第02讲 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 目录 01 常考题型过关练 题型01 根据函数解析式判断函数单调性 题型02 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值 题型03 根据函数单调性解不等式 题型04 根据函数单调性比较函数值大小关系 题型05 根据函数的奇偶性求参数值 题型06 抽象函数奇偶性的综合应用 题型07 函数周期性的综合应用 题型08 函数对称性的综合应用 题型09 周期性对称性的综合应用 题型10 周期性奇偶性的综合应用 题型11 奇偶性对称性的综合应用 题型12 函数性质的全部综合应用 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 根据函数解析式判断函数单调性 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，值域为且区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 6．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 02 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值 7．若在上为增函数，则的取值范围是（    ） A．) B． C． D． 8．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 10．函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 03 根据函数单调性解不等式 12．已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知定义在上的奇函数满足：在单调递增，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．已知偶函数在区间上单调递减．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 17．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 18．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 19．已知是偶函数，它在上是增函数．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 04 根据函数单调性比较函数值大小关系 20．已知，则（   ） A． B． C． D． 21．已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 22．已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 23．函数，记，则（    ） A． B． C． D． 24．设，，，则有（    ） A． B． C． D． 05 根据函数的奇偶性求参数值 25．若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 26．若是奇函数，则 ， ． 27．已知函数是奇函数，则 ． 28．函数是偶函数的充分必要条件是（    ）． A． B． C．且 D．，且 29．已知函数的图象关于原点对称，是偶函数，则 （   ） A． B．2 C． D．0 30．若函数为偶函数，则 ，的最小值为 . 31．函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是 ， ． 06 抽象函数奇偶性的综合应用 32．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 33．已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 34．定义域均为R的函数，满足，且，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 35．已知对任意x，，都有，且，那么 （    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 07 函数周期性的综合应用 36．已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A．1 B．0 C．-2025 D． 37．已知函数满足：，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．已知是定义在上的函数，且，，则（   ） A． B． C． D． 39．已知函数的定义域为R，且，，则（   ） A． B．4 C．0 D． 08 函数对称性的综合应用 40．函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 41．已知，且的图象的对称中心是，则的值为（   ） A． B． C． D． 42．关于函数，下列描述错误的有（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点 43．已知函数，则（    ） A．2025 B． C．1012 D． 44．若直线与函数的图象恰有三个交点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．无法确定 45．已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，… ，则（    ） A．9 B． C．12 D． 46．已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（    ） A．0 B． C． D． 09 周期性对称性的综合应用 47．若定义在上的函数满足是奇函数，，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 48．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A．2023 B． C．3 D． 49．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 50．已知函数的定义域均为，的图象关于点中心对称，，，，则（    ） A． B．2 C． D．1003 51．已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 10周期性奇偶性的综合应用 52．已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ） A． B． C．0 D．1 53．已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B．4 C． D．6 54．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（   ） A．3 B．1 C．0 D． 55．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且 ，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2 56．已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（   ） A．80 B．75 C．70 D．65 57．已知函数的定义域为，若，都是奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 11奇偶性对称性的综合应用 58．已知是定义在上的偶函数，其图象关于点中心对称，且时， ，则（   ） A． B．0 C． D．1 59．函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（   ） A． B． C． D． 60．已知函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 61．已知及其导函数的定义域为，为偶函数，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C． D． 12函数性质的全部综合应用 62．已知函数的定义域为，，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 63．已知可导函数 的定义域为， 为奇函数，设 是 的导函数， 若 为奇函数，且 ，则 （    ） A．-1012 B．-506 C．506 D．1012 64．设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数x，y均有，则（   ） A．0 B．1012 C．2024 D．4048 65．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 66．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 67．已知是定义在上且不恒为0的连续函数，若，，则（   ） A． B．为奇函数 C．的周期为2 D． 68．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 69．已知是上的减函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 70．已知可导函数的定义域为是的导函数，且均为奇函数，，则（   ） A． B． C．0 D．1 71．已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D．2 72．已知函数的定义域为，且当时，，则下列正确的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．当时， D．当时， 1．已知.若是以2为最小正周期的周期函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．若偶函数的定义域为，且其图象与有相同的对称轴，若当时，，则有（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的函数满足，①，② 为奇函数，③当时，恒成立.则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．定义在上的函数可表示为一个奇函数与偶函数的和，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列，公差为，则下列命题正确的是（    ） A．函数可能是奇函数 B．若函数是偶函数，则 C．若，则函数是偶函数 D．若，则函数的图象是轴对称图形 7．定义在上的函数和的最小周期分别是和，已知的最小正周期为1，则下列选项中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，为偶函数，当时，，设，则（   ） A． B． C． D． 9．数学上，常用表示不大于x的最大整数．已知函数，则下列正确的是（ ）． A．函数在定义域上是奇函数 B．函数的零点有无数个 C．函数在定义域上的值域是 D．不等式解集是 10．函数满足，令，对任意的，都有，若，则（    ） A． B．3 C．1 D． 1．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 目录 01 常考题型过关练 题型01 根据函数解析式判断函数单调性 题型02 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值 题型03 根据函数单调性解不等式 题型04 根据函数单调性比较函数值大小关系 题型05 根据函数的奇偶性求参数值 题型06 抽象函数奇偶性的综合应用 题型07 函数周期性的综合应用 题型08 函数对称性的综合应用 题型09 周期性对称性的综合应用 题型10 周期性奇偶性的综合应用 题型11 奇偶性对称性的综合应用 题型12 函数性质的全部综合应用 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 根据函数解析式判断函数单调性 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递减，故B正确； 对于C：在上单调递增，故C错误； 对于D：，所以在上先减后递增，故D错误. 故选：B 2．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A，由，得恒成立，则在上单调递增，所以选项A正确， 对于选项B，因为在上单调递减，所以选项B错误， 对于选项C，因为在上单调递减，所以选项C错误， 对于选项D，由，得到，当时，，当时，， 所以在单调递减，在上单调递增，故选项D错误， 故选：A. 3．下列函数中，值域为且区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若，由，则，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，二次函数的最小值为，值域并不是，故B错误； 对于C，幂函数在上单调递增，但是它的值域是，并不是，故C错误， 对于D，当时，，由对数函数性质可知在上单调递增，且值域为，故D正确. 故选：D. 4．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上是减函数，没有奇偶性，是偶函数， 只有既是奇函数，又在上是增函数. 故选：D 5．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由幂函数的单调性可知在上单调递增，故A不正确； 对于B，由余弦函数的单调性可知在区间上单调递减不成立，故B不正确； 对于C，，由指数函数的单调性可知，当时，单调递增，故C不正确； 对于D，的定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数， 又因为当，，由对数函数的单调性可知在上单调递减，故D正确； 故选：D. 6．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，易知的定义域为，不关于原点对称，不是偶函数，即A错误； 对于B，易知为偶函数，但在上为单调递增，即B错误； 对于C，易知为偶函数，且在上为单调递减，即C正确； 对于D，易知为偶函数，但在上不单调，即D错误. 故选：C 02 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值 7．若在上为增函数，则的取值范围是（    ） A．) B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是R上单调递增函数， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：B. 8．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得： 是上的减函数 解得： 故 a的取值范围是 故选：C 9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 10．函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 11．已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】恒成立， 所以函数在定义域内为减函数， . 故选：A． 03 根据函数单调性解不等式 12．已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，解不等式得. 故选：D 13．已知定义在上的奇函数满足：在单调递增，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数是定义上的奇函数，可得， 即且， 又由，可得， 因为时，单调递增函数且为奇函数，则时，函数也是单调递增函数， 所以不等式，即为或， 可得或， 所以不等式的解集为， 故选：D. 14．已知偶函数在区间上单调递减．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递增； 则等价于，即， 即，解得，即原不等式的解集为； 故选：C 15．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知：定义域为， ， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，当时，， 即的解集为. 故选：B. 16．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得函数的定义域为， 因为与在均为单调递增函数， 所以在为单调递增函数， 因为， 所以的解集为. 故选：C. 17．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得定义域为， 则，且在上单调递减， 令， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 当时，趋近于负无穷小，故， 且， 故可作出函数的图象如图： 由此可知不等式的解集是， 故选：C 18．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为单调递增，且，， 所以存在唯一，使得， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且， 所以由可得， 故选：A 19．已知是偶函数，它在上是增函数．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由是偶函数，在上是增函数， 可得在上为减函数， 又， 所以， 即或， 解得或， 所以的取值范围是， 故选：B. 04 根据函数单调性比较函数值大小关系 20．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，又， 所以. 故选：C. 21．已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由指数函数的单调性可知在上单调递增， 又，所以，故正确； 因为，， 所以， 又，所以上式取不到等号，所以，故正确； ，， ，，，故错误； ，，故正确. 故选：C. 22．已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，即在上单调递增，， 所以，则在上单调递增， 由于， ∴，令，， ∴在上单调递增， ∴，， ∴，∴． 故选：C． 23．函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】注意到定义域为全体实数，且， 所以是上的偶函数， 从而， 因为在上单调递增， 所以关于在上单调递减， 而， 所以. 故选：B. 24．设，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为当时，为增函数， 所以，故 故选：C. 05 根据函数的奇偶性求参数值 25．若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得. 故选：C. 26．若是奇函数，则 ， ． 【答案】 1 1 【详解】因为为奇函数，所以当时，， 所以，. 故答案为：1；1. 27．已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【详解】的定义域为， 因为为奇函数，所以对任意非零实数恒成立， 所以，即. 故答案为：. 28．函数是偶函数的充分必要条件是（    ）． A． B． C．且 D．，且 【答案】C 【详解】显然函数定义域为R， 因是偶函数，即，亦即， 整理得，而不恒为0，因此，，即且， 当时，也是偶函数，D不正确， 所以一定正确的是C. 故选：C 29．已知函数的图象关于原点对称，是偶函数，则 （   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【详解】已知函数的图象关于原点对称，所以是奇函数. 因为的定义域为，那么. 将代入可得：. 由，即，解得. 因为是偶函数，所以. ，. 则. 对进行变形：. 所以. 移项可得：，对于任意都成立，所以，解得. 将，代入.则. 根据对数运算法则，. 所以. 故的值为. 故选：A. 30．若函数为偶函数，则 ，的最小值为 . 【答案】 2 【详解】因为函数为偶函数， 所以，即， 所以； 故， 当时，，所以， 当且仅当，即时，等号成立； 由偶函数图象的对称性，所以当时，， 综上，所以，即的最小值为2. 故答案为：；2 31．函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是 ， ． 【答案】 1 0 【详解】因为函数是奇函数， 所以，得，经验证符合； 所以，又恒成立， 所以恒成立， 所以，即. 故答案为：1； 0 06 抽象函数奇偶性的综合应用 32．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【详解】因为， 所以令，可得， 令，则， 所以， 则既不是奇函数又不是偶函数， 且， 所以是奇函数. 故选：C 33．已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【详解】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． 34．定义域均为R的函数，满足，且，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【详解】因为， 所以， 即， 所以关于直线对称， 因为， 所以关于对称，即为偶函数. 故选：D 35．已知对任意x，，都有，且，那么 （    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 【答案】D 【详解】令，有， 因为，所以， 再令，得：， 所以，又， 所以是偶函数. 故选：. 【点睛】关键点点睛：抽象函数的奇偶性的判断，根据所给的等式进行取值是解题的关键. 07 函数周期性的综合应用 36．已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A．1 B．0 C．-2025 D． 【答案】D 【详解】因为为奇函数，所以， 又，所以， 所以，即， 所以是周期为的函数，故. 故选：D 37．已知函数满足：，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据题意，，显然，所以， 所以，所以函数的一个周期为12， 所以. 故选：B. 38．已知是定义在上的函数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以当时，，又，所以． 又由，可得， 所以， ， 故函数是以4为周期的函数，所以． 故选：C． 39．已知函数的定义域为R，且，，则（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为R，且，， 则，则 于是，因此，即， 则，函数是周期为6的周期函数， 取，得，即，解得， 取，得，即，解得， 而，因此， 所以. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 08 函数对称性的综合应用 40．函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由向上平移一个单位得到， 又关于对称，所以关于对称； 故选：B 41．已知，且的图象的对称中心是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，则，所以函数图象的对称中心是， 依题意，，，求导得， 所以. 故选：B 42．关于函数，下列描述错误的有（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点 【答案】C 【详解】分析函数性质知的定义域为，值域为， 当或，函数与轴相交交点坐标为或， 由，故关于对称， 当时，函数为递增函数，同理在上递增，在上递减， 综上，所述简单的描点作图可得函数图象，如图所示，    对A，由图象知函数在区间上单调递增，故A正确； 对B，由图知函数的图象关于直线对称，故B正确； 对D，由图知函数有且仅有两个零点，故D正确； 对C，由图知时在对称轴两侧各有2个对应点，此时不一定成立，故C错误 故选：C． 43．已知函数，则（    ） A．2025 B． C．1012 D． 【答案】D 【详解】依题意，当时，， 所以，则 ， ， 两式相加可得，所以， 故选：D． 44．若直线与函数的图象恰有三个交点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．无法确定 【答案】B 【详解】由题意知直线过定点， 函数满足 ， 所以函数的图象的对称中心为， 不妨设关于对称，则， 所以． 故选：B 【点睛】方法点睛： 对于直线过定点问题，通常将直线方程进行变形，使其含有参数的部分与不含参数的部分分别组合，令参数的系数为，即可求出定点坐标. 研究函数的对称性时，通过计算的值来判断函数是否关于点对称. 在解决直线与函数图象交点问题时，如果发现函数具有对称性，可以利用对称性简化计算. 45．已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，… ，则（    ） A．9 B． C．12 D． 【答案】D 【详解】由已知得，所以关于点对称， 令，则 ， 所以关于点 对称， 所以两函数图象的交点也关于点对称， ， 故选：. 46．已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得直线恒过点，且关于对称． 函数满足，则函数的对称中心为， 所以，， 所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数对称性得出的对称中心为，再结合直线过定点即可求得结果. 09 周期性对称性的综合应用 47．若定义在上的函数满足是奇函数，，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】A 【详解】由得，函数的周期为4， 又是奇函数，所以函数的图象关于对称，即， 因为 ，令可得 令得：，所以， 故. 故选：A. 48．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A．2023 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，， 因为，所以， 可得，所以的周期为4， 故，，又，所以， ，所以， 则. 故选：C. 49．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵是奇函数，∴①； ∵是偶函数，∴②. 令，由①得：，由②得：， ∵，∴，即， 令，由①得：，∴，∴， 解得：，，∴. 而，故，故周期为4， ∴ . 故选：D. 50．已知函数的定义域均为，的图象关于点中心对称，，，，则（    ） A． B．2 C． D．1003 【答案】C 【详解】因为的图象关于点中心对称，所以①． 因为，所以②． 因为③，所以④． ③④得，，所以是上的偶函数， 所以①可变形为，则， 故，所以是以4为周期的周期函数． 由④可得，则也是以4为周期的周期函数． 因为，又， 所以，所以． 故选：C． 【点睛】方法点睛：求解函数性质综合问题时，往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证明，结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可. 51．已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】因为的图象关于对称，所以． 因为①，则， 即②， ①②得，， 所以的图像关于对称． 令，则是奇函数， 所以，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数． 因为，所以． 因为是以4为周期的周期函数， 所以也是以4为周期的周期函数， 由，取，，所以． 因为，所以， 所以． 由，取，所以， 所以， 所以. 故选：B． 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下 （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心. 10周期性奇偶性的综合应用 52．已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】是偶函数，， 则，从而， 又是奇函数，则， ，进而， 所以是周期为的周期函数， 又当时，，则， 所以. 故选：D. 53．已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【详解】因为是定义在上的奇函数，且为偶函数， 所以，且， 则，即， 所以，即是以6为周期的周期函数. 又，， 所以， ， ， 所以. 故选：C. 54．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（   ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点中心对称，则. 因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线轴对称. 由，得，所以①， 则， 则，， 又由①知，则， 故选：A. 55．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且 ，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【详解】由题意得. 又因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 所以， 所以，即的周期为4. 所以. 又因为，所以. 故选：C. 56．已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（   ） A．80 B．75 C．70 D．65 【答案】B 【详解】因为为偶函数，则，求导可得， 因为，， 则，可得， 且，则，可得， 即，可得，可知8为的一个周期， 且， 对于，， 令，可得，，可得， 所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 57．已知函数的定义域为，若，都是奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为奇函数可得， 两边分别求导可得， 即，故，所以， 又为奇函数，所以，可得， 故，从而， 故是的一个周期， 在中，分别令和可得：，， 所以． 由为奇函数可得， 故，所以． 故选：A. 【点睛】方法点睛：周期性的相关结论： ①，则周期； ②，则周期； ③，则周期. 11奇偶性对称性的综合应用 58．已知是定义在上的偶函数，其图象关于点中心对称，且时， ，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【详解】因为的图象关于点对称，所以， 将代入，可得， 由是偶函数，所以. 故选：C. 59．函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵是奇函数， ∴，即关于点对称． 又函数的定义域为，故． 当时， 令，即，解得． 根据对称性可知当时，． 综上所述，的解集是． 故选：B． 60．已知函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】因为函数为偶函数，所以， 即函数的图象关于直线对称； 因为函数为奇函数， 所以，即函数的图象关于点中心对称. 又当时，， 所以. 故选：C 61．已知及其导函数的定义域为，为偶函数，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由为偶函数，得，则． 两边取导数，得①． 由的图象关于点对称，得②． ①②，得，所以， 则数列中所有奇数项是公差为2的等差数列，所有偶数项是公差为2的等差数列． 在中，令，得． 在中，令，得． 在中，令，得， 所以， 所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以， 则． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题将抽象函数的奇偶性与图象的对称性、导函数、等差数列的判定与前项和等多个知识点巧妙地结合起来，体现了基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求．求解过程中挖掘出等量关系是解题的关键，这个等式架起了一座桥梁，实现了从函数到数列的转化，体会数列是一种特殊的函数． 12函数性质的全部综合应用 62．已知函数的定义域为，，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为①，所以， 所以，所以的周期为4，， 令，由①得，所以， 因为为偶函数，所以②， 令，得， 结合①，得③， 令，由②得，所以， 由③得，所以， 令，由③得，所以， 由函数的周期性得， . 故选：C. 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 63．已知可导函数 的定义域为， 为奇函数，设 是 的导函数， 若 为奇函数，且 ，则 （    ） A．-1012 B．-506 C．506 D．1012 【答案】D 【详解】∵为奇函数，∴，∴两边求导得， ∵，可知关于直线对称， 又∵为奇函数，则，可知关于点对称， 令，可得，即， 由可得， 由，可得，即，可得 ，即， 令，可得； 令，可得 ; 且，可知8为的周期， 可知，，， 所以 故选: D 【点睛】方法点睛：本题利用函数的奇偶性得到对称性，然后对函数自变量进行转化，求出几个特殊点（偶数）的函数值，利用周期性得到规律，然后求出的值. 64．设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数x，y均有，则（   ） A．0 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】B 【详解】令，则，∴． 令，则， 又，． 令，则， ∴函数的图象关于直线对称． 令，则， ∴ ∴的图象关于点对称． ∴， ∴是周期的函数． 又，，，， ∴当为偶数时，． 当为偶数时，也为偶数，此时； 当为奇数时，令，，则． ． 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题解题关键是通过对抽象函数关系进行赋值法求出特殊函数值，发现函数的周期，利用函数周期性结合分类讨论思想来求解. 65．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】根据，以代换得：，所以，可知函数的周期为4， 因为是上的奇函数，所以，即关于点对称， 于是，， 由，取得，即， 则，因此，取，得， 于是 ， 因此，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断函数的周期性和对称性. 66．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 【答案】D 【详解】由是奇函数，知的图象关于点对称， 所以，，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以. 则，所以，所以为偶函数，则也为偶函数，故，项错误. 由，得，所以，故项错误. 因为，所以，所以函数的周期为. 由，得，所以. 因为，所以， 所以， 因为，所以，故正确. 故选：. 67．已知是定义在上且不恒为0的连续函数，若，，则（   ） A． B．为奇函数 C．的周期为2 D． 【答案】D 【详解】令得，因为不恒为，所以，所以A错误； 令得，得，则为偶函数，所以B错误； 令得，则， 则，得周期为4，所以C错误； 令得，，即， 令得，即关于中心对称 ，即， 所以，所以D正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于抽象函数的求值或函数性质的求解策略： （1）对于抽象函数的基本性质的求解，通常借助合理赋值，结合函数的单调性、奇偶性的定义，进行推理，得出函数的基本性质，有时借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； （2）解答抽象函数的周期性问题时，通常先利用周期性中为自变量所在区间，结合函数的奇偶性和对称性进行推理，得到，求得函数的周期； （3）解答抽函数的求值问题时，通常利用合理赋值，再结合函数的对称性和周期性，进行求解. 68．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，显然恒成立． 当时，可以理解为将的图象向右平移个单位长度后，得到的的图象始终在的图象的下方（或重合）． 当时，由的图象可知， ，则，解得；    当时，作出函数的图象如下图所示：      由图可知，函数在上为增函数， 对任意的且时，，恒成立. 综上所述，的取值范围为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是要作出图形，将题目中的不等关系利用图象直观地显示出来，结合图形求解. 69．已知是上的减函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则，， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，则，所以． 设，则． ，计算并列表如下． 的范围或取值 1 0 又，所以，所以． 由上可知，又单调递减， 所以，即. 故选：C． 70．已知可导函数的定义域为是的导函数，且均为奇函数，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】因为为奇函数，则，即， 两边求导得， 所以关于直线对称， 即，∴① 又因为为奇函数，则， 即，可知关于点对称， 即②， 由①②得，，，即8为的周期． 注意到， 所以， . 故选：D． 71．已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由，得， 因为是奇函数，所以也是奇函数，所以，. 又，所以， 即，所以，所以8是的一个周期， 所以， 由，得. 由，得， 又，所以， 所以，即，所以， 所以8也是的一个周期， 所以，得， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解函数值或求和问题时，经常利用函数奇偶性以及整体代换和赋值法求得对应的周期，再由周期性的应用即可得出结果. 72．已知函数的定义域为，且当时，，则下列正确的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．当时， D．当时， 【答案】D 【详解】对于A，由， 令，则，得， 令，得，由 整理可得. 由题可知不恒为0，故，即，故是奇函数，故A错误； 对于B，设，则，， 故，，， ， 故，即是上的增函数， 又是奇函数，故是R上的增函数，所以不是周期函数，故B错误； 对于C，当时，则， ，故C错误； 对于D，当时，，即， ，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用条件结合函数单调性的定义判断是R上的增函数. 1．已知.若是以2为最小正周期的周期函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为是以2为最小正周期的周期函数，所以 ， 所以 解得. 故选:B 2．若偶函数的定义域为，且其图象与有相同的对称轴，若当时，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的对称轴为， 即函数的对称轴为，所以． 因为当时，， 所以当时，函数单调递减， 则当时，函数单调递增， 结合为偶函数，对称轴为， ， ， 所以， 即． 故选：B 3．已知定义在上的函数满足，①，② 为奇函数，③当时，恒成立.则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得的周期为， 因为为奇函数，则， 又因为的周期为，所以，即为奇函数， 因为时，，所以在上单调递增， 因为为奇函数，所以在上单调递增，所以在上单调递增， 因为的周期为，，， ，所以， 即.   故选：A. 4．定义在上的函数可表示为一个奇函数与偶函数的和，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域关于原点对称，可得，即，即定义域为． 又，从而有，即， 解得，是上的减函数． 又函数为奇函数，故， 因此解得， 故选：D． 5．已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是周期为4的周期函数， 所以时，， 所以，即， 故选：C 6．已知等差数列，公差为，则下列命题正确的是（    ） A．函数可能是奇函数 B．若函数是偶函数，则 C．若，则函数是偶函数 D．若，则函数的图象是轴对称图形 【答案】D 【详解】对于A，若函数是奇函数，则， 可得，所以，此时，， 此时函数是偶函数，故A错误； 对于B，当时，，所以， ，函数是偶函数， 则，故B错误； 对于C，若，则，则，所以， 则，所以函数不是偶函数，故C错误； 对于D，若，则， ，所以， 所以函数的图象关于对称，是轴对称图形，故D正确. 故选：D. 7．定义在上的函数和的最小周期分别是和，已知的最小正周期为1，则下列选项中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则有， 若，则，此时，有，此时，故A错误； 若，则，因为，此时，而的整数倍，相同的最小的数为， 所以，此时，故B错误； 若，则，因为，此时，而的整数倍，相同的最小的数为， 所以，此时，故C错误； 若，则，因为，此时，而的整数倍，相同的最小的数为， 所以，此时，故D正确； 故选：D 【点睛】关键点点睛：当两个最小正周期不同的函数相互加或减的时候，形成的新函数的周期为初始两个函数周期的整数倍，且相同的最小的数. 8．已知，为偶函数，当时，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，是在上递增的奇函数， 当时，，是偶函数，且单调递减， 且，， ， C不成立，D不成立；， A不成立，B成立； 故选：B． 9．数学上，常用表示不大于x的最大整数．已知函数，则下列正确的是（ ）． A．函数在定义域上是奇函数 B．函数的零点有无数个 C．函数在定义域上的值域是 D．不等式解集是 【答案】B 【详解】设，A选项，，， 因，则不是奇函数，故A错误； B选项，令，即函数的零点有无数个，故B正确； C选项，若，则， 但，则，即函数在定义域上的值域不是，故C错误. D选项，，故D错误. 故选：B 10．函数满足，令，对任意的，都有，若，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 即，， 故，所以是奇函数， 令，解得：， 故，解得：，则， 令，解得：， 故，解得：，则， 依次可得： ，解得：，则， 则，故， 中，令得：， 所以, 故选：A 【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下： 若，则函数关于对称； 若，则函数关于中心对称； 若，则是的一个周期 1．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$