3.1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 导学案 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

本文围绕勾股定理展开，引导学生体验其探索过程并学会应用。承接直角三角形相关知识，为后续几何学习奠基。通过观察测量、归纳总结等环节，培养学生抽象能力、推理能力等核心素养，让学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 本设计亮点在于以活动探究为主，引导学生自主发现规律。从学生层面看，提升其探究与逻辑思维能力；从教师层面看，提供清晰教学流程；从课堂效果看，增强互动，有效突破勾股定理理解与应用这一教学难点。

1探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 [学习目标] 1.体验勾股定理的探索过程,由特例猜想勾股定理,再由特例验证勾股定理. 2.会利用勾股定理解释生活中的简单现象. [新知探究] [任务 探究勾股定理] 活动1：在纸上作出若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有什么样的关系? 与同伴交流. 活动2：观察图3-2直角三角形直三边的平方分别是多少?它们满足上面猜想的数量关系吗？(图中每个小 方格代表1个单位面积) 观察图形3-2（1），正方形A中有 个小方格，即A的面积为 个面积单位。 正方形B中有 个小方格，即B的面积为 个面积单位。 正方形C中有 个小方格，即C的面积为 个面积单位。 观察图形3-2（2），正方形A中有 个小方格，即A的面积为 个面积单位。 正方形B中有 个小方格，即B的面积为 个面积单位。 正方形C中有 个小方格，即C的面积为 个面积单位。 问题1：你发现A、B、C的面积之间有什么关系？ 问题2：正方形的面积与直角边长的平方有什么关系？ 活动3：图3-3中的直角三角形是否也具有这样的关系？你又是如何计算的？ 观察图形3-3（1），正方形A中有 个小方格，即A的面积为 个面积单位。 正方形B中有 个小方格，即B的面积为 个面积单位。 正方形C中有 个小方格，即C的面积为 个面积单位。 观察图形3-3（2），正方形A中有 个小方格，即A的面积为 个面积单位。 正方形B中有 个小方格，即B的面积为 个面积单位。 正方形C中有 个小方格，即C的面积为 个面积单位。 问题：你发现A、B、C的面积之间有什么关系？ 归纳得出结论：+=. 活动4：如果直角三角形的两直角边长分别为1.6个单位和2.4个单位长度，那么上面所猜想的数量关系 还成立吗？说明你的理由. 总结： 勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么 . 即 . 数学表达式： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则 . 例1在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c. (1)a=6,b=8,求c. (2)b=40,c=41, 求a. [即时测评] 1．如图是4×4方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 2．已知直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，则斜边上的高为 　 　． 3.如图，在△ABC中，BC＝5，点D在BC上，且AD⊥BC，AD＝BD＝3，求AB，AC的长． [当堂达标] 1．如果直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边的长是（　　） A．7 B．5 C． D．5或 2．如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为　 　． 3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 　 　． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，若BC＝6，AB＝10． （1）求AC的长； （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，求DE的长． 5．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值； （2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值； （3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 答案: [任务 探究勾股定理] 活动1：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.: 活动2：9 9 4 4 13 13 问题1：发现+=. 问题2：直角边长的平方等于正方形的面积. 问题3： 16 16 9 9 25 25 +=. 活动3：成立 总结： 勾股定理:a2+b2=c2 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. ＋＝. 例1解：（1）因为=+=+=100, 所以c=10. （2）因为+=， 所以=-=-=81， 所以a=9. [即时测评] 1．D 2． 3.解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AD＝DB＝3，BC＝5， ∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2， ∴AB3，AC． [当堂达标] 1．D 2．24 3．18 4．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC8； （2）如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线， ∴DE＝CD， 设CD＝x，则DE＝x， ∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD， ∴6×86CD10DE， 即24＝3x+5x， 解得x＝3， 即DE＝3． 5．解：（1）∵AC⊥BD， ∴△ABO是直角三角形， ∴AB2＝AO2+BO2， 同理，可得：BC2＝BO2+CO2，CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2， ∵AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5， ∴AB2＝13，BC2＝25，CD2＝41，AD2＝29； （2）由（1）得： BC2+AD2＝（BO2+CO2）+（AO2+DO2） ＝（BO2+AO2）+（CO2+DO2） ＝AB2+CD2， 即：BC2+AD2＝AB2+CD2， ∵AB＝6，CD＝10， ∴BC2+AD2＝62+102＝136； （3）结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等． 学科网（北京）股份有限公司 $$