第01讲 数列的概念及其表示（含数列周期性单调性和数列通项公式的构造）（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 数列的概念及其表示 （含数列周期性单调性和数列通项公式的构造） 目录 01 常考题型过关练 题型01 数列的概念及辨析 题型02 根据规律求数列中的项 题型03 观察法求数列的通项公式 题型04 数列周期性的应用 题型05 数列单调性的应用 题型06 用an与Sn的关系求通项或项 题型07 累加法求数列通项公式 题型08 累乘法求数列通项公式 题型09 递推数列构造等差数列 题型10 递推数列构造等比数列 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 数列的概念及辨析 1．下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 2．若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 3．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 02 根据规律求数列中的项 4．在数列中，根据前5项的规律写出的第12个数为（    ） A． B． C． D． 5．在数列1，2，，，，中，是这个数列的（    ） A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项 6．已知数列1，，2，，3，，…，根据该数列的规律，100是该数列的第（   ） A．100项 B．101项 C．199项 D．200项 7．斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（    ） A．34 B．55 C．68 D．89 8．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．则三角形数､正方形数所构成的数列的第5项分别为（    ）    A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，25 03 观察法求数列的通项公式 9．数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 10．数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 11．已知数列，，，，…则该数列的第211项为（    ） A． B． C． D． 12．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 04 数列周期性的应用 13．在数列中，，，则 . 14．若数列满足，，则 . 15．数列中， （为正整数），且，则的值为 . 16．已知数列满足，，则 . 17．已知数列满足，则 . 18．已知数列 满足 ，则其前 2023 项的和为 . 19．已知数列满足递推公式，，且，记为的前项和，则 . 05 数列单调性的应用 20．设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 21．已知数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 23．记为数列的前n项和.若，则（    ） A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项 C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项 24．已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 25．已知数列的通项公式为，前n项和为，前n项积为.则下列结论正确的个数为（    ） ①既有最小值，又有最大值， ②满足的n的值共有6个； ③使取得最小值的n为7； ④有最小值，无最大值； A．1 B．2 C．3 D．4 26．已知数列为无穷项等比数列，为其前n项和，，则“存在最小项”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 27．已知是各项均不为零的等差数列，，公差是的前项和，设，则数列（    ） A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项 C．有最大项和最小项 D．无最大项和最小项 28．记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．等差数列的前项和为.已知，.记（），则数列的（    ） A．最小项为 B．最大项为 C．最小项为 D．最大项为 06 用an与Sn的关系求通项或项 30．记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是 ． 31．已知数列的前n项和为，且满足 ，，则 . 32．已知数列的前项和为（），满足（），，则 . 33．已知数列满足，则的通项公式为 . 34．若数列的前项和是首项为，公比为的等比数列，则的前项积为 . 35．已知数列的前项和为，且，，则 ． 07 累加法求数列通项公式 36．已知数列满足，且对任意，有，则 . 37．在数列中，，，则该数列的通项公式为 . 38．已知数列满足，对任意，，，则数列的通项公式为 . 39．在数列中，已知，且，则 ． 40．已知数列满足，则 ． 08 累乘法求数列通项公式 41．已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 42．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 43．若数列满足，，则 ． 44．在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 45．已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 09 递推数列构造等差数列 46．已知数列满足，． (1)设，证明：是等差数列； (2)设数列的前项和为，求． 47．已知. (1)求； (2)证明：是等差数列，并求出； (3)设，求的前项和. 48．已知数列满足， (1)证明：数列为等差数列； (2)若将数列中满足的项，称为数列中的相同项，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，求数列的前40项中余下项的和. 49．已知数列满足，，． (1)证明：是等差数列； (2)记数列的前项和为，求最小的正整数，使得． 50．已知数列满足，. (1)证明为等差数列，并求的通项公式； (2)若不等式对于任意都成立，求正数的最大值. 10递推数列构造等比数列 51．已知数列满足：，且．设． (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前2n项和． 52．已知数列和满足． (1)证明：是等比数列，是等差数列； (2)求的通项公式以及的前项和． 53．定义集合，数列满足 (1)定义数列，证明：为等比数列 (2)记数列的前项和为，求满足的正整数 54．已知数列满足，且，若． (1)证明：为等比数列． (2)求的通项公式． 55．已知数列满足：，. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求的前n项和. 56．已知数列满足，，． (1)证明：数列为等比数列，求的通项公式． (2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围． 1．已知正数数列为等比数列，公比为，又为任意正整数，且数列严格递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在数列中，，若存在常数c（），使得对于任意的正整数m，n等式成立，则（    ） A．符合条件的数列有无数个 B．存在符合条件的递减数列 C．存在符合条件的等比数列 D．存在正整数N，当时， 3．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 4．命题：若是等比数列，则前n项和不存在最大值和最小值.写出一组说明此命题为假命题的首项 和公比 5．首项为正数的数列满足，给出下列四个结论： ①存在和，使得是等比数列； ②若且是奇数，则为奇数； ③若且，则存在使得； ④若且，则是递减数列. 其中所有正确结论的序号是 . 6．记数列的前项和为. (1)若和均为公比为的等比数列，证明：； (2)若和均为公差为的等差数列，求和的值. 1．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 数列的概念及其表示 （含数列周期性单调性和数列通项公式的构造） 目录 01 常考题型过关练 题型01 数列的概念及辨析 题型02 根据规律求数列中的项 题型03 观察法求数列的通项公式 题型04 数列周期性的应用 题型05 数列单调性的应用 题型06 用an与Sn的关系求通项或项 题型07 累加法求数列通项公式 题型08 累乘法求数列通项公式 题型09 递推数列构造等差数列 题型10 递推数列构造等比数列 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 数列的概念及辨析 1．下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【详解】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 2．若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【详解】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 3．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 【答案】C 【详解】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意． 故选：C． 02 根据规律求数列中的项 4．在数列中，根据前5项的规律写出的第12个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，数列为，故第12个数为. 故选：D 5．在数列1，2，，，，中，是这个数列的（    ） A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项 【答案】B 【详解】数列可化为 ， 所以， 令，解得， 所以是这个数列的第项， 故选：B． 6．已知数列1，，2，，3，，…，根据该数列的规律，100是该数列的第（   ） A．100项 B．101项 C．199项 D．200项 【答案】C 【详解】根据该数列的规律可将数列进行分组，每一组含有两个互为相反数的组合， 因此100即为第100组的第一个数，其前面有99组，每一组有两项， 因此100是该数列的第项. 故选：C 7．斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（    ） A．34 B．55 C．68 D．89 【答案】B 【详解】观察数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，发现从第3项起，每一项均为其前2项的数之和， 则第9项：13＋21＝34，第10项：21＋34＝55. 故该数列的第10项为55． 故选：B. 8．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．则三角形数､正方形数所构成的数列的第5项分别为（    ）    A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，25 【答案】B 【详解】三角形数： 第一个数1，第二个数，第三个数：， 第四个数，第五个数， 正方形数： 第一个数，第二个数，第三个数：， 第四个数，第五个数 故选：B 03 观察法求数列的通项公式 9．数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项ABD的数列，均可化为数列符合要求； 对于C，不符合要求，C错误. 故选：ABD 10．数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负， 故第项的正负可以用表示； 而， 故数列的通项可为. 故选：D 11．已知数列，，，，…则该数列的第211项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，该数列可表示为， 该数列的通项公式为，所以， 故选：A. 12．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，，，， 可得的一个通项公式为，故D正确. 故选：D. 04 数列周期性的应用 13．在数列中，，，则 . 【答案】/0.8 【详解】由题意易知， 当时，由，得， 由，得，，， 因此数列是以为周期的数列，所以. 故答案为： 14．若数列满足，，则 . 【答案】2 【详解】利用，结合，依次迭代可得： 数列的前项依次为 且从第3项起以3为周期，所以. 故答案为： 15．数列中， （为正整数），且，则的值为 . 【答案】 【详解】由题意可得，，，， 则数列是以为一个循环的周期数列， 故. 故答案为： 16．已知数列满足，，则 . 【答案】 【详解】，， ，故数列是以为周期的周期数列， 则. 故答案为：. 17．已知数列满足，则 . 【答案】 【详解】由， 得，，， 可确定数列周期为2， 所以， 故答案为： 18．已知数列 满足 ，则其前 2023 项的和为 . 【答案】 【详解】由，可得：， 由题意，所以， 所以 易知是周期为2的数列， 所以也是是周期为2的数列， 且，即， 所以， 故答案为： 19．已知数列满足递推公式，，且，记为的前项和，则 . 【答案】 【详解】由可得，故， ， 故， 故为周期数列，且周期为3， 故， 故答案为： 05 数列单调性的应用 20．设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：设等比数列的公比为， 若， 情形一：当时，由得， 解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列； 情形二：当，由得， 解得或，     若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列； 必要性：反之，若为递增数列，则， 所以“对于任意的”是“为递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 21．已知数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，若为递增数列，则， 有，解得， 则， 当时，，所以, 则的取值范围为. 故选：D. 22．对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】为递增数列时，有，不能得到为递增数列，充分性不成立； 为递增数列时，不一定有，即不能得到为递增数列，必要性不成立. 所以“为递增数列”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 23．记为数列的前n项和.若，则（    ） A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项 C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项 【答案】A 【详解】根据题意，， 对于二次函数，，其开口向下，对称轴为， 则当时，取得最大值， 所以当时，有最大值为16，所以有最大项. 又由可解得， 则当时，，当时，，当时，， 所以当或8时，最大， 则有最大项，有最大项. 故选：A. 24．已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】D 【详解】当时，； 由 ①得，当时， ②， ①②得， ， 即 ， 又也符合该式， 故. 所以， 由，得，解得； 又，所以， 则， 由，解得， 又，所以，则 ， 因此的最大项为， 故选：D. 25．已知数列的通项公式为，前n项和为，前n项积为.则下列结论正确的个数为（    ） ①既有最小值，又有最大值， ②满足的n的值共有6个； ③使取得最小值的n为7； ④有最小值，无最大值； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①中，由数列的通项公式为， 可得，当时，数列的各项小于1，且是单调递减数列； 当时，数列的各项大于1，且是单调递减数列， 所以，数列的最小项为，最大项为，所以①正确； 对于②中，当时，满足； 当时，满足；当时，， 所以，满足时，，共有4个值，所以②不正确； 对于③中，当时，，随着的增大而增大，且； 当时，，随着n的增大而减小， 且， 当时，为正数，所以， 综上所述，使得取得最小值的为7，所以③正确； 对于④中，由上述中的讨论，可得在中，只有为负数，且， 所以存在最小值或， 从第8项开始，为正数，结合，可知随着的增大而增大，所以无最大值， 所以④正确. 故选：C. 26．已知数列为无穷项等比数列，为其前n项和，，则“存在最小项”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设数列的公比为， 当时，，存在最小项，； 当时，，， 所以存在最小项，； 当时，，所以存在最小项，； 当时，，所以不存在最小项，； 所以当存在最小项时，；当时，存在最小项. 所以“存在最小项”是“”的充分必要条件. 故选：C. 27．已知是各项均不为零的等差数列，，公差是的前项和，设，则数列（    ） A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项 C．有最大项和最小项 D．无最大项和最小项 【答案】B 【详解】由题意可得等差数列的通项公式，前项和， 所以， 令，则， 求导可得 所以函数在上单调递增，在上单调递增， 令，解得或，存在，且， 当时，且单调递增，当时，且单调递增， 当时，且单调递增， 所以数列有最小值，无最大值. 故选：B. 28．记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若是递增数列，则公差， 所以， 故，所以为递增数列， 若为递增数列，则，则， 故，所以是递增数列， 故“是递增数列”是“是递增数列”的充要条件， 故选：C 29．等差数列的前项和为.已知，.记（），则数列的（    ） A．最小项为 B．最大项为 C．最小项为 D．最大项为 【答案】C 【详解】设公差为d，则，，则，， 所以， 设，则，， 所以在为递增函数， 所以， 所以最小项为. 故选：C. 06 用an与Sn的关系求通项或项 30．记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【详解】，①， 当时，②， ①-②得，， ，，， 是等差数列， 又， 故答案为： 31．已知数列的前n项和为，且满足 ，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，所以是等差数列，公差为3，又， 所以，即. 故答案为：. 32．已知数列的前项和为（），满足（），，则 . 【答案】/ 【详解】由 可得 ， 又，则，即， 当时，， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，则，所以. 故答案为： 33．已知数列满足，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，而，即满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 34．若数列的前项和是首项为，公比为的等比数列，则的前项积为 . 【答案】 【详解】设数列的前项和为， 则， 因为， 则， 故的前项积为. 故答案为： 35．已知数列的前项和为，且，，则 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 当时，， 又不符合上式，所以. 故答案为：. 07 累加法求数列通项公式 36．已知数列满足，且对任意，有，则 . 【答案】 【详解】依题意， ， ， ， ， …… ， ， 上述个式子相加得. 故答案为： 37．在数列中，，，则该数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】由题意，,且 ， 当时， ． 当时，也满足该式， 故数列的通项公式为． 故答案为： 38．已知数列满足，对任意，，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】由题， ， 所以. 故答案为：. 39．在数列中，已知，且，则 ． 【答案】 【详解】由可得： ， ． 故答案为：. 40．已知数列满足，则 ． 【答案】 【详解】由余弦函数性质可知数列是以为周期的周期数列， 易知，，，， 则，且，可得； 由累加法可得 ； 故答案为： 【点睛】方法点睛：根据三角函数的周期性可得数列中的周期或类周期规律，再利用等差数列和等比数列性质，利用累加法或累乘法即可求得结果. 08 累乘法求数列通项公式 41．已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】当时，， 化简得，，利用累乘法得 ， 显然满足上式， 所以 故答案为： 42．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 43．若数列满足，，则 ． 【答案】 【详解】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 故答案为：. 44．在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 【答案】 【详解】由于数列中，，前项和， 所以当时，， 两式相减可得：， 所以， ， 所以， 所以， 所以 ， 符合上式， 因此. 故答案为： 45．已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 【答案】 【详解】由，则， 即，又，则， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 则有，，，，且， 故，即，显然均满足. 故答案为：. 09 递推数列构造等差数列 46．已知数列满足，． (1)设，证明：是等差数列； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）由得， ，，所以， 所以是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知， 所以， 所以数列的前项和为， 所以 47．已知. (1)求； (2)证明：是等差数列，并求出； (3)设，求的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3) 【详解】（1）. （2），故是以1为首项1为公差的等差数列.故. （3）因为，所以 48．已知数列满足， (1)证明：数列为等差数列； (2)若将数列中满足的项，称为数列中的相同项，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，求数列的前40项中余下项的和. 【答案】(1)证明见解析 (2)2166 【详解】（1）数列满足， 设，则， 有，， 所以数列是首项为3公差为3的等差数列，即数列为等差数列. （2）由（1）可知，， 设，同理可证数列是首项为12公差为9的等差数列，， 设数列的前n项和为，数列的前n项和为， 数列的前40项和为， 若，即，得， ，有， 将数列的前40项中所有的相同项都剔除，则数列的前40项中余下项的和为： . 49．已知数列满足，，． (1)证明：是等差数列； (2)记数列的前项和为，求最小的正整数，使得． 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【详解】（1）证明：，， 又，，则， 数列是首项为5，公差为2的等差数列； （2）由（1）得数列是首项为5，公差为2的等差数列，则， 当时，，，，，， 由累加法得，则， 又当时，符合题意， ，则， 数列的前项和为， ，即，即，解得（不合题意，舍去）或， 最小的正整数为7． 50．已知数列满足，. (1)证明为等差数列，并求的通项公式； (2)若不等式对于任意都成立，求正数的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）因为，两边同时取倒数可得，，即， 所以，且，所以是以为首项，为公差的等差数列，且，所以. （2）由（1）可知，则， 令，所以， 由可知，随增大而增大，只需即可， 且，所以的最大值为. 10递推数列构造等比数列 51．已知数列满足：，且．设． (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2)数列的前2n项和为 【详解】（1）由题意可知：， ， 故，即， 故是以为首项，以 为公比的等比数列， 且 ， 故 （2）由（1）知，,即， 由题意知： ，故 ， 故数列的前2n项和 . 52．已知数列和满足． (1)证明：是等比数列，是等差数列； (2)求的通项公式以及的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为， 所以，即， 所以是公比为的等比数列． 将方程左右两边分别相减， 得，化简得， 所以是公差为2的等差数列． （2）由（1）知， ， 上式两边相加并化简，得， 所以． 53．定义集合，数列满足 (1)定义数列，证明：为等比数列 (2)记数列的前项和为，求满足的正整数 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【详解】（1）依题意可得，，，， 当时， ， 又，都适合上式， 所以， 因为，所以为等比数列. （2）依题意得， ，, 所以 ， 又， ，，，， 所以 ， 所以 ， 由，得，得， 得，得，得. 54．已知数列满足，且，若． (1)证明：为等比数列． (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意知 ， 所以为等比数列．其首项，． （2）由（1）可知，又， 所以． 55．已知数列满足：，. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）证明：由， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即 （2）由（1）知：，所以. 又， 56．已知数列满足，，． (1)证明：数列为等比数列，求的通项公式． (2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由可得，且， 故是以2为首项，3为公比的等比数列，故， 所以，又， 故，即. （2）由（1）为等比数列，故， 故即恒成立，求的最大值即可. 设，则， 令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 又，故为的最大值，为， 所以，. 1．已知正数数列为等比数列，公比为，又为任意正整数，且数列严格递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为数列严格递减，所以，即，即， 即，解得, 所以的取值范围为. 故选: A. 2．在数列中，，若存在常数c（），使得对于任意的正整数m，n等式成立，则（    ） A．符合条件的数列有无数个 B．存在符合条件的递减数列 C．存在符合条件的等比数列 D．存在正整数N，当时， 【答案】D 【详解】因为对于任意的正整数m，n等式成立，， 所以， 所以，整理得， 若，则为常数列，又，此时不满足； 若，则有，即， 此时数列是以2为首项和公差的等差数列，所以. 对于A，满足条件的数列只有一个：，A错误； 对于B，，数列单调递增，B错误； 对于C，，该数列不是等比数列，C错误； 对于D，当时，显然存在正整数N，当时，，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于通过赋值得，然后分，即可求出通项，然后可解. 3．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 【答案】C 【详解】对于选项AB：例题，可知即为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，故AB错误； 对于选项C：因为， 对任意，，可知存在， 使得， 则，即， 且内和数列为递增数列，可知， 所以其伴随数列为递增数列，故C正确； 对于选项D：例如， 显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列， 但不是递增数列，故D错误； 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算. 4．命题：若是等比数列，则前n项和不存在最大值和最小值.写出一组说明此命题为假命题的首项 和公比 【答案】 1（答案不唯一） 2（答案不唯一） 【详解】因为命题“若是等比数列，则前n项和不存在最大值和最小值”为假命题， 所以可得“若是等比数列，则前n项和存在最大值或最小值”， 因为只需确定满足条件的一组取值，故不妨先考虑，条件下是否存在， 若，则， 当时，则随的增大而增大，此时有最小值，满足条件， 当时，则随的增大而减小，此时有最大值，满足条件， 若，则， 当时，若，则随的增大而增大，此时有最小值，满足条件， 当时，若，则随的增大而减小，此时有最大值，满足条件， 故可取，， 故答案为：1，2（答案不唯一） 5．首项为正数的数列满足，给出下列四个结论： ①存在和，使得是等比数列； ②若且是奇数，则为奇数； ③若且，则存在使得； ④若且，则是递减数列. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【详解】对于①，当时，，此时是等比数列，①正确； 对于②，设，则， 当为偶数时为偶数，即为奇数； 当为奇数时为偶数，即为奇数； 即当为奇数时，也为奇数，同理也为奇数，所以②正确； 对于③，因为，则，当时，， ，同理，故不存在使得，③错误； 对于④，，令函数， 因为，函数是开口向上的二次函数，则函数在的最大值在端点处取得， 即或，又因为，所以，， 即当时，，即， 又因为当时， ， 所以当时，，即，则，同理可得， 所以此时是递减数列，④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】方法点睛，本题是数列的综合型题目，通过递推公式找到函数的一些性质，需要结合数列的函数思想来完成证明. 6．记数列的前项和为. (1)若和均为公比为的等比数列，证明：； (2)若和均为公差为的等差数列，求和的值. 【答案】(1)证明见解析. (2)和. 【详解】（1）由题意，为公比为的等比数列， 则，， 又也为公比为的等比数列， 则 ， 即，， 又，则，即，命题得证. （2）由题意，和均为公差为的等差数列， ， 又，则，即， 代入得，化简得， 解得，又由，得，即， 解得，所以，， ， 故和的值分别为和. 1．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$