3.1 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证与应用 导学案 2025-2026学年 鲁教版（五四制）七年级数学上册

1探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证与应用 [学习目标] 1.理解并掌握验证勾股定理的多种方法。 2.通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系。 3.掌握运用勾股定理解决一些实际问题的方法。 [新知探究] [任务一 探究拼图的方法验证勾股定理] 活动1：你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流。 提示：为了计算大正方形的面积，我们可以适当的运用割补法. 问题1将图3-5、图3-6中所有三角形和正方形的面积用含a.b、c的式了表示出来. 问题2 图3-5、3-6中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？ 问题3 你能分别利用图3-5、图3-6验证勾股定理吗？ 例1我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（　　） A． B．C． D． [即时测评] 1.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 2.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为 . [任务二 探究勾股定理的应用] 例2 在一次军事演习中，红方侦查员王叔叔在距离东西向公路 400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在公路上疾驶. 他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m，过了10 s ，测得汽车与他相距500 m，你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？ [即时测评] 1．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（　　） A．7m B．8m C．9m D．10m 2．如图，湖的两岸有A、C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A、C两点间的距离为 　 　米． 3．某同学想运用所学知识测量一棵大树的高度AB，如图，他在地面上点C的正上方放置一个测距仪，测距仪位于点D处时，测得测距仪到树干的水平距离DE＝7米，测距仪到大树顶端A的距离AD＝25米，已知DE⊥AB于点E，CD＝BE＝1.6米，请你求出这棵大树的高度AB． [任务三 探究非直角三角形的三边关系] 活动2 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？ 说你的判断和理由，并与同伴进行交流. 归纳： （1）在钝角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，则 + <； （2）在锐角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，则 + > . [当堂达标] 1.在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c）构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 2. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为（ ） A. 600米 B. 800米 C. 1000米 D 不能确定 3.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是_______. 4.如图，笔直的公路上 A，B 两点相距 25 km，C，D 为两村庄，DA ⊥ AB 于点 A，CB⊥ AB 于点 B，已知 DA ＝ 15 km，CB ＝ 10 km，现在要在公路的 AB 段上建一个土特产品收购站 E，使得 C，D 两村到收购站 E 的距离相等，则收购站 E 应建在离 A 点多远处？ 5．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）请利用图①证明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为80，OB＝5，求该图形的面积． 答案: [任务一 探究拼图的方法验证勾股定理] 活动1： 问题1： 图3-5中，三角形面积ab，正方形面积分别为. 图3-6中，三角形面积ab，正方形面积分别为. 问题2: 图3-5中，= +2ab=； 图3-6中，= -2ab=. 问题3: 图3-5验证： = +2ab=， 因为 所以=+. 图3-6验证：= -2ab=， 因为 所以=+. 例1A [即时测评] 1.C 2.4 [任务二 探究勾股定理的应用] 例2 解：如图，其中点A表示王叔叔所直位置、点C、点B分别表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路400m，因此∠C是直角. 由勾股定理，可以得到 = + ， 也就是 = + ， 所以BC = 300. 蓝方汽车 10 s 行驶了300 m，那么它 1 s 行驶的距离为 300÷10 = 30 (m)， 即蓝方汽车这10s的平均速度为30m/s. [即时测评] 1．B 2．9 3．解：由勾股定理得：， ∴大树的高度AB＝AE+BE＝24+1.6＝25.6（米）． [任务三 探究非直角三角形的三边关系] 活动2 : （1）在钝角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，则 + <； （2）在锐角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，则 + > . [当堂达标] 1.A 2.C 3.200 4.解：连接AC， 在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102， 在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242， 而102+242＝262， 即AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD•AC•BCAD•CD， 10×248×6＝96m2， 答：该空地的面积为96m2． 5.（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2， S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab， 即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab， ∴a2+b2＝c2； （2）解：∵AB+BC＝80÷4＝20， 设AH＝BC＝x，则AB＝20﹣x，OH＝OB＝5， 在Rt△AOB中，由勾股定理得： OH2+OG2＝GH2， 即52+（5+x）2＝（20﹣x）2， 解得：x＝7， ∴S5×12×4＝120． 学科网（北京）股份有限公司 $$