4.4 实数 第1课时 实数及其性质 导学案 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

4 实数 第1课时 实数及其性质 [学习目标] 1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类. 2.了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义. 3.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数. [新知探究] [任务一 探究实数的概念及分类] 活动1 按要求完成下列各题. 把下列各数分别填入相应的集合内: ,,,π,-,,,-,-,,0,0.373 773 777 3……(相邻两个3之间7的个数逐次增加1) 教师：有理数和无理数统称为实数. 问题1：从实数的概念考虑，实数如何分类？ 总结：实数 问题2：无理数和有理数一样,也有正负之分.从符号考虑，你能把上面的数填入相应的集合内吗？ 思考：0属于正数吗？0属于负数吗？ 问题3：从实数的符号考虑，实数如何分类？ 总结：实数 例1将下列各数填入相应的集合中： ﹣7，0，﹣22，﹣2.55555……，3.01，+9，4.020020002…，+10%，﹣2π 有理数集合：{ 　　……}； 无理数集合：{ 　　……}； 整数集合：{ 　　……}； 分数集合：{ 　　……}． [即时测评] 1．在实数，0，﹣0.3，3.1415926，4，﹣2022，π中，有理数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列各数中，是负数的是（　　） A． B．0 C．0.2 D． 3．已知下列实数： ①0，②，③，④，⑤3.2，⑥．（只需填写序号） 其中整数有：　 　，分数有：　 　，无理数有：　 　． 4．把下列各数的序号填在相应的大括号中： ①﹣9；②3.5；③：④，⑤；⑥0.1010010001…（两个1之间的0逐次增加）；⑦． （1）整数集合：{　 　…}； （2）分数集合：{　 　…}； （3）有理数集合：{　 　…}； （4）无理数集合：{　 　…}． [任务二 探究实数的性质及运算] 活动2：思考回答下列问题. 问题1：在有理数中,数a的相反数是什么?绝对值是什么?当a不为0时,它的倒数是什么？ 问题2：的相反数是什么?的倒数是什么?,0,-π的绝对值分别是什么? 问题3：3-π的绝对值是　　　　.  问题4：a是一个实数,它的相反数是　　　　,它的绝对值是　　　　,当a≠0时,它的倒数是　　　　.  总结： (1)相反数:a与-a互为相反数;0的相反数仍是0; (2)倒数:当a≠0时,a与互为倒数(0没有倒数); (3)绝对值:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0; 即|a|= 例2 说出下列各式计算的依据. （1） （2） （3） （4）（10）－10＝（10－10）＝0＝ [即时测评] 1．下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．﹣3与 D．3与|﹣3| 2．的相反数是（　　） A． B． C． D． 3．已知一个数的绝对值是，则这个数是（　　） A． B． C．3 D． 4．的平方根是 　 　，的相反数为 　 　，的绝对值为 　 　． 5．的绝对值是 　 　，相反数是 　 　，倒数是 　 　． 6．已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求 的值． [任务三 探究实数与数轴的关系] 活动3：解答下列各题. 问题1：如图,OA=OB,数轴上A点对应的数是什么?它介于哪两个整数之间? 问题2：你能在数轴上找到对应的点吗?与同伴交流. 问题3：实数在数轴上，右边点表示的数与左边的点表示的数哪个大？ 总结：全体实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的.在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数大. 例3实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|c﹣b|+|c﹣a|﹣2|a|的值． [即时测评] 1．如图，将实数表示在数轴上，对应的点可能是（　　） A．R点 B．Q点 C．S点 D．T点 2．如图，正方形OBCD的面积为3，OA＝OB，则数轴上点A对应的数是 　 　． 3．A，B为数轴上两点，点A表示的数为1，点B到点A的距离是，则点B表示的数为 　 　． 4．已知三个实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示． （1）判断正负： a﹣b　 　0，c﹣a　 　0，c+b　 　0，a+b　 　0． （2）根据（1）中的判断化简：|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b|﹣|a+b|． [当堂达标] 1．下列各数中，是无理数的是（ ） A.-1.732 B. 1,414 C. D.3.14 2．已知一个数a的绝对值是，则（　　） A． B． C．或 D．或 3．的相反数是 　 　.的倒数是 　 　，||＝　 　． 4．如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A与数轴上表示数1的点重合，点E在数轴上，且在点A的左侧，AD＝AE，则点E表示的数是 　 　． 5.把下列各数填在相应的括号内： ∣-∣；；；π；0.；﹣；；3；0.13。 有理数集合{ } 无理数集合{ } 整数集合 { } 分数集合{ } 实数集合{ } 6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． 化简M。 答案： [任务一 探究实数的概念及分类] 活动1 ： 教师：有理数和无理数统称为实数. 问题1：从实数的概念考虑，实数如何分类？ 总结：实数 问题2：无理数和有理数一样,也有正负之分.从符号考虑，你能把上面的数填入相应的集合内吗？ 思考： 0既不是正数，也不是负数 问题3：从实数的符号考虑，实数如何分类？ 总结：实数 例1解：在﹣7，0，﹣22，﹣2.55555……，3.01，+9，4.020020002…，+10%，﹣2π中， 有理数有：﹣7，0，﹣22，﹣2.55555……，3.01，+9，+10%； 无理数有：4.020020002…，﹣2π； 整数有：﹣7，0，+9； 分数有：﹣22，﹣2.55555……，3.01，+10%． [即时测评] 1．D 2．A 3．其中整数有：　①③　，分数有：　⑤⑥　，无理数有：　②④　． 4．解：（1）整数集合：{①⑦}； （2）分数集合：{②}； （3）有理数集合：{①②⑦}； （4）故无理数集合{③④⑤⑥}． [任务二 探究实数的性质及运算] 活动2： 问题1：数a的相反数是-a，绝对值是∣a∣,当a不为0时,它的倒数是。 问题2：的相反数是-的倒数是；,0,-π的绝对值分别是,0,π。 问题3：π-3。  问题4：-a，∣a∣，。  总结： (1)相反数:a与-a互为相反数;0的相反数仍是0; (2)倒数:当a≠0时,a与互为倒数(0没有倒数); (3)绝对值:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0; 即|a|= 例2 解：（1）乘法交换律 （2）乘法结合律 （3）合并同类根式 （4）去括号及加法结合律 [即时测评] 1．A 2．A 3．D 4．，，2． 5.，，． 6．解：由题意可得：ab＝1，c+d＝0，e＝±2， （1）原式122； （2）原式122， 综上所述：原式的值为或． [任务三 探究实数与数轴的关系] 活动3：解答下列各题. 问题1：根据勾股定理，OB=＝，因为OA=OB，所以OA＝，它介于1和2两个整数之间. 问题2：（1）如图，在数轴上取OA=2； （2）过点A作 AB⊥OA且AB=1； （3）根据勾股定理，得 OB== = ； （4） 以点O为圆心，以OB为半径画弧，交x轴与点C， 则点C对应的点是 。 问题3：实数在数轴上，右边点表示的数比左边的点表示的数大。 例3解：由数轴得c﹣b＞0，c﹣a＞0，a＜0， 原式＝c﹣b+c﹣a+2a＝2c﹣b+a. [即时测评] 1．D 2． 3．1或1． 4．解：（1）＜，＞，＞，＜； （2）|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b|﹣|a+b| ＝﹣（a﹣b）+（c﹣a）﹣（c+b）﹣[﹣（a+b）] ＝﹣a+b+c﹣a﹣c﹣b+a+b ＝﹣a+b． [当堂达标] 1.C 2．C 3．，，2 4． 5.有理数集合{∣-∣；；0.；﹣；3；0.13...... } 无理数集合{ ；π；；...... } 整数集合 { ∣-∣；；3；...... } 分数集合{ ﹣；...... } 实数集合{ ∣-∣；；；π；0.；﹣；；3；0.13...... } 6解：由数轴可得：b＜﹣2，0＜a＜2， ∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＞0， ∴ ＝a+2﹣[﹣（b﹣2）]+a﹣b+（﹣b） ＝a+2+b﹣2+a﹣b﹣b ＝2a﹣b。 学科网（北京）股份有限公司 $$