江西省赣州市安远县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

江西省赣州市安远县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列条件中，不能判断ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．∠A+∠B＝∠C C．a＝1，b＝2，c＝3 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 3．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD∥BC，AB∥DC B．AD∥BC，AB＝CD C．AD＝BC，AB＝CD D．OA＝OC，OB＝OD 4．（3分）将直线y＝x向上平移1个单位长度得到的直线是（　　） A．y＝x﹣1 B．y＝x+1 C．y＝2x D．y＝﹣x 5．（3分）在一场比赛中有9位评委给选手打分，统计最后得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，去掉这两个分数的前后，不受影响的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 6．（3分）甲、乙二人在一次赛跑中，路程s（米）与时间t（秒）的关系如图所示，从图中可以看出，下列结论正确的是（　　） A．甲、乙两人跑的路程不相等 B．甲、乙同时到达终点 C．甲的速度比乙的速度快米/秒 D．甲、乙不是同时出发的 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．（3分）代数式在实数范围内有意义，写出一个符合条件的x的值 　 　 ． 8．（3分）若正比例函数y＝﹣2x经过点A（2，m），B（1，n），则m，n的大小关系是　 　 ． 9．（3分）如图，数轴上点A表示的实数是 　 　 ． 10．（3分）如图，▱ABCD对角线AC、BD相交于点O，M为AB边中点，连接MO，BC＝18，则线段MO的长度为 　 　 ． 11．（3分）某农科院从甲、乙、丙、丁四个品种的枣树中各随机抽取10棵，每个品种枣树产量的平均数及方差如表所示．该农科院计划选取一个产量既高又稳定的枣树品种推广种植，应选取的品种是　 　 ． 品种 甲 乙 丙 丁 平均数/kg 120 120 140 140 方差 2.1 1.9 1.9 2.1 12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5和直线y＝x+5分别交x轴于A、B两点，两直线交点是点C，在△ABC内部作矩形，使得矩形的四个顶点都落在△ABC的边上，且矩形的长是宽的2倍，则矩形的宽的长度是 　 　 ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）计算： （1）； （2）． 14．（6分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝14，DE平分∠ADC，交BC于点E． （1）求▱ABCD的周长； （2）若∠DEC＝25°，求∠B的度数． 15．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图①中，画一个平行四边形ABCD，使其面积为12； （2）在图②中，画一个正方形ABCD，使其面积为5； （3）在图③中，画一个菱形ABCD，使其面积为6． 16．（6分）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠BAD为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为AD＝8，CD＝24，AB＝6，BC＝26．请计算这个零件的面积． 17．（6分）（1）在下列横线上填写“＞”“＝”或“＜”： 9+25 　 　 2×； 　 　 2×； 2+3 　 　 2×； 5+5 　 　 ． （2）观察第（1）小题中的式子，若a和b都是正数，猜想a+b与的大小关系，并说明理由． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（8分）已知一次函数y＝（2m+4）x+3﹣m． （1）若y随x的增大而减小，求m的取值范围． （2）当m为何值时，函数图象经过原点？ （3）若函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 19．（8分）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米，设旗杆BC的高度为x米． （1）用含x的式子表示绳子AB的长为　 　 米； （2）求旗杆的高度BC； （3）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 20．（8分）某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费．如图是居民每户每月的水（自来水）费y（元）与所用的水（自来水）量x（吨）之间的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）当17≤x≤30时，求y与x之间的函数关系式； （2）当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（9分）为深入学习2025年全国两会精神，某校开展了以“学习两会精神，永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图： 其中“80≤x＜90”这组的数据如下： 83，83，84，84，85，86，87，87，87，88，89，89． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 1 60≤x＜70 8 2 70≤x＜80 a 3 80≤x＜90 b 4 90≤x≤100 c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝ 　 　 ；m＝ 　 　 ；n＝ 　 　 ； （2）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是 　 　 分； （3）估计随机抽取的这n名学生竞赛成绩的平均数最接近 　 　 分； A.78 B.84 C.88 D.92 （4）若学生竞赛成绩达到85分以上为优秀，请你估计全校2000名学生中优秀学生的人数． 22．（9分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，E是BD的中点，过点B作BF∥AC，交AE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：BF＝DA； （2）当△ABC满足条件AB＝BC时，请判断四边形BFCD的形状并证明． （3）当△ABC满足条件 　 　 时，四边形BFCD是菱形． 六、解答题（本大题共12分） 23．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6．在AD上取一点E，AE＝2，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF＝x，△BFM的面积为S． （1）如图1，当四边形EFMN是正方形时，求证：△FAE≌△EDN； （2）如图2，当四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式； （3）当x＝ 　 　 时，△BFM的面积S最大；当x＝ 　 　 时，△BFM的面积S最小． 江西省赣州市安远县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C B B B C 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义，即可解答． 【解答】解：A、＝＝，故A不符合题意； B、＝，故B不符合题意； C、＝2，故C不符合题意； D、是最简二次根式，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2．（3分）下列条件中，不能判断ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．∠A+∠B＝∠C C．a＝1，b＝2，c＝3 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 【分析】利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果． 【解答】解：A、∵a＝3，b＝4，c＝5，即a2+b2＝9+16＝25，c2＝25， ∴a2+b2＝c2， 即△ABC为直角三角形，不合题意； B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°，即△ABC为直角三角形，不合题意； C、∵a＝1，b＝2，c＝3，即a2+b2＝1+4＝5，c2＝9， ∴a2+b2≠c2， 即△ABC不是直角三角形，符合题意； D、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，得到∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x， 根据题意得：x+2x+3x＝180°，即x＝30°， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，不合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 3．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD∥BC，AB∥DC B．AD∥BC，AB＝CD C．AD＝BC，AB＝CD D．OA＝OC，OB＝OD 【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可． 【解答】解：A、∵AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； B、由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； C、∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； D、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4．（3分）将直线y＝x向上平移1个单位长度得到的直线是（　　） A．y＝x﹣1 B．y＝x+1 C．y＝2x D．y＝﹣x 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知：将直线y＝x向上平移1个单位长度得到的直线解析式为y＝x+1， 故选：B． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 5．（3分）在一场比赛中有9位评委给选手打分，统计最后得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，去掉这两个分数的前后，不受影响的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数． 【解答】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数． 故选：B． 【点评】本题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义． 6．（3分）甲、乙二人在一次赛跑中，路程s（米）与时间t（秒）的关系如图所示，从图中可以看出，下列结论正确的是（　　） A．甲、乙两人跑的路程不相等 B．甲、乙同时到达终点 C．甲的速度比乙的速度快米/秒 D．甲、乙不是同时出发的 【分析】根据函数图象可得二者同时出发，且路程都为100米，其中甲比乙先到达终点，再根据速度等于路程除以时间分别计算出两人的速度即可得到答案． 【解答】解：由函数图象可知，甲的速度为100÷10＝10m/s，乙的速度为， ∴甲的速度比乙的速度快米/秒， 故选：C． 【点评】本题主要考查了从函数图象获取信息，熟练掌握该知识点是关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．（3分）代数式在实数范围内有意义，写出一个符合条件的x的值 　5　 ． 【分析】二次根式被开方数大于等于零时，二次根式有意义，据此解答． 【解答】解：根据题意可知，x﹣5≥0， 即x≥5， 则写出一个满足条件的x的值为5． 故答案为：5（答案不唯一）． 【点评】此题考查了二次根式的有意义的条件，掌握二次根式的有意义的条件是关键． 8．（3分）若正比例函数y＝﹣2x经过点A（2，m），B（1，n），则m，n的大小关系是　m＜n　 ． 【分析】直接把点A（2，m），B（1，n）代入正比例函数y＝﹣2x，求出m，n的值，再比较大小即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝﹣2x经过点A（2，m），B（1，n）， ∴m＝（﹣2）×2＝﹣4，n＝（﹣2）×1＝﹣2， ∵﹣4＜﹣2， ∴m＜n． 故答案为：m＜n． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 9．（3分）如图，数轴上点A表示的实数是 　　 ． 【分析】根据数轴求出半径，再根据数轴的性质，进行解答，即可． 【解答】解：由图形可得， ∴半径为， ∴点A表示的实数为． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，实数的知识，解题的关键是根据数轴求出半径． 10．（3分）如图，▱ABCD对角线AC、BD相交于点O，M为AB边中点，连接MO，BC＝18，则线段MO的长度为 　9　 ． 【分析】根据平行四边形的性质证明OM是△ABC的中位线，进而可以解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵M为AB边中点， ∴AM＝BM， ∴OM是△ABC的中位线， ∴OM＝BC＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理． 11．（3分）某农科院从甲、乙、丙、丁四个品种的枣树中各随机抽取10棵，每个品种枣树产量的平均数及方差如表所示．该农科院计划选取一个产量既高又稳定的枣树品种推广种植，应选取的品种是　丙　 ． 品种 甲 乙 丙 丁 平均数/kg 120 120 140 140 方差 2.1 1.9 1.9 2.1 【分析】先比较平均数得到丙组和丁组产量较好，然后比较方差得到乙、丙组的状态稳定，综合分析即可确定． 【解答】解：甲品种、乙品种的平均数比丙品种、丁品种小，而乙、丙组的方差比甲、丁组的小， 故：丙组的产量既高又稳定， 故答案为：丙． 【点评】本题主要考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义． 12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5和直线y＝x+5分别交x轴于A、B两点，两直线交点是点C，在△ABC内部作矩形，使得矩形的四个顶点都落在△ABC的边上，且矩形的长是宽的2倍，则矩形的宽的长度是 　2或或　 ． 【分析】分四种情况讨论，①当矩形的长在AB上时，②当矩形的宽在AB上时，③当矩形的宽在BC上时，④当矩形的长在BC上时，进而根据勾股定理即可求解． 【解答】解：∵直线y＝﹣x+5和直线y＝x+（5分）别交x轴于A、B两点，两直线交点是点C，当x＝0时，y＝5，当y＝0时，x＝5，x＝﹣5， 则A（5，0），B（﹣5，0），C（0，5）， ∴AB＝10，AC＝＝，∠CBO＝45°． 设矩形的宽为a，则矩形的长为2a， ①当矩形的长在AB上时，如图， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣a，DE＝a， ∵∠CBO＝45°， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴DE＝BE， 即5﹣a＝a， 解得a＝； ②当矩形的宽在AB上时，如图， 同理可得PB＝5﹣，LP＝2a， 则5﹣＝2a， 解得a＝2； ③当矩形的宽在BC上时，如图， 依题意，AJ＝IJ＝a，CJ＝AC﹣AJ＝，又CJ＝2a， ∴﹣a＝2a， 解得a＝， ④当矩形的长在BC上时，同③的情形一样，可得a＝， 综上所述，矩形的宽的长度是2或或． 【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先算完全平方公式，平方差公式，再算加减即可． 【解答】解：（1） ＝2+﹣3 ＝0； （2） ＝3+1﹣2+4﹣3 ＝5﹣2． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 14．（6分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝14，DE平分∠ADC，交BC于点E． （1）求▱ABCD的周长； （2）若∠DEC＝25°，求∠B的度数． 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得BC＝AD＝14，CD＝AB＝10，易求▱ABCD的周长； （2）根据“平行四边形的对角相等、对边平行”求出∠B＝∠ADC，AD∥BC，再根据平行线的性质、角平分线定义求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD平行四边形， ∴AD＝BC＝14，AB＝CD＝10， ∴平行四边形ABCD周长为：14+14+10+10＝48； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B＝∠ADC， ∴∠ADE＝∠DEC＝25°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADC＝2∠ADE＝50°， ∴∠B＝50°． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与平行线的性质，熟记有关定理是解题的关键． 15．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图①中，画一个平行四边形ABCD，使其面积为12； （2）在图②中，画一个正方形ABCD，使其面积为5； （3）在图③中，画一个菱形ABCD，使其面积为6． 【分析】（1）根据网格特点，平行四边形的性质即可求解； （2）根据网格，勾股定理，正方形的性质即可求解； （3）根据网格，菱形的性质即可求解． 【解答】解：（1）如图①即为所求； ∵S平行四边形ABCD＝4×3＝12， ∴平行四边形ABCD即为所求图形； （2）如图②，正方形ABCD即为所求； ∵，则， ∴正方形ABCD即为所求； （3）如图③， AC＝2，BD＝6，则， ∴菱形四边形ABCD即为所求图形． 【点评】本题主要考查勾股定理、平行四边形、正方形、菱形的性质，掌握以上知识，数形结合是解答本题的关键． 16．（6分）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠BAD为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为AD＝8，CD＝24，AB＝6，BC＝26．请计算这个零件的面积． 【分析】连接BD，根据勾股定理的逆定理，可判断△BDC的形状，再由S四边形＝S△ABD+S△BCD即可得出结论． 【解答】解：连接BD， ∵∠BAD＝90°，AD＝8，AB＝6， ∴， 在△BCD中，DC＝24，BC＝26，BD＝10， ∵102+242＝262， ∴BD2+DC2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形， ∴． 【点评】本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 17．（6分）（1）在下列横线上填写“＞”“＝”或“＜”： 9+25 　＞　 2×； 　＞　 2×； 2+3 　＞　 2×； 5+5 　＝　 ． （2）观察第（1）小题中的式子，若a和b都是正数，猜想a+b与的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）分别计算出两边的结果，再比较大小即可． （2）根据（1）中的计算结果猜想a+b≥，再借助完全平方公式进行证明即可． 【解答】解：（1）因为9+25＝34，， 且34＞30， 所以； 因为，， 且， 所以； 因为2+3＝5，， 且， 则， 所以； 因为5+5＝10，， 且10＝10， 所以． 故答案为：＞，＞，＞，＝． （2）猜想：a+b≥． 证明如下： 因为a和b都是正数， 所以， 即a+b﹣， 所以a+b≥． 【点评】本题考查实数大小的比较及算术平方根，熟知算术平方根及准确的计算是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（8分）已知一次函数y＝（2m+4）x+3﹣m． （1）若y随x的增大而减小，求m的取值范围． （2）当m为何值时，函数图象经过原点？ （3）若函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 【分析】（1）根据一次函数的性质得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）根据函数图象经过原点时，x＝0，y＝0即可得出m的值； （3）根据函数图象经过第一、二、三象限可得出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵y随x的增大而减小， ∴2m+4＜0， 解得m＜﹣2； （2）∵函数图象经过原点， ∴3﹣m＝0， 解得m＝3； （3）∵函数图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得﹣2＜m＜3． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 19．（8分）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米，设旗杆BC的高度为x米． （1）用含x的式子表示绳子AB的长为　（x+3）　 米； （2）求旗杆的高度BC； （3）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【分析】（1）根据系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米即可求解； （2）根据勾股定理BC2+AC2＝AB2列方程求解即可； （3）先根据勾股定理求出CD，即可得解． 【解答】解：（1）用含x的式子表示绳子AB的长为（x+3）米， 故答案为：（x+3）； （2）由题意知：AC＝9米，∠ACB＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2， ∴x2+92＝（x+3）2， 解得：x＝12， ∴旗杆的高度BC＝12米； （3）由（2）知，AB＝x+3＝15米，则BD＝15+5＝20（米）， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：米， ∴AD＝CD﹣AC＝7米， ∴珍珍应从A处向东走7米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，列代数式，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 20．（8分）某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费．如图是居民每户每月的水（自来水）费y（元）与所用的水（自来水）量x（吨）之间的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）当17≤x≤30时，求y与x之间的函数关系式； （2）当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将x＝17代入（1）中求得的函数关系式，求出对应y的值，从而计算当0≤x≤17时每吨水的价格，进而求出15吨水的水费即可． 【解答】解：（1）当17≤x≤30时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标（20，66）和（30，116）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴17≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y＝5x﹣34（17≤x≤30）． （2）当x＝17时，y＝5×17﹣34＝51， 则当0≤x≤17时，每吨水的价格为51÷17＝3（元）， 3×15＝45（元）． 答：这户居民这个月的水费是45元． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（9分）为深入学习2025年全国两会精神，某校开展了以“学习两会精神，永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图： 其中“80≤x＜90”这组的数据如下： 83，83，84，84，85，86，87，87，87，88，89，89． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 1 60≤x＜70 8 2 70≤x＜80 a 3 80≤x＜90 b 4 90≤x≤100 c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝ 　10　 ；m＝ 　40　 ；n＝ 　50　 ； （2）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是 　87　 分； （3）估计随机抽取的这n名学生竞赛成绩的平均数最接近 　C　 分； A.78 B.84 C.88 D.92 （4）若学生竞赛成绩达到85分以上为优秀，请你估计全校2000名学生中优秀学生的人数． 【分析】（1）据1组的频数÷1组占总数的百分数可得n的值，再用n乘2组所占百分比可得a的值，用“1”分别减去其它三组所占百分比可得m的值； （2）根据中位数的定义即可得到结论； （3）根据中位数的意义即可求解； （4）1200乘85分以上学生所占的百分数即可得到结论． 【解答】解：（1）n＝8÷16%＝50（人）， 50×20%＝10， m%＝1﹣16%﹣20%﹣＝40%， ∴m＝40， 故答案为：10，40，50； （2）随机抽取50名学生的竞赛成绩，第25、26个数分别是87，87， ∴随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是87分， 故答案为：87； （3）∵随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是87分， 所以估计随机抽取的这n名学生竞赛成绩的平均数最接近88分． 故答案为：C； （4）2000×＝1120（人）， 答：估计全校2000名学生中优秀学生的人数为1120人． 【点评】本题考查扇形统计图、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提． 22．（9分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，E是BD的中点，过点B作BF∥AC，交AE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：BF＝DA； （2）当△ABC满足条件AB＝BC时，请判断四边形BFCD的形状并证明． （3）当△ABC满足条件 　AC＝2BD　 时，四边形BFCD是菱形． 【分析】（1）由E是BD的中点，得BE＝DE，再通过平行线的性质可得∠EAD＝∠EFB，然后证明△EAD≌△EFB（AAS），最后根据全等三角形的性质即可求证； （2）由（1）得BF＝DA，又BD是AC边上的中线，所以AD＝DC，则有BF＝DC，从而证明四边形BFCD是平行四边形，然后根据等腰三角形的三线合一可求出∠BDC＝90°，最后由矩形的判定方法即可求解； 【解答】（1）证明：∵E是BD的中点， ∴BE＝DE， ∵BF∥AC， ∴∠EAD＝∠EFB， 在△EAD和△EFB 中， ， ∴△EAD≌△EFB（AAS）， ∴BF＝DA； （2）解：四边形BFCD是矩形，理由如下： 由（1）得，BF＝DA， ∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝DC， ∴BF＝DC， ∵BF∥DC， ∴四边形BFCD是平行四边形， ∵AB＝BC，BD是AC边上的中线， ∴BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴四边形BFCD是矩形； （3）解：当AC＝2BD时，四边形BFCD是菱形．理由如下： ∵BD是AC边上的中线， ∴CD＝AD＝， ∴BD＝CD， 由（2）得，四边形BFCD是平行四边形， ∴四边形BFCD是菱形， 故答案为：AC＝2BD． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6．在AD上取一点E，AE＝2，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF＝x，△BFM的面积为S． （1）如图1，当四边形EFMN是正方形时，求证：△FAE≌△EDN； （2）如图2，当四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式； （3）当x＝ 　　 时，△BFM的面积S最大；当x＝ 　　 时，△BFM的面积S最小． 【分析】（1）利用余角性质可得∠AFE＝∠DEN，进而根据AAS即可求证； （2）如图2，连接FN，作MQ⊥FB于Q，证明△MFQ≌△END（AAS），可得MQ＝ED＝4，进而根据三角形的面积公式即可求解； （3）由一次函数的性质可得S随x的增大而减小，当点N与D重合时，x的值最小，此时△FBM的面积最大， 当点M在BC上时，x的值最大，此时△FBM的面积最小，分别画出图形据此解答即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形EFMN是正方形，四边形ABCD是矩形， ∴EF＝NE，∠FEN＝∠A＝∠D＝90°， ∴∠AEF+∠DEN＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°， ∴∠AFE＝∠DEN， 在△FAE和△EDN中， ， ∴△FAE≌△EDN（AAS）； （2）解：如图2，连接FN，作MQ⊥FB于Q，则∠MQF＝∠D＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝6，AB∥CD， ∴ED＝AD﹣AE＝6﹣2＝4，∠NFQ＝∠DNF， ∵四边形EFMN是菱形， ∴FM＝EN，EN∥FM， ∴∠NFM＝∠ENF， ∴∠NFQ﹣∠NFM＝∠DNF﹣∠ENF， 即∠MFQ＝∠END， ∴△MFQ≌△END（AAS）， ∴MQ＝ED＝4， ∵AB＝9，AF＝x， ∴BF＝9﹣x， ∴， 即S与x的函数关系式为S＝﹣2x+18； （3）解：∵S＝﹣2x+18， ∴S随x的增大而减小， 如图3，当点N与D重合时，x的值最小，此时△FBM的面积最大， ∵AD＝BC＝6，AE＝2， ∴EF＝DE＝6﹣2＝4， ∴此时； 如图4，当点M在BC上时，x的值最大，此时△FBM的面积最小， 连接NF，同理（2）可证可证△AEF≌△CMN（AAS）， ∴AF＝CN＝x， ∴DN＝9﹣x， ∵EF＝EN， ∴AE2+AF2＝DE2+DN2， 即AE2+AF2＝DE2+DN2， ∴22+x2＝42+（9﹣x）2， 解得； 故答案为：，． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的几何应用，一次函数的性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$