精品解析：山西省晋中市左权县2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

2024—2025学年第二学期期末学业水平质量监测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 山西的许多地方有剪纸贴窗花的传统民间习俗，剪纸的图案内容都取材于生活，来源于生活，丰富多彩，不拘一格．下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件为不可能事件的是（ ） A. 某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B. 同位角相等 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 长度为9，40，41的三条线段首尾相接可以组成一个三角形 4. 如图是跨越太原汾河的现代交通动脉——祥云桥，在设计上大胆创新，融入了国际桥梁设计的最新理念．由两根撑杆和一根拉索精心构成的稳定三角结构体系，将三根塔柱紧密相连，确保它们协同受力，共同支撑起桥梁的稳固与美观．其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 5. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 6. 山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（ ） A. 1 B. 0.95 C. 0.9 D. 0.85 7. 如图，为测量太原永祚寺内宣文塔底座的最大宽度，某地理课外实践小组在宣文塔旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在 的另一侧测得，，得到，再测得的长，就是的长，从而得出宣文塔底座的最大宽度，那么判定的理由是（ ） A. B. C. D. 8. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时的速度 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离/m 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 下列说法中错误的是（ ） A. 因变量是刹车距离 B. 刹车时的速度每增加，刹车距离就增加 C. 当刹车距离为时，刹车时的速度为 D. 当刹车时的速度为时，与其前方距离的车辆不会追尾 9. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，有下列结论：①；②；③．其中一定成立的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是_______． 12. 年月，国家卫健委联合部门正式启动“体重管理年”三年行动．陈老师为响应号召，给自己制定了五个锻炼项目，分别是：快走，慢跑，游泳，俯卧撑和深蹲．其中快走，慢跑，游泳属于有氧运动，俯卧撑和深蹲属于无氧运动．若今天陈老师随机选择其中一项运动进行锻炼，则选中的项目是有氧运动的概率是___________． 13. 晋中市日间出租车价格规定：不超过千米，付车费元，超过的部分按每千米元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，则所付车费（元）与出租车行驶的路程（千米）之间的关系式为________． 14. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____． 15. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、 于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： ①； ②；（用乘法公式简便计算） （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，在小明的一张地图上，有A、B、C三个城市，但是图上城市C已被墨迹污染，只知道∠BAC＝∠α，∠ABC＝∠β，你能用尺规帮他在图中确定C城市的具体位置吗？ 18. 下面是可以自由转动的三个转盘，请根据下列情形回答问题： （1）转动转盘1，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率是______________． （2）转动转盘2，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率是______________． （3）请设计转盘3：转盘3已被分成了9个相同的扇形，转动转盘3，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率为，落在红色区域的概率为，落在黄色区域的概率为．（注：无需涂色，在扇形中填写“红”、“白”、“黄”即可．） 19. 如图，已知，，，试说明：． 请在括号中填写推理依据． 解：因为， 又因为（________________）， 所以． 所以（________________）． 所以（________________）． 又因为， 所以（________________）． 所以（________________）． 又因为， 所以（________________）． 20. 周末，郭聪和家人一起驾车从家出发，途经加油站加了油，去乔家大院参观完后，又驾车回到家，已知汽车从家出发到乔家大院时，路上行驶的速度始终保持60千米/时．如图，表示他们离开家的距离（千米）与离开家的时间（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： （1）汽车在加油站停留了________分钟，郭聪一家在乔家大院参观了________分钟； （2）加油站和乔家大院相距________千米，郭聪家和乔家大院相距________千米； （3）汽车从乔家大院返回郭聪家时的速度是多少千米/时？ 21. 如图，在中，是上一点，，是外一点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 综合与实践 【阅读材料】著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如在学习“整式的乘法”时，由图①可得等式． 【实践操作】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成块小长方形． （）将其中块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图③所示．用两种不同的方法表示空白部分的面积，可得到的等式为________________； （2）如图④，将块小长方形拼成一个回形正方形．用两种不同的方法表示空白部分的面积，可得到的等式为______； 【直接应用】 （3）已知：，，求的值； 【知识迁移】 （4）为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图⑤，校园内有一个正方形场地，在其内部划分了一个正方形区域，两个正方形的面积和为．连接，，，学校计划在阴影部分（，）摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．若两个正方形的边长分别为，，，请求出摆放花卉场地的面积． 23. 综合与探究 “在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 （1）如图①，在等腰直角三角形中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图②，在等腰直角三角形中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________； 【深入探究】 （3）如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期末学业水平质量监测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂的运算．根据负整数指数幂的定义，（），将转化为分数形式即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 2. 山西的许多地方有剪纸贴窗花的传统民间习俗，剪纸的图案内容都取材于生活，来源于生活，丰富多彩，不拘一格．下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 下列事件为不可能事件的是（ ） A. 某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B. 同位角相等 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 长度为9，40，41的三条线段首尾相接可以组成一个三角形 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了不可能事件的概念，需结合同位角的概念，三角形内角和定理以及三角形三边关系，需熟练掌握这些概念是解决本题的关键． 根据各选项描述的事件，结合三角形内角和定理、同位角性质、射击事件的可能性及三角形三边关系进行判断即可． 【分析】解：选项A：著名运动员射击一次可能命中靶心，也可能不中，属于随机事件，非不可能事件． 选项B：同位角相等需满足两直线平行，若未限定条件，同位角可能相等也可能不等，属于随机事件． 选项C：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和恒为，故内角和为的情况不可能发生，属于不可能事件． 选项D：验证三边关系：，均满足三角形三边关系定理，因此可以组成三角形，属于必然事件． 故选：C． 4. 如图是跨越太原汾河的现代交通动脉——祥云桥，在设计上大胆创新，融入了国际桥梁设计的最新理念．由两根撑杆和一根拉索精心构成的稳定三角结构体系，将三根塔柱紧密相连，确保它们协同受力，共同支撑起桥梁的稳固与美观．其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键． 根据图示，三角形的性质即可求解， 【详解】解：根据题意可得，蕴含了一个数学道理是三角形具有稳定性， 故选：A． 5. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， ， 故选：C． 6. 山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（ ） A. 1 B. 0.95 C. 0.9 D. 0.85 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 由图可知，成活频率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9． 故选：C． 7. 如图，为测量太原永祚寺内宣文塔底座的最大宽度，某地理课外实践小组在宣文塔旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，得到，再测得的长，就是的长，从而得出宣文塔底座的最大宽度，那么判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据题意可得，，结合公共边，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：A． 8. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时的速度 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离/m 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 下列说法中错误的是（ ） A. 因变量是刹车距离 B. 刹车时的速度每增加，刹车距离就增加 C. 当刹车距离为时，刹车时的速度为 D. 当刹车时的速度为时，与其前方距离的车辆不会追尾 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格中刹车距离与刹车速度的对应关系，分析各选项的正确性，进行作答即可． 【详解】解： A、因变量是刹车距离。刹车距离随速度变化而变化，故刹车距离是因变量，故该选项不符合题意； B、速度每增加，刹车距离增加，表格中速度每递增，刹车距离均递增，故该选项不符合题意； C、刹车距离对应速度，由表格规律，速度每对应，对应速度为，故该选项不符合题意； D、速度为时，刹车距离为，前方距离仅，刹车距离超过，会追尾，故该选项符合题意； 故选：D 9. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，过顶点作直线支撑平台，直线将分成两个角和，再根据平行线的性质计算即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，过顶点作直线支撑平台，直线将分成两个角和， ∵工作篮底部与支撑平台平行， ∴直线支撑平台工作篮底部， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，有下列结论：①；②；③．其中一定成立的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质和作图，角平分线的性质和作图、等边对等角等知识，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的性质是关键．根据作图可知，垂直平分，平分，再根据垂直平分线的性质、角平分线的性质、等边对等角逐项进行判断即可． 【详解】解：依据尺规作图的痕迹可知，垂直平分，平分， ∴， 故①正确， ∵，，平分， ∴；故②正确； ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 综上可知，①②③正确， 故选：D 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了同底数幂乘法，根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 年月，国家卫健委联合部门正式启动“体重管理年”三年行动．陈老师为响应号召，给自己制定了五个锻炼项目，分别是：快走，慢跑，游泳，俯卧撑和深蹲．其中快走，慢跑，游泳属于有氧运动，俯卧撑和深蹲属于无氧运动．若今天陈老师随机选择其中一项运动进行锻炼，则选中的项目是有氧运动的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，根据概率公式求解即可． 【详解】解：有氧运动有：快走，慢跑，游泳，共个项目；总的项目有：快走，慢跑，游泳，俯卧撑和深蹲，共个项目； 选中的项目是有氧运动的概率是， 故答案为：． 13. 晋中市日间出租车价格规定：不超过千米，付车费元，超过的部分按每千米元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，则所付车费（元）与出租车行驶的路程（千米）之间的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，根据题意表述：不超过千米，付车费元，超过的部分按每千米元收费．可表示出与的函数关系． 【详解】解：由题意可知，总费用等于2千米以内的费用与超出2千米部分的费用之和， 因此可列式，化简后得 故答案为：． 14. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____． 【答案】AB=DC(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可． 【详解】解：由题意可知：AC=DB，BC=CB， ∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC， 故答案为：AB=DC(答案不唯一)． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键． 15. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： ①； ②；（用乘法公式简便计算） （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）①；②1；（2）；4 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算、有理数的混合运算，熟记完全平方公式、平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可；②根据平方差公式进行计算即可； （2）根据整式混合运算法则结合平方差公式和完全平方公式进行计算化简，再代值求解即可． 【详解】解：（1）①原式 ； ②原式 ； （2）原式 ， 当，时，原式． 17. 如图，在小明的一张地图上，有A、B、C三个城市，但是图上城市C已被墨迹污染，只知道∠BAC＝∠α，∠ABC＝∠β，你能用尺规帮他在图中确定C城市的具体位置吗？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接AB，以AB为边，A为顶点作∠BAC＝α，以B为顶点作∠ABC＝∠β，两边交于点C，如图所示． 【详解】如图所示，点C为求作的点． 【点睛】此题考查作图-应用与设计作图，熟练掌握全等三角形的判定方法（ASA）是解题的关键． 18. 下面是可以自由转动的三个转盘，请根据下列情形回答问题： （1）转动转盘1，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率是______________． （2）转动转盘2，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率是______________． （3）请设计转盘3：转盘3已被分成了9个相同的扇形，转动转盘3，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率为，落在红色区域的概率为，落在黄色区域的概率为．（注：无需涂色，在扇形中填写“红”、“白”、“黄”即可．） 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）红色区域的圆心角度数为120°，根据概率公式计算即可； （2）红色区域的圆心角度数为160°，根据概率公式计算即可； （3）根据各个颜色的概率，确定各个颜色的扇形个数即可． 【小问1详解】 解：∵红色区域的圆心角度数120°， ∴当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵红色区域的圆心角度数为， ∴当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率是 ． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵转盘3被分成了9个相同的扇形，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率为，落在红色区域的概率为，落在黄色区域的概率为， ∴转盘中白色、红色、黄色区域的扇形个数分别为： 白色：，红色：，黄色：， ∴设计转盘如图所示： 【点睛】本题考查了概率的简单计算，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝且0≤P（A）≤1． 19. 如图，已知，，，试说明：． 请在括号中填写推理依据． 解：因为， 又因为（________________）， 所以． 所以（________________）． 所以（________________）． 又因为， 所以（________________）． 所以（________________）． 又因为， 所以（________________）． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的定义、平行线的判定与性质，根据题干思路解答即可． 【详解】解：因为， 又因为（对顶角相等）， 所以． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 又因为， 所以（同角的补角相等）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 又因为， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 20. 周末，郭聪和家人一起驾车从家出发，途经加油站加了油，去乔家大院参观完后，又驾车回到家，已知汽车从家出发到乔家大院时，路上行驶的速度始终保持60千米/时．如图，表示他们离开家的距离（千米）与离开家的时间（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： （1）汽车在加油站停留了________分钟，郭聪一家在乔家大院参观了________分钟； （2）加油站和乔家大院相距________千米，郭聪家和乔家大院相距________千米； （3）汽车从乔家大院返回郭聪家时的速度是多少千米/时？ 【答案】（1）； （2）； （3）千米/时 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）分别根据图象计算即可； （2）分别根据路程速度时间计算即可； （3）根据速度路程时间计算即可． 【小问1详解】 解：汽车在加油站停留了（分钟），郭聪一家在乔家大院参观了（分钟）． 故答案为：，． 【小问2详解】 加油站和乔家大院相距（千米），郭聪家和乔家大院相距（千米）． 故答案为：，． 【小问3详解】 （千米/时）， 答：汽车从乔家大院返回郭聪家时的速度是千米/时． 21. 如图，在中，是上一点，，是外一点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证即可求证； （2）根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， . 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质．掌握相关定理是解题关键． 22. 综合与实践 【阅读材料】著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如在学习“整式的乘法”时，由图①可得等式． 【实践操作】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成块小长方形． （）将其中块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图③所示．用两种不同的方法表示空白部分的面积，可得到的等式为________________； （2）如图④，将块小长方形拼成一个回形正方形．用两种不同的方法表示空白部分的面积，可得到的等式为______； 【直接应用】 （3）已知：，，求的值； 【知识迁移】 （4）为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图⑤，校园内有一个正方形场地，在其内部划分了一个正方形区域，两个正方形的面积和为．连接，，，学校计划在阴影部分（，）摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．若两个正方形的边长分别为，，，请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，一元二次方程的解法，正方形的性质，熟练掌握完全平方式是解答关键． （1）根据正方形和长方形的面积公式来求解； （2）根据正方形和长方形的面积公式来求解； （3）利用（2）的结果来求解； （4）观察图形，可得，．进而根据完全平方公式求得，进而根据求解． 【详解】解：（1）解：空白正方形的边长为， 方法一：空白部分的面积为：； 方法二：空白部分的面积为：， 可得到的等式为：． 故答案为：． （2）解：空白处正方形的边长为，外面正方形的边长为， 方法一：空白部分面积为， 方法二：， 可得到的等式为：． 故答案为： ． （3）． （4）观察图形，可得，． 所以，所以． 因为，所以． 所以． 因为，，所以． 所以． 23. 综合与探究 “在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 （1）如图①，在等腰直角三角形中，，，过点作直线，过点作于点，过点 作于点，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图②，在等腰直角三角形中，，，过点作直线，过点作于点，过点 作于点，，，则的长为________； 【深入探究】 （3）如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）8；（3），见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的证明三角形全等是解本题的关键． （1）证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，结合，可得，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）过作交的延长线于点，如图：证明，结合，可得，证明，可得，结合，可得结论；解法二：在截取，连接，同理证明，根据全等三角形的性质进而结合，可得结论． 【详解】解：（1）． 理由如下： 如图所示，在等腰直角三角形中，，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∵，，， ∴． ∴，． ∴． （2）， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． （3）． 理由如下： 解法一： 过点作交的延长线于点，如图所示： ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，． ∴． 在和中， ∵，，， ∴． ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵，． ∴． 解法二：在截取，连接，如图所示： ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，． ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $