精品解析：福建省福州市台江区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2025学年福州台江区第二学期 期末试题 八年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题 1. 要使有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将各选项的二次根式进行化简即可得． 【详解】A、，能与合并，此项符合题意； B、不能与合并，此项不符题意； C、，不能与合并，此项不符题意； D、，不能与合并，此项不符题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键． 3. 以下列各组数据为三角形的三边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，5 B. 6，12，13 C. 6，8，10 D. 12，20，25 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、∵，∴不可以构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴不可以构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，∴可以构成直角三角形，故此选项符合题意； D、∵，∴不可以构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形必须符合勾股定理的逆定理，三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法、二次根式的加减法运算法则分别化简，进而判断即可． 【详解】A．，故原式计算错误； B．与不是同类项，无法合并，故原式计算错误； C．，故原式计算正确； D．，故原式计算错误； 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5. 某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%，小刚的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小刚这学期的数学成绩是（　　） A. 87分 B. 82分 C. 80分 D. 86分 【答案】A 【解析】 【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案． 【详解】解：小明这学期的数学成绩是80×30%+90×70%=87分， 故选：A． 【点睛】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的公式 是解题的关键． 6. 方程的根的情况是（　　） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程是常数的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键． 当时，方程有两个不相等的实数根；当时方程有两个相等的实数根；当时方程没有实数根．据此进行判断即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 将直线向左平移2个单位所得的直线的解析式是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数左右平移的规律：“左加右减”可得出平移后的函数解析式，即可得出答案． 【详解】将直线向左平移2个单位所得的直线的解析式为：． 故选D． 【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，解答本题关键是掌握平移的法则：“左加右减”，“上加下减”． 8. 如图，将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处，已知，则的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，由翻折可知：，设，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， 由翻折可知：， 设，则， 在中， ， 在中，， ， ， ． 故选：B． 9. 已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．由可知随的增大而减小，然后利用一次函数的性质即可得到． 【详解】解：一次函数的图象经过点，，，若， 随的增大而减小， 时，，且， ， 故选：D． 10. 我们已经学过两种全等变换：平移和轴对称，通过变换可以把两条分散的线段拼接在一起．请借助变换解决下面问题：如图，四边形中，，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理．平移至的位置，连接，，则，此时，即的最小值为的长，可证得四边形是平行四边形，从而得到，再由勾股定理求出的长，即可． 【详解】解：如图，平移至的位置，连接，，则，此时，即的最小值为的长， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 二、填空题 11. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：． 12. 若正比例函数y=kx的图象经过点（2，4），则k=_____． 【答案】2 【解析】 【详解】 13. 已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的意义，通过观察甲、乙标枪落点的离散程度来判断方差大小．本题主要考查了方差的意义，熟练掌握方差反映数据离散程度，离散程度越大方差越大是解题的关键． 【详解】解：∵ 方差反映一组数据的离散程度，数据越离散，方差越大；甲的标枪落点更分散，乙的标枪落点更集中， ∴． 故答案为： ． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中点，则∠ADC＝____． 【答案】50°##50度 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出CD＝BD，根据等腰三角形的性质求出∠DCB＝∠B，再根据三角形的外角性质求出答案即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD， ∴∠DCB＝∠B， ∵∠B＝25°， ∴∠DCB＝25°， ∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 15. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据，设，可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为： ． 16. 推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下： 设任意一个有理数为，令， 等式两边都乘以，得① 等式两边都减，得② 等式两边分别分解因式，得③ 等式两边都除以，得④ 等式两边都减，得⑤ 所以任意一个有理数都等于0． 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_________________． 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，得到第④步出现错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴的两边不能除以； 故出现错误的是第④步； 故答案为：④ 三、解答题 17. 计算题 （1） （2） 【答案】（1）13； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法与加法，然后计算二次根式的除法即可得； （2）先利用平方差公式、完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得； 【小问1详解】 解：原式， ， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ， ． 18. 解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）无解；（3）或 【解析】 【分析】（1）利用配方法即可求解； （2）根据根的判别式得到，故方程无解； （3）利用因式分解法即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2）方程中的， 则此方程的根的判别式为， 故方程无解； （3）， ， ， ， 或， 或. 【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的求解方法是解题的关键. 19. 一次函数的图像经过点和点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）请在如图的平面直角坐标系内画一次函数的图像，回答下列问题： ①它的图像与x轴的交点坐标是____________． ②当x____________，时，． 【答案】（1）一次函数的表达式为 （2） 一次函数图像如图所示： ①；② 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式即可； （2）描点连线画出函数图像即可；①令，即可得出答案；②观察图像结合图像与x轴的交点坐标进行解答即可． 【小问1详解】 解：设一次函数解析是为， ∵一次函数的图像经过点和点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 ①令，则， ∴， ∴一次函数图像与x轴的交点坐标是； ②根据函数图像可知当时，； 故答案为：①，②． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图像，一次函数与轴的交点坐标，根据函数值的取值范围求自变量的取值范围，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 20. 已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接． （1）尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形为平行四边形 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（）根据作一个角等于已知角的作法作图即可； （）由矩形得到，，，，再证明得到，进而得到，即可求证； 本题考查了作一个角等于已知角，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正确作出图形是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某校九年级开展跳绳比赛，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在一分钟内每人跳180个以上（含180个）为优秀．下表是成绩较好的甲班和乙班5名学生比赛成绩．（方差公式：） 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 180 178 182 177 183 乙班 179 180 175 189 177 （1）甲、乙两班的中位数分别为______、______； （2）分别计算甲、乙两班比赛数据的方差； （3）从题目所给信息，你认为应该把团体第一名的奖状颁发给哪个班？简述理由． 【答案】（1）180，179 （2）， （3）甲班，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了方差和中位数，掌握概念和意义是解题的关键． （1）分别把甲班、乙班5名学生的成绩由小到大排列，然后根据中位数的定义求解； （2）先求出平均数，再根据方差公式分别计算方差即可求解； （3）根据中位数和方差的定义分析即可． 【小问1详解】 解：甲班的成绩按由小到大排列：177、178、180、182、183，所以甲班的中位数为180； 乙班的成绩按由小到大排列：175、177、179、180、189，所以乙班的中位数为179； 故答案为：180；179 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：团体第一名的奖状颁发给甲班，理由如下： 甲班的中位数比乙班大，且甲班的方差比乙班小，所以甲班比赛成绩比乙班更好，因此把团体第一名的奖状给甲班． 22. 某学校积极响应合肥市“争创全国文明典范城市”的号召，绿化校园，美化校园，计划购进，两种树苗，共45棵，已知种树苗每棵80元，种树苗每棵50元．设购买种树苗棵，购买两种树苗所需费用为元． （1）求与的函数表达式； （2）若购买种树苗的数量不少于种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】（1）y=30x+2250 （2）费用最省的方案是购买A种树苗23棵，B种树苗22棵，所需费用为2940元． 【解析】 【分析】（1）购买两种树苗所需费用=购买A种树苗的费用+购买B种树苗的费用； （2）根据题目中的不等关系求得x的取值范围，再利用一次函数的性质取y的最小值． 【小问1详解】 解：根据题意，得：y=80x+50（45-x）=30x+2250， 所以函数解析式为：y=30x+2250． 【小问2详解】 ∵购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量， ∴x≥45-x． 解得：x≥22.5． 又∵k=30＞0，y随x的增大而增大，且x取整数， ∴当x=23时，y最小值=2940． ∴费用最省的方案是购买A种树苗23棵，B种树苗22棵，所需费用为2940元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用．得出y与x的函数表达式是解题的关键． 23. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若，判断动点是否在某定直线上，如果是，请求出这条定直线的函数解析式；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该一元二次方程总有两个实数根； （2）动点在定直线上上 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、函数图象上点的坐标特征等； （1）先求出该一元二次方程的的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式的关系进行说明即可； （2）根据和，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵x的一元二次方程的两个实数根分别为，． ∴ 又∵， ∴， 设在上，则，将代入，得 ∴ ∴ ∴在定直线上上， 24. 如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，． （1）（1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，作平分交于E． ①的度数是___； ②探究，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①； ②，理由如下： 如图，连接，过点C作交于点F， ， ， ， ，， ， 在和中 ， （）， ，， ， ， ， ， ，， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）可证，可求，即可求解； （2）①设，，由即可求解；②连接，过点C作交于点F，可求，可证，从而可得，，可证，，即可求证． 【小问1详解】 解：， 是等边三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：①设， ， ， ， 平分， ， ； 故答案为：； ②略 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 25. 已知直线：分别与轴、轴交于两点，点在轴上． （1）当时， ①求点的坐标； ②点在直线上，且，若，求点的坐标； （2）设是直线上的定点，直线交轴于点，若轴上存在点，使四边形为平行四边形，求的值． 【答案】（1）①点的坐标分别为，；②点的坐标为 （2）16 【解析】 【分析】（1）当时，，①分别令和，进行计算即可得到点的坐标；②设点的坐标为，分三种情况：当点在第一象限时；当点在第四象限时；当点在第二象限时，分别进行计算求解，即可得到答案； （3）连接交轴于点，过点作轴于点，由题意可得点坐标为， 直线与轴交于点，与轴交于点，根据平行四边形的性质可得，通过证明可得，，从而得到，设点的坐标为，则，从而得到点的坐标，有待定系数法可求出直线的解析式，从而得到点的坐标，最后进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，直线的解析式为， ①当时，；当时，，则， ∴点的坐标分别为，， ②设点的坐标为， 当点在第一象限时， ， ，点的坐标分别为，， ，， ， ，， ∵， ∴， 解得：， 点的坐标为； 当点在第四象限时， ， ，点的坐标分别为，， ，， ， ，， ∵， ∴， 解得：， 点的坐标为； 当点在第二象限时， ， ，， ， ∴不存在， 综上所述点的坐标为或； 【小问2详解】 解：如图，连接交轴于点，过点作轴于点， ， ∵是直线上的定点， ∴点坐标为， 直线与轴交于点，与轴交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ， ∴，， ∴，， ∵， ∴点在轴的负半轴， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 根据，可求出直线的解析式为：， ∴直线与轴交于点， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，熟练掌握一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，采用数形结合的思想解题，是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年福州台江区第二学期 期末试题 八年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题 1. 要使有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数据为三角形的三边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，5 B. 6，12，13 C. 6，8，10 D. 12，20，25 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%，小刚的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小刚这学期的数学成绩是（　　） A. 87分 B. 82分 C. 80分 D. 86分 6. 方程的根的情况是（　　） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 7. 将直线向左平移2个单位所得的直线的解析式是　　 A. B. C. D. 8. 如图，将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处，已知，则的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 9. 已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 我们已经学过两种全等变换：平移和轴对称，通过变换可以把两条分散的线段拼接在一起．请借助变换解决下面问题：如图，四边形中，，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、填空题 11. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 12. 若正比例函数y=kx的图象经过点（2，4），则k=_____． 13. 已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差______（填“”“”或“”）． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中点，则∠ADC＝____． 15. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______． 16. 推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下： 设任意一个有理数为，令， 等式两边都乘以，得① 等式两边都减，得② 等式两边分别分解因式，得③ 等式两边都除以，得④ 等式两边都减，得⑤ 所以任意一个有理数都等于0． 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_________________． 三、解答题 17. 计算题 （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） （3） 19. 一次函数的图像经过点和点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）请在如图的平面直角坐标系内画一次函数的图像，回答下列问题： ①它的图像与x轴的交点坐标是____________． ②当x____________，时，． 20. 已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接． （1）尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形为平行四边形 21. 某校九年级开展跳绳比赛，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在一分钟内每人跳180个以上（含180个）为优秀．下表是成绩较好的甲班和乙班5名学生比赛成绩．（方差公式：） 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 180 178 182 177 183 乙班 179 180 175 189 177 （1）甲、乙两班的中位数分别为______、______； （2）分别计算甲、乙两班比赛数据的方差； （3）从题目所给信息，你认为应该把团体第一名的奖状颁发给哪个班？简述理由． 22. 某学校积极响应合肥市“争创全国文明典范城市”的号召，绿化校园，美化校园，计划购进，两种树苗，共45棵，已知种树苗每棵80元，种树苗每棵50元．设购买种树苗棵，购买两种树苗所需费用为元． （1）求与的函数表达式； （2）若购买种树苗的数量不少于种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 23. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若，判断动点是否在某定直线上，如果是，请求出这条定直线的函数解析式；如果不是，请说明理由． 24. 如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，． （1）（1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，作平分交于E． ①的度数是___； ②探究，，之间的数量关系，并证明． 25. 已知直线：分别与轴、轴交于两点，点在轴上． （1）当时， ①求点的坐标； ②点在直线上，且，若，求点的坐标； （2）设是直线上的定点，直线交轴于点，若轴上存在点，使四边形为平行四边形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $