1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2用空间向量 研究距离、角度问题 ·选择性必修第一册· 第2课时 用空间向量研究空间角度问题 学习目标 理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法 求两异面直线所成角，发展直观想象，数学运算素养. 理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系, 会用向量方法求直线与平面所成角，发展直观想象，数学运算素养. 理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二 面角的大小，发展直观想象，数学运算素养. 1 2 3 01 情境导入 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 引入新知 我们都知道，地球是倾斜的椭球，到底有多倾斜呢？为此科学家将地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”, 科学家计算出两个角度体现了地球的倾斜程度： ① 黄道面与地球赤道面交角为23°26'. ② 地轴与黄道面所成的夹角为66°34'. 思考：科学家是如何精准的计算出这两个角度大小的呢，能否借助我们所学的空间向量的工具进行计算得出角度大小呢？ 02 新课探究 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 新课探究 立体几何中有哪些夹角问题呢？ 思考 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角（两平面的夹角） 新课探究 如何利用两直线的方向向量求两直线所成的角？ 探究1 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，异面直线所成的角为 思考1：两方向向量的夹角与有何关系？ 结论：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角. 新课探究 两直线的方向向量求两直线所成的角： 归纳 思考2：与有何关系？ 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，则 . 和数量积的定义 牛刀小试 解析 和数量积的定义 牛刀小试 解析 和数量积的定义 牛刀小试 解析 和数量积的定义 牛刀小试 解析 坐标法求异面直线所成的角 ① 建系求相关点坐标 ② 求两直线方向向量 ③ 代入公式计算得解 新课探究 坐标法求异面直线所成角的基本步骤： 方法 第一步 建系求点：建立空间直角坐标系及求相关点的坐标 第二步 求方向向量：求两直线的方向向量的坐标 第三步 向量运算：利用坐标求两个方向向量的数量积和各自的模长 第四步 翻译下结论：将运算结果“翻译”，得出结论 03 应用新知 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 新课探究 图1.4-19 基底法求异面直线所成的角 新课探究 解析 图1.4-19 ① 设角：将夹角问题转化为向量问题 ② 基底表示：用基底表示方向向量 解析 新课探究 图1.4-19 ③ 向量运算：得出结果 ④ 下结论:将运算结果“翻译” 新课探究 基底法求异面直线所成角的基本步骤： 方法 第一步 设角：将夹角问题转化为向量问题 第二步 基底表示：选基底，用基底表示方向向量 第三步 向量运算：求两个方向向量的数量积和各自的模长 第四步 翻译下结论：将运算结果“翻译”，得出结论 新课探究 都是利用空间向量工具求异面直线所成角，且基本步骤相同： 几何问题 向量问题 向量运算 几何翻译 思考 坐标法与基底法求异面直线所成角有何共同特点？ 课后思考 利用坐标法完成例7的解答，并分析坐标法和基底法解该题的优劣性？ 借助坐标法，还是基底法解题的选择上有什么心得体会？ 04 新课探究 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 新课探究 如何利用直线方向向量与平面法向量求直线与平面所成的角？ 探究2 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为 思考1：两向量的夹角与有何关系？ 思考2：与有何关系？ 又 新课探究 直线方向向量与平面法向量求线面角： 归纳 如图，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则 新课探究 定义 如下图，平面与平面相交，形成____个二面角， 我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角. 四 思考 两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角的大小有何关系？ 相等 或 互补 新课探究 探究3 如何利用两平面的法向量求平面与平面的夹角？ 已知平面的法向量为，平面的法向量为，平面与平面的夹角为 思考1：两法向量的夹角与有何关系？ 新课探究 两平面的法向量求平面与平面的夹角： 归纳 思考2：与有何关系？ 又 已知平面的法向量为，平面的法向量为，平面与平面的夹角为，则 新课探究 设二面角的平面角为，平面的法向量为，平面的法向量为，则与有何关系？ 思考 当不大于时，为平面与平面的夹角，余弦值大于0 当大于时，为平面与平面的夹角的补角，余弦值小于0 新课探究 空间夹角的向量求解小结 范围 图形 公式 异面直线 所成角 直线与平 面所成角 平面与平 面的夹角 和数量积的定义 牛刀小试 解析 和数量积的定义 牛刀小试 解析 和数量积的定义 牛刀小试 解析 思考：该题易错选C，为什么？ 和数量积的定义 牛刀小试 解析 和数量积的定义 牛刀小试 解析 和数量积的定义 牛刀小试 解析 思考：该题易错填一个角，为什么？ 05 应用新知 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 应用新知 例8 分析 图1.4-22 坐标法求两平面的夹角 应用新知 例8 图1.4-22 解析 ① 设角：将夹角问题转化为向量问题 应用新知 例8 解析 图1.4-22 ② 求法向量：分别求两个平面的法向量 应用新知 例8 解析 图1.4-22 ③ 向量运算：代入公式运算得结果 应用新知 例8 解析 图1.4-22 ④ 下结论:将运算结果“翻译” 新课探究 坐标法求两平面的夹角的基本步骤： 方法 第一步 设角：将夹角问题转化为向量问题 第二步 建系求法向量：分别求两个平面的法向量的坐标 第三步 向量运算：以上两个法向量坐标代入公式运算得结果 第四步 翻译下结论：将运算结果“翻译”，得出结论 应用新知 例9 图1.4-23 分析 应用新知 例9 图1.4-23 解析 图1.4-24 应用新知 例9 图1.4-24 解析 应用新知 例10 图1.4-25 分析 本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题． 应用新知 例10 解析 图1.4-25 图1.4-26 建系 求点 应用新知 例10 图1.4-26 证明 坐标法证线线平行 结合线面平行判定定理下结论 应用新知 例10 图1.4-26 证明 坐标法证线线垂直 结合线面垂直判定定理下结论 应用新知 例10 图1.4-26 解析 结合平面角定义得出所求角 待定系数法求点F坐标 应用新知 例10 图1.4-26 解析 向量运算得结果 06 重要题型 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 重要题型专练 题型一 异面直线所成角的求解 例题 法一：坐标法 重要题型专练 题型一 异面直线所成角的求解 法二：基底法 重要题型专练 题型一 异面直线所成角的求解 法三：几何法 方法总结 重要题型专练 求异面直线所成的角的两种方法 重要题型专练 题型二 空间直线与平面所成角的求解 例题 法一：坐标法 重要题型专练 题型二 空间直线与平面所成角的求解 例题 法二：几何法 方法总结 应用新知 求空间直线与平面所成角的方法 几何法 向量法 重要题型专练 解析 例题 题型三 平面与平面的夹角（二面角）的求解 重要题型专练 解析 例题 题型三 平面与平面的夹角（二面角）的求解 重要题型专练 解析 例题 题型三 平面与平面的夹角（二面角）的求解 方法总结 应用新知 向量法求二面角的步骤 07 真题感知 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 和数量积的定义 真题感知 解析 和数量积的定义 真题感知 解析 和数量积的定义 真题感知 解析 和数量积的定义 真题感知 解析 和数量积的定义 真题感知 解析 和数量积的定义 真题感知 (1) 证明 和数量积的定义 真题感知 (1) 证明 和数量积的定义 真题感知 (2) 解析 08 课堂笔记 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 课堂笔记 1. 两直线的方向向量求两直线所成的角 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，则 . 课堂笔记 2. 直线方向向量与平面法向量求线面角 如图，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则 课堂笔记 3.两平面的法向量求平面与平面的夹角 已知平面的法向量为，平面的法向量为，平面与平面的夹角为，则 课堂笔记 设二面角的平面角为，平面的法向量为，平面的法向量为 当时，为平面与平面的夹角，余弦值_____0 当时，为平面与平面的夹角的____角，余弦值_____0 4.两平面的法向量求二面角 大于 不大于 大于 小于 补 09 小结及课后作业 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 课堂小结 作业布置 巩固作业：教科书第41页练习第1题； 教科书第43-44页习题1.4第9、10、14题. ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 练1：已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 因为，， 所以． 所以和夹角的余弦值为．故选：C 练2：若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 因为，所以， 设直线与直线的夹角为， 则. 故选：B 练3：设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成的角为（     ） A． B． C． D． 因为两条异面直线、的方向向量分别为，， 设直线与直线的夹角为，则， 又，所以，. 故选：B 练4：在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则， 所以，， 设异面直线与所成的角为， 则，故选：D. 问题1：如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中， 分别为的中点，求直线和夹角的余弦值． 分析：求直线和夹角的余弦值，可以转化为求向量 与夹角的余弦值．为此需要把向量，用 适当的基底表示出来，为此,选择为基底并表 示向量，进而求得向量，夹角的余弦值． 例7 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中， 分别为的中点，求直线和夹角的余弦值． 设向量与的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于． 如图1.4-19，以作为基底， 则，． 所以， 所以直线和夹角的余弦值为. 问题1：如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中， 分别为的中点，求直线和夹角的余弦值． ． 又和均为等边三角形，所以． 练1：若平面α的一个法向量n＝(4,1,1)，直线l的方向向量a＝(－2，－3,3)，则l与α夹角的正弦值为_______________ 因为平面α的一个法向量n＝(4,1,1)，直线l的方向向量a＝(－2，－3,3) 设直线l与平面α夹角为， 则. 练2：将练1中所求改为“求l与α夹角的余弦值”，即： 若平面α的一个法向量n＝(4,1,1)，直线l的方向向量a＝(－2，－3,3)，则l与α夹角的余弦值为_______________ 所以， 由【练1】知，则， 练3：若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 设直线l与平面α夹角为， 则. 因为，所以． 故选：A. 练4：在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量分别为，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 设平面与的夹角为，又两平面的法向量分别为， 则. 所以平面与的夹角的余弦值为. 故选：D. 练5：若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与的夹角为 ． 设平面与的夹角为，又两平面的法向量分别为，， 则 又，所以平面与的夹角为. 练6：已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为 . 设平面与的夹角为，又两平面的法向量分别为，， 则 又，所以平面与的夹角为. 又两平面所成的二面角与相等或互补，所以两平面所成的二面角为或. 因为平面与平面的夹角可以转化为平面 与平面的法向量的夹角，所以只需要求 出这两个平面的法向量的夹角即可． 如图1.4-22，在直三棱柱中，，， ，为的中点，点，分别在棱，上， ，．求平面与平面夹角的余弦值 如图1.4-22，在直三棱柱中，，， ，为的中点，点，分别在棱，上， ，．求平面与平面夹角的余弦值 以为原点，，，所在直线为轴、轴、 轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系． 设平面与平面的夹角为，平面的法向量为，平面的法向量为，则, 如图1.4-22，在直三棱柱中，，， ，为的中点，点，分别在棱，上， ，．求平面与平面夹角的余弦值 因为平面，所以平面的一个法向量为 ， 根据所建立的空间直角坐标系，可知，， ．所以，． 如图1.4-22，在直三棱柱中，，， ，为的中点，点，分别在棱，上， ，．求平面与平面夹角的余弦值 设，则，所以， 令，则，则， 则． 如图1.4-22，在直三棱柱中，，， ，为的中点，点，分别在棱，上， ，．求平面与平面夹角的余弦值 所以． 即平面与平面的夹角的余弦值为． 因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量． 图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根 绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1 kg，每根绳 子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重 力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根 绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1 kg，每根绳 子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重 力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 如图1.4-24， 设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为．因为，所以在上的投影向量为． 所以8根绳子拉力的合力． 图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根 绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1 kg，每根绳 子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重 力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 又因为降落伞匀速下落， 所以． 所以，所以． 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱 底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面；（2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱 底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面；（2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图1.4-26所示的空间直角坐标系，设． （1）证明： 连接，交于点， 连接． 依题意得，，． 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱 底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面；（2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 因为底面是正方形，所以点是它的中心， 所以点的坐标为，且，， 所以，即． 而平面， 且平面， 因此平面． 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱 底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面；（2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． （2）证明：依题意得，，又， 故，所以． 由已知，且，所以平面． 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱 底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面；（2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． （3）已知，由（2）可知， 故是平面与平面的夹角． 设点的坐标为，则． 因为，所以， 即，，， 设，则， 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱 底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面；（2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 所以，点的坐标为．又点的坐标为， 所以． 所以，即平面与平面的夹角大小为． 所以． 在直三棱柱中，，，分别是， 的中点，，求异面直线与所成角的余弦值. 建立如图（1）所示的空间直角坐标．设， 则，，，， ，， ． 设与所成角为，． 取为基底，如图（2）， 设，，，， 则， ， ． 设与所成角为，． 如图（3），取中点，连接，，， 设． ，分别为，的中点， ，，， ．四边形为平行四边形，， 或其补角为异面直线与所成的角． 在中，， ，， ． 设与所成角为，则． (1)几何法:解决此类问题,关键是通过平移法求解.过某一点作平行线,将 异面直线所成的角转化为平面角,最后通过解三角形求解.主要以“作,证,算” 来求异面直线所成的角.同时,要注意异面直线所成角的范围. (2)向量法:将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角. 若求出的两向量的夹角为钝角,则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角, 即. 易错提醒:由于两异面直线所成的角的范围是,而两向量夹角 的范围是,故应有,求解时要特别注意. 已知，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为， 求直线与平面所成角的余弦值 解：把，，放在正方体中，如图所示，与， 与，与的夹角均为， 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，，，， ，，， 设直线与平面所成角为， 则，． 设平面的法向量，， 设，则，， ，． 已知，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为， 求直线与平面所成角的余弦值 同理可证，因为， 所以，所以，故， 所以点在的平分线上，， 设，则，，故， 所以直线与平面所成角的余弦值是. 过上一点作平面，过点作，， 则就是直线与平面所成的角， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 作角：在直线上找一特殊点，过点作平面的垂线，连接斜足与垂足 证角：证明作出的角为线面角 求角：利用直角三角形的边角关系求出线面角 建系：依据集合条件建立适当的坐标系； 确定向量：找直线的一个方向向量，平面的一个法向量； 计算角度：，结合角的范围确定大小. 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值． ∵正三棱柱的所有棱长均为2，取的中点， 则，平面， 取的中点，连接， ，，两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， ，，，． 设平面的法向量为， 则，取，则，，， 设平面的法向量为， ，取，则，，． 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值． ． 设平面与平面的夹角为，则． 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值． 1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线 时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。 2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标. 3、求：求出两个面的法向量. 4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值； 5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值. 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为 由题意可得，解得. 故选：B. 1．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面的所成的角等于（     ） A． B． C． D．以上均错 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为 所以直线与平面的所成的角等于. 故选：A. 依题意，建立如右图的空间直角坐标系，则， 设异面直线与所成的角为，则 3．（23-24高二上·山西运城·期中）已知长方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 设正方体的棱长为4，直线与平面所成的角为， 以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 设异面直线与所成的角为，则 4．（22-23高二上·湖南·期末）在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为（     ） A． B． C． D． ，所以，由于， 所以平面， 即平面的法向量为，， 所以. 故选：B 4．（22-23高二上·湖南·期末）在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图： 5．（22-23高二上·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 则，，，，，， ，，， ∵∴，∵，∴， ∵,且平面，∴平面. 5．（22-23高二上·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 设是平面的一个法向量.，. 取，有∴， 又平面的一个法向量为. 设平面PAM与平面PDC的夹角为，则. ∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为. 5．（22-23高二上·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. $$