第01讲 集合及其运算（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 集合及其运算 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 元素与集合 3 知识点2 集合的基本关系 4 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 5 知识点4 集合的运算性质 5 题型破译 6 题型1 元素与集合的关系 6 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 集合间的基本关系 6 【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法 【易错分析】易忽略集合为空集 题型3 交集的运算 7 题型4 并集的运算 7 题型5 补集的运算 8 04真题溯源·考向感知 9 05课本典例·高考素材 9 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）集合的概念与表示 （2）集合的基本关系 （3）集合的基本运算 单选题 填空题 解答题 北京卷T1（4分） 北京卷T1（4分） 北京卷T1（4分） 考情分析： 北京卷中集合题固定为单选题（第1题），分值4分，难度极低，属 “基础送分题”。 核心考查 集合的交、 并、补运算，紧密结合一元一次不等式，突出数形结合思想的应用。 聚焦区间端点的开闭性验证（如闭区间端点 是否纳入结果，补集运算中边界的取舍），是易错点。 复习目标： 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集 5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算. 知识点1 元素与集合 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素 a 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 、 、 . （2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （3）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 自主检测设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点2 集合的基本关系 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] ______ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的__ __ 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有__ __个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑__ __的情况，否则会造成漏解. 自主检测已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 并 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B}   交 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B}     补 集 由全集U中 集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A}     自主检测已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 知识点4 集合的运算性质 1．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B B∩A. 2．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B B∪A. 3．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 自主检测已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型1 元素与集合的关系 例1-1已知集合，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 判断元素与集合关系 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式训练1-1·变载体】已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2·变载体】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 题型2 集合间的基本关系 例2-1已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 易错分析 易忽略集合为空集 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 【变式训练2-1】已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式训练2-2】已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 【变式训练2-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型3 交集的运算 例3-1（2025·北京东城·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例3-2（2025·北京朝阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】（2025·北京·模拟预测）设集合，则=（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2·变载体】（2025·北京·模拟预测）已知集合， ，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3·变载体】（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练3-4·变载体】（2025·北京·模拟预测）已知，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型4 并集的运算 例4-1（2025·北京平谷·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例4-2（2025·北京朝阳·二模）已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】（2025·北京门头沟·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（2025·北京西城·一模）已知集合，，那么集合（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-3·变考法】已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5 补集的运算 例5-1（2025·北京东城·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例5-2（2025·北京昌平·二模）已知全集，集合，，则=（    ）． A． B． C． D． 【变式训练5-1】（2025·北京海淀·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（2025·北京顺义·一模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】2025·北京石景山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】（2025·北京丰台·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 1．（2025·北京·高考真题）集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2020·北京·高考真题）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 1．在平面直角坐标系中，集合表示直线上的所有点，从这个角度看，若有集合，则集合、之间有什么关系？（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，全集，求. 3．已知集合,是否存在实数a,使得?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 4．请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 5．学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合及其运算 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 元素与集合 3 知识点2 集合的基本关系 4 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 5 知识点4 集合的运算性质 5 题型破译 6 题型1 元素与集合的关系 6 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 集合间的基本关系 7 【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法 【易错分析】易忽略集合为空集 题型3 交集的运算 9 题型4 并集的运算 10 题型5 补集的运算 11 04真题溯源·考向感知 13 05课本典例·高考素材 14 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）集合的概念与表示 （2）集合的基本关系 （3）集合的基本运算 单选题 填空题 解答题 北京卷T1（4分） 北京卷T1（4分） 北京卷T1（4分） 考情分析： 北京卷中集合题固定为单选题（第1题），分值4分，难度极低，属 “基础送分题”。 核心考查 集合的交、 并、补运算，紧密结合一元一次不等式，突出数形结合思想的应用。 聚焦区间端点的开闭性验证（如闭区间端点 是否纳入结果，补集运算中边界的取舍），是易错点。 复习目标： 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集 5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算. 知识点1 元素与集合 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 集合 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 元素 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素 a 属于 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 不属于 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 有限集 ，含有无限个元素的集合叫作 无限集 ，不含任何元素的集合叫作 空集 ，记作 . 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 . （2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （3）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 自主检测设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 知识点2 集合的基本关系 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] ______ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的__真子集__ 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有____个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑__空集___的情况，否则会造成漏解. 自主检测已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【答案】C 【详解】由集合，，且， 因为，，可得集合，所以集合的子集有个. 故选：C. 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 并 集 由所有属于集合A 或属于 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B}   A∪B 交 集 由所有属于集合A 且属于 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B}     A∩B 补 集 由全集U中 不属于 集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A}     自主检测已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，所以， 故选：B． 知识点4 集合的运算性质 1．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B = B∩A. 2．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B = B∪A. 3．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 自主检测已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是. 故选：A. 题型1 元素与集合的关系 例1-1已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知， 故A正确，BC错误， 集合不是集合的子集，故D错误. 故选：A. 方法技巧 判断元素与集合关系 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式训练1-1·变载体】已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意可得，所以. 故选：A. 【变式训练1-2·变载体】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 题型2 集合间的基本关系 例2-1已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以或， 所以或，所以 ， 当时，，解得，满足； 当时，要使，则，解得， 综上，，即的取值范围是. 故选：D 方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 易错分析 易忽略集合为空集 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 【变式训练2-1】已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，解得，此时，满足题意， 故选：C. 【变式训练2-2】已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 【答案】C 【详解】由于，所以， 故的最大值为， 故选：C 【变式训练2-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 因为⫋，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 题型3 交集的运算 例3-1（2025·北京东城·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，且， 则 . 故选：A 例3-2（2025·北京朝阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以， 故选：A. 【变式训练3-1】（2025·北京·模拟预测）设集合，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， ，， 所以. 故选：A 【变式训练3-2·变载体】（2025·北京·模拟预测）已知集合， ，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知集合，. 对于A选项，，则，不合题意； 对于B选项，，则，合题意； 对于C选项，，则，不合题意； 对于D选项，，则，不合题意. 故选：B 【变式训练3-3·变载体】（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意知，， 因为， 所以. 故选：B 【变式训练3-4·变载体】（2025·北京·模拟预测）已知，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因为，即，解得， 所以，又因为， 所以，所以的元素个数为. 故选：D 题型4 并集的运算 例4-1（2025·北京平谷·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 故选：D 例4-2（2025·北京朝阳·二模）已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于集合，，化简得，所以. 所以集合. 对于集合，，根据指数函数的性质可得. 所以集合. 所以. 故选：A. 【变式训练4-1】（2025·北京门头沟·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，又， 所以 ，即为. 故选：D. 【变式训练4-2】（2025·北京西城·一模）已知集合，，那么集合（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，. 故选：A. 【变式训练4-3·变考法】已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， ∴结合数轴可知：. 故选：A. 题型5 补集的运算 例5-1（2025·北京东城·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得，解得或， 所以或，所以. 故选：C. 例5-2（2025·北京昌平·二模）已知全集，集合，，则=（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，则， 又，所以. 故选：B. 【变式训练5-1】（2025·北京海淀·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】或，， 所以或. 故选：D 【变式训练5-2】（2025·北京顺义·一模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，. 所以. 故选：C 【变式训练5-3】2025·北京石景山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为全集，集合， 所以 ， 故选：B 【变式训练5-4】（2025·北京丰台·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， ∵，∴. 故选：D. 1．（2025·北京·高考真题）集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 故选：D. 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得. 故选：C. 3．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 4．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 5．（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：. 故选：B. 6．（2020·北京·高考真题）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故选：D. 【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 1．在平面直角坐标系中，集合表示直线上的所有点，从这个角度看，若有集合，则集合、之间有什么关系？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 由集合的包含关系可得. 故选：B. 2．已知集合，全集，求. 【答案】或，或 【详解】由， 得， 所以或， 又或， 所以或. 3．已知集合,是否存在实数a,使得?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 【答案】存在, 【解析】，分，讨论，并满足互异性，列式求解. 【详解】解:， 或， ， ∴存在实数，使得. 【点睛】本题考查并集的性质，注意集合元素的互异性，是基础题. 4．请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【详解】（1）由于，所以，且，. （2），且， 如图所示.    【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力. 5．学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 【答案】3人,9人 【详解】解:如图. 设同时参加田径和球类比赛的有x人,则, , 即同时参加田径和球类比赛的有3人, 而只参加游泳一项比赛的有(人). 【点睛】本题考查韦恩图解决集合问题，是基础题. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$