1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第 1 章 空间向量与立体几何 人教A版2019选修第一册 1.4.2用空间向量研究距离夹角问题（第2课时） 课前任务：直线的方向向量与平面法向量 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上，A1Q= 2AQ，BR= 2RB1. (1)求直线的方向向量； (2)求平面PQR的法向量. A C B A1 C1 B1 x y Q R 直线 方向向量 平面 法向量 P 复习引入：空间距离的向量表示 与距离类似，角度是立体几何中里一个重要的度量，本节课我们将用 向量的方法研究空间中的角度问题。 α A l Q P d 1.点到直线的距离： 2.点到平面的距离： 直线与直线 直线与平面 平面与平面 新知探究：空间角度的向量表示 思考：如何利用空间向量研究角度问题？ 直线与直线所成的角 直线与平面所成的角 平面与平面所成的角 直线方向向量的夹角 方向向量与法向量的夹角 两平面法向量的夹角 空间角 直线 方向向量 平面 法向量 新知探究：直线与直线夹角的向量表示（线线角） 问题1：若直线a与b的方向向量分别为，，则直线a与b所成角θ与向量夹角<, >的区别与联系是什么？ 注意：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角。 空间角 图形表示 范围 向量表示 线线角 线面角 面面角 O 小结：空间角的向量表示 类比探究：直线与平面夹角的向量表示（线面角） 问题2：若直线a的方向向量分别为，平面α的法向量为，则直线a与平面α所成角θ与向量夹角<, >的区别与联系是什么？ 空间角 图形表示 范围 向量表示 线线角 线面角 面面角 O 小结：空间角的向量表示 合作探究：平面与平面夹角的向量表示（面面角） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面. 平面与平面的夹角：平面α与平面β相交所形成的4个二面角中，把其中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 思考：二面角是如何定义的？面面角呢？ 注意：二面角θ的范围是[0，π] 注意：面面角θ的范围是[0，] l A B 合作探究：平面与平面夹角的向量表示（面面角） 问题3：若平面与平面的法向量分别为，，则平面与平面所成角θ与向量夹角< >的区别与联系是什么？ . 空间角 图形表示 范围 向量表示 线线角 线面角 面面角 O 小结：空间角的向量表示 典例剖析 例7 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. A C D B M N 向量与的夹角 基底法 坐标法 典例剖析 例7 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. A C D B M N 向量与的夹角 基底法 (化为向量问题) (进行向量运算) (回到图形问题) . 典例剖析 例7 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. A C D B M N 向量与的夹角 坐标法 解：取中点，过作⊥平面， ，以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 请同学们课后完成！ O x z y 梳理成果：向量表示空间角度的一般步骤 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 用空间向量求空间角度的步骤和方法： 典例剖析 （课前任务）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上，A1Q= 2AQ，BR= 2RB1.求直线平面PQR的夹角的正弦值. A C B A1 C1 B1 x y Q R 设直线平面PQR的夹角为则： . 直线的方向向量： 平面PQR的法向量: 典例剖析 例8如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上，A1Q= 2AQ，BR= 2RB1.求平面PQR与平面 A1B1C1 夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 x y Q R 解：以为原点，所在直线为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设平面的法向量为，平面的法向量为. 因为面， 所以面的法向量为. 典例剖析 又，所以设，则，所以， 所以，取， . 则. 设平面与平面的夹角为， 则 即平面与平面的夹角的余弦值为 课堂练习，巩固提升 如图，四面体P-ABC中,PA＝AB＝BC＝1,PA⊥平面ABC,AB⊥BC． (1)求异面直线AB与PC所成角的余弦值. (2)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值. (3)求平面PAC与平面PBC所成角的大小. 解：以点B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系. 则:A(0,1,0)，B(0,0,0)，C(1,0,0)，P(0,1,1)， x y z 空间角 图形表示 范围 向量表示 线线角 线面角 面面角 O 小结：空间角的向量表示 梳理归纳，感悟本质 1.本节课主要学习了哪些内容？哪些方法？ 2.用向量方法解决立体几何中夹角问题的一般步骤是什么？ 人教A版2019选修第一册 THANKS 感谢聆听 $