第01讲 数列的概念及其表示（含数列周期性单调性和数列通项公式的构造）（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 数列的概念及其表示 （含数列周期性单调性和数列通项公式的构造） 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 数列的相关概念 3 知识点2 数列的通项与通项公式 4 知识点3 数列的表示方法 4 知识点4 数列的分类 5 知识点5 最大（小）项问题 5 知识点6 数列前n项和的定义及an与Sn的关系 5 知识点7 数列的递推关系 6 知识点8 累加法求通项公式 6 知识点9 累乘法求通项公式 6 题型破译 7 题型1 数列的概念及辨析 7 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 根据规律求数列中的项 7 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型3 观察法求数列的通项公式 8 题型4 数列周期性的应用 9 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型5 数列单调性的应用 10 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型6 用an与Sn的关系求通项或项 12 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型7 累加法求数列通项公式 13 题型8 累乘法求数列通项公式 13 题型9 递推数列构造等差数列 14 题型10 递推数列构造等比数列 14 04真题溯源·考向感知 15 05课本典例·高考素材 16 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）数列的概念及其表示 （2）数列的单调性 （3）数学归纳法证明数列问题 （4）累加法求数列通项 （5）由递推数列研究数列的有关性质 单选题 填空题 解答题 / 北京卷T15（5分） 北京卷T10（4分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择题、填空题考查，分值4~5分，难度难题压轴。 核心考查：数列的递推关系与通项公式互化，数列的单调性及周期性，数列的概念及其表示。 易错点：递推关系转化时忽略初始项验证，周期性计算周期错误，单调性证明不严谨（如未讨论所有项符号）。 复习目标： 1.掌握数列通项公式的构造方法（累加法、累乘法、构造等比 / 等差数列），能通过递推关系求通项； 2.分析数列的周期性（通过前几项归纳周期）与单调性（作差 / 商或函数法）； 3.结合数列的函数特性（定义域、最值）解决实际问题，如递推数列的项数范围。 知识点1 数列的相关概念 （1）数列：按照 排成的一列数叫作数列. （2）数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的 ，各项依次称为这个数列的第1项（ ），第2项…… （3）项数：组成数列的 称为数列的项数 自主检测现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点2 数列的通项与通项公式 （1）通项：数列从首项起，每一项都与 对应，所以数列的一般形式可以写成，其中表示数列的第n项（也称n为的序号），称为数列的 ，一般将整个数列简记为 ． （2）通项公式：如果数列第n项与序号n之间的关系可以用来表示，其中是关于n的不含其他未知数的表达式，那么这个公式叫做这个数列的 ． 自主检测1已知数列满足，则（   ） A．18 B． C．45 D． 自主检测2若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 知识点3 数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 知识点4 数列的分类 一般地，项数 的数列称为有穷数列，项数 的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的 ． 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足 ，则是递增数列；若满足 ，则是递减数列；若满足 ，则是常数列． 自主检测1已知，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不确定 自主检测2已知数列的通项公式为，按项的变化趋势，该数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 知识点5 最大（小）项问题 （1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的 ，进一步求出数列的最值． ②利用 求数列中的最大项；利用 求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增 恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 自主检测1已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（   ） A． B． C． D． 自主检测2已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（    ） A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 知识点6 数列前n项和的定义及an与Sn的关系 一般地，给定数列，称 为数列的前n项和. 检验时的是否满足时的通项公式： 将代入时得到的通项公式中，如果计算结果与步骤1中求出的相等，那么数列的通项公式可以统一写成时的表达式；如果不相等，则数列的通项公式需要用分段函数的形式表示，即 . 自主检测已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 知识点7 数列的递推关系 已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以 ，则称这个公式为数列的 （递推公式或递归公式）． 自主检测已知数列满足，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 知识点8 累加法求通项公式 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项和可求，就可以考虑使用累加法求通项公式. 自主检测已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 知识点9 累乘法求通项公式 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项积可求，就可以考虑使用累乘法求通项公式. 自主检测已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 题型1 数列的概念及辨析 例1-1已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是（   ） A．该数列是公差为的等差数列 B．该数列的图象只能在第一象限 C．该数列是个有穷数列 D．该数列的图象是直线上满足的点集 方法技巧 （1） 有序性：数列是按顺序排列的数，与集合的无序性不同。 （2） 分类：依项数分有穷 / 无穷数列，依增减性分递增 / 递减 / 常数列等。 （3） 通项意义：通项公式反映项与序号的对应关系，可能不唯一。 （4） 前 n 项和：前 n 项和(Sn)是前 n 项的累加，与通项(an)存在关联。 （5）项的辨析：明确某一项的位置（如第 n 项），注意首项对应序号 1。 【变式训练1-1】数列的通项公式是，，则它的图象是（    ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 【变式训练1-2·变载体】设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-3·变载体】已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型2 根据规律求数列中的项 例2-1已知数列，则是这个数列的（   ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 方法技巧 （1）找规律：观察相邻项的差、比或分组、周期等模式。 （2）递推应用：若为递推数列，代入已知项计算后续项。 （3）周期判断：若数列重复出现，确定周期后用余数定位目标项。 （4）特殊位置：注意有穷数列的首项、末项计算，避免序号错误。 （5）验证：计算后验证是否符合整体规律（如递增趋势、周期长度）。 【变式训练2-1】已知数列，则该数列的第99项为（    ） A． B．197 C． D．199 【变式训练2-2】已知数列1，，，，3，⋯，按此规律，7是该数列的（   ） A．第24项 B．第25项 C．第26项 D．第27项 【变式训练2-3】若一数列为1，，，，…，则（    ） A．不在此数列中 B．是这个数列的第13项 C．是这个数列的第14项 D．是这个数列的第15项 题型3 观察法求数列的通项公式 例3-1数列6，66，666，6666，66666，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 例3-2公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（    ） A．778 B．779 C．780 D．781 【变式训练3-1】数列{an}：1，， ， ，…，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，，则数列的前20项和是（    ） A．110 B．100 C．90 D．80 题型4 数列周期性的应用 例4-1对于数列，若，且，则（   ） A．0 B．-1 C．1 D． 例4-2已知数列满足，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 例4-3已知数列满足，记，则（    ） A． B． C．2024 D． 例4-4数列的前项和与前项积分别为，，已知，，，若，则（ ） A． B． C． D． 方法技巧 （1） 找周期：计算前若干项，观察重复的最小长度。 （2） 余数定位：目标项序号除以周期T，余数对应周期内的位置。 （3） 求和简化：周期内项的和乘以周期数，加剩余项的和。 （4） 项的判断：利用周期重复，快速求远项（如第 100 项）。 （5）验证周期：确认前几项的重复规律，避免误判非连续重复。 【变式训练4-1】若数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】在数列中，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 【变式训练4-4】若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 题型5 数列单调性的应用 例5-1已知数列满足，若，则为（   ） A．等比数列 B．等差数列 C．递增数列 D．递减数列 例5-2设为等比数列，则“存在，使得”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例5-3已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例5-4已知数列前项和为，，，，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 例5-5已知各项非零的递增数列满足：，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 (1)定义法：计算(或比值)，判断正负（或与1的大小）。 (2)函数法：将数列视为函数, 分析单调性（如二次函数看对称轴）。 (3)最值分析：递增数列首项最小，递减数列首项最大；摆动数列看趋势。 (4)参数范围：若含参数，通过单调性条件求参数。 (5)验证：代入相邻项，确认单调性是否符合（如递增数列后项大于前项）。 【变式训练5-1】已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练5-2】设等比数列的前项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练5-3】下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】已知是公比为的等比数列，且其前n项和满足对任意恒成立，则给出的下列结论中不正确的是（    ） A．是递增数列 B．时，是递增数列 C．是递减数列 D．时，是递减数列 【变式训练5-5】在等比数列中，，记，则数列（    ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【变式训练5-6】已知数列满足，（），若是单调递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6 用an与Sn的关系求通项或项 例6-1已知数列中，前n项和，求的通项公式为 . 例6-2已知数列的前项和为，且，则 . 例6-3已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 例6-4已知数列满足，则数列的通项公式为 . 例6-5记等差数列的前项和为，且，则 ． 方法技巧 (1)分段求：时时。 (2)验证将的通项代入, 判断是否合并。 (3)求项：已知, 代 入求(如. (4)递推若含, 联立消元。 (5)注意范围：的通项仅适用于, 需明确标注。 【变式训练6-1】已知数列，为的前n项和，，，则 . 【变式训练6-2】已知为数列的前n项和，，，则 ． 【变式训练6-3】已知正项数列的前项和为，且，则 . 【变式训练6-4·变题型】数列满足，则 . 题型7 累加法求数列通项公式 例7-1已知数列中，，，则 ． 例7-2已知数列满足，，则的通项公式为 ． 例7-3在数列中，，则 . 例7-4已知数列满足，且，则 . 【变式训练7-1】已知数列满足，，则其通项公式为 . 【变式训练7-2】已知数列满足，，则 ． 【变式训练7-3】设数列满足，，，则 ． 题型8 累乘法求数列通项公式 例8-1已知数列中，，则 . 例8-2已知正项数列的前项和为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-1】数列中，若,，则 . 【变式训练8-2】已知是数列的前项和，，，则 . 【变式训练8-3·变题型】已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 题型9 递推数列构造等差数列 例9-1已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【变式训练9-1·变载体】已知数列中，. (1)求； (2)证明：为等差数列； (3)求的前项和. 【变式训练9-2·变考法】已知各项均为正数的数列满足，且成等差数列，成等比数列. (1)求的值； (2)证明：数列为等差数列； (3)记，求数列的前n项和为. 【变式训练9-3·变题型】数列的前项和为，且，当时，. (1)计算：，； (2)证明为等差数列，并求数列的通项公式； 题型10 递推数列构造等比数列 例10-1已知数列中，，且. (1)求，并证明是等比数列； (2)求的通项公式. 例10-2已知函数，数列满足 (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使不等式成立，求实数k的最大值． 例10-3已知数列满足． (1)设，写出； (2)证明数列为等比数列； (3)求数列的前项和． 【变式训练10-1】在数列中，已知，． (1)求，； (2)证明：是等比数列； (3)求数列的前n项和． 【变式训练10-2】已知数列满足，且．设． (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【变式训练10-3·变题型】已知数列有递推关系，，记，若数列的递推式形如（且），也即分子中不再含有常数项. (1)求实数的值； (2)证明：为等比数列，并求其首项和公比. 1．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 2．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 3．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；   ②为等比数列； ③为递减数列；       ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 5．（2021·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： (1)所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列； (2)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； (3)当自变量x依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列； (4)数列的通项公式为 2．根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，，…； （2）1，，，，，…. 3．根据下列条件，写出数列的前5项： （1），； （2），. 4．已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为 ． 5．已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式. 6．已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. 7．已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 数列的概念及其表示 （含数列周期性单调性和数列通项公式的构造） 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 数列的相关概念 3 知识点2 数列的通项与通项公式 4 知识点3 数列的表示方法 5 知识点4 数列的分类 5 知识点5 最大（小）项问题 6 知识点6 数列前n项和的定义及an与Sn的关系 7 知识点7 数列的递推关系 8 知识点8 累加法求通项公式 8 知识点9 累乘法求通项公式 8 题型破译 9 题型1 数列的概念及辨析 9 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 根据规律求数列中的项 11 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型3 观察法求数列的通项公式 12 题型4 数列周期性的应用 14 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型5 数列单调性的应用 17 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型6 用an与Sn的关系求通项或项 22 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型7 累加法求数列通项公式 25 题型8 累乘法求数列通项公式 27 题型9 递推数列构造等差数列 29 题型10 递推数列构造等比数列 32 04真题溯源·考向感知 36 05课本典例·高考素材 44 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）数列的概念及其表示 （2）数列的单调性 （3）数学归纳法证明数列问题 （4）累加法求数列通项 （5）由递推数列研究数列的有关性质 单选题 填空题 解答题 / 北京卷T15（5分） 北京卷T10（4分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择题、填空题考查，分值4~5分，难度难题压轴。 核心考查：数列的递推关系与通项公式互化，数列的单调性及周期性，数列的概念及其表示。 易错点：递推关系转化时忽略初始项验证，周期性计算周期错误，单调性证明不严谨（如未讨论所有项符号）。 复习目标： 1.掌握数列通项公式的构造方法（累加法、累乘法、构造等比 / 等差数列），能通过递推关系求通项； 2.分析数列的周期性（通过前几项归纳周期）与单调性（作差 / 商或函数法）； 3.结合数列的函数特性（定义域、最值）解决实际问题，如递推数列的项数范围。 知识点1 数列的相关概念 （1）数列：按照 一定次序 排成的一列数叫作数列. （2）数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的 项 ，各项依次称为这个数列的第1项（ 首项 ），第2项…… （3）项数：组成数列的 项的个数 称为数列的项数 自主检测现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确； 对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值， 依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确； 对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等， 即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确； 对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 知识点2 数列的通项与通项公式 （1）通项：数列从首项起，每一项都与 正整数 对应，所以数列的一般形式可以写成，其中表示数列的第n项（也称n为的序号），称为数列的 通项 ，一般将整个数列简记为 ． （2）通项公式：如果数列第n项与序号n之间的关系可以用来表示，其中是关于n的不含其他未知数的表达式，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ． 自主检测1已知数列满足，则（   ） A．18 B． C．45 D． 【答案】D 【详解】依题意，，所以，， . 故选：D. 自主检测2若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于B，从前四项看，这是一个以20为首项，以为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式有，故B正确； 对于A，当时，，这与条件不符，故A错误； 对于C，当时，，这与条件不符，故C错误； 对于D，当时，，这与条件不符，故D错误. 故选：B. 知识点3 数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 知识点4 数列的分类 一般地，项数 有限 的数列称为有穷数列，项数 无限 的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的 末项 ． 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足 ，则是递增数列；若满足 ，则是递减数列；若满足 ，则是常数列． 自主检测1已知，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不确定 【答案】A 【详解】由题意可知， 即从第二项起数列的每一项比它的前一项大，所以数列是递增数列； 故选：A 自主检测2已知数列的通项公式为，按项的变化趋势，该数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【答案】B 【详解】因为 ，显然随着的增大，是递增的，故是递减的， 则数列是递减数列. 故选：B. 知识点5 最大（小）项问题 （1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的 单调性 ，进一步求出数列的最值． ②利用 求数列中的最大项；利用 求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增 恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 自主检测1已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当n2时，，即； 当n＝2时，，即； 当n2时，，即. 所以， ， 所以数列中的最大项为 或 ，且. 故选：A. 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题. 自主检测2已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（    ） A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【详解】在等差数列中，设首项为，公差为， 因为， ， 解得， 所以等差数列的通项公式为： ， 所以， 当时，， 当时，， 所以数列有最大项为第1项，有最小项第7或第8项， 故选：C. 知识点6 数列前n项和的定义及an与Sn的关系 一般地，给定数列，称 为数列的前n项和. 检验时的是否满足时的通项公式： 将代入时得到的通项公式中，如果计算结果与步骤1中求出的相等，那么数列的通项公式可以统一写成时的表达式；如果不相等，则数列的通项公式需要用分段函数的形式表示，即 . 自主检测已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 又，不符合上式， 则. 故选：D 知识点7 数列的递推关系 已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以 用一个公式来表示 ，则称这个公式为数列的 递推关系 （递推公式或递归公式）． 自主检测已知数列满足，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，， 则，，，，， 所以数列为周期为4的数列， 则. 故选：A. 知识点8 累加法求通项公式 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项和可求，就可以考虑使用累加法求通项公式. 自主检测已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 知识点9 累乘法求通项公式 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项积可求，就可以考虑使用累乘法求通项公式. 自主检测已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由（），得， 两式相减得（）． 又因为，，所以，可得（）， 即 （）． 易知，即满足上式， 所以（）． 故选：C 题型1 数列的概念及辨析 例1-1已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是（   ） A．该数列是公差为的等差数列 B．该数列的图象只能在第一象限 C．该数列是个有穷数列 D．该数列的图象是直线上满足的点集 【答案】D 【详解】由知数列为等差数列，公差为1，故A错误； 因为，所以数列的图象上有点在x轴上，故B错误； 由通项公式是知，数列是无穷数列，故C错误； 由通项公式是知该数列的图象是直线上满足的点集，故D正确. 故选：D 方法技巧 （1） 有序性：数列是按顺序排列的数，与集合的无序性不同。 （2） 分类：依项数分有穷 / 无穷数列，依增减性分递增 / 递减 / 常数列等。 （3） 通项意义：通项公式反映项与序号的对应关系，可能不唯一。 （4） 前 n 项和：前 n 项和(Sn)是前 n 项的累加，与通项(an)存在关联。 （5）项的辨析：明确某一项的位置（如第 n 项），注意首项对应序号 1。 【变式训练1-1】数列的通项公式是，，则它的图象是（    ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 【答案】B 【详解】数列对应点为， 所以图象是直线上孤立的点. 故选：B 【变式训练1-2·变载体】设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若是常数列，不妨设（为常数），则为常数， 即“是常数列”可推出“是常数列”， 取，，显然有，且是常数列，但不是常数列， 所以“是常数列”推不出“是常数列”，即“是常数列”是“是常数列”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式训练1-3·变载体】已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】当时，；当时，. 仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负. 例如数列为，，，但，所以选项错误. 当时，，则；当时，. 仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负. 例如数列为，，，， 当时，，所以选项错误. 当时，，由可得，但不能得出； 当时，即，可得，同样无法得出. 例如数列为，，满足，但，所以选项错误. 已知，当时，，即； 当时，； ，由可得，那么，所以，即，选项正确. 故选：D. 题型2 根据规律求数列中的项 例2-1已知数列，则是这个数列的（   ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【答案】C 【详解】由数列，可得数列的通项公式为， 令，解得，所以是这个数列的第10项. 故选：C. 方法技巧 （1）找规律：观察相邻项的差、比或分组、周期等模式。 （2）递推应用：若为递推数列，代入已知项计算后续项。 （3）周期判断：若数列重复出现，确定周期后用余数定位目标项。 （4）特殊位置：注意有穷数列的首项、末项计算，避免序号错误。 （5）验证：计算后验证是否符合整体规律（如递增趋势、周期长度）。 【变式训练2-1】已知数列，则该数列的第99项为（    ） A． B．197 C． D．199 【答案】B 【详解】通过观察，该数列的通项公式为， 所以. 故选：B. 【变式训练2-2】已知数列1，，，，3，⋯，按此规律，7是该数列的（   ） A．第24项 B．第25项 C．第26项 D．第27项 【答案】B 【详解】此数列可写为：，，，，，⋯，所以该数列的通项公式为：，，解得， 故选：B． 【变式训练2-3】若一数列为1，，，，…，则（    ） A．不在此数列中 B．是这个数列的第13项 C．是这个数列的第14项 D．是这个数列的第15项 【答案】D 【详解】因为，，，， 所以符合题意的一个通项公式为． 由，解得，所以是这个数列的第15项． 故选：D． 题型3 观察法求数列的通项公式 例3-1数列6，66，666，6666，66666，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】所给数列可以写出， 故. 故选：D 例3-2公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（    ） A．778 B．779 C．780 D．781 【答案】C 【详解】六边形数从小到大排成一列，形成数列， 依题意，，归纳得， 所以. 故选：C 【变式训练3-1】数列{an}：1，， ， ，…，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】观察数列{an}各项，可写成：，选项D满足，选项A中，，选项B中，，选项C中，，均不符合题意． 故选：D 【变式训练3-2】数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据数列的特点，归纳可得其通项公式为：. 故选：D. 【变式训练3-3】大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，，则数列的前20项和是（    ） A．110 B．100 C．90 D．80 【答案】A 【详解】观察此数列可知，当为偶数时，，当为奇数时，， 因为， 所以数列的前20项和为： ， 故选：A 题型4 数列周期性的应用 例4-1对于数列，若，且，则（   ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】B 【详解】因，， 则，，， ，，……， 所以以此类推，对即数列是周期为4的数列， 故. 故选：B. 例4-2已知数列满足，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由题设，，，，， 所以数列的周期为4，且， 所以. 故选：C 例4-3已知数列满足，记，则（    ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【详解】，，， ，……， 故的一个周期为3，且， 故. 故选：C. 例4-4数列的前项和与前项积分别为，，已知，，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 则，又，即， 则， 则，，，， 可得数列是以4为周期的周期数列， 则，，， ，， 所以数列是以4为周期的周期数列， 则，解得， 则， 则， 所以. 故选：D. 方法技巧 （1） 找周期：计算前若干项，观察重复的最小长度。 （2） 余数定位：目标项序号除以周期T，余数对应周期内的位置。 （3） 求和简化：周期内项的和乘以周期数，加剩余项的和。 （4） 项的判断：利用周期重复，快速求远项（如第 100 项）。 （5）验证周期：确认前几项的重复规律，避免误判非连续重复。 【变式训练4-1】若数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，， ，，， ，， 由此可知，从第项起，每个相邻的项周期性地取值， 因，故. 故选：A 【变式训练4-2】在数列中，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以， ， ， ， 所以数列是以4为周期的周期数列， 所以. 故选：C 【变式训练4-3】若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 【答案】B 【详解】由题意可得， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，， 所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列， 则 . 故选：B 【变式训练4-4】若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】因为数列满足，，所以， 同理可得，所以数列{an}的周期为4，即， 且，而， 所以该数列的前2 025项的乘积是. 故选：C. 题型5 数列单调性的应用 例5-1已知数列满足，若，则为（   ） A．等比数列 B．等差数列 C．递增数列 D．递减数列 【答案】D 【详解】根据题意，， 所以，且， 所以数列为以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，则 所以数列为递减数列. 故选：D 例5-2设为等比数列，则“存在，使得”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当“为递增数列”，则“，使得”，所以“存在，使得”是“为递增数列”的必要条件； 当，则，使得，但是“不为递增数列”，所以“存在，使得”是“为递增数列”的不充分条件； 故选：B. 例5-3已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若是递增数列，则对所有的正整数都成立， 充分性：若是递增数列，则 即恒成立，又，， ①若数列为无穷数列， 若，则，时，，所以； 若，则，时，，所以， 此时充分性成立； ②若数列为有穷数列， 若， ，只需即可，此时充分性不成立. 必要性：时， 若，有，则不一定成立，故必要性不成立； 即时，“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 例5-4已知数列前项和为，，，，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【详解】因为中，， 当时，； 当时，，用代替得：， 两式相减得： . 又， 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以. 所以， 由 或. 所以数列中，有：，即数列中，最大，且. 故选：B 例5-5已知各项非零的递增数列满足：，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以， 设，则，所以， 若，则，，矛盾，所以，故， 所以数列为以为首项，公比为2的等比数列， 所以，故， 若，则，数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则，所以数列为递减数列， 且，所以数列为递增数列，满足条件； 当时，，故，所以数列为递减数列， 令，可得， 所以当，且时，， 当，且时，，与条件矛盾， 所以的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确求出数列的通项公式，难点是当时，推导矛盾. 方法技巧 (1)定义法：计算(或比值)，判断正负（或与1的大小）。 (2)函数法：将数列视为函数, 分析单调性（如二次函数看对称轴）。 (3)最值分析：递增数列首项最小，递减数列首项最大；摆动数列看趋势。 (4)参数范围：若含参数，通过单调性条件求参数。 (5)验证：代入相邻项，确认单调性是否符合（如递增数列后项大于前项）。 【变式训练5-1】已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即. 若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出. 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式训练5-2】设等比数列的前项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】充分性： 当时，，所以为递增数列； 当，若时，假设，则数列，则， 所以充分性不成立； 必要性：假设，则数列为， 取，则，，，但， 所以必要性不成立， 故选：D 【变式训练5-3】下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以， 所以数列是递减数列，所以A错误， 对于B，因为，所以， 所以数列是递减数列，所以B错误， 对于C，，所以， 所以数列是递增数列，所以C正确， 对于D，由于，所以数列不是递增数列，所以D错误. 故选：C 【变式训练5-4】已知是公比为的等比数列，且其前n项和满足对任意恒成立，则给出的下列结论中不正确的是（    ） A．是递增数列 B．时，是递增数列 C．是递减数列 D．时，是递减数列 【答案】C 【详解】依题意可知，移项整理得对恒成立． 当时，不满足题意，舍去；当时，得恒成立， 所以或，所以为递增数列，故A正确C错误； 当时，由上面结论可知，所以，故是递增数列，故B正确； 当时，由上述结论可知，所以，故是递减数列，故D正确. 故选：C． 【变式训练5-5】在等比数列中，，记，则数列（    ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为， 由， 则，解得，， 则， 则 ， 设，则， 所以， 则时，，即， 当时，，即， 则，则为最大项， 此时为正数项，且在正数项中最大； 再由,，，因此为最小项. 故选：C. 【变式训练5-6】已知数列满足，（），若是单调递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 若，则，不符合题意. 若，则为等比数列，所以. 当时，为单调递减数列，不符合题意； 当时，为单调递增数列，符合题意. 综上，. 题型6 用an与Sn的关系求通项或项 例6-1已知数列中，前n项和，求的通项公式为 . 【答案】 【详解】①，当时，， 当时，， 显然不满足， 综上，. 故答案为： 例6-2已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【详解】当时，， 当时，不满足上式， 则. 故答案为：. 例6-3已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 【答案】 【详解】 当时，， 当时，也满足， 所以数列的通项公式为． 故答案为：. 例6-4已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 故答案为：. 例6-5记等差数列的前项和为，且，则 ． 【答案】 【详解】由代入已知可得：， 可得是公差为2的等差数列，因为，所以， 即， 所以， 故答案为：. 方法技巧 (1)分段求：时时。 (2)验证将的通项代入, 判断是否合并。 (3)求项：已知, 代 入求(如. (4)递推若含, 联立消元。 (5)注意范围：的通项仅适用于, 需明确标注。 【变式训练6-1】已知数列，为的前n项和，，，则 . 【答案】 【详解】，① ，，② ①②得， . 又，所以， 所以是从第2项开始的等比数列，则， 所以. 故答案为：. 【变式训练6-2】已知为数列的前n项和，，，则 ． 【答案】2024 【详解】当时，由得， 两式相减得，即， 因为，所以由，得， 由，得， 所以数列中所有项都为， 则. 故答案为：. 【变式训练6-3】已知正项数列的前项和为，且，则 . 【答案】2500 【详解】由，当得，解得； 当时，由，得， 两式相减得，整理得. 因为，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列， 从而. 故答案为： 【变式训练6-4·变题型】数列满足，则 . 【答案】 【详解】因为， 当时，， 当时，， 则得：， 所以， 当时，不成立，所以． 故答案为：. 题型7 累加法求数列通项公式 例7-1已知数列中，，，则 ． 【答案】 【详解】由已知得， 再由累加法得： ． 故答案为： 例7-2已知数列满足，，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以 ， 即，，，，， 所以， 即，则， 当时也成立，所以， 故答案为：． 例7-3在数列中，，则 . 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 例7-4已知数列满足，且，则 . 【答案】 【详解】由题得 ， 当时，符合题意， 所以， 故答案为：. 【变式训练7-1】已知数列满足，，则其通项公式为 . 【答案】 【详解】不妨设，则， 由 ， 经检验当时满足，故，解得， 即数列的通项公式为. 故答案为：. 【变式训练7-2】已知数列满足，，则 ． 【答案】 【详解】若，则，即，这与矛盾，所以， 由两边同时除以，得， 则，， ，， 上面的式子相加可得：， 所以， 故答案为：. 【变式训练7-3】设数列满足，，，则 ． 【答案】 【详解】∵，∴且， 当时，有 ， 则 ，① ∴，② ①－②得： ∴ 当时也符合上式， ∴，∴ 故答案为：. 题型8 累乘法求数列通项公式 例8-1已知数列中，，则 . 【答案】 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 例8-2已知正项数列的前项和为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为正项数列的前项和为，，且， 可得，则， 所以，，，，，， 上述等式相乘得， 则， 故当且时，，且满足， 对任意的，，故. 故选：A. 【变式训练8-1】数列中，若,，则 . 【答案】 【详解】若，，则且， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式训练8-2】已知是数列的前项和，，，则 . 【答案】 【详解】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 故答案为：. 【变式训练8-3·变题型】已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，． 由 ，即 根据累加法可得，，当时， 则，当且仅当时等号成立， ， 由累乘法可得，且， 则，当且仅当时取等号， 由裂项求和法得： 所以，即． 故选：A． 【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得． 题型9 递推数列构造等差数列 例9-1已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，即， 又因为，所以是首项为1，公差1的等差数列， 所以，所以． （2）证明：因为， 所以 因为，所以 【变式训练9-1·变载体】已知数列中，. (1)求； (2)证明：为等差数列； (3)求的前项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为，. 所以，即， 所以即. （2）证明：因为， 所以， 又， 所以数列为首项为，公差为2的等差数列. （3）由（2）得 所以， 则， 所以， 所以 ， 所以. 【变式训练9-2·变考法】已知各项均为正数的数列满足，且成等差数列，成等比数列. (1)求的值； (2)证明：数列为等差数列； (3)记，求数列的前n项和为. 【答案】(1)9，6 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为成等差数列，所以， 当时，，即，所以， 因为成等比数列，所以， 当时，，即，所以 （2）由条件可得，且，又， 故，代入中，得时， 有，即， 所以数列为等差数列 （3）由（1）（2）知数列为等差数列且， 所以数列是首项为2，公差1为的等差数列， 得，即， 故，即， 所以时，，且也符合上式，故， 则， 数列的前n项和为， 【变式训练9-3·变题型】数列的前项和为，且，当时，. (1)计算：，； (2)证明为等差数列，并求数列的通项公式； 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【详解】（1）由，， 令，得，又，所以， 令，得，又； （2）因为当时，， 所以， 所以数列为等差数列，首项为，公差为， 所以， 所以， 于是，当时， ， 当时，，满足上式， 故. 题型10 递推数列构造等比数列 例10-1已知数列中，，且. (1)求，并证明是等比数列； (2)求的通项公式. 【答案】(1)，证明见解析； (2) 【详解】（1）由，， 得， ，， ∴， 是首项为1，公比为2的等比数列； （2）由（1）知. 例10-2已知函数，数列满足 (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使不等式成立，求实数k的最大值． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【详解】（1）因为函数，所以， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则有，即， 故数列的通项公式为； （2）由（1）可知：， 所以 （3）由（2）可知：，所以化简为， 因为，所以由，得， 设，则， 由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，于是有时，， 所以，因此， 存在，使得成立， 则有，因此实数k的最大值． 例10-3已知数列满足． (1)设，写出； (2)证明数列为等比数列； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）已知，因为，所以. 当时，，即.   当时，. 先求，因为为偶数，. 再求，因为为奇数，，即.   当时，. 先求，因为为偶数，. 再求，因为为奇数，，即. （2）由可得. 所以. 则. 又. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）可知，则. . 因为，. 所以. 即. 由等比数列求和公式可得. 所以. 【变式训练10-1】在数列中，已知，． (1)求，； (2)证明：是等比数列； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意知，∴． ∵，∴． （2）由，整理得， 又，∴是首项为2，公比为3的等比数列. （3）由（2）可知，∴， ∴ ． 【变式训练10-2】已知数列满足，且．设． (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)4 (2)证明见解析， (3) 【详解】（1）由，， 取，则有，解得. （2）由，， 则 ， 所以，则得， 又， 故数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 则有，则. （3）由（2）知，， 则， 所以， 设， 则， 则， 则， 所以. 【变式训练10-3·变题型】已知数列有递推关系，，记，若数列的递推式形如（且），也即分子中不再含有常数项. (1)求实数的值； (2)证明：为等比数列，并求其首项和公比. 【答案】(1) (2)证明见解析，首项为，公比为 【详解】（1）因为，所以， ， 由已知得， 所以，解得或， 因为，所以. （2）由（1）知，， ，， ， ， 因为， 所以数列为等比数列，首项为，公比为. 1．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 2．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 【答案】B 【详解】法1：因为，故， 对于A ，若，可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立， 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故， 故为减数列，注意 故，结合， 所以，故，故， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，故恒成立仅对部分成立， 故A不成立. 对于B，若可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故，故为增数列， 若，则恒成立，故B正确. 对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为减数列， 又，结合可得：，所以， 若，若存在常数，使得恒成立， 则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误. 对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为增数列， 又，结合可得：，所以， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误. 故选：B. 法2：因为， 令，则， 令，得或； 令，得； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 令，则，即，解得或或， 注意到，， 所以结合的单调性可知在和上，在和上， 对于A，因为，则， 当时，，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：，即， 因为在上，所以，则为递减数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故， 所以在上单调递增，故， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故A错误； 对于B，因为， 当时，，， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 又当时，，即， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 此时，取，满足题意，故B正确； 对于C，因为，则， 注意到当时，，， 猜想当时，， 当与时，与满足， 假设当时，， 当时，所以， 综上：， 易知，则，故， 所以， 因为在上，所以，则为递减数列， 假设存在常数，使得恒成立， 记，取，其中， 则， 故，所以，即， 所以，故不恒成立，故C错误； 对于D，因为， 当时，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，故， 所以， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故D错误. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立. 3．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 4．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；   ②为等比数列； ③为递减数列；       ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由可得，两式作差可得， 所以，，则，整理可得， 因为，解得，①对； 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即， 所以，，可得，解得，不合乎题意， 故数列不是等比数列，②错； 当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对； 假设对任意的，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导. 5．（2021·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】 若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为， 则，， 所以. 对于，， 取数列各项为(，, 则， 所以n的最大值为11． 故选：C． 6．（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】B 【详解】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：， 注意到， 且由可知， 由可知数列不存在最小项， 由于， 故数列中的正项只有有限项：，. 故数列中存在最大项，且最大项为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题. 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： (1)所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列； (2)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； (3)当自变量x依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列； (4)数列的通项公式为 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【详解】（1）根据题意，可知数列的前10项为：4，16，36，64，100，144，196，256，324，400.图象如下： . （2）根据题意，可知数列的前10项为：1，，，，，，，，，.图象如下： . （3）根据题意，可知数列的前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21.图象如下： . （4）根据题意，可知数列的前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11.图象如下： . 2．根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，，…； （2）1，，，，，…. 【答案】（1），（2）, 【详解】（1），，，，，… 所以; （2）由题意， 所以. 3．根据下列条件，写出数列的前5项： （1），； （2），. 【答案】（1）1，3，7，15，31；（2）3，3，3，3，3. 【详解】（1）因为，， 所以， ， ， ， 故数列的前5项分别为1，3，7，15，31. （2）因为， 所以， ， ， ， 故数列的前5项分别为3，3，3，3，3. 4．已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由题意，可知当时，； 当时，. 又因为不满足，所以. 【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5．已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式. 【答案】，，， ，. 【详解】，，， . 猜想. 6．已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. 【答案】（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8；；（2）b12，b2，b3，b4，b5． 【详解】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2， 得a3＝a2+a1＝2+1＝3， a4＝a3+a2＝2+3＝5， a5＝a4+a3＝3+5＝8； （2）依题意有：b12， b2， b3， b4， b5． 7．已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ 【答案】（1）证明见解析；（2）递增数列，证明见解析. 【详解】（1）由题意得，因为为正整数，所以，所以； （2）是递增数列， 证明：因为，所以， 所以，所以是递增数列. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$