第01讲 函数的概念及其表示（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 函数的概念及其表示 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 函数的概念 3 知识点2 函数三要素 4 知识点3 函数相等 4 知识点4 具体函数的定义域问题 4 知识点5 函数的表示方法 5 知识点6 分段函数 5 题型破译 5 题型1 函数关系的判断 5 【方法技巧】函数关系的判断 题型2 求函数值 7 【方法技巧】求函数值 题型3 己知函数值求参数 7 题型4 具体函数的定义域 8 题型5 抽象函数及复合函数的定义域 8 题型6 求分式型、根式型函数值域 8 题型7 求抽象函数、复合函数值域 9 题型8 判断函数相等 10 题型9 函数的图象及其应用 10 题型10 求函数解析式 12 【方法技巧】求函数解析式 题型11 分段函数求值及参数值 13 【方法技巧】分段函数求值及参数值 题型12 分段函数的单调性问题 13 【方法技巧】分段函数的单调性问题 题型13 分段函数的值域问题 14 【方法技巧】分段函数的值域问题 题型14 解分段函数不等式 15 【方法技巧】解分段函数不等式 04真题溯源·考向感知 15 05课本典例·高考素材 16 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）函数的定义域与值域 （2）求函数值 （3）求抽象函数解析式 （4）分段函数的表示 （5）函数的图象及应用 单选题 填空题 解答题 北京卷T7（4分） / 北京卷T11（5分） 考情分析： 在北京高考中，函数的概念及其表示是函数板块基础且关键内容。常结合函数性质、应用等综合考查，虽单独命 题分值不固定，但作为函数知识体系根基，贯穿函数相关考题。核心考查函数概念的理解（对应关系、定义域、值域）、 函数表示方法（解析法、图象法、列表法）及相互转化，聚焦定义域求解（含实际情境限制、抽象函数定义域）、函数 解析式求解（待定系数法、换元法、配凑法等）等易错点。函数值的求解、分段函数的表示及函数图象的应用都需要 重点掌握。 复习目标： 1. 深刻理解函数的定义，明晰函数三要素（定义域、对应关系、值域），能准确判断两个函数是否为同一函数，掌握从实际问题、数学表达式中抽象出函数关系的方法。 2. 熟练掌握函数的三种表示方法，理解各自优缺点及适用场景，能根据需求灵活转化表示形式，如由解析法画图象、由图象写解析式（分段函数等）、用列表法分析函数变化趋势 。 3. 精准求解函数定义域，包括常规函数（分式、根式、对数式等）定义域，抽象函数定义域，以及含实际背景函数的定义域，明确定义域对函数研究的重要性。 4. 灵活运用待定系数法、换元法、配凑法、消元法等求函数解析式，针对分段函数、复合函数等不同类型，准确构建或推导解析式，为研究函数性质、解决函数应用问题奠定基础 。 5. 能结合函数概念与表示，分析简单函数的特性（如单调性、奇偶性初步关联），借助函数表示解决函数求值、方程解的个数（图象法）等问题，强化知识综合运用能力 。 知识点1 函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的 ，在集合中都有 和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ． 自主检测已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的 ，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指： ， ， . （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点3 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 相同， 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 自主检测下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点4 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 自主检测设函数，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 知识点5 函数的表示方法 自主检测1若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 自主检测2已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点6 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 ，有不同的 ，则称其为分段函数. 自主检测已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型1 函数关系的判断 例1-1下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   例1-2中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 函数关系的判断 1. 定义法：看对于定义域内任意一个自变量 x，是否都有唯一确定的 y 值与之对应，满足则是函数关系 。 2. 对应法则法：明确两个变量间的对应规则（如解析式、图表、实际情境等），检查“一个 x 对应唯一 y ”这一核心特征 。 3. 对应关系是一对一，多对一，不能一对多 【变式训练1-1·变载体】下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2·变考法】已知集合，则下列是从集合到集合的函数的为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3·变考法】已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 题型2 求函数值 例2-1已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 例2-2已知定义在上的函数满足，则 ， ． 方法技巧 求函数值 1. 直接代入法：若函数解析式明确，已知自变量具体值（或可通过条件求出），直接将自变量值代入解析式计算 。 2. 反复代入法和等价替换法 【变式训练2-1】已知，则 ． 【变式训练2-2】已知函数满足，且，则 ． 【变式训练2-3】若函数满足，则 ． 【变式训练2-4·变考法】已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3 己知函数值求参数 例3-1已知函数，且，则实数 ． 【变式训练3-1】已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【变式训练3-2】已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【变式训练3-3】设，，则（    ） A． B． C． D． 题型4 具体函数的定义域 例4-1（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【变式训练4-1】（2025·北京·二模）函数的定义域为 ． 【变式训练4-2】函数的定义域为 ． 【变式训练4-3·变考法】（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 题型5 抽象函数及复合函数的定义域 例5-1已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 例5-2已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【变式训练5-2】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【变式训练5-3】已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型6 求分式型、根式型函数值域 例6-1时，的值域为 . 例6-2函数的值域为 . 【变式训练6-1】函数的值域为 . 【变式训练6-2】函数的最大值为 . 【变式训练6-3·变考法】下列函数的值域为是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 题型7 求抽象函数、复合函数值域 例7-1函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例7-2已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 例7-3若函数的值域是，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练7-2】函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型8 判断函数相等 例8-1下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 【变式训练8-1】下列函数相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练8-2·变题型】下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【变式训练8-3·变载体】下列四组函数，表示同一个函数的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型9 函数的图象及其应用 例9-1（2025高三下·北京·专题练习）函数在区间的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练9-1】函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-3·变考法】已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（    ） A． B． C． D． 题型10 求函数解析式 例10-1若函数，则（ ） A． B． C． D． 例10-2已知，则（    ） A． B． C． D． 例10-3已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 例10-4一次函数在上单调递增，且，则 . 方法技巧 求函数解析式 待定系数法（已知函数类型，如一次、二次函数，设出形式求系数 ）。 换元法（令复合式为新元，解出原变量代回 ）。 配凑法（对表达式变形，凑出已知复合结构 ）。 方程组法（针对对称式，联立方程消元 ）。 【变式训练10-1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】若函数，则 ． 【变式训练10-3】已知函数满足，则 . 【变式训练10-4】已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则 ， . 题型11 分段函数求值及参数值 例11-1（2025·北京房山·一模）已知函数，则 . 例11-2已知，若，则 . 方法技巧 分段函数求值及参数值 求值：先判断自变量所在分段区间，代入对应解析式计算 。 求参数：利用分段点处函数值或定义域、值域条件，结合对应区间解析式列方程（组）求解，注意分段点取值合理性 。 【变式训练11-1】已知函数，则的值等于 ． 【变式训练11-2】已知函数若，则 ． 【变式训练11-3·变载体】（24-25高三上·北京石景山·期末）已知函数，若，则 ；若对任意的正数，方程都恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 . 题型12 分段函数的单调性问题 例12-1已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为 . 例12-2（2025·北京丰台·一模）已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 例12-3（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，若是上的单调函数，则的一个取值为 ；若有最小值，则的取值范围是 ． 方法技巧 分段函数的单调性问题 判断：各分段区间内，用单调性定义或导数（可导时）判断；再验证分段点处，左、右区间单调性是否衔接（如左增右增且左端点最大值≤右端点最小值，整体才可能增 ）。 应用：已知单调，列不等式限制各段单调性及分段点处函数值关系，求解参数范围 。 【变式训练12-1】已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练12-3】设函数，若是上的减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型13 分段函数的值域问题 例13-1已知函数，则的值域为 . 例13-2（2025·北京平谷·一模）已知函数，当时，的值域是 ，若有两个极值点，则的取值范围是 . 例13-3（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 方法技巧 分段函数的值域问题 分别求各分段区间内函数值域（用单调性、最值等 ），再取所有值域的并集，即为分段函数的值域 【变式训练13-1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式训练13-2】若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练13-3】已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 【变式训练13-4】（24-25高三上·北京昌平·期末）已知函数 若无最大值，则实数的一个取值为 ; 若存在最大值，则的取值范围是 . 题型14 解分段函数不等式 例14-1设函数，则 ，不等式的解集是 . 方法技巧 解分段函数不等式 步骤：根据分段函数的不同区间解析式，分情况讨论自变量所在区间；将不等式转化为对应区间的解析式不等式，分别求解；最后取各情况解集的并集 。 【变式训练14-1】已知函数的表达式为，则的解集为 . 【变式训练14-2】设函数 ，则满足的的取值范围是 . 【变式训练14-3】已知函数，若，则实数a的取值范围是 . 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 3．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 4．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 5．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 6．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 1．求下列函数的定义域： （1）；（2）. 2．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字，如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么你认为y是n的函数吗？如果是，请写出函数的定义域、值域；如果不是，请说明理由. 3．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求，的值． 4．给定函数，，. (1)画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数． 5．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①公里以内(含公里)，票价元；②公里以上，每增加公里，票价增加元(不足公里的按公里计算)．如果某条线路的总里程为公里， (1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式； (2)画出该函数的图像． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 函数的概念及其表示 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 函数的概念 3 知识点2 函数三要素 4 知识点3 函数相等 4 知识点4 具体函数的定义域问题 5 知识点5 函数的表示方法 5 知识点6 分段函数 6 题型破译 6 题型1 函数关系的判断 6 【方法技巧】函数关系的判断 题型2 求函数值 8 【方法技巧】求函数值 题型3 己知函数值求参数 10 题型4 具体函数的定义域 11 题型5 抽象函数及复合函数的定义域 12 题型6 求分式型、根式型函数值域 14 题型7 求抽象函数、复合函数值域 16 题型8 判断函数相等 17 题型9 函数的图象及其应用 19 题型10 求函数解析式 21 【方法技巧】求函数解析式 题型11 分段函数求值及参数值 24 【方法技巧】分段函数求值及参数值 题型12 分段函数的单调性问题 26 【方法技巧】分段函数的单调性问题 题型13 分段函数的值域问题 29 【方法技巧】分段函数的值域问题 题型14 解分段函数不等式 32 【方法技巧】解分段函数不等式 04真题溯源·考向感知 33 05课本典例·高考素材 37 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）函数的定义域与值域 （2）求函数值 （3）求抽象函数解析式 （4）分段函数的表示 （5）函数的图象及应用 单选题 填空题 解答题 北京卷T7（4分） / 北京卷T11（5分） 考情分析： 在北京高考中，函数的概念及其表示是函数板块基础且关键内容。常结合函数性质、应用等综合考查，虽单独命 题分值不固定，但作为函数知识体系根基，贯穿函数相关考题。核心考查函数概念的理解（对应关系、定义域、值域）、 函数表示方法（解析法、图象法、列表法）及相互转化，聚焦定义域求解（含实际情境限制、抽象函数定义域）、函数 解析式求解（待定系数法、换元法、配凑法等）等易错点。函数值的求解、分段函数的表示及函数图象的应用都需要 重点掌握。 复习目标： 1. 深刻理解函数的定义，明晰函数三要素（定义域、对应关系、值域），能准确判断两个函数是否为同一函数，掌握从实际问题、数学表达式中抽象出函数关系的方法。 2. 熟练掌握函数的三种表示方法，理解各自优缺点及适用场景，能根据需求灵活转化表示形式，如由解析法画图象、由图象写解析式（分段函数等）、用列表法分析函数变化趋势 。 3. 精准求解函数定义域，包括常规函数（分式、根式、对数式等）定义域，抽象函数定义域，以及含实际背景函数的定义域，明确定义域对函数研究的重要性。 4. 灵活运用待定系数法、换元法、配凑法、消元法等求函数解析式，针对分段函数、复合函数等不同类型，准确构建或推导解析式，为研究函数性质、解决函数应用问题奠定基础 。 5. 能结合函数概念与表示，分析简单函数的特性（如单调性、奇偶性初步关联），借助函数表示解决函数求值、方程解的个数（图象法）等问题，强化知识综合运用能力 。 知识点1 函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的 任意一个数 ，在集合中都有 唯一确定的数 和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ． 自主检测已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对应关系若能构成从M到N的函数，则应满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应. A选项中，当时，，故A不能构成函数； B选项中，当时，，故B不能构成函数； C选项中，当时，，故C不能构成函数； D选项中，当时，，当时，，当时， ，故D能构成函数. 故选：D. 知识点2 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的 定义域 ，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指： 定义域 ， 对应法则 ， 值域 . （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点3 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 定义域 相同， 对应关系 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 自主检测下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，的定义域均为R，且，B是； 对于C，的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 知识点4 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 自主检测设函数，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，根据对数的真数大于零可知，即， 故函数的定义域为． 故选：C. 知识点5 函数的表示方法 【答案】解析式；列出表格 自主检测1若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】由表格可知，当时，. 所以. 故选：B. 自主检测2已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，则， 由得，，， 即，. 故选：C. 知识点6 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 取值区间 ，有不同的 对应方式 ，则称其为分段函数. 自主检测已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】根据题意得，， 故选：B. 题型1 函数关系的判断 例1-1下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 例1-2中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当时，，故B错误； C选项，当时，，当时，，当时，，故满足要求， 正确；D选项，当时，错误， 故选：C. 方法技巧 函数关系的判断 1. 定义法：看对于定义域内任意一个自变量 x，是否都有唯一确定的 y 值与之对应，满足则是函数关系 。 2. 对应法则法：明确两个变量间的对应规则（如解析式、图表、实际情境等），检查“一个 x 对应唯一 y ”这一核心特征 。 3. 对应关系是一对一，多对一，不能一对多 【变式训练1-1·变载体】下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 【变式训练1-2·变考法】已知集合，则下列是从集合到集合的函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A：定义域为，不满足函数的特性：任意性，故A错误； 对于选项B：值域为，当取集合A中元素0时，集合B中没有元素与之对应，不满足任意性；故选项B错误； 对于选项C：值域为实数集R，当取集合A中元素为负值时，集合B中没有元素与之对应，故选项C错误； 对于选项D：满足函数的定义，故选项D正确； 故选：D 【变式训练1-3·变考法】已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【答案】C 【详解】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. 题型2 求函数值 例2-1已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以． 例2-2已知定义在上的函数满足，则 ， ． 【答案】 1 【详解】因为，令，得，所以．令，得①，令，得②，，得，解得． 方法技巧 求函数值 1. 直接代入法：若函数解析式明确，已知自变量具体值（或可通过条件求出），直接将自变量值代入解析式计算 。 2. 反复代入法和等价替换法 【变式训练2-1】已知，则 ． 【答案】 【详解】依题意，由，所以. 故答案为： 【变式训练2-2】已知函数满足，且，则 ． 【答案】4 【详解】由，可得， 则， 故答案为：4． 【变式训练2-3】若函数满足，则 ． 【答案】2 【详解】由， 令，得， 令，得， 两式联立，解得. 故答案为：2. 【变式训练2-4·变考法】已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为当时，，所以，， 又因为，所以， ， ，， ，， ，， ，， ，， ， 故C正确，A错误，且无证据表明BD正确. 故选：C. 题型3 己知函数值求参数 例3-1已知函数，且，则实数 ． 【答案】或4或 【详解】令，则，解得或0．由，得，解得．由得，解得或． 故答案为：或4或 【变式训练3-1】已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 【变式训练3-2】已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 【变式训练3-3】设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 因为，可得， 解得． 故选：C. 题型4 具体函数的定义域 例4-1（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 【变式训练4-1】（2025·北京·二模）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式训练4-2】函数的定义域为 ． 【答案】； 【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域： (1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分式中的分母不为0；(3)对数函数中真数大于0. 【变式训练4-3·变考法】（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，要使得根号下有意义，则，即定义域为，故A错误； 对于B，要使得对数有意义，则真数，即定义域为，故B正确； 对于C，由指数函数的定义可知其定义域为，故C错误； 对于D，要使得正切函数有意义，则，即定义域为，故D错误； 故选：B. 题型5 抽象函数及复合函数的定义域 例5-1已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 例5-2已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 【变式训练5-1】已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】解：因为的定义域为， 则，即， 所以的定义域为， 又， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【变式训练5-2】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，故， 因为有意义， 所以，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式训练5-3】已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由有意义，可得，解得. 要使函数有意义， 则，解得. 对函数，定义域为自变量的取值范围， 其中集合为非空数集， 所以函数的定义域为. 故A错误，D正确. 故选：D. 题型6 求分式型、根式型函数值域 例6-1时，的值域为 . 【答案】 【详解】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 故答案为：. 例6-2函数的值域为 . 【答案】 【详解】令，则， 可得：， ∵函数的对称轴为， ∴当时，函数取到最大值， 即函数的最大值为，故函数的值域为. 故答案为：. 【变式训练6-1】函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 【变式训练6-2】函数的最大值为 . 【答案】/ 【详解】， 设，而在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立， 则. 所以函数的最大值为. 故答案为： 【变式训练6-3·变考法】下列函数的值域为是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A： 因为为指数函数，所以其值域为. 对于选项B： 因为为二次函数，抛物线开口向上，其值域为. 对于选项C： 因为，其图象为： 可以看出其值域为. 对于选项D： 因为是反函数，所以其值域为. 故选：C. 【变式训练6-4】函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 令，则， 设，可得， 当时，有最大值为2， 所以函数的最大值为2. 故选：D. 题型7 求抽象函数、复合函数值域 例7-1函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又在其定义域内单调递增， 所以，则， 则的值域为. 故选：D. 例7-2已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】因为函数的定义域和值域都是， 令，解得，所以函数的定义域为， 由的值域得的值域为． 故选：D 例7-3若函数的值域是，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的值域为，，， 即的值域为. 故选：A. 【变式训练7-1】已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 【变式训练7-2】函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先根据的定义域求出的定义域，再换元利用二次函数的性质即可求出. 【详解】的定义域为， 中，，解得， 即的定义域为，令，则 则， 当时，；当时，， 的值域为. 故选：B. 题型8 判断函数相等 例8-1下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故B错误； 对于C，两个函数的定义域都为，且对应法则也相同，故两个函数为同一函数， 故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故D错误； 故选：C. 【变式训练8-1】下列函数相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】A：的定义域为R，的定义域为，即函数不相等； B：的定义域为，的定义域为R，即函数不相等； C：的定义域为，的定义域为，即函数不相等； D：、的定义域和对应法则都相等，即函数相等. 故选：D 【变式训练8-2·变题型】下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 【变式训练8-3·变载体】下列四组函数，表示同一个函数的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为， 所以两函数不是同一函数，故A选项不符题意； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以两函数不是同一函数，故B选项不符题意； 对于C，由，得，解得或， 所以函数的定义域为或， 由，得，解得， 所以函数的定义域为， 所以两函数不是同一函数，故C选项不符题意； 对于D，由，得，解得， 所以函数的定义域为， 由，得，解得， 所以函数的定义域为， 所以与是同一函数，故D选项符合题意. 故选：D． 题型9 函数的图象及其应用 例9-1（2025高三下·北京·专题练习）函数在区间的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 【变式训练9-1】函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一：因为函数的定义域为，故排除A； ，，所以，， 故非奇非偶函数，故排除B，D. 解法二： 由题可知， 当或时，，则在，上单调递增，故ABD错误； 故选：C 【变式训练9-2】）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从四个选项中可以看出，函数奇偶性、函数值的正负无法排除任意选项， 但满足 ， 因此的图象关于直线对称，可排除AB， 又，排除D， 故选：C. 【变式训练9-3·变考法】已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图象过点可知，AC选项满足，BD选项不满足，故排除BD； 对A，，而对于C，，故排除C. 故选：A 题型10 求函数解析式 例10-1若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：D 例10-2已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：A. 例10-3已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由①， 可得②， ①②得：，即. 故选：A. 例10-4一次函数在上单调递增，且，则 . 【答案】 【详解】设，则， ， 则.又在上单调递增，即， 所以，，则. 故答案为： 方法技巧 求函数解析式 待定系数法（已知函数类型，如一次、二次函数，设出形式求系数 ）。 换元法（令复合式为新元，解出原变量代回 ）。 配凑法（对表达式变形，凑出已知复合结构 ）。 方程组法（针对对称式，联立方程消元 ）。 【变式训练10-1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，则， ， 所以． 故选：B． 【变式训练10-2】若函数，则 ． 【答案】 【详解】利用换元法即可得到答案． 令，则， ， ∴函数的解析式为． 故答案为：． 【变式训练10-3】已知函数满足，则 . 【答案】 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 【变式训练10-4】已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则 ， . 【答案】 【详解】解：（1）①，用代替上式中的，得②，联立①②，可得；设，所以，即， 所以，解得，，又，得，所以. 故答案为：， 题型11 分段函数求值及参数值 例11-1（2025·北京房山·一模）已知函数，则 . 【答案】4 【详解】，，故. 故答案为：4 例11-2已知，若，则 . 【答案】或 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 方法技巧 分段函数求值及参数值 求值：先判断自变量所在分段区间，代入对应解析式计算 。 求参数：利用分段点处函数值或定义域、值域条件，结合对应区间解析式列方程（组）求解，注意分段点取值合理性 。 【变式训练11-1】已知函数，则的值等于 ． 【答案】1 【详解】， 所以. 故答案为：1. 【变式训练11-2】已知函数若，则 ． 【答案】8 【详解】， 所以， 因为时，， 所以，，解得， 故答案为： 【变式训练11-3·变载体】（24-25高三上·北京石景山·期末）已知函数，若，则 ；若对任意的正数，方程都恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，所以， 若，则， 如图， 当时，有且只有一个根， 故舍去，若，， 时，， 对称轴为直线，时， ，如图， 要使对任意的正数，方程恰有两个不等的实数根， 即与直线恰有两个交点， 则，所以无解， 若，时，， 如图， ，要满足题意则， 因为，所以，综上：. 故答案为：；. 题型12 分段函数的单调性问题 例12-1已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为与的单调性相同， 可知与的单调性相同， 若函数在上单调递增，则，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 例12-2（2025·北京丰台·一模）已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 0 【详解】时,; 由于当时是单调递增函数； 当时是单调递增函数， 所以为了使得在上单调递增， 必须且只需,即, 故答案为：；. 例12-3（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，若是上的单调函数，则的一个取值为 ；若有最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 0（答案不唯一） 【详解】因为在递减，在上递减， 若是上的单调函数，则是上的单调递减函数， 只需， 则的一个取值为0（任取即可）； 当时，单调递减，所以， 当时，， 若，则当时，单调递增，所以，则此时函数无最小值； 若，则当时，，时，，函数有最小值为满足题意； 若，则当时，单调递减，，时，，要使函数有最小值，则且，解得； 综上，的取值范围是， 故答案为：0（答案不唯一）；. 方法技巧 分段函数的单调性问题 判断：各分段区间内，用单调性定义或导数（可导时）判断；再验证分段点处，左、右区间单调性是否衔接（如左增右增且左端点最大值≤右端点最小值，整体才可能增 ）。 应用：已知单调，列不等式限制各段单调性及分段点处函数值关系，求解参数范围 。 【变式训练12-1】已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，函数在上单调递减，则，解得， 又函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 故选：B 【变式训练12-2】（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意若函数为单调递增，可得； 若函数为单调递增，可得，即； 若保证在R上单调递增,还需满足，解得； 综上可得，a的取值范围为. 故选：D 【变式训练12-3】设函数，若是上的减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为开口向上，且对称轴为， 又， 故要使函数在上单调减， 则需满足. 解得， 故选：C. 题型13 分段函数的值域问题 例13-1已知函数，则的值域为 . 【答案】 【详解】因为， 当时，， 当时，函数单调递减，故， 综上，函数的值域为． 故答案为：． 例13-2（2025·北京平谷·一模）已知函数，当时，的值域是 ，若有两个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，则， 当时，， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 此时； 当时，，易知函数在上单调递减，则. 综上可得. 由题意可设函数的两个极值点分别为，且， 由二次函数在上单调递增，在上单调递减， 一次函数，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 易知函数在与上单调递增，在上单调递减， 且，，可得，解得. 故答案为：；. 例13-3（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增， 故需满足：即， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增， 则需满足即， 解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：， 方法技巧 分段函数的值域问题 分别求各分段区间内函数值域（用单调性、最值等 ），再取所有值域的并集，即为分段函数的值域 【变式训练13-1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 【变式训练13-2】若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当．则， 此时在，单调递增，在单调递减. 当时，若，当，，不合题意； 当时，，，则值域为符合题意； 当时，要使的值域是，则要求的最小值为． 则必定先有，得，即， 此时在上单调性为上单调递减，单调递增， 有最小值符合题意．故 故选：A. 【变式训练13-3】已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 【变式训练13-4】（24-25高三上·北京昌平·期末）已知函数 若无最大值，则实数的一个取值为 ; 若存在最大值，则的取值范围是 . 【答案】 （答案不唯一，满足即可）； 【详解】易知当时，函数单调递减，此时不存在最大值， 因此只需满足即可，可取； 若存在最大值，则， 当时，此时的最大值为， 而单调递增，需满足，解得； 当时，此时的最大值为， 而单调递增，需满足，即； 综上可得，. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）；； 题型14 解分段函数不等式 例14-1设函数，则 ，不等式的解集是 . 【答案】 1 【详解】由题意可知：； 因为， 当，即时，则，可得，不合题意； 当，即时，可得， 解得或，所以； 当，即或时，则，可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集是. 故答案为：1；. 方法技巧 解分段函数不等式 步骤：根据分段函数的不同区间解析式，分情况讨论自变量所在区间；将不等式转化为对应区间的解析式不等式，分别求解；最后取各情况解集的并集 。 【变式训练14-1】已知函数的表达式为，则的解集为 . 【答案】 【详解】因为，对于不等式， 则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式训练14-2】设函数 ，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增，函数为常函数， 所以分段函数在单调递增，在不具有单调性， 且，即当时，， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是. 故答案为： 【变式训练14-3】已知函数，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为当时，是单调递增函数，此时， 当时，是单调递增函数，此时，      所以是定义在上的单调递增函数， 所以若即， 则，解得. 故答案为： 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 3．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【详解】函数，所以. 故答案为：1 4．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 5．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 6．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 1．求下列函数的定义域： （1）；（2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据分母不为0，求出函数的定义域即可； （2）根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可． 【详解】（1）由，得， ∴函数的定义域. （2）由，且，得， ∴函数的定义域为. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，函数定义域等价于令函数有意义的自变量的取值范围，因此可根据题目列关于自变量的不等式（组）求解即可，属于基础题. 2．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字，如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么你认为y是n的函数吗？如果是，请写出函数的定义域、值域；如果不是，请说明理由. 【答案】是，函数的定义域为：，值域为. 【解析】根据函数的定义直接判断即可. 【详解】根据函数的定义可以判断出： 函数的定义域为：，值域为 . 【点睛】本题考查了函数的定义，属于基础题. 3．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求，的值． 【答案】(1)且 (2) (3)， 【详解】（1）由题意，解得且, 函数的定义域为且. （2）. （3），． 4．给定函数，，. (1)画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析；. 【详解】（1）解：由函数， 根据一次函数与二次函数的图象与性质，可得函数和的图象，如图所示：    （2）解：联立方程组，整理得，解得或， 结合（1）中的图象，可得： 当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的解析式为. 函数的图象，如图所示.    5．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①公里以内(含公里)，票价元；②公里以上，每增加公里，票价增加元(不足公里的按公里计算)．如果某条线路的总里程为公里， (1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式； (2)画出该函数的图像． 【答案】(1)； (2)作图见解析. 【详解】（1）依题意，令x为里程数（单位：公里），为行驶x公里的票价（单位：元）， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以票价与里程之间的函数关系式为. （2）由（1）得函数的图象，如下： 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$