3.1 探索勾股定理&3.2 一定是直角三角形吗（随堂小练）-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

第三章 勾股定理 1探索勾股定理 第1课时探索勾股定理 1.若在Rt△ABC中，斜边AB=2,则AB2+ 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AB= BC2+AC2的值是 ( 10,BD=6,AC=17,求BC的长. A.2 B.4 C.6 D.8 2.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后， 在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个 正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一 次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续 “生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出 “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方 形的面积和是 () A.1 B.2026 C.2025 D.2024 7.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD= 3.如图，以Rt△ABC的各边为直径分别作半圆， AE,∠BAC=∠DAE=90°，D为BC边上一 把较小的两个半圆的重叠部分的面积记为S1, 点（不与点B,C重合），连接CE.探究线段 大半圆未重叠部分的面积记为S2,则△ABC 的面积可表示成 () BD,CD,DE之间的数量关系，并说明理由. A.S1+S2 B.S2-SI C.S2-2S D.S1·S2 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的 对边分别是a,b,c,若a十b=14cm,c= 10cm,则Rt△ABC的面积是 () A.24 cm2 B.36 cm2 C.48 cm D.60 cm2 5.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均 为1，△ABC各顶点均在网格的格点上，BD⊥ AC于点D,则BD的长为 ·18- 第2课时 验证勾股定理及其计算 1.赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形 5.如图，直线1上有三个边长分别为a,b,c的正 图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形， 方形，则有a2+c2 b2.(填“>”或“<” 其面积称为朱实和黄实.如图，设每一个勾股形 或“=”) 的两条直角边长分别为a和b,若ab=8,且 a2十b2=25,则黄实为 ( ) 朱实 6.勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千 黄实 实 百年来，人们对勾股定理的验证颇感兴趣，其 中有著名的数学家，也有数学爱好者. (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加 朱实 菲尔德的“总统证法”图形，∠A=∠B= A.36 B.25 ∠CED=90°，请推导勾股定理. C.16 D.9 (2)如图2，在△ABC中，AC=10,BC=17, 2.一个长方形抽屉长20cm,宽30cm,贴抽屉底 AB=21,CH⊥AB,垂足为H,求CH的长. 面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒 A。aD 粗细)可以是 ( ) A.30 cm B.35 cm C.36 cm D.37 cm 3.如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台一 B 侧长5m,高3m的台阶上铺设红地毯，已知台 图1 图2 阶的宽为3m,则共需购买红地毯 A.21m2 B.45m2 C.24m D.12m2 4.欧几里得《几何原本》中给出一种验证勾股定 理的方法.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，四 边形ABED、四边形ACGF、四边形BCMH和 四边形AMPQ都是正方形.若△ABC的面积 为3，正方形ABED的面积为13，则正方形 AMPQ的面积为 ( A.16 B.19 C.25 D.37 ·19· 2一定是直角三角形吗 1.已知a,b,c是△ABC的三边，有下列四个三角 5.如图，在△ABC中，CB=3,CE=2.4,BE= 形：①a=5,b=12,c=13;②a=8,b=15,c= 1.8. 17;③a：b:c=3:4：5;④a=15,b=20,c= (1)试判断CE与AB是否垂直？并通过计算 25.其中，直角三角形有 () 进行说明。 A.1个 B.2个 (2)若△ABC的面积为3，求AC的长. C.3个 D.4个 2.已知△ABC的三条边的长度分别为9,12,15， 则△ABC的面积是 3.已知a,b,c是△ABC的三边长，且a=6,b= 8,c=10,则△ABC的最大内角的度数为 4.2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025 年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健 身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动 健身.小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿 道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A 点到D点有两条路线，分别是A→B→D和 A→C→D.已知AB=160m,AC=200m,点 C在点B的正东方120m处，点D在点C的正 北方50m处. (1)试判断AB与BC的位置关系，并说明 6.如图，等腰三角形ABC中底边BC=5,D是腰 理由. AB上一点，且CD=4,BD=3,求AD的长， (2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿 A 着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁 0 跑的路线更短. B 北 西 一东 南 BK仄 ·20(3)如图3所示，点Q即为所求 B 米 图3 6解：(1)因为DE是BC的垂直平分线， 所以BE=CE,∠BED=∠CED=90° 在△BED和△CED中， (BE=CE, ∠BED=∠CED DE=DE. 所以△BED≌△CED(SAS), 所以∠CBD=∠C=35. 因为∠ADB=180°-∠CDB, ∠C+∠CBD=180°-∠CDB, 所以∠ADB=∠C+∠CBD=70° 因为在△ABD中，∠A=90°， 所以∠DBA=90°-∠BDA=90°-70°=20° (2)因为DE是BC的垂直平分线，所以CD=BD. 因为△ABD的周长为30， 所以AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=30. 因为AC=18,所以AB=30一18=12. 第2课时角的平分线及其性质 1.B2.A3.C4.C5.16.5 7.解：如图，过点C分别作CG⊥AB于 点G,CH⊥AD于点H. 因为AC为∠BAD的平分线，CG⊥ AB,CH⊥AD, 所以CG=CH. 又因为AB=AD,AE=DF, 1 所以SAAB=S△AcD=之S四边形ACD,S△AC=SADF, 所以S四边形ABCF=S△ABC十S△ACF=S△CDF+S△ACF= 1 S△ACD=之S四边形ABD· 所以四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半. 第3课时等腰（边）三角形的性质 1.B2.C3.A4.B5.10 6.解：(1)因为AB=AC,∠A=∠A,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD(SAS),所以CD=BE. (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB, 因为BC=BE,所以∠ACB=∠BEC, 所以∠A=∠CBE. 因为△ABE2△ACD,所以∠ABE=∠ACD=15°， 所以∠CBE=∠DCB=∠A, 所以3∠A+30°=180°，所以∠A=50° 7.解：因为△ABC是等边三角形， 所以∠BAC=∠ABC=60°，BC=AB: 所以∠BAD=∠CBE=120°. 在△ABD和△BCE中， AD=BE, ∠BAD=∠CBE,所以△ABD2△BCE(SAS), AB=BC, 所以∠ABD=∠BCE. 第4课时等腰（边）三角形的判定及含 30°角的直角三角形的性质 1.C2.D3.C4.AC=BC(答案不唯一)5.96.5.5 7.解：(1)因为△ABC是等边三角形，BD⊥AC,AE⊥BC, 所以AC=BC,CD=CE= AC=合BC,∠C=60, 所以△CDE是等边三角形 (2)因为△ABC是等边三角形，BD⊥AC,AE⊥BC, 所以AE,BD是△ABC的角平分线， 所以∠BAE=∠ABD=∠DBC=30°， 所以OA=OB,OB=2OE, 所以AO=2OE,而AO=12, 所以OE=6. 3利用轴对称进行设计 1.C 2.解：如图所示 3.解：根据定义，可设计如下图形.（答案不唯一） 4.解：如图所示.（答案不唯一》 5.解：(1)该图是轴对称图形，对称轴如图所示. (2)共有4种方法，如图所示。 6.解：答案不唯一，如图所示 △ 机器人 文明礼貌 两盏电灯 第三章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时探索勾股定理 1.D2.B3.B4.A5.1 6.解：因为AD⊥BC于点D,所以∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD2=AB2-BD2=102-62=64,所以AD=8. 在Rt△ADC中，由勾股定理，得 DC2=AC2-AD2=172-82=225,所以DC=15, 所以BC=BD+CD=6+15=21 7.解：BD2十CD2=DE2.理由如下： 因为∠BAC=∠DAE=90°，所以∠BAD=∠CAE. 又因为AB=AC,AD=AE, 所以△BAD≌△CAE(SAS), 所以BD=CE,∠ACE=∠B, ·49· 因为AB=AC,∠BAC=90°， 所以∠ACE=∠B=∠ACB=45°， 所以∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°， 所以CE2+CD2=ED2,所以BD2+CD2=DE2 第2课时验证勾股定理及其计算 1.D2.C3.A4.C5. 6.解：(1)因为∠A=∠B=∠CED=90°， 所以S梯形ABCD= 2a+b)a+b)=2a2+ab+26, 1 1 S梯形ABD=SAADE十SABE十S△cDE=2ab十2b+2c1 所以2a2+ab+ 2a6+ 1 2ab+2c2, 整理，得a2十b2=c2. (2)设AH=x. 因为AB=21,所以BH=AB-AH=21-x. 因为CH⊥AB, 所以△ACH和△BCH都是直角三角形. 在Rt△ACH中，由勾股定理，得CH=AC2-AH, 在Rt△BCH中，由勾股定理，得CH=BC2一BH, 所以AC2一AH=BC2一BH, 所以102-x2=172-(21-x)2, 解得x=6,即AH=6, 所以CH2=AC2-AH2=102-62=64, 所以CH=8. 2 一定是直角三角形吗 1.D2.543.90° 4.解：(1)AB⊥BC.理由如下： 由题意，可知AB=160m,AC=200m,点C在点B的 东方120m处，即BC=120m. 因为AB2+BC2=1602+1202=2002=AC2, 所以△ABC是直角三角形，∠ABC=90°， 所以AB⊥BC. (2)由题意，可知BC⊥CD,CD=50m. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2=BC2+CD2 1202+502=16900, 所以BD=130m, 所以AB+BD=160+130=290(m) 而AC+CD=200+50=250(m). 因为290>250，所以AB+BD>AC+CD. 所以小亮跑的路线更短. 5.解：(1)CE⊥AB.理由如下： 因为CE2+BE2=2.42+1.82=9,BC2=9, 所以CE2+BE2=BC2, 所以△BCE是直角三角形，且∠BEC=90°， 所以CE⊥AB. (2)因为CE⊥AB, 所以5Ae=7AB,CE=7ABX2,4=3, 1 所以AB=2.5,所以AE=AB-BE=0.7, 所以AC2=AE2+CE2=0.72+2.42=6.25, 所以AC=2.5. 6.解：设AB=AC=a,则AD=a一3. 因为BC=5,CD=4,BD=3, 所以BD2+CD2=BC2, 所以∠BDC=90°，所以∠ADC=90° 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2=AD2+CD2, 所以。2=(a-3+,所以e-答， 所以AD=25 7 =6-3=6 ·50· 3勾股定理的应用举例 第1课时勾股定理的实际应用（一） 1.D2.A3.D4.240 5.解：(1)因为AC=15km,BC=20km,AB=25km, 所以AC2+BC2=152+202=252=AB2, 所以△ACB是直角三角形，∠ACB=90°， 又因为CD⊥AB, 所以SA=弓AC·BC=2CD·AB. 所以cD=AC:BC_15X20-12(km). AB 25 故修建的公路CD的长是l2km (2)在Rt△BDC中，由勾股定理，得BD2=BC2-CD2= 202-122=256,所以BD=16km, 所以CD+BD=12+16=28(km), 所以一辆货车从C处经过D处到B处的路程是28km. 6.解：(1)因为AB⊥BC,所以∠B=90° 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC2=AB2+BC2=92+122=225,所以AC=15km 答：无人机飞行路径AC的长为15km. (2)因为AD2=172=289,CD2+AC2=82+152=289, 所以AD2=CD2+AC2, 所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， 所以AC⊥CD. 第2课时勾股定理的实际应用（二） 1.C 2.解：因为AC⊥BC,AB=500m,AC=400m, 所以根据勾股定理，可得BC2=AB2-AC2=90000, 所以BC=300m, 所以该汽车的速度为 =30(m/s) 因为27<30，所以可疑汽车超速了， 3.解：树枝落地时不会砸到小轿车.理由如下： 因为∠C=90°，所以△ABC为直角三角形 在Rt△ABC中， 因为∠C=90°，AC=4.5m,AB=12-4.5=7.5(m), 所以BC2=AB2-AC2=7.52-4.52=36, 所以BC=6m. 因为CD=6.5m,所以CD>BC, 所以树枝落地时砸不到小轿车， 4.解：(1)村庄能听到宣传.理由如下： 因为村庄A到公路MN的距离为600m<1000m, 所以村庄能听到宣传。 (2)如图，过点A作AB⊥MN于点 B,假设当宣讲车行驶到O点时开 始影响村庄，行驶到Q点时结束对 M 村庄的影响，连接AO,AQ, 0 AO=AQ=1 000 m,AB=600 m, 所以B02=BQ2=10002一6002=640000， 所以BO=BQ=800m, 所以OQ=B0+BQ=800+800=1600(m), 所以影响村庄的时间为1600÷200=8(min), 所以村庄总共能听到8min的宣传. 第四章实数 1无理数 1.A2.C3.B4.B5.A 6.解：(1)设阴影正方形的边长为x.由勾股定理，得x2 12+22=5,所以阴影正方形的面积是5.