3.3 勾股定理的应用举例 第1课时 勾股定理的实际应用（一） 课件2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

第三章 勾股定理 3 勾股定理的应用举例 第1课时　勾股定理的实际应用（一） 1 学习目标 1.能运用勾股定理解决几何体表面两点间的最近距离问题 2.会利用勾股定理的逆定理验证垂直关系. 2 香肠放在B处，小狗从A点跑到B点，怎么跑最近？ 5 有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面上圆的半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3) A B C 我怎么走 会最近呢? 任务一 探究圆柱体表面两点间的最近距离 活动1： 6 问题1：同学们可自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢? A B A’ A B B A C 通过比较、绘图或者测量等方式判断最短爬行方案。 问题2：如图,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?你画对了吗? 是一条线段 8 问题3：蚂蚁从点A出发,想吃到点B处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? 比较下面几条路的走法: (1)A→A'→B; (2)A→B'→B; (3)A→C→B; (4)A→B. (4)A→B. 9 总结 确定圆柱上的最短路线： 求圆柱上两点之间的最短距离，可转化为求一个平面图形上对应线段的长. 其一般步骤： （1）将圆柱的侧面展开为一个长方形； （2）确定相应点的位置； （3）连接相应点，构造直角三角形； （4）利用勾股定理求解. 典例精析 例1如图，一只蜗牛从圆柱的点A出法，绕圆柱侧面沿最短路线爬行到了BC的中点E处，若沿AD将圆柱侧面剪开并展开，所得侧面展开图示意图的是（　　） C A. B. C. D. 11 即时测评 1．直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为5，高AB为9．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止，则彩条的最短长度为（　　） A．41 B．50 C．9 D．29 A 12 2．如图，正方体的棱长为2cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是　 cm． 13 3．如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？ 解：展开之后如图，此时AB的长度即为最短路线长， 此时AC=×2π×=8（cm），BC＝15cm， ∴AB===17（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短路线长为17cm． 14 装修工人李叔叔想要检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB。 该怎么测呢? [任务二 探究勾股定理逆定理的应用] 活动2： 15 问题1：如果例叔叔只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗? 利用勾股定理的逆定理，分别量出AB、BC、AC 、AD的长.如果AB2+BC2=AC2，AB2+AD2=BD2，可得AD和BC分别垂直于底边AB. 问题2：李叔叔量得边AD长是30 cm,边AB长是40 cm,点B,D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗? 因为AD2+AB2=302+402=502= BD2，所以△ABD是直角三角形， 所以∠DAB = 90°，即 AD 边垂直于 AB 边. 16 问题3：如果李叔叔随身只有一个长度为20 cm的刻度尺,那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗? 例如：在AD 上取点 M，使 AM = 9 cm，在 AB 上取点 N 使 AN = 12 cm，测量MN 是否为 15 cm，若是，就垂直；若不是，就不垂直. 17 例2图①是某品牌婴儿车，图②是其部分结构示意图．根据安全标准需满足AB⊥BC，现量得AB＝60cm，BC＝45cm，AC＝75cm，请通过计算说明该车是否符合安全标准． 典例精析 18 解：该车符合安全标准，理由如下： ∵AB＝60，BC＝45，AC＝75， ∴ ∵=5625, ∴, ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴AB⊥BC， ∴该车符合安全标准． 19 即时测评 1．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是　 　． 北偏西60° 20 2.如图，某小区有一块四边形空地ABCD，连AC，经过测量可得△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝15m，BC＝18m，CD＝8m，AD＝17m． （1）判断△ACD的形状； （2）求这块空地的面积． 解：（1）∵AC＝15，CD＝8，AD＝17， ∴ =289, ∴， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°； 21 （2）过点A作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC＝15m，BC＝18m， ∴BH＝CH＝9m， 在Rt△ABH中，AH===12m． ∴S△ABC+S△ACD=BC•AH+AC•CD =×18×12+×15×8 ＝168（）． 答：这块空地的面积为168． 22 1．如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D．2 2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 　 　． C 20cm 24 3．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知AE+BF＝20m，BC＝10m，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走　 　m的路程． 26 25 4．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 26 解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5cm， 长为（3+1）×3＝12（cm）， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是AB的长， 由勾股定理得AB==13（cm）， 答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是13cm． 27 5．某村有如图所示的一笔直公路AB，水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水，拟从C处铺设水管到公路上．已知AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米． （1）求∠ACB的大小； （2）求铺设水管的最小长度． 28 解：（1）在△ABC中，AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米， ∵＝＝40000， ∴，∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小， ∵△ABC的面积AB•CD=AC•BC， ∴AB•CD＝AC•BC，∴200CD＝120×160， 解得：CD＝96， ∴铺设水管的最小长度为96米． 29 能说说运用勾股定理的知识可以解决实际生活中哪些问题? 课堂小结： 30 基础题:1.课后练习第 1题 提高题:2.请学有余力的同学做课后习题第3题，并在下节课在班内展示、交流。 课后作业 本节课到此结束， 谢谢大家！ $$