2.2 简单的轴对称图形 第4课时 等腰三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质 导学案 2025-2026学年 鲁教版（五四制）七年级数学上册

本文围绕等腰三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质展开，承接轴对称图形相关知识，为后续几何学习奠基。通过探究活动、例题及测评，培养学生抽象能力、推理能力与应用意识，让学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 该设计亮点在于以问题驱动探究，采用讲练结合教法。从学生层面看，能提升其逻辑思维与解题能力；从教师层面看，提供了清晰授课流程；从课堂效果看，有效突破教学难点，强化学生对知识的理解与运用。

2 简单的轴对称图形 第4课时　等腰三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质 [学习目标] 1.掌握等腰三角形和等边三角形的性质及判定方法。 2.认识和探索含30°角的直角三角形的性质。 3.会综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算和推理。 [新知探究] [任务一 探究等腰三角形的判定] 活动1：把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果------那么-----”形式。 学生：如果___________,那么___________。 问题1：如图，在ΔABC中，如果∠B=∠C，AD是BC边上的高，那么△ABD与△ACD全等吗？边AB与AC相等吗？说明理由. 问题2：通过以上证明，你得到什么结论？ 总结归纳：等腰三角形的判定： 例1 如图,已知AD∥BC,BD是∠ABC的平分线,那么△ABD是等腰三角形吗?为什么? [即时测评] 1．在△ABC中，已知，∠B＝∠C，则（　　） A．AB＝BC B．AB＝AC C．BC＝AC D．∠A＝60° 2．如图，若∠B＝72°，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中共有 　 　个等腰三角形． 3．如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E．求证：△CEB是等腰三角形． [任务二 探究等边三角形的判定] 活动2：如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是什么三角形？为什么？ 总结：三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言表示：∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形. 活动3：如果一个等腰三角形有一个角是60°，那么这个三角形是什么三角形？为什么？ 问题：你能总结一下等边三角形的判定有几种方法吗？ 总结：等边三角形的判定: （1）若 ，则 . （2）若 ，则 . （3）若 ，则 . 例2如图∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E，∠BCE＝60°．试说明：△BCE是等边三角形． [即时测评] 1．下列条件中，能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC 2．若△ABC，∠B＝∠C，请添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 　 　．（写出一个即可） 3．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F，延长FD、CA交于点E．若∠E＝30°，AD＝AE．求证：△ABC为等边三角形． [任务三 探究30°角直角三角形的性质] 活动4：如图，将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起，所拼成的△ABD是什么三角形？ 问题1：你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 问题2：在小组内交流，说出理由.你能得到什么结论？ 结论： 含30°角的直角三角形的性质： 2. 几何语言：∵ ， ∴ 例3 如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC＝3，则DC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 [即时测评] 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是高，若BC＝8，则AD的长为（　　） A．16 B．12 C．10 D．8 2．若等腰三角形的顶角为150°，腰长为10，则这个等腰三角形的面积为　 　． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，若AB＝8，求BD的长． [当堂达标] 1．下列对△ABC的判断，错误的是（　　） A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40° 2．如图，下列哪个条件能推出△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，BD＝CD C．AD⊥BC，BD＝CD，∠BAD＝30° D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD 3.如图，等边△ABC中，D是AC的中点，DE⊥BC于E，AB＝4．则EC的长 ． 4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为 　 　． 5．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F．求证：△AEF是等腰三角形． 6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°。点D为AB边上的一点，过点D作DE∥AC，交BC于点E。则△DBE是等边三角形吗？为什么？ 答案： [任务一 探究等腰三角形的判定] 活动1：一个三角形是等腰三角形 它的两个底角相等 问题1：△ABD≌△ACD，AB=AC. 解：因为AD是BC边上的高， 所以AD⊥BC， 所以∠ADB=∠ADC， 因为∠B=∠C，AD=AD， 所以△ABD≌△ACD（AAS）， 所以AB=AC（全等三角形对应边相等） . 问题2：如果一个三角形有两个底角相等，那么它们所对的边也相等。 例1 解：△ABD是等腰三角形， 理由是： ∵BD是∠ABC的平分线 ∴∠ABD＝∠DBC 又∵AD∥BC ∴∠ADB＝∠DBC（两直线平等，内错角相等） ∴∠ADB＝∠ABD ∴△ABD是等腰三角形． [即时测评] 1．B 2．3 3．证明：∵CE∥DA， ∴∠A＝∠CEB． 又∵∠A＝∠B， ∴∠CEB＝∠B． ∴CE＝CB． ∴△CEB是等腰三角形． [任务二 探究等边三角形的判定] 活动2： 解： ∵∠A=∠B,A B C ∴BC=AC. ∵∠B=∠C, ∴AC=AB. ∴AB=BC=AC， ∴△ABC是等边三角形. 活动3： 解：（1）顶角是60°. ∵AB=AC, ∴∠C=∠B. 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° ∵∠A=60°, ∴∠A=∠B=∠C=60°. ∴△ABC是等边三角形 （2）底角是60°. 解：∵AB=AC, ∴∠C=∠B=60° 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=60°， ∴∠A=∠B=∠C=60° ∴△ABC是等边三角形 问题：你能总结一下等边三角形的判定有几种方法吗？ 总结：等边三角形的判定: （1）若 三条边相等 ，则 三角形是等边三角形 . （2）若 三个内角都相等的三角形 ，则 三角形是等边三角形 . （3）若 有一个角是60°的等腰三角形 ，则 三角形是等边三角形 . 例2 解：∵CE∥DA， ∴∠A＝∠CEB， ∵∠A＝∠B， ∴∠CEB＝∠B， ∴CB＝CE； 又∵∠BCE＝60°， ∴△BCE是等边三角形． [即时测评] 1．B 2．∠A＝∠B（答案不唯一）． 3．证明：∵AD＝AE， ∴∠E＝∠ADE＝30°， ∴∠CAB＝∠E+∠ADE＝30°+30°＝60°， ∵DF⊥BC， ∴∠EFC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠E＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠CAB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠C＝∠B＝∠CAB， ∴△ABC为等边三角形． [任务三 探究30°角直角三角形的性质] 活动4： △ABD是等边三角形. 问题1：BC=AB或AB=2BC. 问题2：根据题意∠B＝∠D=90°-30°=60°， 所以△ABD是等边三角形， 所以AB=BD=AD， 因为BC=CD， 所以BC=AB或AB=2BC. 结论： 在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2.几何语言：∵ Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴ BC=AB或AB=2BC 例3 C [即时测评] 1．B 2．25 3．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8 ∴，∠B＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝30°， ∴． [当堂达标] 1.D 2．C 3．等边三角形． 4．3 5．证明：在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵EP⊥BC， ∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°， ∴∠E＝∠BFP， 又∵∠BFP＝∠AFE， ∴∠E＝∠AFE， ∴AF＝AE， ∴△AEF是等腰三角形． 6.证明：∵AB=AC,∠B=60° ∴△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60° 又∵DE∥AC ∴∠BDE=∠A=60°，∠BED=∠C=60° ∴ ∠A=∠B=∠C= 60° ∴△ABC是等边三角形 学科网（北京）股份有限公司 $$