精品解析：山东省聊城市2024-2025学年高二下学期期末教学质量抽测数学试题

2024～2025学年度第二学期期末教学质量抽测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 的展开式的二项式系数和为（ ） A. 1 B. 5 C. 16 D. 32 2. 一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. 将2本不同的漫画书和2本不同的科技书全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少1本，若不分给甲漫画书，则不同的分配方案共有（ ） A. 36种 B. 24种 C. 14种 D. 12种 4. 某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ） A. 相关系数r变大 B. 决定系数变小 C. 残差平方和变小 D. 不变 5. 已知函数的定义域为R，且图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（ ） A. 480种 B. 444种 C. 408种 D. 360种 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 75 B. 135 C. 180 D. 195 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知某学校的两个不同班级学生的数学成绩X，Y均服从正态分布，其中，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是R上的增函数 B. 的对称中心为 C. 若函数有极值，则或 D. 若对任意的，都有，则的最大值为40 11. 如图，在边长为1个单位长度的正六边形对角线的交点O处有一个质点，随机的沿A，B，C，D，E，F，O中相邻两个点的连线构成的轨道移动，且在每一点处都等可能的向与它相邻的点移动，每次移动1个单位长度，则（ ） A. 移动两次后位于点A的概率为 B. 移动两次后位于点O的概率为 C. 移动三次后位于点F的概率为 D. 移动n次后位于点O的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 13. 给如图所示的风筝中的5个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，现有5种颜色可选，则不同的涂色方案共有______种． 14. 已知函数，若关于x的方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某服装厂为了解消费者对鲜艳色和基础色衣服的喜好是否与年龄有关，随机选取了部分消费者进行调查研究，得到如下列联表： 年龄 喜好 合计 喜欢鲜艳色衣服 喜欢基础色衣服 小于50岁 75 50 125 不小于50岁 25 50 75 合计 100 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析消费者对鲜艳色和基础色衣服的喜好是否与年龄有关？ （2）从样本中小于50岁的125名消费者中按照分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求在这2人中至少有1人喜欢鲜艳色衣服的条件下，2人都喜欢鲜艳色衣服的概率． 附：，． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若时，恒成立，求实数a的取值范围． 17. 某医疗团队统计了某款疫苗接种后人体内抗体浓度y（单位：）与时间（单位：月）的数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 y 48.7 32.6 17.2 12.0 7.0 4.4 （1）判断，哪一个适宜作为y关于x的回归模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出y关于x的回归方程； （2）当抗体浓度降至以下时，需接种加强针疫苗以维持免疫效果．现有两种疫苗可供选择：接种疫苗A需花费100元，接种后产生抗体的概率为0.7；接种疫苗B需花费300元，接种后产生抗体的概率为0.9．无论接种哪种疫苗，产生抗体后被病毒感染的概率都是0.1；若没产生抗体，被感染的概率都是0.4．被感染后需花费2000元的治疗费用．请你从经济角度分析应该接种哪种疫苗？ 参考数据：令 20.3 2.7 274.9 47.95 17.5 参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 18. 某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． （1）求的概率分布列； （2）若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ （3）求的数学期望和方差． 19. 已知函数，． （1）若，求的极值； （2）若有两个极值点，，当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期末教学质量抽测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 的展开式的二项式系数和为（ ） A. 1 B. 5 C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式系数性质求解. 【详解】二项式系数和为， 故选：D. 2. 一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据瞬时速度即位移y的导数，先求出导函数，再代值计算即可. 【详解】由求导得， 依题意该弹簧振子在时的瞬时速度为： . 故选：A. 3. 将2本不同的漫画书和2本不同的科技书全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少1本，若不分给甲漫画书，则不同的分配方案共有（ ） A. 36种 B. 24种 C. 14种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论甲分得几本科技书，结合组合数运算求解即可. 【详解】因为不分给甲漫画书，则有： 若甲分得1本科技书，则不同的分配方案共有种； 若甲分得2本科技书，则不同的分配方案共有种； 综上所述：不同的分配方案共有种. 故选：C. 4. 某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ） A. 相关系数r变大 B. 决定系数变小 C. 残差平方和变小 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】从图中分析得到加入点后，回归效果会变差，再由平均数，相关系数，决定系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可. 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 越接近，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小；故A错误； 决定系数越接近，拟合效果越好，所以决定系数变小，故B正确； 残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大；故C错误； 增加点前的的平均数为，增加点后的的平均数为，所以变大，故D错误. 故选：B 5. 已知函数的定义域为R，且图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性得的解，然后分类讨论可得. 【详解】由已知时，，时，或， 所以或， 综上不等式的解集为， 故选：D. 6. 某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（ ） A. 480种 B. 444种 C. 408种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 75 B. 135 C. 180 D. 195 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理求解. 【详解】， 这个展开式中从第4项开始就不会出现，即只在前3项出现， 所以的系数为， 故选：D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用其单调性即可比较得，再根据幂函数的单调性即可比较出. 【详解】设，，则在上恒成立， 则在上单调递增，则在上恒成立， 设，， 故在上单调递增， 有， 故. ，，则. 综上. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知某学校的两个不同班级学生的数学成绩X，Y均服从正态分布，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的性质判断. 【详解】A选项，，则，A正确； B选项，由正态分布的原则知，B错误； C选项，，则，C正确； D选项，，，D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是R上的增函数 B. 的对称中心为 C. 若函数有极值，则或 D. 若对任意的，都有，则的最大值为40 【答案】ACD 【解析】 【分析】由导数的知识判断ACD，计算的值后判断B． 【详解】对A，，是R上的增函数，正确； 对B，，即，对称中心为，B错； 对C，， ，由题意，解得或，C正确； 对D，由选项B的求解过程知若对任意的，都有，则且， ，设，， ，时，，递增，时，，递减， 所以，所以的最大值为40，D正确． 故选：ACD 11. 如图，在边长为1个单位长度的正六边形对角线的交点O处有一个质点，随机的沿A，B，C，D，E，F，O中相邻两个点的连线构成的轨道移动，且在每一点处都等可能的向与它相邻的点移动，每次移动1个单位长度，则（ ） A. 移动两次后位于点A的概率为 B. 移动两次后位于点O的概率为 C. 移动三次后位于点F的概率为 D. 移动n次后位于点O的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据移动过程，结合独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算概率判断ABC，设移动n次后位于点O的概率为，找到与的关系后再利用数列知识求解后判断D. 【详解】对A， 移动两次后位于点A，需要第一次移动到B或F，然后再移动到A，概率为，A错； 对B，移动两次后位于点O，第一次移出去，第二次再移回来，概率为，B正确； 对C，移动三次后位于点F，前两次移动到O或A或E,因此概率为，C正确； 对D，设移动n次后位于点O的概率为，则前一次一定在非点，概率为， 所以，从而， 又，所以，所以，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对D，在求时，关键是找到与的关系，第次必须在非点（概率为），第次才能移动到点，由此得出关系式，其次关键点是凑配出等比数列，利用等比数列通项公式求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 【答案】0.18# 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算. 【详解】由得， 所以， 故答案为：0.18 13. 给如图所示的风筝中的5个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，现有5种颜色可选，则不同的涂色方案共有______种． 【答案】420 【解析】 【分析】先对1，2，3三个区域涂色，再讨论1和5区域是否同色，结合排列数分析求解. 【详解】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法， 当1和5区域同色时，有种涂法； 当1和5区域不同色时，有种涂法； 综上所述：共有种涂法. 故答案为：420. 14. 已知函数，若关于x的方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，作出函数图象和直线，由图象可得结论，其中切线斜率需要利用导数的几何意义求解． 【详解】关于x的方程有两个不相等的实根，即函数的图象与直线有两个不同的交点， 作出的图象和直线， 当时，它们有两个交点，满足题意， 当时，有两个交点，满足题意， 当时，，， 设的图象过点的切线的切点为， 则，解得， 所以， 当时，直线与的图象无交点， 当时，直线与的图象有一个公共点， 当时，直线与的图象有两个公共点， 又时，直线与射线有一个交点， 又时，直线与射线没有公共点， ，因此时满足题意，或不满足题意， 综上，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：方程根的个数问题，常常转化为函数图象与直线的交点个数问题，然后作出函数图象和直线，由图象观察出相应的结论． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某服装厂为了解消费者对鲜艳色和基础色衣服的喜好是否与年龄有关，随机选取了部分消费者进行调查研究，得到如下列联表： 年龄 喜好 合计 喜欢鲜艳色衣服 喜欢基础色衣服 小于50岁 75 50 125 不小于50岁 25 50 75 合计 100 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析消费者对鲜艳色和基础色衣服的喜好是否与年龄有关？ （2）从样本中小于50岁的125名消费者中按照分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求在这2人中至少有1人喜欢鲜艳色衣服的条件下，2人都喜欢鲜艳色衣服的概率． 附：，． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，与临界值比较可得； （2）确定喜欢鲜艳色衣服的人数以及喜欢基础色衣服的人数，然后用条件概率公式计算. 【小问1详解】 ， 所以根据小概率值的独立性检验， 有99.9%的把握认为消费者对鲜艳色和基础色衣服的喜好与年龄有关. 【小问2详解】 小于50岁的125名消费者中喜欢鲜艳色衣服的人数和喜欢基础色衣服的人数比为， 因此抽取的5人中，喜欢鲜艳色衣服的人数为3，编号为，喜欢基础色衣服的人数为2，编号为， 从5人抽取2人的样本点为：共10个， 这2人中至少有1人喜欢鲜艳色衣服的样本点有共9个，概率为， 2人都喜欢鲜艳色衣服的样本点有：共3个，概率为． 所以在这2人中至少有1人喜欢鲜艳色衣服的条件下，2人都喜欢鲜艳色衣服的概率为. 16. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）增区间是和，减区间是； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数确定单调区间； （2）分离参数后，构造新函数，由导数求得新函数的最值后得结论. 【小问1详解】 时，，， 或， 当或时，，当时，， 所以增区间是和，减区间是； 【小问2详解】 ， 不等式为， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以，即取值范围是. 17. 某医疗团队统计了某款疫苗接种后人体内抗体浓度y（单位：）与时间（单位：月）的数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 y 48.7 32.6 17.2 12.0 7.0 4.4 （1）判断，哪一个适宜作为y关于x的回归模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出y关于x的回归方程； （2）当抗体浓度降至以下时，需接种加强针疫苗以维持免疫效果．现有两种疫苗可供选择：接种疫苗A需花费100元，接种后产生抗体的概率为0.7；接种疫苗B需花费300元，接种后产生抗体的概率为0.9．无论接种哪种疫苗，产生抗体后被病毒感染的概率都是0.1；若没产生抗体，被感染的概率都是0.4．被感染后需花费2000元的治疗费用．请你从经济角度分析应该接种哪种疫苗？ 参考数据：令 20.3 2.7 274.9 47.95 17.5 参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】（1）模型更适宜；. （2）应该选择接种疫苗A. 【解析】 【分析】（1）观察表中的数据信息确定适宜选择模型，对两边取自然对数，将回归方程化成，代值计算求得和，代入后可得y关于x的回归方程. （2）依题意，分别计算两种疫苗的期望总成本，比较其大小即得结论. 【小问1详解】 根据表中的的值随着的值的变化情况，呈现从快到慢的递减趋势，故适宜把作为y关于x的回归模型. 对两边取自然对数，可得，令， 则，， ， ， 故y关于x的回归方程为. 【小问2详解】 需要比较接种疫苗和疫苗的期望总成本（包括疫苗接种费用和可能的感染治疗费用） ①疫苗的期望总成本： 疫苗接种费用：100元； 产生抗体的概率为，此时被感染的概率为，治疗费用期望为元， 未被感染的概率为，治疗费用为元，故产生抗体时的期望治疗费用为元； 未产生抗体的概率为，此时被感染的概率为，治疗费用期望为元， 未被感染的概率为，治疗费用为元，故未产生抗体时的期望治疗费用为元. 故疫苗的期望总成本为：元. ②疫苗的期望总成本： 疫苗接种费用：300元； 产生抗体的概率为，此时被感染的概率为，治疗费用期望为元， 未被感染的概率为，治疗费用为元，故产生抗体时的期望治疗费用为元； 未产生抗体的概率为，此时被感染的概率为，治疗费用期望为元， 未被感染的概率为，治疗费用为，故未产生抗体时的期望治疗费用为元. 故疫苗的期望总成本为：元. 综上，疫苗的期望总成本为480元，低于疫苗的期望总成本560元，故应该选择接种疫苗A. 18. 某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． （1）求的概率分布列； （2）若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ （3）求的数学期望和方差． 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 （2）点 （3），. 【解析】 【分析】（1），可能值为0，1，2，3，由二项分布概率公式求得各概率后可得分布列； （2）时，设的概率最大，通过与1的大小比较可得晨大值； （3）根据二项分布的期望公式和方差公式求解. 【小问1详解】 由题意可知，每次向右移动的概率是，向上移动的概率是， 为3次移动中向右移动的次数，其可能值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】时，设的概率最大， 则，， ， 所以当时，，当时，， 所以， 即时概率最大，所以游戏结束时甲同学到达点的概率最大； 【小问3详解】 由题意， 因为，所以，， 所以，. 19. 已知函数，． （1）若，求的极值； （2）若有两个极值点，，当时，证明：． 【答案】（1）的极小值是，无极大值； （2）证明：的定义域为， ， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个相异正根，且， 由得， ， 令， 则， 所以在上单调递减，故， 即. 【解析】 【分析】（1）求导数，确定单调性后得极值； （2）求出，得出是方程的两个相异正根，且，由确定，求出，并把参数都用表示，然后利用导数求得新函数的最小值，从而证出. 【小问1详解】 由题意的定义域为， 且， 因为恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以时，，时，， 即在上递减，在上递增， 所以的极小值是，无极大值； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的极值点问题，解题关键是利用极值点的定义确定极值点是一个方程的解，从而利用韦达定理把极值点与参数联系起来，然后把进行消元，变为的函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $