第12讲 抛物线的标准方程（知识清单+2易错+4必考题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

第12讲 抛物线的标准方程 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视定义中的限制条件而致错 易错点二 忽略方程标准形式的特征而致错 题型方法 题型一 抛物线的定义 题型二 抛物线标准方程的理解 题型三 抛物线定义的应用之距离转化 题型四 抛物线定义的应用之距离最值 知识清单 知识点01抛物线的定义 　　　平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线. 知识点02 抛物线的标准方程 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 焦点坐标 准线方程 x=- x= y=- y= 开口方向 向右 向左 向上 向下 (1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们到原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即=. (3)抛物线的开口与x轴(或y轴)的正半轴方向相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，标准方程的右端系数为正；开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相反，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，标准方程的右端系数为负. 知识点03抛物线的标准方程的求解 1. 定义法：根据抛物线的定义确定p的值，再结合焦点位置求出抛物线的方程. 2. 待定系数法 　　若焦点位置不明确，一般需分四种情况讨论，若焦点在x轴上，可设其方程为y2=mx(m≠0)，若焦点在y轴上，可设其方程为x2=my(m≠0). 知识点04抛物线定义的应用 1. 判断轨迹问题 　　用抛物线的定义可以判断与定点、定直线的距离有关的动点的轨迹是不是抛物线. 2. 实现距离转化 　　利用抛物线的定义可以实现抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离的等价转化. “看到准线想焦点，看到焦点想准线”是解决抛物线距离问题的有效途径. 3. 解决最值问题 求解抛物线上一点P到焦点F的距离和到已知点M(M在抛物线内部)的距离之和的最小值问题，通常利用抛物线的定义将点P到F的距离转化为点P到准线的距离，再利用三点共线知识求解 4. 焦半径公式：已知抛物线上一点(x0，y0). 标准方程 焦半径 y2=2px(p>0) x0+ y2=-2px(p>0) -x0 x2=2py(p>0) y0+ x2=-2py(p>0) -y0 知识点05直线与抛物线的位置关系 1. 判断直线与抛物线的位置关系与椭圆、双曲线一样，通常使用代数法，即将直线与抛物线的方程联立，整理成关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(ay2+by+c=0). (1)当a≠0时，利用判别式解决：Δ>0⇒相交；Δ=0⇒相切；Δ<0⇒相离. (2)当a=0时，方程只有一个解x=-，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 　　注：若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切或直线与抛物线相交(此时直线与抛物线的对称轴平行或重合). 2. 直线与抛物线相交的弦长问题 　　若直线(斜率为k)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB=|x1-x2|=|y1-y2|(k≠0). 易错分析 【易错点一】忽视定义中的限制条件而致错 【例1】在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是(　　) A．直线 B．抛物线 C．圆 D．双曲线 【答案】A 【分析】检验知点在直线上，则所求点的轨迹即为过这点且与直线垂直的直线. 【详解】∵点在直线上，故所求点的轨迹是过点且与直线垂直的直线．选. 【点睛】本题考查点的轨迹.求解中注意检验已知点与已知直线之间的关系 【举一反三】【变式1】抛物线的焦点到其准线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，再根据焦参数的几何意义即可得到答案. 【详解】抛物线，所以， 即该抛物线的焦点到其准线的距离为， 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线中焦参数的几何意义，同时考查学生对抛物线定理得理解，属于简单题. 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为， 点在上，由到直线的距离为8· 所以到准线的距离为7， 由抛物线的定义可知：到准线的距离等于到焦点的距离， 所以， 故选：A. 【变式3】（22-23高二上·江苏·期末）若抛物线上的点到焦点的距离为8，则点到轴的距离是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线定义列出方程，求出点到轴的距离. 【详解】的焦点坐标为，准线方程为， 由抛物线定义可知：点到焦点的距离等于到准线的距离， 即，解得：， 即点到轴的距离是6. 故选：B 【易错点二】忽略方程标准形式的特征而致错 【例2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化为标准方程：，根据准线方程的定义求解． 【详解】抛物线的方程为：， 则其焦点坐标为：，准线方程为：． 故选：D 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上，则抛物线C的标准方程是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标，分类讨论求得抛物线的标准方程． 【详解】直线交轴于点，与轴交于点， ① 当焦点为时，设方程为，得，，抛物线方程为． ② 当焦点为时，设方程为，得，，抛物线方程为． 综上，抛物线方程为或． 故选：B． 【变式2】（22-23高二·江苏）抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 . 【答案】 x＝－ 【分析】首先将抛物线方程变形为标准形式，再求焦点坐标和准线方程. 【详解】将变形为，∴，， ∴焦点坐标为，准线方程为. 故答案为：； 【变式3】（22-23高二上·江苏淮安·期中）（1）求焦点在轴上，且经过点与的双曲线的标准方程； （2）已知抛物线的焦点是直线与坐标轴的一个交点，求抛物线的标准方程. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线方程，利用待定系数法求解作答. （2）求出直线与坐标轴的交点，再写出抛物线方程作答. 【详解】（1）设双曲线方程为：，因点、在双曲线上， 则有，解得， 所以双曲线的标准方程为：. （2）直线交y轴于点，则以为焦点的抛物线的标准方程为， 直线交x轴于点，则以为焦点的抛物线的标准方程为. 所以抛物线的标准方程为或. 题型方法 【题型一】抛物线的定义 【例1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义直接求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程可得，解得， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为,上一点到轴的距离为6，且，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．12 【答案】A 【分析】根据抛物线定义列方程求参数即可. 【详解】由题设及抛物线的定义，有. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·期中）若方程表示的曲线是抛物线，则实数的值为 ，此抛物线的顶点坐标为 . 【答案】 【分析】由已知变形得，由抛物线定义可求，进而可得焦点为，进而求得抛物线的对称轴与准线交点可求抛物线的顶点坐标. 【详解】由，可得， 所以，所以， 方程表示到点的距离与直线的距离之比为常数， 若方程表示的曲线是抛物线，则，解得， 为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线， 过与直线垂直的直线方程为， 由，解得，所以抛物线的准线与对称轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点是焦点与的中点， 所以抛物线的顶点坐标为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：关键是把方程变形为，利用抛物线的定义可求，考查抛物线的定义的应用，难度较大. 【变式3】（21-22高二·江苏）已知，点，，直线．求证：点P到直线l的距离等于． 【答案】证明见解析 【分析】根据两点的距离公式及点到直线的距离公式计算可得. 【详解】解：由题意易得点不在直线上. 设点到直线的距离为，则，又 ， 所以，即点P到直线l的距离等于. 【题型二】抛物线标准方程的理解 【例2】（24-25高二上·江苏连云港·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的标准方程可得出其焦点坐标. 【详解】对于抛物线，，则，所以，抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 解题技巧 求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为 (1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型． (2)求参数p的值． (3)确定抛物线的标准方程． 提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线可知焦点到准线的距离是，结合方程即可得结果. 【详解】由抛物线方程可知：，即， 所以焦点到准线的距离是. 故选：C. 【变式2】（24-25高三上·江苏扬州·期末）若抛物线的准线方程为，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得，即可得结果. 【详解】因为抛物线的准线方程为，所以. 故答案为：2. 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为； (2)过点； (3)焦点在直线上． 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，直接写出方程即得. （2）设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求解即得. （3）求出直线与坐标轴的交点，再写出抛物线的标准方程即得. 【详解】（1）准线方程为，即，则抛物线的焦点坐标为， 所以所求抛物线的标准方程为. （2）设所求抛物线的标准方程为或， 于是，解得，或，解得， 所以所求抛物线的标准方程为或. （3）直线交y轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为； 直线交x轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为， 所以所求抛物线的标准方程为或. 【题型三】抛物线定义的应用之距离转化 【例3】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】设，因为点到的距离为， 则，得到， 故选：A. 解题技巧 抛物线定义的应用 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·江苏淮安·期中）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，建立方程，可得答案. 【详解】   由抛物线上点到焦点的距离为，则点到抛物线的准线的距离为， 由抛物线，则其准线为直线， 所以，解得. 故选：B. 【变式2】（22-23高二上·江苏盐城·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点且，则点到准线的距离为（    ） A．6 B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】过点作轴的垂线，垂足为，根据抛物线的定义结合相似即可求得，从而得到结果. 【详解】 如图，过点作轴的垂线，垂足为， 由题意可得，即， 因为，则 所以，则点到准线的距离为 故选:D 【变式3】（21-22高二下·江苏淮安·期中）已知，抛物线：的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，求出点M的坐标，再结合抛物线定义列式计算作答. 【详解】由解得或，于是得， 抛物线：的焦点为，准线方程为：， 因此，，解得， 所以. 故答案为：2 【题型四】抛物线定义的应用之距离最值 【例4】（22-23高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离与到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，利用抛物线定义与三角形三边关系即可求解. 【详解】依题意，可得出如下图形： 抛物线的方程为， 抛物线的焦点为，，准线方程为， 设点在轴上的射影为点，延长交准线于点，连结， 则长即为点到轴的距离，可得， 根据抛物线的定义，得， ， 根据平面几何知识，可得，得. 当且仅当､､三点共线时等号成立， ， 当､､三点共线时，的最小值为， 即到轴的距离与到点的距离之和的最小值为. 故选：D. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上动点，点Q为圆上动点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】 根据抛物线的定义，将转化为抛物线上的点到准线的距离，根据圆的定义，将转化为求圆外一点到圆心的距离再减半径，再分析即可． 【详解】设圆的圆心为，半径为， 过点作垂直抛物线的准线于， 由抛物线的定义知，， 所以，当且仅当四点共线时，等号成立， 而， 所以，即的最小值为4． 故选：B 【变式2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知动点在抛物线上，过点引圆：的切线，切点分别为，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，利用四边形的面积等于和圆的切线长公式，得到，设，得出，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 则四边形的面积为， 所以， 在直角中，可得， 所以， 设，则， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：.  【变式3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知抛物线的方程为，点为抛物线的焦点. (1)若点是抛物线上的一个动点，且点，求的最小值； (2)若点，，都在抛物线上，直线是圆的两条切线，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据抛物线的定义将折线转化为直线，再利用数形结合思想得出当且仅当三点共线时，取最小值，求出即可. （2）先根据题意求出切线的方程；再联立方程组求出点的坐标；最后计算出直线的斜率，点斜式写出方程整理即可. 【详解】（1）过点向抛物线的准线作垂线，垂足为.    由抛物线的定义得：. 当且仅当三点共线时，取最小值，最小值为. （2）由圆可得圆心坐标为，半径为. 因为点在抛物线：上， 所以.    因为直线是圆的两条切线， 所以直线的方程为，设直线的方程为，即. 由题意得：圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为. 联立，解得. 因为直线的方程为，，点在抛物线：上. 所以点 所以直线的斜率为， 所以直线的方程是，即 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线方程与准线之间的关系分析求解. 【详解】由题意可知：，解得. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点的位置设抛物线为，结合所过点求方程. 【详解】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上， 所以，故所求抛物线为. 故选：D 3．（22-23高二上·江苏连云港·期末）若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设，由抛物线定义列式求得，即可依次求，即点到原点的距离. 【详解】由题得焦点坐标为，则准线方程为 设，根据抛物线定义有有，∴， ∴点到原点的距离为. 故选：D. 4．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线和圆，若圆M与直线l相切，与圆C相外切，圆M的圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设M的坐标，利用直线与圆、圆与圆的位置关系结合抛物线的定义计算即可. 【详解】设，圆M的半径为r，易知则由题意可知， 即圆心M到定直线的距离比到定点的距离少1， 则圆心M到定直线的距离与到定点的距离相等， 所以M的轨迹为抛物线，以为准线，即. 故选：B 5．（24-25高二上·江苏南京·期中）若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设点，再由距离公式可得，即可得，利用抛物线定义可得结果. 【详解】设点，由得， 可得或（舍去），即， 所以M到抛物线的准线的距离， 根据抛物线定义得选项C正确． 故选：C 二、多选题 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据点的位置，确定拋物线的焦点位置，设出抛物线的标准方程，代入点坐标计算即可. 【详解】∵点在第二象限， ∴拋物线的焦点在轴的负半轴上，或在轴的正半轴上． 当拋物线的焦点在轴的负半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是； 当拋物线的焦点在轴的正半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是. 综上，抛物线的标准方程是或. 故选：AC. 7．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据抛物线定义可知点满足，再根据两点间距离列方程，结合方程只有一解，分情况讨论. 【详解】因为点到点的距离等于它到直线的距离， 则所在曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，则设点， 所以，即， 可知方程只有一解， 当时，方程为，解得，符合题意； 当时，，解得， 综上所述， 故选：CD. 8．（24-25高二上·江苏无锡·期末）下列关于抛物线的图象的几何特征描述正确的是（   ） A．顶点坐标是 B．对称轴方程为 C．焦点坐标为 D．准线方程为 【答案】AC 【分析】利用函数图像的平移变换，将抛物线的方程转化为标准形式，再根据抛物线的几何性质求解即可. 【详解】由题意可得抛物线的图象可由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为抛物线即的顶点坐标为，对称轴方程为，焦点坐标为，准线方程为， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为，焦点坐标为，准线方程为， 所以AC说法正确，BD说法错误； 故选：AC 三、填空题 9．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的准线为， 如图，过点作垂直准线于点， 则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为， ， 根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离， 即的最小值是， 所以周长的最小值为. 故答案为： 11．（24-25高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线上的点与焦点的距离为，到轴的距离为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】首先求出准线方程，根据焦半径公式求出，再由，代入方程，解得即可. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点与焦点的距离为，所以，即， 又到轴的距离为，即， 所以，解得或（舍去）. 故答案为： 四、解答题 12．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上的椭圆； (2)顶点在原点，准线是的抛物线. (3)，经过点，焦点在轴上的双曲线； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆焦点的位置设标准方程，根据已知条件，结合，可解，即可得椭圆的标准方程； （2）根据抛物线的准线方程判断焦点位置，进而设出标准方程，利用准线方程可解，即可得抛物线的标准方程； （3）根据双曲线焦点的位置，以及，设出标准方程，将代入方程可解，即可得双曲线的标准方程. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设其方程为， 由，得，则， 因此，椭圆的标准方程为. （2）由题意，抛物线的焦点在轴的负半轴上，则设其方程为， 由准线是，得，则， 因此，抛物线的标准方程为. （3）因为双曲线的焦点在轴上，且，所以设其方程为， 将代入方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 13．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线经过点. (1)求抛物线E的方程； (2)设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值. （2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成，可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，所以 ， 所以抛物线的方程为. （2）（i）如图： 设，将直线的方程代入得： ，所以， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （ii）由（i）可知，所以， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为 . 14．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线R. (1)求曲线R的方程； (2)椭圆：()过点，曲线R的焦点是椭圆的一个焦点，求椭圆的离心率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由两点间距离公式结合点到直线的距离计算得到； （2）由点在椭圆上和椭圆的性质列方程组解出即可； 【详解】（1）由题意可得， 化简可得， （2）曲线R的焦点，所以， 又在椭圆上， 所以，解得， 所以椭圆的离心率为. 15．（21-22高二上·江苏盐城·阶段练习）已知,是抛物线上的点. （1）若点在其准线上的投影为，求的最小值； （2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的方程. 【答案】（1）； （2）或或. 【分析】（1）根据抛物线的定义得到 ，得出，结合点三点共线时，即可求解； （2）①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意；②当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由抛物线，可得其焦点为，如图所示， 根据抛物线的定义，可得，所以， 当点三点共线时，等号成立， 又由，所以，即的最小值为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时直线与抛物线只有一个交点，满足题意； ②当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，整理得， 当时，方程可只有一解，此时直线方程为； 当时，令，解得， 所以直线方程为. 综上可得，直线方程为或或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 抛物线的标准方程 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视定义中的限制条件而致错 易错点二 忽略方程标准形式的特征而致错 题型方法 题型一 抛物线的定义 题型二 抛物线标准方程的理解 题型三 抛物线定义的应用之距离转化 题型四 抛物线定义的应用之距离最值 知识清单 知识点01抛物线的定义 　　　平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线. 知识点02 抛物线的标准方程 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 焦点坐标 准线方程 x=- x= y=- y= 开口方向 向右 向左 向上 向下 (1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们到原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即=. (3)抛物线的开口与x轴(或y轴)的正半轴方向相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，标准方程的右端系数为正；开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相反，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，标准方程的右端系数为负. 知识点03抛物线的标准方程的求解 1. 定义法：根据抛物线的定义确定p的值，再结合焦点位置求出抛物线的方程. 2. 待定系数法 　　若焦点位置不明确，一般需分四种情况讨论，若焦点在x轴上，可设其方程为y2=mx(m≠0)，若焦点在y轴上，可设其方程为x2=my(m≠0). 知识点04抛物线定义的应用 1. 判断轨迹问题 　　用抛物线的定义可以判断与定点、定直线的距离有关的动点的轨迹是不是抛物线. 2. 实现距离转化 　　利用抛物线的定义可以实现抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离的等价转化. “看到准线想焦点，看到焦点想准线”是解决抛物线距离问题的有效途径. 3. 解决最值问题 求解抛物线上一点P到焦点F的距离和到已知点M(M在抛物线内部)的距离之和的最小值问题，通常利用抛物线的定义将点P到F的距离转化为点P到准线的距离，再利用三点共线知识求解 4. 焦半径公式：已知抛物线上一点(x0，y0). 标准方程 焦半径 y2=2px(p>0) x0+ y2=-2px(p>0) -x0 x2=2py(p>0) y0+ x2=-2py(p>0) -y0 知识点05直线与抛物线的位置关系 1. 判断直线与抛物线的位置关系与椭圆、双曲线一样，通常使用代数法，即将直线与抛物线的方程联立，整理成关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(ay2+by+c=0). (1)当a≠0时，利用判别式解决：Δ>0⇒相交；Δ=0⇒相切；Δ<0⇒相离. (2)当a=0时，方程只有一个解x=-，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 　　注：若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切或直线与抛物线相交(此时直线与抛物线的对称轴平行或重合). 2. 直线与抛物线相交的弦长问题 　　若直线(斜率为k)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB=|x1-x2|=|y1-y2|(k≠0). 易错分析 【易错点一】忽视定义中的限制条件而致错 【例1】在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是(　　) A．直线 B．抛物线 C．圆 D．双曲线 【举一反三】【变式1】抛物线的焦点到其准线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式3】（22-23高二上·江苏·期末）若抛物线上的点到焦点的距离为8，则点到轴的距离是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【易错点二】忽略方程标准形式的特征而致错 【例2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上，则抛物线C的标准方程是（    ） A． B．或 C． D． 【变式2】（22-23高二·江苏）抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 . 【变式3】（22-23高二上·江苏淮安·期中）（1）求焦点在轴上，且经过点与的双曲线的标准方程； （2） 已知抛物线的焦点是直线与坐标轴的一个交点，求抛物线的标准方程. 题型方法 【题型一】抛物线的定义 【例1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为,上一点到轴的距离为6，且，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．12 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·期中）若方程表示的曲线是抛物线，则实数的值为 ，此抛物线的顶点坐标为 . 【变式3】（21-22高二·江苏）已知，点，，直线．求证：点P到直线l的距离等于． 【题型二】抛物线标准方程的理解 【例2】（24-25高二上·江苏连云港·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为 (1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型． (2)求参数p的值． (3)确定抛物线的标准方程． 提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式2】（24-25高三上·江苏扬州·期末）若抛物线的准线方程为，则 ． 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为； (2)过点； (3)焦点在直线上． 【题型三】抛物线定义的应用之距离转化 【例3】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 抛物线定义的应用 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·江苏淮安·期中）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】（22-23高二上·江苏盐城·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点且，则点到准线的距离为（    ） A．6 B．5 C．3 D． 【变式3】（21-22高二下·江苏淮安·期中）已知，抛物线：的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且，则 ． 【题型四】抛物线定义的应用之距离最值 【例4】（22-23高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离与到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上动点，点Q为圆上动点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知动点在抛物线上，过点引圆：的切线，切点分别为，则的最小值为 . 【变式3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知抛物线的方程为，点为抛物线的焦点. (1)若点是抛物线上的一个动点，且点，求的最小值； (2)若点，，都在抛物线上，直线是圆的两条切线，求直线的方程． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 3．（22-23高二上·江苏连云港·期末）若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（    ） A． B．1 C． D． 4．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线和圆，若圆M与直线l相切，与圆C相外切，圆M的圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏南京·期中）若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 二、多选题 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏无锡·期末）下列关于抛物线的图象的几何特征描述正确的是（   ） A．顶点坐标是 B．对称轴方程为 C．焦点坐标为 D．准线方程为 三、填空题 9．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 10．（24-25高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 11．（24-25高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线上的点与焦点的距离为，到轴的距离为，则的值为 ． 四、解答题 12．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上的椭圆； (2)顶点在原点，准线是的抛物线. (3)，经过点，焦点在轴上的双曲线； 13．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线经过点. (1)求抛物线E的方程； (2)设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 14．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线R. (1)求曲线R的方程； (2)椭圆：()过点，曲线R的焦点是椭圆的一个焦点，求椭圆的离心率. 15．（21-22高二上·江苏盐城·阶段练习）已知,是抛物线上的点. （1）若点在其准线上的投影为，求的最小值； （2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$