上册 4.1 比例线段(3)-【精彩练习】2024-2025学年九年级全一册数学同步评价作业教师用书课件PPT（浙教版）

第4章　相似三角形 九年级·上册 4.1　比例线段(3) 1 1 A练就好基础　课程达标 2 B更上一层楼　能力提升 3 C开拓新思路　拓展创新 目 录 01 A练就好基础　课程达标 A练就好基础　课程达标 1．一条线段的黄金分割点有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．若线段a＝2 cm，b＝8 cm，则a，b的比例中项线段c为(　　) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．32 cm B A A练就好基础　课程达标 3．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的(　　) A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 D A练就好基础　课程达标 4．如果C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段的比值不可能是黄金比的是(　　) A．AB∶BC B．BC∶AC C．BC∶AB D．AC∶BC 5．已知P是线段AB的黄金分割点(AP＞PB)，AB＝6，那么AP的长是(　　) A A A练就好基础　课程达标 6．在长度为1的线段AB上有一点P，满足AP2＝BP·AB，则BP的长为(　　) A A练就好基础　课程达标 7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1， BC＝ ，进行如下操作： ①以点C为圆心，以BC的长为半径画弧，交AC于点D； ②以点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交AB于点E. 则E是线段AB的黄金分割点，根据以上操作，AE的长为____________． A练就好基础　课程达标 8．如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点． (1)若AB＝1，则线段CD的长为____________． (2)若CD＝1，则线段AB的长为___________． A练就好基础　课程达标 A练就好基础　课程达标 10．(1)已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值． (2)已知线段MN是AB，CD的比例中项线段，AB＝4 cm，CD＝5 cm，求MN的长，并思考(1)(2)两题有何区别． A练就好基础　课程达标 02 B更上一层楼　能力提升 11．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，则下列结论中正确的是(　　) A．AB2＝AP2＋BP2 B．BP2＝AP·BA B更上一层楼　能力提升 D 12．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两 部分，其中E为边AB的黄金分割点，即 BE2＝AE·AB.已知AB为2 m，则线段BE的 长为_________________ B更上一层楼　能力提升 13．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC ＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2. (1)求∠B的度数． (2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比 ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由． ②求AD的长． B更上一层楼　能力提升 解：(1)设∠B＝x，∵BD＝DC，∴∠DCB＝∠B＝x， ∴∠ADC＝∠B＋∠DCB＝2x. ∵AC＝DC，∴∠A＝∠ADC＝2x. ∵∠ACE＝∠B＋∠A， ∴x＋2x＝108°，解得x＝36°，即∠B的度数为36°. B更上一层楼　能力提升 (2)①△ABC，△DBC，△CAD都是黄金三角形． 理由如下： ∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△DBC为黄金三角形． ∵∠BCA＝180°－∠ACE＝72°，而∠A＝2×36°＝72°， ∴∠A＝∠ACB，而∠B＝36°，∴△ABC为黄金三角形． ∵∠ACD＝∠ACB－∠DCB＝72°－36°＝36°，而CA＝CD， ∴△CAD为黄金三角形． B更上一层楼　能力提升 B更上一层楼　能力提升 03 C开拓新思路　拓展创新 14．邻边比为 的矩形叫做“黄金矩形”．黄金矩形给我们一种协调、匀称的美感．若要将一张边长为2的正方形纸片ABCD剪出一个以AB为边的黄金矩形ABMN，小松同学的作法如下： ①作AB的垂直平分线分别交AB，CD于点E，F； ②连结AF，作∠BAF的平分线，交BC于点M； ③过点M作MN⊥AD于点N； 矩形ABMN即为所求． C开拓新思路　拓展创新 (1)根据上述作图过程，补全图形． (2)小松证明四边形ABMN是黄金矩形的思路如下： 作MP⊥AF于点P，连结MF， 设BM＝x， 根据角平分线的性质，可知MP＝BM＝x. 根据条件，可求得AF的长度为________，AP的长度为________． 在Rt△MPF和Rt△CMF中，由勾股定理可得 C开拓新思路　拓展创新 MP2＋PF2＝MF2＝MC2＋CF2， 由此可列关于x的方程________， 解得BM＝x＝________． 解：(1)补全的图形如下： C开拓新思路　拓展创新 C开拓新思路　拓展创新 C开拓新思路　拓展创新 本课结束！ A．3－3 B．2－ C．2－1 D．－2 A． B．3－ C．－2 D． －2 2＋ 9．在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一 架小提琴中AC，BC，AB各部分长度的比满足＝， 则＝____________． 【解析】 ∵点C把线段AB分成两部分，＝， ∴点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC， ∴BC＝AB，∴AC＝AB－BC＝AB，∴＝. 解：(1)∵b是a，c的比例中项， ∴a∶b＝b∶c，∴b2＝ac， ∴ b＝±.∵a＝4，c＝9, ∴b＝±＝±6，即b＝±6. (2)∵MN是线段， ∴MN＞0. ∵线段MN是AB，CD的比例中项线段， ∴MN2＝AB·CD，∴MN＝. ∵AB＝4 cm，CD＝5 cm， ∴MN＝＝2(cm). 通过解答(1)，(2)发现，b，MN同时作为比例中项出现，b可以取负 值，而线段MN的长不可以取负值． C．＝ D．＝ m． . ②∵△BAC为黄金三角形， ∴＝. 又∵BC＝2，∴AC＝－1， ∴BD＝CD＝CA＝－1， ∴AD＝AB－BD＝2－(－1)＝3－. 所以＝，矩形ABMN为黄金矩形． 将上述证明过程补充完整． (2)证明：作 MP⊥AF于点P，连结MF， 设 BM＝x，则 CM＝2－x， 根据角平分线的性质，可知MP＝BM＝x， ∵EF是AB的垂直平分线， ∴DF＝CF＝CD＝AD＝1， ∴AF＝＝. ∵AM＝AM，BM＝PM， ∴Rt△ABM≌Rt△APM(HL)， ∴AP＝AB＝2， ∴PF＝AF－AP＝－2. 在Rt△MPF和Rt△CMF中， 由勾股定理可得MP2＋PF2＝MF2＝MC2＋CF2， ∴x2＋(－2)2＝(2－x)2＋12， 解得BM＝x＝－1， ∴＝，∴矩形ABMN为黄金矩形． 故答案为，2，x2＋(－2)2＝(2－x)2＋12，－1. $$