精品解析：山东省聊城市2023-2024学年高二下学期期末教学质量抽测数学试题

2023—2024学年度第二学期期末教学质量抽测 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上. 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（ ） A. 残差图越宽 B. 残差平方和越小 C. 决定系数越小 D. 相关系数越大 3. 设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则值可以为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，若最小值为，则的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 6. 甲、乙、丙、丁4名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，若甲、乙两名同学不听同一个讲座，则不同选择的种数是（ ） A. 30 B. 36 C. 54 D. 60 7. “”是“关于的不等式有整数解”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（ ） A. B. C. D. 11. 五一假期过后，车主小王选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. 小王第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B. 小王第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率大 C. 若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D. 若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由数据可得关于的经验回归方程为，若，则_____________. 13. 已知正数，满足，则的最小值为_____________. 14. 设定义在上的函数满足，，且时，，则方程在区间上所有实数根的和为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某餐馆为了解顾客对某一新菜品的喜好程度是否与年龄有关，随机调查了品尝过该菜品的100位顾客，得到下面列联表： 顾客 对该菜品的喜好程度 合计 喜欢 不喜欢 青年人 35 15 50 中老年人 25 25 50 合计 60 40 100 （1）根据上表，分别估计青年人、中老年人喜欢该菜品的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，判断顾客对该菜品的喜好程度与年龄是否有关联. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值.（结果用数字表示） 17. 已知函数的定义域为. （1）求的取值范围； （2）当时，判断的奇偶性，并解关于的不等式. 18. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中一次性摸出两个球，如果每次摸出的两个球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖，有两种摸球方式：一是每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，中奖次数记为；二是每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，中奖次数记为. （1）求第一次摸球就中奖的概率； （2）若，求的分布列和数学期望； （3）若，函数随机变量，求的数学期望. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若导函数满足恒成立. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）讨论零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末教学质量抽测 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上. 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解一元二次不等式从而求出集合B，然后根据集合交集的概念及运算、集合的补集的概念进行求解即可. 【详解】，所以， 则. 故选：D. 2. 在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（ ） A. 残差图越宽 B. 残差平方和越小 C. 决定系数越小 D. 相关系数越大 【答案】B 【解析】 【分析】根据残差、决定系数、相关系数的概念判断即可. 【详解】残差图越宽，模型的拟合效果越差，故A错误； 残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B正确； 决定系数越小，说明模型的拟合效果越差，故C错误； 相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故D错误； 故选：B 3. 设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左边，即. 的密度曲线较为分散， 的密度曲线较为集中，即，故AB错误； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确； 故选：D 4. 已知函数，若，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论，结合对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】， 当时，， 当时，，因为， 所以， 故选：A 5. 设函数，若的最小值为，则的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间，从而可表示出函数的最小值，然后列方程可求出的值，从而可求出最大值. 【详解】由，得， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为的最小值为，所以， 所以， 因为，， 所以的最大值为. 故选：B 6. 甲、乙、丙、丁4名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，若甲、乙两名同学不听同一个讲座，则不同选择的种数是（ ） A. 30 B. 36 C. 54 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】甲、乙两名同学不听同一个讲座，则可甲先在3个讲座中选择一个，然后乙在剩余的两场讲座中选择一个，其余两位同学均可在3个讲座中任意选择一个. 【详解】根据题意，首先甲在3个讲座中选择一个，然后乙在剩余的两场讲座中选择一个，最后丙、丁分别在3个讲座中选择一个， 所以若甲、乙两名同学不听同一个讲座，则不同选择的种数是. 故选：C 7. “”是“关于的不等式有整数解”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数的图象，数形结合得出答案. 【详解】函数的图象如下图所示： 由图可知，时，不等式无整数解， 当时，必是不等式整数解， 即“”是“关于的不等式有整数解”的充要条件. 故选：C 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数得出其单调性，进而由单调性解不等式即可. 【详解】构造函数，， ，即函数在上单调递减， 等价于，解得. 即的解集为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用不等式性质得到；B选项，举出反例；C选项，分与，结合在R上单调递增，得到；D选项，分与，得到. 【详解】A选项，，故，即， 不等式两边同除以得，A正确； B选项，不妨令，则，此时，B错误； C选项，若，则， 因为在R上单调递增，所以， 若，则，故，所以，故， 综上，，C正确； D选项，若，则，， 若，则，故，D正确. 故选：ACD 10. 如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由超几何分布的概率以及期望、方差即可. 【详解】由题意知，. ， 则，故A错误，B正确； 由题意知，. ， ， 故CD正确； 故选：BCD 11. 五一假期过后，车主小王选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. 小王第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B. 小王第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率大 C. 若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D. 若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】记第次去洗车店为，第次去洗车店为，根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD. 【详解】记第次去洗车店为，第次去洗车店为， 由题意可知， ， 对于A：，故A正确； 对于B：， ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：AC. 【点睛】关键点睛：解决本题时，关键在于理清事件间的关系，运用全概率公式、条件概率公式进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由数据可得关于的经验回归方程为，若，则_____________. 【答案】32 【解析】 【分析】根据给定条件，利用经验回归方程必过样本的中心点求解即得. 详解】依题意，，由，得，解得， 所以. 故答案为：32 13. 已知正数，满足，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用“1”的灵活运用，结合基本不等式即得. 【详解】因为，则 因为，，所以， 则原式，当即时，取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 设定义在上的函数满足，，且时，，则方程在区间上所有实数根的和为_____________. 【答案】6 【解析】 【分析】画出函数，的图像，结合对称性得出答案. 【详解】当时，， 即当时，函数关于对称. 因为，所以的周期为2， 易知函数在上单调递减， 且时，；时，. 方程等价于， 令，易知函数关于对称，函数，的图象如下图所示： 由图可知，函数与在区间上只有6个交点， 不妨设交点的横坐标从小到大分别为， 则由对称性可知， 即方程在区间上所有实数根的和为. 故答案为：6 【点睛】关键点睛：解决本题时，关键在于发现函数，的对称性，利用数形结合得出所有实数根的和. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某餐馆为了解顾客对某一新菜品的喜好程度是否与年龄有关，随机调查了品尝过该菜品的100位顾客，得到下面列联表： 顾客 对该菜品的喜好程度 合计 喜欢 不喜欢 青年人 35 15 50 中老年人 25 25 50 合计 60 40 100 （1）根据上表，分别估计青年人、中老年人喜欢该菜品的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，判断顾客对该菜品的喜好程度与年龄是否有关联. 附：，其中. 01 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）青年人、中老年人喜欢该菜品的概率分别为. （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格数据结合概率公式求解； （2）由独立性检验，计算卡方，即可作出判断. 【小问1详解】 解：根据表中数据，青年人共有50人,喜欢该菜品的有35人， 设“青年人喜欢该菜品”为事件A，则. 中老年人共有50人，喜欢该菜品的有25人， 设“中老年喜欢该菜品”为事件B，则. 所以估计青年人、中老年人喜欢该菜品的概率分别为 【小问2详解】 零假设：顾客对该菜品的喜好程度与年龄无关. 依题意，得， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 即顾客对该菜品的喜好程度与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值.（结果用数字表示） 【答案】（1）10； （2）8； （3）660. 【解析】 【分析】（1）利用给定等式，取求出值. （2）根据给定等式，取即可得解. （3）求出展开式的通项公式，再结合组合数的性质求出. 【小问1详解】 在中， 令，得，所以. 【小问2详解】 在中， 令，得， 所以 【小问3详解】 的展开式的通项公式， 因此. 所以. 17. 已知函数的定义域为. （1）求的取值范围； （2）当时，判断的奇偶性，并解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知恒成立，利用换元法将不等式转化为一元二次函数恒成立问题进行求解； （2）求出函数的定义域，根据即可判断函数的奇偶性，换元法求出函数在上的单调性，再根据函数的奇偶性可得函数在定义域上的单调性，从而根据单调性判断与的关系. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， 所以恒成立， 令，则，所以在上恒成立， 即当时，恒成立， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. 【小问2详解】 当时，，易知的定义域为， 因为， 所以为偶函数. 当时，， 令， 因为函数在上单调递增，且在定义域上为增函数， 所以函数在上单调递增， 又因为函数在定义域上为偶函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以，即，解得. 18. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中一次性摸出两个球，如果每次摸出的两个球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖，有两种摸球方式：一是每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，中奖次数记为；二是每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，中奖次数记为. （1）求第一次摸球就中奖的概率； （2）若，求的分布列和数学期望； （3）若，函数随机变量，求的数学期望. 【答案】（1） （2），分布列见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据组合公式结合概率公式求解； （2）组合公式结合概率公式分别求出对应概率，再由分布列求出期望； （3）由，再结合函数解析式，得出的数学期望. 【小问1详解】 解:记“第一次摸球就中奖”为事件，则 即第一次摸球就中奖的概率为. 【小问2详解】 若，且第一次摸球后将球均不放回袋中，直接进行第二次摸球， 则的可能取值为. 则 则的分布列为 所以的数学期望为 【小问3详解】 若，且每次摸球后均将球放回袋中，再进行下一次摸球， 则每次中奖相互独立,且由(1)知每次中奖的概率均为，所以. 此时的可能取值为. 的可能取值为 当时，； 当时，，当时，. 因为， 所以 又， 所以 . 所以 . 即的数学期望为 . 【点睛】关键点睛：解决第三问时，关键在于对二项分布的识别与应用，会结合新情境，求出随机变量的数学期望. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若的导函数满足恒成立. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）讨论零点的个数. 【答案】（1）见解析 （2）（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论，，，结合导数得出单调区间； （2）（Ⅰ）根据极值的定义确定是的极小值点，进而得出的值；（Ⅱ）分离参数，构造函数，并结合导数得出其图像，数形结合得出零点的个数. 【小问1详解】 时，， 当时，在上单调递减； 当时，， 若，则时，单调递减； 时，单调递增； 若，则时，单调递增； 时，单调递减； 综上，时，的单调减区间为，无单调增区间； 时，的单调减区间为，单调增区间为； 时，的单调增区间为，单调减区间为； 【小问2详解】 （Ⅰ）由，得， 因为恒成立，所以是的最小值， 即是的极小值点. 令， 且，解得. 此时时，单调递减，即单调递减； 时，单调递增，即单调递增， 所以，符合题意. 故. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 因为，所以零点个数等价于方程实根的个数. 令，则， 所以当或时，； 当或时，， 即在和上单调递增，在和上单调递减， 当时，，，所以， 又，所以的大致图象如图所示: 所以当或或时， 方程恰有一个实根，零点的个数为1； 当或时， 方程恰有两个实根，零点的个数为2； 当时，方程无实根，零点的个数为0. 【点睛】关键点睛：解决问题（Ⅱ）时，关键在于分离参数，构造函数，利用导数得出单调性，进而由图像判断零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$