第03讲 等比数列及其前n项和（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 等比数列及其前n项和 目录 01 常考题型过关练 题型01 等比数列项、公比及通项公式的求解 题型02 等比中项的应用（含等差等比混考） 题型03 等比数列的性质 题型04 等比数列前n项和的求解 题型05 等比数列前n项和的性质 题型06 等比数列通项公式与前n项和的关系 题型07 等比数列的函数特性与最值 题型08 等比数列中的数学文化 题型09 等比数列的证明 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 等比数列项、公比及通项公式的求解 1．等比数列，，，，……，则数列的第七项为（    ） A． B． C． D． 2．已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． 4．若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．若数列为等比数列，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 02 等比中项的应用（含等差等比混考） 6．若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（    ） A． B． C．-1 D．1 8．已知公差不为0的等差数列，前n项和为，满足，且，，成等比数列，则（   ） A．2 B．6 C．5或6 D．12 9．等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（    ） A． B． C．5 D．25 10．已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（    ） A．－64 B．－8 C． D． 03 等比数列的性质 11．在等比数列中，若，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 12．在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D． 13．在等比数列中，，则等于（    ） A．或 B． C． D．或 14．在等比数列中，若，，则（   ） A．1 B． C． D． 15．等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．5 B．10 C．4 D． 04 等比数列前n项和的求解 16．记是等比数列的前n项和．若，，则 ． 17．已知为数列的前项和，若，则 ． 18．已知等比数列的前项和为，若，则 . 19．已知等差数列前项和为，，. (1)求数列的通项公式及前项和; (2)设，求数列前项和. 20．已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 05 等比数列前n项和的性质 21．记等比数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 22．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 23．在等比数列中，前n项和为， ， ，则+（    ） A．22 B．210 C．640 D．2560 24．已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 25．已知数列的前项和、前项和、前项和分别为、、，则“为等比数列”的一个必要条件为（    ） A． B． C． D． 06 等比数列通项公式与前n项和的关系 26．已知数列的前项和，求的通项公式 . 27．记数列的前n项和为，若，则数列的通项公式为 ． 28．数列中，，其前项和满足，则的通项公式为 . 29．已知数列的前项和为，若，()，则 . 30．设数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 . 07 等比数列的函数特性与最值 31．设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为 . 32．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 33．设各项均为正数的等比数列的公比为，且，则“为递减数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 34．已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35．在无穷项等比数列中，为其前n项的和，则“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 08 等比数列中的数学文化 36．中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里．”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（    ） A． B． C． D． 37．“提丢斯数列”是由18世纪德国数学家提丢斯给出,具体如下：0,3,6,12,24,48,96,192,…,容易发现,从第三项起,每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4,7,10,16,28,52,100,196,…,再将每一项除以10得到“提丢斯数列”,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,…,则“提丢斯数列”的前50项的和为（    ） A． B． C． D． 38．我国古代著作《庄子氏·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 其含义是:一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为，数列 的前 项和为，则使得不等式 成立的正整数 的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D． 39．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 40．当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源､交通､信息通信等领域有关技术加速融合，电动化､网联化､智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（    ）参考数据：，结果精确到0.1） A．320.5亿元 B．353.8亿元 C．363.2亿元 D．283.8亿元 09 等比数列的证明 41．已知数列满足，. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 42．设数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式． 43．已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 44．已知数列的前n项和为，且. (1)求出，并求出与的递推关系； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值. 45．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字命名的函数称为高斯函数，函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.已知数列满足，. (1)求. (2)证明：数列是等比数列. (3)求的个位数. 46．已知数列满足,（）. (1)记（），证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设（），且数列的前项和为，求证：（）. 47．已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 1．如图是著名的“科赫曲线”也叫“雪花图形”是这样描述的：从一个正三角形开始，每一次将每条边三等分，在每条边上的中间两个三等分点处向外构造一个正三角形，并去掉此正三角形在原来线段上的一条边，形成新的图形，如此继续操作下去，这种图形就叫“科赫曲线”，若第一幅图的周长为3，则第5幅图形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．为公差不为零的等差数列，是其前项和，是等比数列，是其前项和，则下列说法正确的是（    ） A．对任意，，如果，那么 B．存在，，满足，且 C．对任意，，如果，那么 D．存在，，满足，且 4．类比数列，我们把一系列向量按照一定的顺序排列，可得到向量列.已知向量列满足，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若数列满足（且），则称数列为“幂数列”．已知正项数列是“幂2数列”且，设的前项积为，则（    ） A．1024 B．1023 C． D． 6．已知数列，分别为等差数列和等比数列，为递减数列，为递增数列，且的和有最大值．， ，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续.设初始正方形的边长为，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列，若的前n项和为，令，其中表示x，y中的较大值.若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．佛山第一峰位于高明区皂幕山，其海拔最高达到804.5米.要登上皂幕山的最高峰，一共需要走6666级阶梯.小明和小吉同时从第1级阶梯出发登峰，假设他们在前30分钟中，每分钟走50级阶梯，由于体力有限，小明每隔30分钟，其每分钟走的阶梯数减少5级，而小吉每隔30分钟，其速度降低10%，直到登上最高峰，则（    ）（参考数据：，，，） A．小明到达最高峰的时间比小吉早超过30分钟 B．小吉到达最高峰的时间比小明早超过30分钟 C．小明到达最高峰的时间比小吉早，但差距不超过30分钟 D．小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过30分钟 9．若数列为正项等比数列，，数列为公差为6，首项为1的等差数列，则数列前5项和的最小值为（    ） A． B． C． D．65 10．设，已知，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 2．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求 ； 3．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 6．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等比数列及其前n项和 目录 01 常考题型过关练 题型01 等比数列项、公比及通项公式的求解 题型02 等比中项的应用（含等差等比混考） 题型03 等比数列的性质 题型04 等比数列前n项和的求解 题型05 等比数列前n项和的性质 题型06 等比数列通项公式与前n项和的关系 题型07 等比数列的函数特性与最值 题型08 等比数列中的数学文化 题型09 等比数列的证明 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 等比数列项、公比及通项公式的求解 1．等比数列，，，，……，则数列的第七项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该等比数列为，数列的公比为， 由已知，，， 所以， 所以数列的通项公式为， 所以. 故选：A. 2．已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】设公比为，则， 解得或. 故选：D 3．已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为为等比数列且通项公式为， 所以公比， 故选：A. 4．若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 所以， ∴，， 所以. 故选：B. 5．若数列为等比数列，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因数列为等比数列，不妨设公比为，则，由可得，故，而， 由知，当且仅当时取等号，而，故， 此时，故“”是“”的充分条件； 由可得，则，而， 故不一定能得到. 如时，满足，但是， 故“”不是“”的必要条件. 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 02 等比中项的应用（含等差等比混考） 6．若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列是等比数列， 所以，解得或， 当时，不满足，故舍去； 当时，经检验符合题意，所以. 故选：B 7．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（    ） A． B． C．-1 D．1 【答案】A 【详解】依题意，，所以. 故选：A 8．已知公差不为0的等差数列，前n项和为，满足，且，，成等比数列，则（   ） A．2 B．6 C．5或6 D．12 【答案】B 【详解】，， 设公差为，则，解得或4， 当时，，舍去， 当时，，故. 故选：B 9．等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，则，，， 由题意可知，，即， 解得：或（舍）， 则数列的前5项和. 故选：A 10．已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（    ） A．－64 B．－8 C． D． 【答案】B 【详解】由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择1和4， 设等比数列的公比为， 当时，，所以，所以，所以； 当时，，所以，所以，所以； 综上，的最小值为－8. 故选：B 03 等比数列的性质 11．在等比数列中，若，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由于是等比数列，且，， 所以， 故选：C. 12．在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在等比数列中，若，则， 由等比数列的性质可得，故. 故选：B. 13．在等比数列中，，则等于（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】因为是等比数列，所以，又， 所以和为方程的两个根，解得或. 若等比数列的公比为，则，所以或. 故选：A. 14．在等比数列中，若，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】等比数列中，，则， 故. 故选：C. 15．等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．5 B．10 C．4 D． 【答案】A 【详解】由题有，则 . 故选：A. 04 等比数列前n项和的求解 16．记是等比数列的前n项和．若，，则 ． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，则由题得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 17．已知为数列的前项和，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，当时，，解得， 当时，所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 所以. 故答案为： 18．已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，由题意得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 19．已知等差数列前项和为，，. (1)求数列的通项公式及前项和; (2)设，求数列前项和. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，，解得， 则，； （2）由，可知数列为等比数列， 其首项为2，公比为2，故数列的前项和. 20．已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为， 由可得， 解得， 所以. （2）由（1）可知， 易知是公比为4的等比数列， 所以可得. 05 等比数列前n项和的性质 21．记等比数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为（）， 则，解得：， 又， 所以， 故选：C. 22．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 【答案】B 【详解】因为所以，则， 由等比数列的前项和的性质可知， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， ，即， 所以 . 故选：B. 23．在等比数列中，前n项和为， ， ，则+（    ） A．22 B．210 C．640 D．2560 【答案】C 【详解】由，由题设易知：、、、成等比数列， 所以，即， 同理，即. 故选：C 24．已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 【答案】D 【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列， 则，设，则，∵等比数列中，， ∴解得，，故，∴， 故选：D． 25．已知数列的前项和、前项和、前项和分别为、、，则“为等比数列”的一个必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，要成为“为等比数列”的必要条件， 则“为等比数列”推出该条件成立， 对于ACD，当为等比数列时，不妨取数列，， 则， 此时，故A错误； 此时，故C错误； 此时，故D错误； 对于B，当为等比数列时，设等比数列的公比为， 则， ， ， 所以，即， 所以，故B正确. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析出“为等比数列”的必要条件是由其推出，再举反例轻松排除错误选项，从而得解. 06 等比数列通项公式与前n项和的关系 26．已知数列的前项和，求的通项公式 . 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 而不适合上式， 故的通项公式为. 故答案为：. 27．记数列的前n项和为，若，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由，可得，即； 时，即有 设，解得，又， 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，即有， 所以， 故答案为：. 【点睛】本题考查根据数列的和的关系得出数列的通项公式的问题，关键在于将既含有又含有的式子，转化成只含有或只含有的式子，再构造新数列使之成等差数列或等比数列，属于中档题. 28．数列中，，其前项和满足，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】由题意，数列中，前项和满足， 因为，可得，则， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以， 当时，， 当时，，不适合上式， 故， 故答案为：. 29．已知数列的前项和为，若，()，则 . 【答案】 【解析】当时求得，当时，利用与的关系可证得数列从第二项开始为等比数列，由等比数列通项公式求得时的通项公式，综合可得结果. 【详解】当时，； 当时，，， 数列从第二项开始为等比数列，； 经检验：不满足. 综上所述：. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：在利用与关系求解数列通项公式时，需注意验证首项是否满足时所求解的通项公式，若不满足，则通项公式为分段数列的形式. 30．设数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】解：由题意得： 则当时， 于是 又当时， 故数列是首项为公比为的等比数列 所以 故答案为： 07 等比数列的函数特性与最值 31．设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为 . 【答案】 【详解】根据题意，设正项等比数列的公比为，其中， 因为，可得，解得或， 因为，所以，所以， 则，故， 当时，则由， 则有， 所以数列中最大的项为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及其应用，以及数列的函数特性，其中解答中熟记等比数列的公式，进而得出数列的通项公式，结合数列的函数特性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 32．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 【答案】6或7 【详解】由题意可知，，数列单调递减，若最大时， 即，解得：， 所以或7. 故答案为：或 33．设各项均为正数的等比数列的公比为，且，则“为递减数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意得，且， ∴. 若为递减数列，则，故，充分性成立. 若，则，故，为递减数列，必要性成立. 所以“为递减数列”是“”的充分必要条件. 故选：C. 34．已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当首项时，若，此时数列单调递减， 如，因此充分性不成立； 若数列单调递增，当首项，时，满足题意， 如，可知必要性不成立； 综上可知，甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D 35．在无穷项等比数列中，为其前n项的和，则“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】设公比为，当，时，， 此时， 故，所以为单调递增数列，此时无最大值， 无最大值， 当，时，， 此时， 故，所以为单调递减数列，此时无最小值， 无最大值， 当时，时，， 此时， 故，所以为单调递减数列，此时无最小值， 无最小值， 当时，时，， 此时， 故，所以为单调递增数列，此时无最大值， 无最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于0， 故有最大值，也有最小值， 若且，， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 若且，， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于正无穷或负无穷， 故无最大值，也无最小值， 此时无最大值，无最小值， 当时，为常数列，此时有最大值，也有最小值， 此时无最大值或无最小值，故充分性不成立， 当时，有最大值，也有最小值， 此时有最大值和最小值， 综上，当既有最大值，又有最小值时，既有最大值，又有最小值， 必要性成立， 故“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的必要不充分条件. 故选：B 08 等比数列中的数学文化 36．中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里．”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该马第天行走的里程数为， 由题意可知，数列是公比为的等比数列， 所以该马七天所走的里程为，解得， 故该马第五天行走的里程数为． 故选：C． 37．“提丢斯数列”是由18世纪德国数学家提丢斯给出,具体如下：0,3,6,12,24,48,96,192,…,容易发现,从第三项起,每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4,7,10,16,28,52,100,196,…,再将每一项除以10得到“提丢斯数列”,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,…,则“提丢斯数列”的前50项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“提丢斯数列”为,则当时,, 所以,当时,,满足该式,当时,, 所以， 所以“提丢斯数列”的前50项的和为． 故选：D. 38．我国古代著作《庄子氏·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 其含义是:一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为，数列 的前 项和为，则使得不等式 成立的正整数 的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】B 【详解】由题意可知：，故， 若，则， 由于 故使得不等式 成立的正整数 的最小值为5， 故选：B 39．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】A 【详解】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半， 所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 由题意得，即，则， 令，则，，解得，即， 又，，所以需要经过的时间最少为3天. 故选：. 40．当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源､交通､信息通信等领域有关技术加速融合，电动化､网联化､智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（    ）参考数据：，结果精确到0.1） A．320.5亿元 B．353.8亿元 C．363.2亿元 D．283.8亿元 【答案】B 【详解】设第年每辆车的利润为万元，则每辆车的利润是以2为首项，0.2为公差的等差数列， 所以，设第年新能源汽车的销量为辆， 则该汽车的销量是以100000为首项，1.2为公比的等比数列，所以， 设该车企销售新能源汽车的总利润为， ①， ，② ①-②得： ， 所以万元，即亿元， 故选：B. 09 等比数列的证明 41．已知数列满足，. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为. 又，故数列是首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）有，可得， 所以有. 42．设数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，，得， 由， 得， 所以， 故数列是以为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得，则， 则；；， ． 由累加法可得， 又，则，同时满足上式， 所以． 43．已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【答案】(1) (2)证明见详解； 【详解】（1）当时，， 当时，， （2）∵， ∴得到，∴， 又满足上式，∴， 则代入①得：， 则 ∴，且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴ 44．已知数列的前n项和为，且. (1)求出，并求出与的递推关系； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)， (2)证明见解析， (3) 【详解】（1）当时，，而， 所以，解得9， 当时， ，， 得：，整理得：， 经检验，，满足上式， 所以； （2）由得 ， 又， 所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以 . （3）由题意， 由（2）可知： ， 所以，所以，令， 则，而， 所以，即数列单调递减， 故，所以，所以的最小值为. 45．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字命名的函数称为高斯函数，函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.已知数列满足，. (1)求. (2)证明：数列是等比数列. (3)求的个位数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）将代入， 得. （2）由题可得为正整数，则， 所以数列为递增数列， 当时，. 当时，，即， 所以，即. 由. 结合，均为正整数，可得，其中， 而，故，其中. 所以，由，得， 所以，故数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）可得，， ， 因为为10的倍数， 所以，故的个位数为4. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于先适当放缩确定，结合，均为正整数， 确定. 46．已知数列满足,（）. (1)记（），证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设（），且数列的前项和为，求证：（）. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析 【详解】（1） ， 又， 所以，数列为以为首项，为公比的等比数列. 由等比数列的通项公式知. （2）由（1）可知，又，. 设，则， 设，， ，， 故. （3）， ， 所以欲证，只需证， 即证. 设， ，故在上单调递减，， 时，. ，得证. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）问，通过放缩，得到，从而将问题转化成求证，再构造函数，利用函数的单调性，得到，即可求证. 47．已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）已知， 则. 又，，所以. 那么（常数）. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，等式两边同时除以得：. 设，则，且. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 因为，所以. （3）已知，则. . 所以. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以得：. 因为，，所以，， 则是的倍数，除以余，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【点睛】方法点睛： 证明一个数列是等比数列，通常从数列的递推关系出发，通过变形得到相邻两项的比值为常数，同时要注意验证首项不为0.这种方法在处理给定递推式判断数列类型的问题中经常使用. 当数列的递推关系可以通过变形构造出一个新的等差数列或等比数列时，可利用新数列的性质求出通项公式，再反推原数列的通项公式.这里通过对两边同除以构造出等差数列，是数列通项求解的常用技巧. 对于数列求和问题，裂项相消法是一种重要的方法，适用于通项公式可以拆分成两项之差的形式.在证明数列中不同三项不能构成等差数列时，反证法是常用的证明手段，先假设成立，然后推出矛盾，从而否定假设. 1．如图是著名的“科赫曲线”也叫“雪花图形”是这样描述的：从一个正三角形开始，每一次将每条边三等分，在每条边上的中间两个三等分点处向外构造一个正三角形，并去掉此正三角形在原来线段上的一条边，形成新的图形，如此继续操作下去，这种图形就叫“科赫曲线”，若第一幅图的周长为3，则第5幅图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】观察图形可知，各个图形的周长依次排成一列构成数列， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的， 因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的， 即有，因此数列是首项，公比为的等比数列， 所以，求得． 故选：D 2．设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 若，则，，此时不存在符合题意的，所以. 若，则， 当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使. 当时，， 其中，，所以，此时不存在符合题意的. 当时，， 其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的； 当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 3．为公差不为零的等差数列，是其前项和，是等比数列，是其前项和，则下列说法正确的是（    ） A．对任意，，如果，那么 B．存在，，满足，且 C．对任意，，如果，那么 D．存在，，满足，且 【答案】C 【详解】对于A：是首项为，公差为，则满足， 但不满足，故A错误； 对于B：若，则可得或或或， 不妨取，由等差数列的前项和公式可得， 所以，故B错误； 对于C：若，则或或或， 显然公比，由等比数列前项和公式可得， 故，所以必为偶数，可得，所以，故C正确； 对于D：，则等比数列的公比为，则，故，故D错误. 故选：C. 【点睛】考查等比数列，等差数列的项和公式的应用，以及等比，等差数列的性质，灵活运用是关建, 4．类比数列，我们把一系列向量按照一定的顺序排列，可得到向量列.已知向量列满足，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 则，其中， 则是以为首项，2为公比的等比数列， 则，则. 故选：B. 5．若数列满足（且），则称数列为“幂数列”．已知正项数列是“幂2数列”且，设的前项积为，则（    ） A．1024 B．1023 C． D． 【答案】D 【详解】∵正项数列是“幂2数列”， ∴，又∵， ∴，解得或（舍去）， ∵， ∴，即， 又， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴, ∴ ， 所以． 故选:D. 6．已知数列，分别为等差数列和等比数列，为递减数列，为递增数列，且的和有最大值．， ，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意得：等差数列递减，所以公差，等比数列递增，所以公比， 由， 联立上式消可得：， 再消得：，所以，， 因为，，所以，， 解得， 所以有 因为，所以上式， 故选：B. 7．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续.设初始正方形的边长为，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列，若的前n项和为，令，其中表示x，y中的较大值.若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的前n项和为， 所以当时，， 又当时，，符合上式， 所以数列的通项公式， 数列满足， 因为，公比， 所以， 所以， 因为数列是递减数列，而是递增数列； ，其中表示x，y中的较大值.若恒成立， 所以是数列中的最小项， 所以当时，则，即，解得， 当时，则，即，解得， 取并集可得， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题中集合新定义是取较大者，这样就转化成比较和的大小问题了，利用已知求出数列和的通项公式再比较大小可确定，最后由不等式恒成立，列不等式组求出参数范围即可. 8．佛山第一峰位于高明区皂幕山，其海拔最高达到804.5米.要登上皂幕山的最高峰，一共需要走6666级阶梯.小明和小吉同时从第1级阶梯出发登峰，假设他们在前30分钟中，每分钟走50级阶梯，由于体力有限，小明每隔30分钟，其每分钟走的阶梯数减少5级，而小吉每隔30分钟，其速度降低10%，直到登上最高峰，则（    ）（参考数据：，，，） A．小明到达最高峰的时间比小吉早超过30分钟 B．小吉到达最高峰的时间比小明早超过30分钟 C．小明到达最高峰的时间比小吉早，但差距不超过30分钟 D．小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过30分钟 【答案】D 【详解】记第n个30分钟小明和小吉走的级数分别为、， 则由题意可知，且，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列，且是以为首项，为公比的等比数列， 所以且， 所以数列和前n项和分别为： ， ， 所以，， 而，故第6个30分钟小明每分钟走的级数为， 所以小明登上最高峰所需时间为分； 因为， ， 而，故第6个30分钟小吉每分钟走的级数为， 所以小吉登上最高峰所需时间为分，且分， 所以小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过30分钟. 故选：D. 【点睛】思路点睛：依据题意先分别表示小明和小吉第n个30分钟走的级数表达式，进而分别得出两人前n个30分钟走的级数总和表达式，从而依据两个表达式即可计算估计小明和小吉登上最高峰所需的时间，进而得解. 9．若数列为正项等比数列，，数列为公差为6，首项为1的等差数列，则数列前5项和的最小值为（    ） A． B． C． D．65 【答案】A 【详解】因为数列为公差为6，首项为1的等差数列， 所以 若数列为正项等比数列，，设公比为， 则， 所以数列前5项和为， 设，求导可得， 令，可得， 在上为增函数，又， 当时，，所以在上为增函数， 又， 所以当,，，， 所以， 当,, 所以则数列前5项和的最小值为. 故选：A. 10．设，已知，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，故， 故， 故 ， 由于，故. 故选：C 【点睛】关键点点睛： 1．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 【答案】 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 2．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求 ； 【答案】189 【详解】由题意得， 故答案为：189. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【答案】 【详解】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 故答案为： 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 【答案】 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 6．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以 ． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$