3.3 勾股定理的应用举例 第1课时 勾股定理的实际应用（一） 导学案 2025-2026学年 鲁教版（五四制）七年级数学上册

本文围绕勾股定理的应用展开，核心知识点为运用勾股定理解决几何体表面距离及利用逆定理验证垂直关系。承接勾股定理知识背景，为后续实际应用奠基。通过探究活动、例题及测评，培养学生数学眼光、思维与语言表达素养，如在探究圆柱表面最短距离中发展几何直观。 该设计创新点在于结合生活实例，采用问题驱动教法。学生层面提升解决实际问题能力，教师层面提供清晰授课思路，课堂效果上有效突破教学难点，强化学生对勾股定理应用的理解。

3 勾股定理的应用举例 第1课时　勾股定理的实际应用（一） [学习目标] 1.能运用勾股定理解决几何体表面两点间的最近距离问题 2.会利用勾股定理的逆定理验证垂直关系. [新知探究] 任务一 探究圆柱体表面两点间的最近距离 活动1：有一个圆柱体，它的高等于12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱体的地面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的事物，那么它沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？ 问题1：同学们可自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢? 问题2：如图,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?你画对了吗? 问题3：蚂蚁从点A出发,想吃到点B处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? 我们知道,圆柱的侧面展开图是一个长方形.现在咱们就用剪刀沿母线AA'将圆柱的侧面展开(如图). 比较下面几条路的走法: (1)A→A'→B;(2)A→B'→B;(3)A→D→B;(4)A→B. 第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”. 归纳： 求圆柱上两点之间的最短距离，可转化为求一个平面图形上对应线段的长.一般步骤： （1）将圆柱的侧面展开为一个长方形； （2）确定相应点的位置； （3）连接相应点，构造直角三角形； （4）利用勾股定理求解. 例1如图，一只蜗牛从圆柱的点A出法，绕圆柱侧面沿最短路线爬行到了BC的中点E处，若沿AD将圆柱侧面剪开并展开，所得侧面展开图示意图的是（　　） A．B． C．D． [即时测评] 1．直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为5，高AB为9．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止，则彩条的最短长度为（　　） A．41 B．50 C．9 D．29 2．如图，正方体的棱长为2cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是　 　cm． 3．如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？ [任务二 探究勾股定理逆定理的应用] 活动2：装修工人李叔叔想要检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB, 问题1：如果例叔叔只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗? 问题2：李叔叔量得边AD长是30 cm,边AB长是40 cm,点B,D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗? 问题3：如果李叔叔随身只有一个长度为20 cm的刻度尺,那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗? 例2图①是某品牌婴儿车，图②是其部分结构示意图．根据安全标准需满足AB⊥BC，现量得AB＝60cm，BC＝45cm，AC＝75cm，请通过计算说明该车是否符合安全标准． [即时测评] 1．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是　 　． 2.如图，某小区有一块四边形空地ABCD，连AC，经过测量可得△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝15m，BC＝18m，CD＝8m，AD＝17m． （Ⅰ）判断△ACD的形状； （Ⅱ）求这块空地的面积． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/10 20:20:34；用户：736330900；邮箱：736330900@qq.com；学号：6159182 [当堂达标] 1．如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D．2 2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 　 　． 3．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知AE+BF＝20m，BC＝10m，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走　 　m的路程． 4．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 5．某村有如图所示的一笔直公路AB，水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水，拟从C处铺设水管到公路上．已知AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米． （1）求∠ACB的大小； （2）求铺设水管的最小长度． 答案: [新知探究] 任务一 探究圆柱体表面两点间的最近距离 活动1： 问题1： 可能出现的情况：（不唯一） 问题2： 是一条线段. 问题3： 第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”. 例1 C 即时测评 1．A 2． 3．解：展开之后如图，此时AB的长度即为最短路线长， 此时（cm），BC＝15cm， ∴， 答：蚂蚁爬行的最短路线长为17cm． 任务二 探究勾股定理逆定理的应用 活动2： 问题1： 利用勾股定理的逆定理，分别量出AB、BC、AC 、AD的长.如果AB2+BC2=AC2，AB2+AD2=BD2，可得AD和BC分别垂直于底边AB. 问题2 因为AD2+AB2=302+402=502= BD2，所以△ABD是直角三角形， 所以∠DAB = 90°，即 AD 边垂直于 AB 边. 问题3： 例如：在 AD 上取点 M，使 AM = 9 cm，在 AB 上取点 N 使 AN = 12 cm， 测量 MN 是否为 15 cm，若是，就垂直；若不是，就不垂直. 例2 解：该车符合安全标准，理由如下： ∵AB＝60，BC＝45，AC＝75， ∴AB2+BC2＝602+452＝5625， ∵AC2＝752＝5625， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴AB⊥BC， ∴该车符合安全标准． 即时测评 1．北偏西60° 2.解：（Ⅰ）∵AC＝15，CD＝8，AD＝17， ∴AC2+CD2＝152+82＝289，AD2＝172＝289， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°； （Ⅱ）过点A作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC＝15m，BC＝18m， ∴BH＝CH＝9m， 在Rt△ABH中，AH12m． ∴S△ABC+S△ACDBC•AHAC•CD18×1215×8＝168（m2）． 答：这块空地的面积为168m2． [当堂达标] 1．C 2．20cm 3．26 4．解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5cm，长为（3+1）×3＝12（cm）， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是AB的长，由勾股定理得（cm）， 答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是13cm． 5．解：（1）在△ABC中，AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米， ∵AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小， ∵△ABC的面积AB•CDAC•BC， ∴AB•CD＝AC•BC， ∴200CD＝120×160， 解得：CD＝96， ∴铺设水管的最小长度为96米． 学科网（北京）股份有限公司 $$