第02讲 等差数列及其前n项和（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 等差数列及其前n项和 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 等差数列的定义 4 知识点2 等差数列通项公式的变形及推广 4 知识点3 等差中项 4 知识点4 下标性质 4 知识点5 等差数列构造新等差数列的性质 5 知识点6 等差数列通项公式与函数关系 5 知识点7 等差数列的单调性与图象 5 知识点8 等差数列的前n项和公式 6 知识点9 知三求二 6 知识点10 等差数列前n项和的性质 6 知识点11 等差数列前n项和的最值 7 知识点12 证明数列为等差数列的方法 7 题型破译 8 题型1 等差数列的项、公差及通项公式的求解 8 【方法技巧】等差数列的项、公差及通项公式的求解 题型2 等差中项的应用 9 【方法技巧】等差中项的应用 题型3 等差数列的性质 9 题型4 等差数列前n项和的求解 10 【方法技巧】等差数列前n项和的求解 题型5 等差数列前n项和的性质 11 题型6 等差数列通项公式与前n项和的关系 11 题型7 等差数列通项公式与前n项和的最值 12 【方法技巧】等差数列通项公式与前n项和的最值 题型8 等差数列中的数学文化 13 【方法技巧】等差数列中的数学文化 题型9 等差数列奇偶项的和 14 【方法技巧】等差数列奇偶项的和 题型10 等差数列的证明 15 【方法技巧】等差数列的证明 04真题溯源·考向感知 16 05课本典例·高考素材 17 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）差数列通项公式的基本量计算 （2）利用等差数列通项公式求数列中的项 （3）等差数列通项公式的基本量计算 （4）等差数列的单调性 单选题 填空题 解答题 北京卷T5（4分） 北京卷T1（4分） 北京卷T15（5分） 北京卷T14（5分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择、填空（4~5分，中低档）考查。 核心考查：等差数列通项公式、前n项和公式（含基本量计算），性质应用（中项性质、前n项和最值）。 易错点：公式记忆错误（如前n项和公式漏除2），项数计算错误，最值问题忽略公差符号。 复习目标： 1.熟记等差数列的定义和通项公式，能熟练求解首项、公差等基本量；​ 2.掌握等差数列前 n 项和公式，准确计算前 n 项和；​ 3.灵活运用等差数列的中项性质、等距项成等差等性质简化计算；​ 4.学会用二次函数法或项的符号变化，确定前 n 项和的最值；​ 5.能将实际问题转化为等差数列模型，运用相关知识解决问题。 知识点1 等差数列的定义 一般地，如果数列从第 项起，每一项与它的前一项之 都等于 ，即 恒成立， 则称数列为等差数列，其中d称为等差数列的 . 知识点2 等差数列通项公式的变形及推广 （1）， （2） （3） ，且. 自主检测1已知等差数列中，，，则其公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 自主检测2在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 知识点3 等差中项 若a，A，b成等差数列，则 是a与b的等差中项，且有 或 ，即如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数． 自主检测若3，，27成等差数列，则（   ） A．9 B．15 C． D． 知识点4 下标性质 在等差数列中，若，则 ．特别地，若，则有． 自主检测1在等差数列中，，则（   ） A．45 B．9 C．18 D．36 自主检测2若数列是等差数列，是的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 知识点5 等差数列构造新等差数列的性质 （1）若分别是公差为的等差数列，则有 数列 结论 公差为 的等差数列为任一常数） 公差为 的等差数列（为任一常数） 公差为 的等差数列为常数， 公差为 的等差数列为常数） （2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 数列. 自主检测已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 知识点6 等差数列通项公式与函数关系 令，，等差数列为一次函数 知识点7 等差数列的单调性与图象 对于一般的等差数列，其通项公式为，将其中的正整数自变量换成实数自变量，得到，当时，是一次函数（其中一次项系数为等差数列的公差）；当时，（为常数），这两种情形的函数图象都是直线，这就说明，当用直角坐标系中的点来表示等差数列时，所有的点一定在一条直线上，且等差数列的图象由该直线上横坐标为正整数的孤立点 组成． （1）当时，直线从左至右上升，等差数列递增（如图甲）； （2）当时，直线从左至右下降，等差数列递减（如图乙）； （3）当时，为水平方向的直线，数列为常数列（如图丙）． 自主检测设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 知识点8 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 自主检测记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 知识点9 知三求二 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以＂ ＂．一般是利用公式列出 的方程组，解出 ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． 知识点10 等差数列前n项和的性质 ①等差数列中依次k项之和，…组成公差为k2d的等差数列. ②记为所有偶数项的和，为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n（n∈N*），则， （S奇≠0）；若等差数列的项数为2n－1（n∈N*），则是数列的中间项），，＝（）. ③为等差数列⇒ 为等差数列. ④两个等差数列，的前n项和之间的关系为 （）. ⑤ 自主检测1已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 自主检测2设等差数列的前项和分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 自主检测3已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 知识点11 等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列中， 当时，有 值，使取得最值的n可由不等式组确定；当时，有 值，使取到最值的n可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有 值；当时，有 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 自主检测若是等差数列，表示的前项和，，则中最大的项是（    ） A． B． C． D． 知识点12 证明数列为等差数列的方法 （1）（为常数）为等差数列 （2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数） （3）若，则，，三个数成等差数列 自主检测设数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前n项和为，证明：． 题型1 等差数列的项、公差及通项公式的求解 例1-1（2025·北京房山·一模）已知是等差数列，且 ，则的通项公式 . 例1-2（2025·北京通州·一模）已知等差数列满足：，且，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 方法技巧 （1）明确已知条件，如给出某两项的值或通项公式中的参数，确定需要求解的目标（公差、某一项或通项公式）。 （2）利用等差数列的定义，即任意相邻两项的差为公差，将已知项代入通项公式的结构，建立方程。 （3）通过解方程求出公差或通项公式中的参数，再将参数代回通项公式，得到完整的通项表达式。 （4）验证所求结果的正确性，可代入已知项或计算相邻项的差，确保符合等差数列的定义。 （5）若已知条件涉及多项，可通过联立方程的方式求解，注意方程的数量与未知数的数量相匹配。 【变式训练1-1】在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知等差数列的公差，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练1-3】已知等差数列中，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4·变载体】已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型2 等差中项的应用 例2-1已知，为和2的等差中项，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 方法技巧 （1）理解等差中项的概念，若三个数成等差数列，中间的数即为前后两数的等差中项，且等于两数的平均数。 （2）根据等差中项的性质建立等式，如已知三个数中的两个数，可通过等差中项求出第三个数。 （3）在数列中，利用等差中项来证明三个数成等差数列，或在已知数列的部分项时，插入等差中项构造新的等差数列。 （4）注意三个数的位置关系，确保等差中项位于中间位置，避免因顺序错误导致结果偏差。 （5）在复杂问题中，结合等差中项与等差数列的其他性质，简化计算过程，提高解题效率。 【变式训练2-1】与的等差中项是 ． 【变式训练2-2·变载体】若同时满足：①三个内角成等差数列，②三边长成等差数列，则（    ） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 【变式训练2-3·变载体】已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型3 等差数列的性质 例3-1已知等差数列满足，，则（    ） A．1 B． C．4 D．8 例3-2有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 例3-3将数列与的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列，则 【变式训练3-1】在等差数列中，，则 . 【变式训练3-2·变载体】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前10项和为（    ） A．695 B．597 C．612 D．627 【变式训练3-3·变载体】将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则使得成立的的最小值为 ． 题型4 等差数列前n项和的求解 例4-1记为等差数列的前项和.若，，则 . 例4-2已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和 . 方法技巧 （1） 根据已知条件选择合适的前 n 项和公式 （2） 准确确定项数n，在有间隔的项中，注意项数的计算方法，避免数错项数。 （3） 将已知条件代入公式，进行代数运算，求出前 n 项和的值。 （4） 若题目中涉及多个前 n 项和的计算，可利用等差数列前 n 项和的性质，简化计算过程。 （5）验证计算结果的合理性，可通过计算前几项的和进行对比，确保结果正确。 【变式训练4-1】（24-25高三上·北京海淀·期末）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2·变考法】（2025·北京海淀·三模）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（    ） A．51 B．66 C． D．6 题型5 等差数列前n项和的性质 例5-1已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 例5-2设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 例5-3已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．30 B．58 C．60 D．90 【变式训练5-2·变题型】已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 题型6 等差数列通项公式与前n项和的关系 例6-1已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 例6-2若数列的前n项和满足，则（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递增数列 C．为等差数列 D．为等差数列 【变式训练6-1】已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-2·变载体】已知数列的前项和为，其中，． (1)求的值以及数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式训练6-3·变载体】已知正项数列的前n项和为，且满足， (1)求 (2)求 题型7 等差数列通项公式与前n项和的最值 例7-1已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（   ） A． B． C． D． 例7-2设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 方法技巧 （1） 分析通项公式的最值，当公差(d≠0)时，等差数列的通项是一次函数，若(d > 0)，数列递增，首项最小；若(d < 0)，数列递减，首项最大。 （2） 寻找数列中最后一个正项（或负项）的位置，确定前 n 项和的最值出现的位置，即当所有正项相加时和最大，所有负项相加时和最小。 （3） 利用前 n 项和的二次函数性质，通过求二次函数的顶点来确定最值，注意顶点横坐标是否为正整数，若不是，取最接近的正整数。 （4） 结合首项和公差的符号，判断前 n 项和的最值类型（最大值或最小值）。 （5）验证最值的正确性，可通过计算相邻几项的和进行对比，确保结果符合数列的变化趋势。 【变式训练7-1】设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（   ） A．40 B．41 C．42 D．43 【变式训练7-3】记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 题型8 等差数列中的数学文化 例8-1（2025·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了 尺布.” 方法技巧 （1）理解题目中的文化背景，将实际问题转化为等差数列模型，提取首项、公差和项数等关键信息。 （2）根据等差数列的相关公式，建立数学方程，求解问题。 （3）注意文化背景中的特殊表述，准确转化为数学语言，避免因理解偏差导致错误。 （4）结合等差数列的性质，简化计算过程，提高解题效率。 （5）验证结果的合理性，确保符合实际问题的情境。 【变式训练8-1·变载体】《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式训练8-2·变载体】南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3·变载体】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）      A． B． C． D． 题型9 等差数列奇偶项的和 例9-1已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 例9-2若等差数列的项数为，则 ． 方法技巧 （1） 确定数列的项数是奇数还是偶数，这是分析奇偶项和的关键。 （2） 当项数为偶数时，设为2n，则奇数项和与偶数项和的差为nd（d为公差）。 （3） 当项数为奇数时，设为(2n + 1)，则奇数项和与偶数项和的差为中间项的值，且奇数项和等于(n + 1)倍的中间项，偶数项和等于n倍的中间项。 （4） 利用这些规律，快速计算奇偶项的和，避免分别求和的繁琐过程。 （5）结合具体题目，准确判断项数的奇偶性，选择合适的规律进行计算。 【变式训练9-1·变载体】等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【变式训练9-2·变载体】已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【变式训练9-3·变载体】已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 题型10 等差数列的证明 例10-1数列满足，且对于，都有. (1)求数列的，，； (2)证明数列是等差数列； (3)求. 方法技巧 (1) 掌握等差数列的两种证明方法：定义法和中项法。定义法是证明相邻两项的差为常数，中项法是证明某一项是前后两项的等差中项。 (2) 使用定义法时，计算, 化简后证明其为常数，注意对所有正整数都成立。 (3)使用中项法时，证明, 确保等式对所有都成立。 (4)在证明过程中，注意逻辑的严谨性，每一步推导都要有依据。 (5)结合已知条件，灵活选择证明方法，提高证明的效率和准确性。 【变式训练10-1】在数列中，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和，并比较与的大小． 【变式训练10-2】已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若，成立，求的取值范围. 【变式训练10-3】已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 2．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 3．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 4．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A．64 B．96 C．128 D．160 6．（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 1．已知在等差数列中，，．求． 2．在等差数列中，为其前n项的和，若，，求． 3．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 4．若，都是等差数列，且，则数列的前100项和为 A．6000 B．600 C．5050 D．60000 5．画出数列，的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率． 6．已知数列的前项和为，则这个数列的通项公式为 7．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和． 8．已知是等差数列的前n项和． (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，求． 9．已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值． 10．（1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 11．已知数列是等差数列，其前项和为. (1)若，求； (2)若，且，求. 12．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足． （1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由． （2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式． 13．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息． （1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？ （2）如果每辆车行驶的速度都是，这个车队当天一共行驶了多少千米？ 14．已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d． （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 15．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列． （1）写出数列的一个递推公式； （2）根据（1）中的递推公式，写出数列的一个通项公式． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等差数列及其前n项和 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 等差数列的定义 4 知识点2 等差数列通项公式的变形及推广 4 知识点3 等差中项 4 知识点4 下标性质 5 知识点5 等差数列构造新等差数列的性质 5 知识点6 等差数列通项公式与函数关系 6 知识点7 等差数列的单调性与图象 6 知识点8 等差数列的前n项和公式 7 知识点9 知三求二 7 知识点10 等差数列前n项和的性质 8 知识点11 等差数列前n项和的最值 9 知识点12 证明数列为等差数列的方法 9 题型破译 10 题型1 等差数列的项、公差及通项公式的求解 10 【方法技巧】等差数列的项、公差及通项公式的求解 题型2 等差中项的应用 12 【方法技巧】等差中项的应用 题型3 等差数列的性质 13 题型4 等差数列前n项和的求解 15 【方法技巧】等差数列前n项和的求解 题型5 等差数列前n项和的性质 17 题型6 等差数列通项公式与前n项和的关系 18 题型7 等差数列通项公式与前n项和的最值 20 【方法技巧】等差数列通项公式与前n项和的最值 题型8 等差数列中的数学文化 22 【方法技巧】等差数列中的数学文化 题型9 等差数列奇偶项的和 24 【方法技巧】等差数列奇偶项的和 题型10 等差数列的证明 26 【方法技巧】等差数列的证明 04真题溯源·考向感知 29 05课本典例·高考素材 32 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）差数列通项公式的基本量计算 （2）利用等差数列通项公式求数列中的项 （3）等差数列通项公式的基本量计算 （4）等差数列的单调性 单选题 填空题 解答题 北京卷T5（4分） 北京卷T1（4分） 北京卷T15（5分） 北京卷T14（5分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择、填空（4~5分，中低档）考查。 核心考查：等差数列通项公式、前n项和公式（含基本量计算），性质应用（中项性质、前n项和最值）。 易错点：公式记忆错误（如前n项和公式漏除2），项数计算错误，最值问题忽略公差符号。 复习目标： 1.熟记等差数列的定义和通项公式，能熟练求解首项、公差等基本量；​ 2.掌握等差数列前 n 项和公式，准确计算前 n 项和；​ 3.灵活运用等差数列的中项性质、等距项成等差等性质简化计算；​ 4.学会用二次函数法或项的符号变化，确定前 n 项和的最值；​ 5.能将实际问题转化为等差数列模型，运用相关知识解决问题。 知识点1 等差数列的定义 一般地，如果数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之 差 都等于 同一个常数d ，即 恒成立， 则称数列为等差数列，其中d称为等差数列的 公差 . 知识点2 等差数列通项公式的变形及推广 （1）， （2） （3） ，且. 自主检测1已知等差数列中，，，则其公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为在等差数列中，，， 所以公差． 故选：B. 自主检测2在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 知识点3 等差中项 若a，A，b成等差数列，则 是a与b的等差中项，且有 / 或 ，即如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数． 自主检测若3，，27成等差数列，则（   ） A．9 B．15 C． D． 【答案】B 【详解】若3，，27成等差数列，则， 解得. 故选：B. 知识点4 下标性质 在等差数列中，若，则 / ．特别地，若，则有． 自主检测1在等差数列中，，则（   ） A．45 B．9 C．18 D．36 【答案】C 【详解】因为，所以，. . 故选：C. 自主检测2若数列是等差数列，是的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】数列是等差数列，，则； 当，数列是等差数列，则，不一定满足； 则是的必要不充分条件. 故选：B. 知识点5 等差数列构造新等差数列的性质 （1）若分别是公差为的等差数列，则有 数列 结论 公差为 的等差数列为任一常数） 公差为 的等差数列（为任一常数） 公差为 的等差数列为常数， 公差为 的等差数列为常数） （2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 等差 数列. 自主检测已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 【答案】C 【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故. 故选：C. 知识点6 等差数列通项公式与函数关系 令，，等差数列为一次函数 知识点7 等差数列的单调性与图象 对于一般的等差数列，其通项公式为，将其中的正整数自变量换成实数自变量，得到，当时，是一次函数（其中一次项系数为等差数列的公差）；当时，（为常数），这两种情形的函数图象都是直线，这就说明，当用直角坐标系中的点来表示等差数列时，所有的点一定在一条直线上，且等差数列的图象由该直线上横坐标为正整数的孤立点 组成． （1）当时，直线从左至右上升，等差数列递增（如图甲）； （2）当时，直线从左至右下降，等差数列递减（如图乙）； （3）当时，为水平方向的直线，数列为常数列（如图丙）． 自主检测设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【详解】由，即，解得，因为,故. 故选：A. 知识点8 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 自主检测记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 【答案】B 【详解】由，得，而，解得，公差， 所以. 故选：B 知识点9 知三求二 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以＂ 知三求二 ＂．一般是利用公式列出 基本量和 的方程组，解出 和 ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． 知识点10 等差数列前n项和的性质 ①等差数列中依次k项之和，…组成公差为k2d的等差数列. ②记为所有偶数项的和，为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n（n∈N*），则， （S奇≠0）；若等差数列的项数为2n－1（n∈N*），则是数列的中间项），，＝（）. ③为等差数列⇒ 为等差数列. ④两个等差数列，的前n项和之间的关系为 （）. ⑤ 自主检测1已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 【答案】B 【详解】由等差数列的性质可知：成等差数列，即成等差数列， 所以. 故选：B. 自主检测2设等差数列的前项和分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为等差数列，的前n项和分别是， 所以. 故选：A. 自主检测3已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据已知及等差数列前n项和，设，， 则. 故选：C 知识点11 等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列中， 当时，有 最大 值，使取得最值的n可由不等式组确定；当时，有 最小 值，使取到最值的n可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有 最小 值；当时，有 最大 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 自主检测若是等差数列，表示的前项和，，则中最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，即中最大的项是. 故选：C. 知识点12 证明数列为等差数列的方法 （1）（为常数）为等差数列 （2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数） （3）若，则，，三个数成等差数列 自主检测设数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由可得：， 所以数列为等差数列，且首项为3，公差为3； （2）由数列为等差数列，，可得, 所以，又因为， 所以， 因为，所以，故． 题型1 等差数列的项、公差及通项公式的求解 例1-1（2025·北京房山·一模）已知是等差数列，且 ，则的通项公式 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 由， 因代入解得， 故. 故答案为：. 例1-2（2025·北京通州·一模）已知等差数列满足：，且，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【详解】设公差为， 由，， 得，解得， 所以， 所以. 故选：D. 方法技巧 （1）明确已知条件，如给出某两项的值或通项公式中的参数，确定需要求解的目标（公差、某一项或通项公式）。 （2）利用等差数列的定义，即任意相邻两项的差为公差，将已知项代入通项公式的结构，建立方程。 （3）通过解方程求出公差或通项公式中的参数，再将参数代回通项公式，得到完整的通项表达式。 （4）验证所求结果的正确性，可代入已知项或计算相邻项的差，确保符合等差数列的定义。 （5）若已知条件涉及多项，可通过联立方程的方式求解，注意方程的数量与未知数的数量相匹配。 【变式训练1-1】在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以， 故选:A. 【变式训练1-2】已知等差数列的公差，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由等差数列通项公式可得：， 已知，所以；. 将，代入可得：， 则，化简可得：，解得或. 因为已知公差，所以舍去，得到. 故选：B. 【变式训练1-3】已知等差数列中，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设首项为，公差为，因为，所以， 即，解得，因为，所以， 解得，则，得到，故A正确. 故选：A 【变式训练1-4·变载体】已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】，解得， 由于为正项等差数列，则，解得， ，等号成立当且仅当， 所以的最大值为8. 故选：C. 题型2 等差中项的应用 例2-1已知，为和2的等差中项，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D 方法技巧 （1）理解等差中项的概念，若三个数成等差数列，中间的数即为前后两数的等差中项，且等于两数的平均数。 （2）根据等差中项的性质建立等式，如已知三个数中的两个数，可通过等差中项求出第三个数。 （3）在数列中，利用等差中项来证明三个数成等差数列，或在已知数列的部分项时，插入等差中项构造新的等差数列。 （4）注意三个数的位置关系，确保等差中项位于中间位置，避免因顺序错误导致结果偏差。 （5）在复杂问题中，结合等差中项与等差数列的其他性质，简化计算过程，提高解题效率。 【变式训练2-1】与的等差中项是 ． 【答案】8 【详解】设与的等差中项是， 则， . 故答案为：8 【变式训练2-2·变载体】若同时满足：①三个内角成等差数列，②三边长成等差数列，则（    ） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 【答案】B 【详解】不妨设， 由①三个内角成等差数列可得， 又因为②三边长成等差数列，所以， 由余弦定理可得， 整理可得， 又，所以是等边三角形. 故选：B 【变式训练2-3·变载体】已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为， 依题意成等差数列，故，得到：， 化简得，即：， 解得：或（舍去） 故选：C 题型3 等差数列的性质 例3-1已知等差数列满足，，则（    ） A．1 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为数列为等差数列，且，， 所以，，解得，，所以． 故选：C． 例3-2有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解析】根据两个等差数列的公差，得到公共项的公差，从而得到新数列的通项公式，通过新数列中的项小于等于，从而得到的范围，得到答案. 【详解】等差数列2，6，10，…，190，公差为， 等差数列2，8，14，…，200，公差为， 所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列， 其公差为，首项为， 所以通项为， 所以，解得， 而，所以的最大值为， 即新数列的项数为. 故选：B. 【点睛】本题考查求两个等差数列的公共项组成的新数列，属于中档题. 例3-3将数列与的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列，则 【答案】 【详解】易知数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 所以是首项为，公差为的等差数列，得到， 故答案为：. 【变式训练3-1】在等差数列中，，则 . 【答案】 【详解】因为， . 故答案为： 【变式训练3-2·变载体】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前10项和为（    ） A．695 B．597 C．612 D．627 【答案】A 【解析】设，，若则，进而可得，为等差数列，再由等差数列的前n项和即可得解. 【详解】设，， 令，则，化简得， 因为，所以， 所以，， 所以数列是以为首项的等差数列，公差， 所以的前10项和为. 故选：A. 【变式训练3-3·变载体】将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则使得成立的的最小值为 ． 【答案】170 【详解】由题意，与的公共项为1，13，25，37，…， 故，所以，解得， 所以的最小值为170． 故答案为：170 题型4 等差数列前n项和的求解 例4-1记为等差数列的前项和.若，，则 . 【答案】57 【详解】设的公差为， 由，可得，又， 故， 所以. 故答案为：57 例4-2已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 所以，，所以，， 所以，，故数列为等差数列， 所以，. 故答案为：. 方法技巧 （1） 根据已知条件选择合适的前 n 项和公式 （2） 准确确定项数n，在有间隔的项中，注意项数的计算方法，避免数错项数。 （3） 将已知条件代入公式，进行代数运算，求出前 n 项和的值。 （4） 若题目中涉及多个前 n 项和的计算，可利用等差数列前 n 项和的性质，简化计算过程。 （5）验证计算结果的合理性，可通过计算前几项的和进行对比，确保结果正确。 【变式训练4-1】（24-25高三上·北京海淀·期末）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，由， 得，解得， 所以. 故选：B 【变式训练4-2·变考法】（2025·北京海淀·三模）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（    ） A．51 B．66 C． D．6 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得， 又，解得，所以的前6项和. 故选：A 题型5 等差数列前n项和的性质 例5-1已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 【答案】D 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 例5-2设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【详解】方法一：由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，， 所以. 方法二：因为等差数列的性质即为等差数列， 则，得，解得. 故选：C 例5-3已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以. 故选：D. 【变式训练5-1】已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．30 B．58 C．60 D．90 【答案】D 【详解】由数列为等差数列， 故、、、、亦为等差数列， 由，，则， 故，，， 即有，，. 故选：D. 【变式训练5-2·变题型】已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是等差数列， 所以，又， 所以， 故选：C. 题型6 等差数列通项公式与前n项和的关系 例6-1已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【详解】当 时，； 当 时，. , 代入通项公式：, 验证 时：若直接代入 ，得 ，与 矛盾，故需分段表示. 因此，通项公式为分段形式：. 故答案为：. 例6-2若数列的前n项和满足，则（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递增数列 C．为等差数列 D．为等差数列 【答案】D 【详解】当时，， 当时，，∴， 对于A：不满足，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C，，,，不满足，故C不正确； 对于D：，，，三项可构成等差数列，且公差为8，故D正确； 故选：D． 【变式训练6-1】已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】已知，所以，当时， ， 所以数列是公差为2的等差数列；当数列是公差为2的等差数列时，因为不知首项，所以数列的前n项和不确定，所以是充分不必要条件 故选：A 【变式训练6-2·变载体】已知数列的前项和为，其中，． (1)求的值以及数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）依题意，，解得，所以． 当时，， 当时，，满足上式， 综上所述，． （2）依题意，， 故， 故， 两式相减可得， ， 则． 【变式训练6-3·变载体】已知正项数列的前n项和为，且满足， (1)求 (2)求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可得，当时，，解得， 由，代入得，整理后得 ，即，根据等差数列的定义可知，数列 是首项为1，公差为1的等差数列，则， （2）由(1)可知， ， 题型7 等差数列通项公式与前n项和的最值 例7-1已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，即中最小的项是， 故选：C. 例7-2设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 【答案】C 【详解】由可得，由等差数列的性质可得：， 因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列， 故，即取最小值时，的值为14. 故选：C. 方法技巧 （1） 分析通项公式的最值，当公差(d≠0)时，等差数列的通项是一次函数，若(d > 0)，数列递增，首项最小；若(d < 0)，数列递减，首项最大。 （2） 寻找数列中最后一个正项（或负项）的位置，确定前 n 项和的最值出现的位置，即当所有正项相加时和最大，所有负项相加时和最小。 （3） 利用前 n 项和的二次函数性质，通过求二次函数的顶点来确定最值，注意顶点横坐标是否为正整数，若不是，取最接近的正整数。 （4） 结合首项和公差的符号，判断前 n 项和的最值类型（最大值或最小值）。 （5）验证最值的正确性，可通过计算相邻几项的和进行对比，确保结果符合数列的变化趋势。 【变式训练7-1】设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】假设等差数列的公差为，由得, 所以，所以，故， 则 则． 故选：C． 【变式训练7-2】记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（   ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】B 【详解】由已知可得， 的公差为，故， 故， 令，又，所以，故n的最大值为41， 验证，， 所以n的最大值为41. 故选：B. 【变式训练7-3】记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【答案】C 【详解】因为公差，所以数列单调递增，所以，又， 所以，所以数列前项全为负，从开始为正， 所以前项的和为的最小值，故. 故选：C. 题型8 等差数列中的数学文化 例8-1（2025·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了 尺布.” 【答案】11 【详解】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为， 由题得，所以 所以. 故答案为：11 方法技巧 （1）理解题目中的文化背景，将实际问题转化为等差数列模型，提取首项、公差和项数等关键信息。 （2）根据等差数列的相关公式，建立数学方程，求解问题。 （3）注意文化背景中的特殊表述，准确转化为数学语言，避免因理解偏差导致错误。 （4）结合等差数列的性质，简化计算过程，提高解题效率。 （5）验证结果的合理性，确保符合实际问题的情境。 【变式训练8-1·变载体】《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【详解】令所给等差数列为，其前项和为， 则，即，因此， 解得， 则数列的公差，所以谷雨日影长. 故选：B 【变式训练8-2·变载体】南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令数列：为数列，于是， 依题意，数列为：，于是 数列为：是等差数列，， 则，因此， 所以该数列的第项为. 故选：B 【变式训练8-3·变载体】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 则第段圆弧的半径为，弧长记为，则， 所以. 故选：D． 题型9 等差数列奇偶项的和 例9-1已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 例9-2若等差数列的项数为，则 ． 【答案】 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 方法技巧 （1） 确定数列的项数是奇数还是偶数，这是分析奇偶项和的关键。 （2） 当项数为偶数时，设为2n，则奇数项和与偶数项和的差为nd（d为公差）。 （3） 当项数为奇数时，设为(2n + 1)，则奇数项和与偶数项和的差为中间项的值，且奇数项和等于(n + 1)倍的中间项，偶数项和等于n倍的中间项。 （4） 利用这些规律，快速计算奇偶项的和，避免分别求和的繁琐过程。 （5）结合具体题目，准确判断项数的奇偶性，选择合适的规律进行计算。 【变式训练9-1·变载体】等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 【变式训练9-2·变载体】已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 【变式训练9-3·变载体】已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，， 所以， 所有奇数项的和为， 于是可得. 故选：A. 题型10 等差数列的证明 例10-1数列满足，且对于，都有. (1)求数列的，，； (2)证明数列是等差数列； (3)求. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，， 所以， ， ； （2）由得，等式两边同时除以， 可得，即， 当时，. 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， （3）由（2）知，则， 当时由累加法得： ， 等式两边同乘2，得. 两式相减得 ， 因为所以（）， 当时上式也成立， 综上. 方法技巧 (1) 掌握等差数列的两种证明方法：定义法和中项法。定义法是证明相邻两项的差为常数，中项法是证明某一项是前后两项的等差中项。 (2) 使用定义法时，计算, 化简后证明其为常数，注意对所有正整数都成立。 (3)使用中项法时，证明, 确保等式对所有都成立。 (4)在证明过程中，注意逻辑的严谨性，每一步推导都要有依据。 (5)结合已知条件，灵活选择证明方法，提高证明的效率和准确性。 【变式训练10-1】在数列中，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和，并比较与的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【详解】（1）在数列中，，且， ， 是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）得， 则 ， ，即， 又符合， ， 故， ． 则对， 又，故． 【变式训练10-2】已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若，成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2)（i）（ii） 【详解】（1）因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. 所以， 所以. （2）（i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 【变式训练10-3】已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为是与的等差中项，所以， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以， 所以数列是公差为1，首项为的等差数列； （2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以， 所以，当时，， 当时，， 所以, 所以， 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 2．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 3．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 【答案】 48 384 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 4．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 5．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A．64 B．96 C．128 D．160 【答案】C 【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为， 因为，，可得， 可得， 又由长与宽之比都相等，且，可得，所以. 故选：C. 6．（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】B 【详解】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：， 注意到， 且由可知， 由可知数列不存在最小项， 由于， 故数列中的正项只有有限项：，. 故数列中存在最大项，且最大项为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题. 1．已知在等差数列中，，．求． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为d，则在等差数列中， ， 2．在等差数列中，为其前n项的和，若，，求． 【答案】72 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 则. 3．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 【答案】，， 【详解】解：在和之间插入3个数，使这5个数成等差数列， ，解得， ， ， ， 插入的这3个数为，，． 4．若，都是等差数列，且，则数列的前100项和为 A．6000 B．600 C．5050 D．60000 【答案】A 【详解】试题分析：因为数列都是等差数列，且，数列的前项和为，故选A． 考点：数列的求和． 5．画出数列，的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率． 【答案】 【详解】由题知，数列是一个等差数列， 其首项为，公差为，则，可得图象如下：    因此，通过图象上所有点的直线的斜率为. 6．已知数列的前项和为，则这个数列的通项公式为 【答案】 【详解】（1）当n＝1时，1＝S1＝， （2）当n≥2时，n＝Sn﹣Sn﹣1＝ 经检验，1＝，不满足上式． 所以这个数列的通项公式 ． 【点睛】本题考查利用公式法求数列的通项公式知识，注意验证n＝1的情况，属于基础题． 7．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和． 【答案】1472 【详解】有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项. 共有个，也是等差数列， 它们的和为， 这个新数列的各项之和为1472 8．已知是等差数列的前n项和． (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，求． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）若的公差为，则， 所以，则， 故， 即是首项为，公差为的等差数列，得证； （2）由题设，则数列的公差， 所以，则. 9．已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值． 【答案】存在最小值， 【详解】由已知可知等差数列的首项，公差 则数列的通项公式为 令，即，又，且 即数列的前9项都是负数，第10项为正数， 故当时，存在最小值. 10．（1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）因为， 当时，， 所以， 又时，不满足上式， 故数列的通项公式为. （2）当，，解得：， 当和时，， 所以取得最小值时，. 11．已知数列是等差数列，其前项和为. (1)若，求； (2)若，且，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）把代入， 得，整理得， 解得，或（舍去）. 所以. （2）法1（运用性质） 易知， ， 因为，所以，所以. 法2（运用通项公式及求和公式） 因为，所以， 即，因此， 所以， 由题意知，所以， 解得. 12．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足． （1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由． （2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式． 【答案】（1）数列是等差数列，证明见解析；（2）. 【详解】（1）数列是等差数列， 证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以， 又因为， 故 ， 而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列， 而，， 所以. 13．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息． （1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？ （2）如果每辆车行驶的速度都是，这个车队当天一共行驶了多少千米？ 【答案】（1）小时； （2） . 【详解】（1）第一辆车出发事件为14时，每辆车的间隔时间为，即为小时， 则第15辆车在小时后，最后一辆车出发的时间为， 所以第15辆车行驶的时间为小时，即1小时40分钟. （2）设每辆车行驶的时间构成数列， 由题意可得构成首项为，公差为的等差数列， 则15辆车行驶的时间的和为小时， 所以行驶的总里程为. 14．已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d． （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 【答案】（1）是等差数列，首项为，公差为；（2）是等差数列，首项为首项为，公差为；（3）是等差数列，首项为，公差为；猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列. 【详解】（1）由题意可知，将无穷等差数列的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. （2）由题意可知，取出无穷等差数列中的所有奇数项，组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. （3）由题意可知，取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. 猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列. 15．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列． （1）写出数列的一个递推公式； （2）根据（1）中的递推公式，写出数列的一个通项公式． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题意可知， ， ， ，， ； 所以数列的一个递推公式为； （2）由题意，， 故， 所以数列的一个通项公式为. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$