精品解析：2025年广东省广州市广州中学中考数学模拟卷三

广州中学初三数学模拟卷三 一、选择题（共10题，每题3分，满分30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 圆 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此判断即可. 【详解】解：A、 等边三角形是轴对称图形 ，不是中心对称图形 ，故A不符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形 ，是中心对称图形 ，故B符合题意； C、 正五边形是轴对称图形 ，不是中心对称图形 ，故C不符合题意； D、 圆是轴对称图形 ，也是中心对称图形 ，故D不符合题意； 故答案为B. 【点睛】此题考查中心对称图形和轴对称图形，解题关键在于掌握其定理 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、整式的混合运算，根据幂的乘方可以判断A；根据同底数幂的除法，可以判断B；根据二次根式的化简和加法可以判断C；根据完全平方公式可以判断D． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握其形式，确定的值的方法是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：万， 故选：C ． 4. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质及垂直的意义可进行求解． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵直线， ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5. 为贯彻教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》文件精神，某学校积极开设日常生活劳动教育课．某班在调查中发现，全班同学每周做家务情况如下： 天数 人数 则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 4和5 B. 4和4 C. 14和5 D. 14和4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义．根据众数和中位数的定义即可求解. 【详解】解：根据表格可知：天数为天的人数最多，故众数为 共有个数据， 将天数从小到大排列，处于中间的两个数为：4和，故中位数为 故选：B． 6. 某公司准备铺设一条长的道路，由于采用新技术，实际每天铺路的速度比原计划快，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设道路，根据题意可列方程为（ ）． A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，审清题意、找到等量关系是解题的关键． 设原计划每天铺设道路，则实际每天铺路m，根据等量关系“结果提前2天完成任务”即可列出分式方程． 详解】解：设原计划每天铺设道路，则实际每天铺路m， 由提前2天完成任务，则有：． 故选A． 7. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，是半圆的切线，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，切线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 连接，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，由切线的性质可得，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，由可得，进而可得，于是可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 是半圆的半径，是半圆的切线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，，是矩形的对角线，将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，交于点G，交于点H，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正切的定义、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和定理成为解题的关键． 根据矩形的性质和勾股定理可得、，再结合旋转的性质可得，易证，运用相似三角形的性质列比例式可得，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∴ 故选B． 9. 关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或4 【答案】A 【解析】 【分析】通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值． 【详解】解：∵方程有两个实数根，， ∴， ， ∵， ∴， 整理得，， 解得，，， 若使有实数根，则， 解得，， 所以， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键． 10. 如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解． 【详解】过点C作CM⊥AB于N，， 在等腰中，， ， ①当时，如图，， ， ， ∴，y随x的增大而增大； ②当时，如图， ， ∴当时，y是一个定值为1； ③当时，如图，， ， , 当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0， 结合ABCD选项的图象， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键． 二、填空题（共6题，每题3分，满分18分） 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式分母不为0． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 12. 已知，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法—提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 提出公因式，把原式变形为，即可求解． 【详解】解：， ，， ， 故答案为： 13. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 14. 如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，得到，求出，证得，得到，求出，再根据公式即可得面积． 【详解】解：连接， 由旋转知， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，扇形面积计算公式，等腰三角形的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 15. 如图，在中，，平分，于点，若，，，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理．根据角平分线性质定理得到，再求出，，得到，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，于点， ∴， ∵，，， ∴，， ∴ 解得， 故答案为： 16. 如图，已知点A是反比例函数（）图像上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点B、C，交坐标轴于点E、D，连接．现有以下四个结论：；②连接，则有；③的面积是个定值；④不存在一点A，使得．其中正确结论的序号是___________． 【答案】②③#③② 【解析】 【分析】①设，根据已知反比例函数的解析式，表示出C点坐标，即可判断；②根据①表示出B、C点坐标，可以得出、的长度，即可判断；③根据②中得出、的长度，即可判断；④假设△ABC ∽△OED，根据相似三角形的性质，构建方程求出m的值即可判断． 【详解】设， ∵轴，轴，且C点在反比例函数的图像上， ∴， ∴，，， ∴， 故①错误； 如图所示：连接， ∵，，且B点在反比例函数的图像上， ∴， ∴，，，，， ∴，， ∴， 故②正确； 由②可知：，， ∴， 故③正确； 假设，则有， ∴， 解得：， 故④错误． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上的点的坐标特征、三角形的面积公式及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 三、解答题（共9题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角度锐角三角函数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，0次幂和负整数幂的计算方法，以及熟记特殊角度的三角函数值． 先将绝对值，0次幂，负整数幂，以及三角函数化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ∵ ∴ ∴原式． 19. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟记判定方法是解本题的关键； （1）先证明，可得，再证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）先证明，可得．证明，可得，可得，再进一步可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ． 平分， ， ∴， ． ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：四边形是菱形，且， ． ，， ， ． ， ， ∴， ， ， ． ． 20. 如图，A，B，C，D是圆上的四个点，是直径，连接，直线是圆的切线，． （1）求证：； （2）尺规作图：过点作圆的切线；（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，切线的性质，圆周角定理． （1）由切线得到，由是圆O直径得到，则，由，得到，则； （2）过点作的垂线即可． 【小问1详解】 证明：∵直线与圆O相切于点B， ∴， ∴， ∴， ∵是圆O直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 方法1： 如图，直线l是圆O的切线； 方法2： 方法3： 方法4： 方法5： 21. 2025年1月29日全国各影院上映奇幻动画电影《哪吒2》，截至2025年2月13日14时43分，该片总票房（含点映及预售）已突破100亿元，成为中国影史首部票房破100亿的电影，该片观影人次破2亿，成为中国影史首部观影人次破2亿的电影．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 50 60 售出电影票数量y（张） 124 84 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价x定为多少时，每天的利润w（单位：元）最大？最大值是多少？（注：每天的利润票房收入运营成本） 【答案】（1） （2）该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出y与x之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，可以求得该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即y与x之间的函数关系式是（，且x是整数）； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， ∵，且x是整数， ∴当或41时，w取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 22. 打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数共有___________名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是___________； （3）甲同学从三类书籍中随机选择一类，乙同学从，三类书籍中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1），图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查的学生人数；求出类的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以类人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：此次被调查的学生人数共有（名）． 类的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示．故答案为：． 【小问2详解】 在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是． 故答案为：． 【小问3详解】 列表如下： B C D A B C 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， 甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解题的关键． 23. 手机普及率的提高对社会和个人产生了多方面的影响，例如在经济方面不仅推动了消费升级，还重塑了传统商业模式，由此催生的“手机直播”正逐渐演变为一种新兴社会潮流．如图1是一种常见的悬臂式手机直播支架，图2和图3是其几何示意图，手机支架的底座放置于水平地面上，立杆，支杆可绕点旋转，悬臂的长度可以调节，已知，． （1）如图2，B、C、D三点共线，先将支杆绕点顺时针旋转，再将悬臂绕点旋转，同时调节悬臂的长度（如图3），此时，求点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，点到地面的距离为，求调节后悬臂的长．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】（1）点到地面的距离为 （2）调节后悬臂的长约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，再进行求解． （1）过点作于点，过点作于点，可知四边形为矩形，则，，由旋转得，得，在中，解直角三角形得，即可求解． （2）过点作，交延长线于点，求得，再求得，在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， 由旋转得， ， 在中，，， ， ， ， 答：点到地面的距离为． 【小问2详解】 解：过点作，交延长线于点， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 答：调节后悬臂的长约为． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为；的最大值为 （3）点M的坐标为：， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点，得出，根据轴，得出，根据，求出点P的坐标和最大值即可； （3）证明，得出，设，，得出，，根据，得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点P作轴，交于点Q，如图所示： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点， ∵点P在直线上方的抛物线上， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ∵， ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时点P的坐标为． 【小问3详解】 解：根据折叠可知，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴或， 解得：或或， ∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在， ∴， ∴点M的坐标为，． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形． 25. 如图1，点B在直线l上，过点B构造等腰直角三角形，使，且，过点C作直线l于点D，连接． （1）小娟在研究这个图形时发现，，点A，D应该在以为直径的圆上，则的度数为____________，将射线顺时针旋转交直线l于点E，可求出线段的数量关系为____________； （2）小娟将等腰直角三角形绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段的数量关系是否变化，请说明理由： （3）在旋转过程中，若长为1，当面积取得最大值时，请求出此时的长． 【答案】（1）， （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，且，可得，由，推出、、、四点共圆，所以；由题意知，所以，由，，可知是等腰直角三角形，推出； （2）如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点．易证，则，由，，所以是等腰直角三角形，则，由，推出； （3）根据题意得到、、、四点共圆，如图所示，过点作，则，在旋转的过程中，的值是定值，所以当的值最大时，的面积最大，当经过圆心，此时最长，如图所示，将线段绕点顺时针旋转与直线交于点，可证，则，有勾股定理得到，即确定了的值即可得到的值，设，则，在中，有正切值得到，根据同弧所对圆周角相等得到，在中，，可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，图1中． ，且， ， ， 、、、四点共圆， ； ②由题意可知，， ， 又，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：线段，，的数量关系会变化，数量关系为． 理由如下： 如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点． 则， ， 又，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ； 【小问3详解】 解：， 、、、四点共圆， 如图所示，过点作， ∴， 在旋转的过程中，的值是定值， ∴当的值最大时，的面积最大，当经过圆心，此时最长， 如图所示，将线段绕点顺时针旋转与直线交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴确定了的值即可得到的值， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，锐角三角函数的计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州中学初三数学模拟卷三 一、选择题（共10题，每题3分，满分30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 圆 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 为贯彻教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》文件精神，某学校积极开设日常生活劳动教育课．某班在调查中发现，全班同学每周做家务情况如下： 天数 人数 则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 4和5 B. 4和4 C. 14和5 D. 14和4 6. 某公司准备铺设一条长的道路，由于采用新技术，实际每天铺路的速度比原计划快，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设道路，根据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，是半圆的切线，，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，是矩形的对角线，将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，交于点G，交于点H，则的值为（ ）． A. B. C. D. 9. 关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或4 10. 如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题3分，满分18分） 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是______． 12. 已知，，则_______． 13. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 14. 如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________． 15. 如图，在中，，平分，于点，若，，，则长为_____． 16. 如图，已知点A是反比例函数（）图像上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点B、C，交坐标轴于点E、D，连接．现有以下四个结论：；②连接，则有；③的面积是个定值；④不存在一点A，使得．其中正确结论的序号是___________． 三、解答题（共9题，满分72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中a满足． 19. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20. 如图，A，B，C，D是圆上的四个点，是直径，连接，直线是圆的切线，． （1）求证：； （2）尺规作图：过点作圆的切线；（保留作图痕迹，不写作法） 21. 2025年1月29日全国各影院上映奇幻动画电影《哪吒2》，截至2025年2月13日14时43分，该片总票房（含点映及预售）已突破100亿元，成为中国影史首部票房破100亿的电影，该片观影人次破2亿，成为中国影史首部观影人次破2亿的电影．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 50 60 售出电影票数量y（张） 124 84 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价x定为多少时，每天利润w（单位：元）最大？最大值是多少？（注：每天的利润票房收入运营成本） 22. 打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数共有___________名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是___________； （3）甲同学从三类书籍中随机选择一类，乙同学从，三类书籍中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 23. 手机普及率的提高对社会和个人产生了多方面的影响，例如在经济方面不仅推动了消费升级，还重塑了传统商业模式，由此催生的“手机直播”正逐渐演变为一种新兴社会潮流．如图1是一种常见的悬臂式手机直播支架，图2和图3是其几何示意图，手机支架的底座放置于水平地面上，立杆，支杆可绕点旋转，悬臂的长度可以调节，已知，． （1）如图2，B、C、D三点共线，先将支杆绕点顺时针旋转，再将悬臂绕点旋转，同时调节悬臂的长度（如图3），此时，求点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，点到地面的距离为，求调节后悬臂的长．（结果精确到．参考数据：，） 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 25. 如图1，点B在直线l上，过点B构造等腰直角三角形，使，且，过点C作直线l于点D，连接． （1）小娟在研究这个图形时发现，，点A，D应该在以为直径的圆上，则的度数为____________，将射线顺时针旋转交直线l于点E，可求出线段的数量关系为____________； （2）小娟将等腰直角三角形绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段的数量关系是否变化，请说明理由： （3）在旋转过程中，若长为1，当面积取得最大值时，请求出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$