精品解析：河南省信阳市高级中学新校（贤岭校区）、北湖校区2023-2024学年高一下学期期末测试数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、北湖校区 2023-2024学年高一下期末测试 数学试题 命题人： 审题人 ； 一、单选题 1. 已知复数z满足：，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义结合复数虚部的概念求解即可. 【详解】，， ，， ，的共轭复数的虚部为，故D正确. 故选： 2. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，由答案不完备即可判断错误；对于C，由线面平行的性质、面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则存在，且，因为，所以，而，从而，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：C. 3. 某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】记哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市分别为， 则甲乙分别购买盲盒机票一张共有种可能， 其中两人恰好到达城市相同的情况有，共5种可能， 所以满足题意的概率为. 故选：A 4. 记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理先计算出，而角有两解，则需要满足且是最大边进而求出的范围. 【详解】角有两解，即角有两解，由正弦定理可知：， 角要有两解，则需满足且，解得：. 故选：C 5. 如图，锐二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝BD＝6，CD＝8，则锐二面角α-l-β的平面角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接DE，CE，由BE⊥AB，BD⊥AB，可得∠DBE是二面角α-l-β的平面角，AB⊥平面DBE，则CE⊥DE，即可求得DE的长度，从而可得答案. 【详解】解：过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接DE，CE， 因为AC⊥AB，所以BE⊥AB， 因为BD⊥AB，BD∩BE＝B，所以∠DBE是二面角α-l-β的平面角， 且AB⊥平面DBE，所以AB⊥DE，所以CE⊥DE， 因为AB＝4，CD＝8， 所以DE＝＝＝4， 所以cos∠DBE＝＝＝. 故选：B. 6. 抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”，事件乙为“两次骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”，则（ ） A. 甲乙互斥 B. 乙丙互为对立 C. 甲乙相互独立 D. 甲丙互斥 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义，即可判断出选项A，B和D的正误，对于选项C，分别求出事件甲、事件乙发生的概率，事件甲、乙同时发生的概率，再利用相互独立事件的判断方法，即可求解. 【详解】对于选项A，当第二次骰子正面向上的数字是时，事件甲与事件乙可以同时发生，所以选项A错误； 对于选项B，抛掷一枚质地均匀的骰子2次，正面向上的数字之和可能是，所以乙丙互斥但不对立； 对于选项C，设事件甲，事件乙发生的概率分别为，事件甲、乙同时发生的概率为， 因为，又，所以，故选项C错误； 对于选项D，因为事件甲与事件乙不能同时发生，所以甲丙互斥，故选项D正确； 故选：D. 7. 已知正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径. 【详解】在正四棱台中，，，体积为， 故 则，， 连接、相交于点，、相交于点， 设外接球的球心为，若在台体外， 设到底面的距离为， 则半径为， 即，解得， 若在台体内，到底面的距离为， 则半径为， 即，解得，舍去， 综上所述，，所以. 故选：A. 8. 如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立直角坐标系，求出三点坐标，利用坐标表示向量，然后根据条件求解即可 【详解】 如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以， 故选：B 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据分层抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据平均数公式得到方程，求出，再利用方差公式计算出结果；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D选项，先得到的方差，根据方差性质得到的方差，进而得到其标准差. 【详解】A选项，个体m被抽到的概率为，A正确； B选项，已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则， 解得， ， 则这组数据的方差是，B正确； C选项，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是23.5，C错误； D选项，若样本数据的标准差为8，则的方差为64， 设的平均数为，则， ， 又， 故， 则的标准差为，D错误． 故选：AB 10. 已知点，，，平面经过线段的中点，且与直线垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段的长为36 B. 点在平面内 C. 线段的中点的坐标为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段的长，判断A；由平面，垂足为点，，即可判断B；由中点坐标公式可得点的坐标，判断C；设直线与平面所成的角为，，通过坐标运算可得，判断D. 【详解】因为点，， 所以,故A错误； 设点的坐标为，因为为线段的中点， 所以， 则的坐标为，故C正确； 因为点，则，又， 则，所以，即， 又平面，垂足为点，即平面，所以平面，故B正确； 由，，得， 设直线与平面所成的角为， 则，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知复数在复平面内对应的点分别为，则（ ） A. B. C. 满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D. 满足的复数对应的点形成的图形的面积是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得.求得即可判断A；求得即可判断B；求得即可判断C；求得即可判断D. 【详解】由，得. A：，则，又， 所以，故A错误； B：，故B正确； C：设，则， 由，得，即， 所以复数对应的点形成的图形的周长为，故C错误； D：设，则， 又，所以，即， 所以满足的复数对应的点形成的图形的面积为，故D正确. 故选：BD 三、填空题 12. 已知平面向量，向量在向量上的投影向量为，则=______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求解 【详解】由投影向量的定理可得，向量在向量上的投影向量为：， 又向量在向量上的投影向量为，所以， 所以，所以， 故答案为： 13. 已知事件与相互独立，，，则______． 【答案】0.88 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式求出，从而利用求出答案. 【详解】因为事件与相互独立， 所以， 所以． 故答案为：0.88 14. 已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，找到，求出，由正弦定理得到点在半径为的的外接圆的劣弧上，当平面⊥平面时，点到平面的距离最大，且最大距离为，从而求出三棱锥的体积最大值为，由得到答案. 【详解】在平面内，分别过作的平行线交于点，连接， 则四边形为平行四边形，则，， 则， 在中，，，由正弦定理得， 其中为的外接圆半径，解得 则点在半径为的的外接圆的劣弧上， 作⊥，垂足为，如图1， 则当为的中点，即时，最大，此时， 如图2所示，此时， 当平面⊥平面时，点到平面的距离最大，且最大距离为， 连接，此时三棱锥的体积最大，最大为， 而，故四面体的最大值为 故答案为： 【点睛】关键点点睛，将四面体补形为四棱锥，从而结合异面直线夹角求出三角形面积，再结合点到平面的距离最大值求出体积最大值 四、解答题 15. 数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标.现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值并估算样本平均年龄（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）及第78百分位数； （2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，现从这6位中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率. 【答案】（1）0.035；38.5；47 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1可求的值，根据直方图中平均数的计算方法求出平均数，判断第78百分位数在第4组，设为，列方程可求解； （2）用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可． 【小问1详解】 ， 样本平均年龄为， 各组的频率依次为， ， ， 所以第78百分位数在第4组，设为，则， 所以第78百分位数为47． 【小问2详解】 年龄在的市民人数为，年龄在的市民人数为， 用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人， 设年龄在的4人为，，，，年龄在的2人为，， 从这6为市民中抽取两名的基本事件有，共15个， 其中2名年龄都在内的基本事件有，共6个， 所以两名幸运市民年龄都在内的概率为． 16. 如图，四边形为矩形，直线垂直于梯形所在的平面.，是线段的中点，，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：设CP与ED相交于O，连接OF， ，， 又平面DEF，平面DEF，平面DEF （2）. 【解析】 【分析】（1）利用中位线易由线线平行证明线面平行； （2）利用等体积法来求点到面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设A到平面PCB距离为h， 在梯形中，， ， 又平面，， ， 又因为平面，平面，所以， 则；又有；， 所以有，即，， 而， 又F为PA中点，故点F到平面BCP的距离. 17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角A； （2）若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对已知等式化简后，利用余弦定理可求出角A； （2）先求出角三角形外接圆的半径，再由正弦定理可求出，将已知等式利用正弦定理统一成边的形式可求出，再结合（1）可求出，从而可求出三角形的面积. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，即， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为△ABC的外接圆的面积为，所以△ABC的外接圆半径为， 由正弦定理得，， 因为，所以由正弦定理得， 由（1）知， 所以，得，则， 所以△ABC的面积为. 18. 如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，. （1）求异面直线AE和所成角的余弦值; （2）求直线AE和平面所成角的正弦值； （3）求平面和平面所成角的余弦值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间角的向量求法分别求出线线角、线面角、面面角. 【小问1详解】 在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 于是，， 所以异面直线AE和所成角的余弦值. 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 于是， 所以直线AE和平面所成角的正弦值. 【小问3详解】 由（2）知，平面的法向量，显然平面为， 则， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角A； （2）已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在，， 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理边角互化，由三角恒等变换、三角函数化简得解； （2）①先找到，设，，在和中，由正弦定理得，，从而由得解. ②假设存在实常数，k合题，由和差化积，积化和差化简可得： ，由，是定值，整理化简得到： ，故而,进而得解. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 所以， 所以，所以， 因为，， 所以或或， 即或（舍去）或（舍去），又，所以； 【小问2详解】 ①因为，所以，又，，所以，. 如图，设，， 则在中，由正弦定理，得， 所以 在中，由正弦定理，得，所以， ， 因为，所以， 故当，即时，； ②假设存在实常数，k，对于所有满足题意的，，都有成立， 则存在实常数，k，对于所有满足题意的，， 都有， 由题意，是定值，所以，是定值， 对于所有满足题意的，成立， 故有, 因为，从而，即， 因为，为的内角，所以，从而，. 【点睛】关键点睛：含参数的等式恒成立问题，只需通过参数整理，此题的关键是得到，则，变量多，技巧性较强. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、北湖校区 2023-2024学年高一下期末测试 数学试题 命题人： 审题人 ； 一、单选题 1. 已知复数z满足：，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（ ） A. 2 B. C. D. 4 5. 如图，锐二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝BD＝6，CD＝8，则锐二面角α-l-β的平面角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”，事件乙为“两次骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”，则（ ） A. 甲乙互斥 B. 乙丙互为对立 C. 甲乙相互独立 D. 甲丙互斥 7. 已知正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32 10. 已知点，，，平面经过线段的中点，且与直线垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段的长为36 B. 点在平面内 C. 线段的中点的坐标为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 11. 已知复数在复平面内对应的点分别为，则（ ） A. B. C. 满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D. 满足的复数对应的点形成的图形的面积是 三、填空题 12. 已知平面向量，向量在向量上的投影向量为，则=______. 13. 已知事件与相互独立，，，则______． 14. 已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是__________． 四、解答题 15. 数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标.现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值并估算样本平均年龄（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）及第78百分位数； （2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，现从这6位中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率. 16. 如图，四边形为矩形，直线垂直于梯形所在的平面.，是线段的中点，，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角A； （2）若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积. 18. 如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，. （1）求异面直线AE和所成角的余弦值; （2）求直线AE和平面所成角的正弦值； （3）求平面和平面所成角的余弦值. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角A； （2）已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $