精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二下学期期末数学试卷

牡丹江二中2024—2025学年度第二学期高二学年期末试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答. 【详解】解不等式，得或，即或，而， 所以. 故选：D 2. 已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与负相关可判断AB，将样本中心带入选项检验，即得． 【详解】因为变量与负相关，所以 ，排除AB选项； 因为， 而，故C符合题意， 又，故D错误. 故选：C 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形得，代入再根据基本不等式可求出结果. 【详解】由题意，知，.由，得， 两边同时除以，得. 因为， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 4. 若的展开式中常数项等于，则其展开式各项系数之和为（ ） A. 1 B. 32 C. 0 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】写出二项式的通项，根据展开式中常数项等于，则就出参数，则赋值给即可求出展开式各项系数之和. 【详解】因为的展开式中常数项等于， 所以由， 当， 此时常数项为：， 所以， 令，其展开式各项系数之和为0， 故选：C. 5. 已知函数，则单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为且， 令，解得，所以单调递增区间是. 故选：B 6. “”是“二次函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合二次函数的性质和充分不必要条件判断即可. 【详解】二次函数在区间上单调递增可得，解得， 又是的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得则是定义在的偶函数，且在单调递减，则等价于，建立不等式组即可求解. 【详解】可知的定义域为，关于原点对称，且， 则是定义在的偶函数， ，可知在单调递减， 在单调递减， 则等价于， ，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属于中档题. 8. 是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求导，根据，得到在上递增，再根据是定义在R上的奇函数，得到在上的单调递增求解. 【详解】解：令， 则， 因为， 所以， 则在上递增， 又是偶函数，且是定义在R上的奇函数， 所以是定义在R上的奇函数， 则在上单调递增， 所以，即，故A错误； ，即，故B错误； ，即，故C正确； ，即，故错误， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的命题是（ ）． A. 已知随机变量服从正态分布，，则 B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则 D. 若样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为2 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正态分布的对称型可以求得的值，进而判定A错误;根据相关系数的意义可以判定B错误；利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C正确；利用线性相关的数据组的方差之间的关系可以求得数据，，…，的方差，进而判定D正确. 【详解】A. 已知随机变量服从正态分布，，则，所以， 所以, ∴，故A错误； B. 线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误； C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，故C正确； D. 设数据，，…，的方差为,样本数据，，…，的方差为8，则，即数据，，…，的方差为2，故D正确. 故选:CD. 【点睛】本题考查正态分布的概率计算问题，相关系数问题，回归直线方程问题，数据的方差关系问题，属小综合题，难度一般. 10. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为 B. 在三位数中，形如“”的数叫做“对称凹数”，如：，，，则在所有三位数中共有个对称凹数 C. 北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有150种 D. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有36个 【答案】ACD 【解析】 【分析】设该学校的学生数为，得出该校学生有人近视，有人学生每天玩手机超过1，有人学生每天玩手机不超过1，每天玩手机超过1的近视的学生人数为，可得每天玩手机不超过1的近视的学生为，从而可判断A；利用列举法可判断BD；5名同学分三组有和两种分法再计算每种情况的安排分法可判断C. 【详解】对于A，假设该学校的学生数为，因为该校学生大约40%的人近视，所以该校学生大约有人近视，因为该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，所以该校大约有人学生每天玩手机超过1，所以该校有人学生每天玩手机不超过1，因为每天玩手机超过1的近视率约为50%，所以该校每天玩手机超过1的近视的学生人数为，所以该校每天玩手机不超过1的近视的学生为，所以从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为，故正确； 对于B，当时，，共有9个“对称凹数”， 当时，，共有8个“对称凹数”， 当时，，共有7个“对称凹数”， 当时，，共有6个“对称凹数”， 当时，，共有5个“对称凹数”， 当时，，共有4个“对称凹数”， 当时，，共有3个“对称凹数”， 当时，，共有2个“对称凹数”， 当时，，共有1个“对称凹数”， 则在所有三位数中共有个对称凹数，故错误； 对于C，5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者有和两种分法， 当为时，有种安排分法，当为时，有种安排分法， 则不同的安排方法共有150种，故正确； 对于D，用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有36个 当千位是1个位数字是3时，中间两个数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是2个位数字是1时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是2个位数字是3时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是3个位数字是1时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是4个位数字是1时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是4个位数字是3时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 所以共有36个数字，故正确； 故选：ACD. 11. 已知函数是上的奇函数，，且当时，．函数是上的偶函数，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 是周期为4的周期函数 C. 在上单调递增 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由及函数是上的奇函数推导出，判断A，推导出判断B，利用赋值法求得为常数函数判断C，由将所求式子转化为，求出函数的一个周期和，结合函数周期性可判断D. 【详解】因为，所以，所以， 又函数是上的奇函数，所以，则， 即函数的图象关于直线对称，故A正确； 由可得， 所以函数是周期为4的周期函数，故B正确； 函数是上的偶函数，，且， 令得，所以，令得， 所以，所以在上为常数函数，故C错误； 因为函数是上的奇函数，所以，又当时，， 所以，则，所以， 又，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由分式、根式的性质求函数的定义域. 【详解】由解析式知，可得且，故定义域为. 故答案为： 13. 某种疾病的患病率为0.50，患该种疾病且血检呈阳性的概率为0.49，则已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为_____. 【答案】0.98 【解析】 【分析】设事件“血检呈阳性”， “患该种疾病”，依题意知，，根据条件概率公式求得结果. 【详解】设事件“血检呈阳性”， “患该种疾病”， 依题意知，， 由得， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有条件概率公式，属于基础题目. 14. 已知函数f(x)＝，若存在x1，x2（x2＞x1）满足f（x1）＝f（x2），则x2﹣2x1的取值范围为_____. 【答案】[ln2，2） 【解析】 【分析】用表示出，得出关于的函数，根据的范围，判断函数单调性得出值域即可． 【详解】显然，， 由题意可知，故， ， 由可得，故，， 设， 则，在，上单调递减， 又，， ． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据函数的极值点求出a，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案； （2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案. 【小问1详解】 由题意得，由题意得，即，解得， 故，定义域为R， ，令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 易知为极小值点，符合题意， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，. 又，， 故的最大值为2，最小值为. 16. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）由题意可得不等式的解集为，又方程的两个根为和，从而可求解. 【小问1详解】 当时，不等式等价于， ∴，解得或. ∴不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式等价于， ∴不等式的解集为. ∵方程的两个根为和， ∴或，解得， ∴实数的值为. 17. 近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表： 购买AI手机 购买不带AI的手机 总计 男性顾客 40 70 110 女性顾客 60 30 90 总计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？ （2）为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.010 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为购买AI手机与顾客的性别有关； （2）的分布列为 的期望.【解析】 【分析】（1）将表格数据代入计算卡方，将卡方的值与10.828比较即可； （2）由题可知根据题意可能取值为：分别求出、 、、、的值，即可列出分布列，再将数值代入期望公式计算即可. 【小问1详解】 ，所以可以认为购买AI手机与顾客的性别有关. 【小问2详解】 根据题意可能取值为： ； ； ； ； ； 的分布列为 的期望. 18. 2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示. （1）由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）服从正态分布，其中为课外活动时间的平均数.用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）. 参考数据：当X服从正态分布时，，，. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)根据频率直方图中位数、平均数的求法直接计算即可； (2)利用正态曲线的对称性求出，进而结合二项分布的性质求出即可. 【小问1详解】 由图可知该组数据中位数位于第四组，设中位数为x， 则，解得， 平均数为：； 【小问2详解】 ，， ，， ， 由题意知： 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线的倾斜角； （2）若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 【答案】（1）； （2）（i）1；（ii），则且， 当时，，此时，即证， 当时，，此时，即证， 综上，只需证明在且上恒成立， 令，，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，故得证. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而确定倾斜角大小； （2）（i）对函数求导，由已知有求参数值，注意验证；（ii）将问题化为证明在且上恒成立，应用换元法及导数研究不等式恒成立，即可证. 【小问1详解】 由题设，则，故切线斜率， 所以，结合直线倾斜角的范围，易知在处的切线的倾斜角为. 【小问2详解】 （i）由题设，则， 由，则，故且， 令，则， 所以在上单调递减，且， 所以时，在上单调递增， 时，在上单调递减， 所以是函数的极值点，故； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2024—2025学年度第二学期高二学年期末试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 若的展开式中常数项等于，则其展开式各项系数之和为（ ） A. 1 B. 32 C. 0 D. 64 5. 已知函数，则单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“二次函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的命题是（ ）． A. 已知随机变量服从正态分布，，则 B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则 D. 若样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为2 10. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为 B. 在三位数中，形如“”的数叫做“对称凹数”，如：，，，则在所有三位数中共有个对称凹数 C. 北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有150种 D. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有36个 11. 已知函数是上的奇函数，，且当时，．函数是上的偶函数，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 是周期为4的周期函数 C. 在上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是__________. 13. 某种疾病的患病率为0.50，患该种疾病且血检呈阳性的概率为0.49，则已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为_____. 14. 已知函数f(x)＝，若存在x1，x2（x2＞x1）满足f（x1）＝f（x2），则x2﹣2x1的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 16. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的值. 17. 近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表： 购买AI手机 购买不带AI的手机 总计 男性顾客 40 70 110 女性顾客 60 30 90 总计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？ （2）为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.010 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示. （1）由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）服从正态分布，其中为课外活动时间的平均数.用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）. 参考数据：当X服从正态分布时，，，. 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线的倾斜角； （2）若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $