估算，立方根，算术平方根等知识，先估算，即可求出a，然后根据算术平方根的性质可求出b，把a、b代入计算，最后根据立方根的定义求解即可． 【规范解答】解∶∵， ∴，即， ∴的整数部分， ∵算术平方根等于本身的正整数记为b， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故答案为：3． 5．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．先根据立方根的性质求出的值，再根据无理数的估算可得的值，然后根据算术平方根的性质求解即可得． 【规范解答】解：的立方根是2， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴， 则的算术平方根是， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当时，．由此解决下列问题： （1）若，则 ； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为 ． 【答案】 2.65 【思路引导】本题考查了相反数的定义、立方根、平方根、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意可知与互为相反数，即可得出答案； （2）根据题意得出，解方程即可得出的值，根据平方根是它本身的数为，求出的值，从而得出的值，再根据立方根的定义计算即可． 【规范解答】解：（1）根据题意可知与互为相反数， 故， 故答案为：2.65； （2）根据题意，得， 解得． 的平方根是它本身， ， 解得． ， 故的立方根为， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·江西九江·期中）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或 【思路引导】本题考查了利用平方根立方根的定义求方程的解，准确掌握相关计算方法为解题关键． （1）利用立方根的定义求解方程即可； （2）利用平方根的定义求解方程即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， 或， 或． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知七个实数，，，，，，，其中五个数已经在数轴上分别用点、、、、表示．（以下问题请用原数作答） (1)点表示数0，点表示数_____，点表示数_____，点表示数_____； (2)借助圆规，在数轴上准确地用点表示数（提示：注意观察正方形的面积），并将所有的实数用“”连接． ______________________________ 【答案】(1)，， (2)图见解析， 【思路引导】本题考查了实数与数轴，勾股定理，实数的大小比较，正确利用数轴比较大小是解答本题的关键． （1）根据、、、在数轴上的位置即可判断出答案； （2）根据数轴是数从左到右是从小到大的顺序即可得出答案； 【规范解答】（1）解：根据、、、在数轴上的位置，可知， 点表示数0，点表示数，点表示数，点表示数， 故答案为：； （2）解：在数轴上准确地表示数如图所示： 由数轴可知，， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）通过学习，我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分．所以用来表示的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ； (2)已知的整数部分为，的整数部分为，求的立方根． 【答案】(1)6； (2)的立方根是2 【思路引导】本题考查无理数整数部分的计算，求一个数的立方根： （1）估算出在哪两个连续整数之间即可； （2）通过无理数的估算求得，的值，然后将其代入中计算，最后根据立方根的定义即可求得答案． 【规范解答】（1）解：， ， 的整数部分为6，小数部分为， 故答案为：6；； （2）， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴的立方根是2． 学科网（北京）股份有限公司 $$