第03讲 三角函数的图象与性质（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 三角函数的图象与性质 目录 01 常考题型过关练 题型01 三角函数定义域 题型02 三角函数值域（最值） 题型03 三角函数周期 题型04 三角函数单调性 题型05 三角函数奇偶性 题型06 三角函数对称性 题型07 三角函数图象变换 题型08 根据图象求解析式 题型09 五点法作图 题型10 三角函数实际问题 题型11 三角函数中零点问题 题型12 三角函数中能成立与恒成立问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 三角函数定义域 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为 ． 4．函数的定义域为 . 5．函数f(x)＝的定义域为 . 02 三角函数值域（最值） 6．函数在上的最大值为 . 7．函数最大值为 ． 8．函数，，最小值为 ． 9．（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 10．求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 03 三角函数周期 11．下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（  ） A． B． C． D． 12．下列函数中，是最小正周期为的奇函数的是（    ） A． B． C． D． 13．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 14．对于的绝对值函数的性质研究，可以借助将图象在x轴下半部分沿x轴翻折进行研究.那么对于函数的绝对值函数：的共性的两个命题（    ） ①这三个绝对值函数较原函数周期均减半；②在[0,π]的区间上，这三个绝对值函数周期性与原函数相同. A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 15．化简，并求函数的最小正周期． 04 三角函数单调性 16．已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 17．已知函数． (1)在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点．求的值； (2)求函数的单调递减区间． 18．已知，，． (1)若，求的值； (2)设函数，求函数在R上的单调递增区间． 19．已知函数． (1)求的最小正周期，并求出的对称轴方程； (2)若，求的单调递增区间和最小值． 20．已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 05 三角函数奇偶性 21．已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 22．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 23．函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 24．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 25．函数是偶函数，则的最小正值为 ． 06 三角函数对称性 26．已知函数图象的一个对称中心为，则为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移1个单位长度 D．向右平移个单位长度 27．若的图象关于对称，则（   ） A． B．0 C．1 D． 28．将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称数的最小值为（   ） A． B． C． D． 29．已知函数，其函数图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 30．函数在内恰有两个对称中心，，则 . 31．已知函数为奇函数． (1)求； (2)设函数，求的值域和对称中心． 07 三角函数图象变换 32．为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点（ ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 33．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 34．把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（　　） A． B． C． D． 35．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向 平移 个单位． 36．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为 ． 37．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在区间上有且仅有2个最大值，则的取值范围是 ． 08根据图象求解析式 38．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 39．已知函数的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为（   ）    A． B． C． D． 40．已知函数的部分图像，如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 41．已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间. 42．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若，且，求的值． 09 五点法作图 43．已知函数． (1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)求的对称轴与对称中心； (3)当，求函数的值域. 44．已知函数 . (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；       (2)求使此函数取得最大值，最小值的自变量的集合，并分列写出最大值、最小值. 45．已知函数，. (1)填写下表，用“五点法”作函数在一个周期内的图象； 0 0 0 0 (2)函数的最小正周期_____； (3)求函数的单调增区间和对称中心. 46．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； (2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； (3)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左平移个单位长度得到的图像，求在区间上的值域． 10 三角函数实际问题 47．如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 48．如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（ ） A． B． C． D． 49．如图所示，某地夏天从时的用电量变化曲线近似满足函数．    (1)写出时的函数的解析式； (2)若每日时的用量变化也满足图中曲线关系，当用电量大于等于45万会导致供电设备供能紧张，求出每日供能紧张的时间段． 50．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 51．如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 11 三角函数中零点问题 52．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 53．已知函数的最小值为． (1)求m的值； (2)当时，函数的取值范围是，求n的取值范围； (3)当时，求方程所有实数根的和． 54．已知函数． (1)若的最小正周期为，求的单调递增区间； (2)若在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 55．已知函数（其中），将的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的单调增区间； (3)记方程在上有五个实根，，，，，其中，求的取值范围及的值. 56．已知函数，其中，，. (1)求函数在上的单调递减区间； (2)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 12 三角函数中能成立与恒成立问题 57．已知向量，，函数，图象的相邻对称轴之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求函数的单调递增区间和的图象的对称轴方程； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围． 58．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 59．已知函数，，是的两个零点，且的最小值是π. (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 60．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 61．已知函数． (1)求的上的最大值和最小值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 1．（2025·北京石景山·一模）已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 2．（2025·北京海淀·三模）已知函数（，）．在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求解下列问题． 条件①：； 条件②：当时，取到最小值； 条件③：． (1)求、的值； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 3．（2025·北京·三模）已知函数. (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，. 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 4．（2025·北京海淀·二模）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：是的一个零点． 5．（2025·北京通州·一模）设函数 (1)若，求的值. (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值. 条件①：在区间上单调递减； 条件②：； 条件③：为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分， 1．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 三角函数的图象与性质 目录 01 常考题型过关练 题型01 三角函数定义域 题型02 三角函数值域（最值） 题型03 三角函数周期 题型04 三角函数单调性 题型05 三角函数奇偶性 题型06 三角函数对称性 题型07 三角函数图象变换 题型08 根据图象求解析式 题型09 五点法作图 题型10 三角函数实际问题 题型11 三角函数中零点问题 题型12 三角函数中能成立与恒成立问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 三角函数定义域 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域满足，解得. 故函数定义域为 故选：B. 3．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由，则， 化简可得，解得. 故答案为：. 4．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】， 则，解得， 所以， 即函数的定义域为. 故答案为： 5．函数f(x)＝的定义域为 . 【答案】[kπ－，kπ＋]，k∈Z 【详解】∵cos2x≥sin2x，即|cos x|≥|sin x|， ∴如下图示， f(x)的定义域为[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 故答案为：[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 02 三角函数值域（最值） 6．函数在上的最大值为 . 【答案】/ 【详解】由可理解为单位圆上的点与点所在直线的斜率. 因，则， 故点为以原点为圆心，半径为1的圆的上半部分上的点（含端点），如图所示. 由图知，当直线与半圆相切时，斜率最大. 设此时直线斜率为，则切线方程为，即， 由圆心到直线的距离，解得， 即函数在上的最大值为. 故答案为：. 7．函数最大值为 ． 【答案】 【详解】依题意，， 而，所以当时，取得最大值. 故答案为： 8．函数，，最小值为 ． 【答案】 【详解】令，则， 所以． 因为在上是减函数， 所以当，即时，， 即最小值为. 故答案为：. 9．（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】（1）要使有意义， 则，解得， 解得. 故函数的定义域是； （2）设，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：；. 10．求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 【答案】(1)最小值，无最大值； (2)； (3). 【详解】（1）设，， 则. 当时，y取最小值，无最大值， （2），. 由知为偶函数. 当时，， 令，， 当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为. 故值域为. （3）令，则， 因为函数的定义域为，即， 所以， 则，. 由得， 所以函数值域为. 03 三角函数周期 11．下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，的最小正周期为，A不是； 对于B，函数是偶函数，B不是； 对于C，函数最小正周期为且是奇函数，C是； 对于D，是偶函数，D不是. 故选：C 12．下列函数中，是最小正周期为的奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，函数是最小正周期为的奇函数，A不满足要求； 对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数，B不满足要求； 对于C选项，函数是最小正周期为的奇函数，C满足要求； 对于D选项，设，该函数的定义域为， 因为， ， 所以函数的最小正周期为， 因为，即函数为奇函数，D不合乎要求. 故选：C. 13．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【详解】， 所以函数的最小正周期为， 又，所以为偶函数. 故选：D. 14．对于的绝对值函数的性质研究，可以借助将图象在x轴下半部分沿x轴翻折进行研究.那么对于函数的绝对值函数：的共性的两个命题（    ） ①这三个绝对值函数较原函数周期均减半；②在[0,π]的区间上，这三个绝对值函数周期性与原函数相同. A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】D 【详解】对于，其最小正周期为，而的最小正周期也为，①错； 对于与、与，原函数的周期都是，而绝对值函数周期为，②错. 故选：D 15．化简，并求函数的最小正周期． 【答案】，最小正周期为． 【详解】 ． 故的最小正周期为． 04 三角函数单调性 16．已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】依题意，函数， 对于A，因为，，则， 所以在上不是单调递减函数，A错误； 对于B，因为，，则， 所以在上不是单调递减函数，B错误； 对于C，当时，，余弦函数在上单调递减， 因此在上单调递增，C正确； 对于D，因为，，则， 所以在上不是单调递减函数，D错误. 故选：C. 17．已知函数． (1)在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点．求的值； (2)求函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为角以为始边，终边与单位圆交于点，所以， 所以； （2）， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 18．已知，，． (1)若，求的值； (2)设函数，求函数在R上的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，又，， 所以，所以， 所以，所以； （2）因为，， 所以 由，得， 所以函数在R上的单调递增区间为． 19．已知函数． (1)求的最小正周期，并求出的对称轴方程； (2)若，求的单调递增区间和最小值． 【答案】(1)，； (2)单调递增区间为，． 【详解】（1）由已知 ， 所以最小正周期， 令，解得， 所以的对称轴方程为. （2）当时，， 又在上单调递增， 所以由，解得， 即的单调递增区间为， 因为，所以， 所以， 即的最小值为. 20．已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1)定义域为；值域为； (2)；对称轴方程为； (3)单调减区间为；单调增区间为． 【详解】（1）由，得到， 又因为的值域为，所以的值域为， 则函数的定义域为，值域为. （2）因为的周期为， 且的图象可由的图象将轴下方图象关于轴翻折上去，上方图象不变得到， 又将图象上所有点向右平移个单位，得到， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到的图象， 再将图象所点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到， 则的图象如图所示， 由图知的周期为， 又由，得到，所以函数的对称轴方程为. （3）因为在区间上单调递增， 由，得到， 由，得到， 所以的减区间为，增区间为. 05 三角函数奇偶性 21．已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设函数，易知定义域为， 由，可知为奇函数， 所以在区间的最大值与最小值互为相反数，即， 即， 可得，解得； 故选：D. 22．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的图象向左平移个单位得到函数的图象， 可得. 因为函数的定义域为，且是奇函数， 所以，即， 即， 即，所以. 故选：B 23．函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，函数， 且， 存在，函数为奇函数， 则或， 当时，所以为奇函数， 可得， 所以, 当时，D满足条件，ABC不满足； 当时，， 此时或， 当且仅当时为奇函数，不符合，不合题意. 故选：D. 24．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则， 因为，所以的最小值是， 故选：B. 25．函数是偶函数，则的最小正值为 ． 【答案】/ 【详解】由于是偶函数，所以，， 故，，所以当时，取最小正值，最小正值为． 故答案为：. 06 三角函数对称性 26．已知函数图象的一个对称中心为，则为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移1个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【详解】因为函数图象的一个对称中心为， 所以，即， 又因为，所以当时，可得，所以. 为了得到函数的图象， 只需将函数的图象向右平移1个单位长度，即， 故选：C 27．若的图象关于对称，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【详解】根据辅助角公式得：， 因为的图象关于对称， 所以，解得即， 则. 故选：B 28．将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将曲线向右平移个单位长度后得到的曲线为：. 因为该曲线关于原点对称，所以， 解得.因为， 当时，取最小值为. 故选：B. 29．已知函数，其函数图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数图象向左平移个单位长度得到： 关于原点对称， ，解得， 因为，所以，，解得，， 故或 当时，；当时，， 故实数的最大值为. 故选：C. 30．函数在内恰有两个对称中心，，则 . 【答案】2或 【详解】令， 若，由，则， 因为函数在内恰有两个对称中心， 所以， 又， 所以， 所以. 若，则， 由函数在内恰有两个对称中心， 所以，又， . 综上，或. 故答案为：或. 31．已知函数为奇函数． (1)求； (2)设函数，求的值域和对称中心． 【答案】(1) (2)值域是， 【详解】（1）由为奇函数，则，由得. （2）由（1）得， 则 . ∵，∴， 即，则的值域是. 令，∴， 则的对称中心是. 07 三角函数图象变换 32．为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点（ ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【详解】因为， 所以为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点向右平行移动个单位长度， 故选：D. 33．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，， 因为函数关于原点对称，所以， 则，,得，且， 所以. 故选：D 34．把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到， 再将上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到， 将上所有点向左平移个单位，得到， 故选：A. 35．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向 平移 个单位． 【答案】 左 / 【详解】， 所以要得到该函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位即可. 故答案为：左；. 36．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】， 图像向右平移个单位长度后得到是偶函数， ，的最小值为. 故答案为：. 37．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在区间上有且仅有2个最大值，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为， 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象，则， 当时，．则，解得． 故答案为：. 08根据图象求解析式 38．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得， 又，即，可得， 所以，故B正确； 对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误. 故选：B. 39．已知函数的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据图象，，， 所以，则， 则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为. 故选：C 40．已知函数的部分图像，如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由题图得， 因为，∴. 由，得， 所以，解得. 又因为，∴当时，. 又由，得. 故. （2）将 的图像向右平移个单位， 得到的图像， 再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到的图像. 由，，得， 当时，；当时，， 因为，所以函数在区间上的单调递增区间为， 41．已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间. 【答案】(1)，对称中心为 (2)、 【详解】（1）由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此，， 由得， 因此，函数的对称中心的坐标为. （2）将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象， 则， 当时，， 由得，由得， 因此，函数在上的单调减区间为、. 42．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，又因为过点，所以， 所以，又，所以，所以， 又因为过点，所以， 所以，所以， 所以，又函数的最小正周期，所以， 所以，解得，又，所以，所以； （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到，所以， 又，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以 ， 所以 09 五点法作图 43．已知函数． (1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)求的对称轴与对称中心； (3)当，求函数的值域. 【答案】(1)见解析； (2)对称轴为，对称中心为； (3) 【详解】（1）列表 0 函数图像如图所示 （2）令，得对称轴：， 令，得，所以对称中心为； （3）由，得， 当，即时，； 当，即时，. 所以的值域为. 44．已知函数 . (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；       (2)求使此函数取得最大值，最小值的自变量的集合，并分列写出最大值、最小值. 【答案】(1)图象见解析 (2)，此时；，此时 【详解】（1）函数 的周期为，列表 描点、连线得到图象如下，    （2）易知，此时，解得， 所以取最大值时，的取值集合为， ，此时，解得， 所以取最小值时，的取值集合为. 45．已知函数，. (1)填写下表，用“五点法”作函数在一个周期内的图象； 0 0 0 0 (2)函数的最小正周期_____； (3)求函数的单调增区间和对称中心. 【答案】(1)见解析 (2) (3)单调递增区间：，；对称中心：. 【详解】（1） x 0 0 2 0 0 函数图象如图所示， （2）由，可知； （3）令，， 得，. 所以函数的单调递增区间：，. 令，得， 即的对称中心为：. 46．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； (2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； (3)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左平移个单位长度得到的图像，求在区间上的值域． 【答案】(1)表格见解析， (2)作图见解析； (3) 【详解】（1）由题可知，，所以， ，， ， 则数据补全如下表： 0 0 3 0 0 （2）由（1），在一个周期内的图象如图所示， ； （3）， 当时，， 则，则， 即在区间上的值域为. 10 三角函数实际问题 47．如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D 48．如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以筒车中心为原点，与水面平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 设盛水筒经过秒后到水面的距离为米， 由题可知筒车半径为6，点的纵坐标为3，则， 又由题知，， 则，， 作弦平行且等于盛水槽，则在中， ，则（H为中点）， 则距离水面的高度为， 盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽， 即当时符合题意， 故，即，解得， 因为，所以盛水筒转一圈的过程中，有秒能把水倒入盛水槽. 故选：A. 49．如图所示，某地夏天从时的用电量变化曲线近似满足函数．    (1)写出时的函数的解析式； (2)若每日时的用量变化也满足图中曲线关系，当用电量大于等于45万会导致供电设备供能紧张，求出每日供能紧张的时间段． 【答案】(1) (2)时 【详解】（1）由图象可知从时的图象是的半个周期的图象， ． ， ， 将代入上式，得， 即，即， 又， 所求解析式为． （2）由题意得， 即， 则， 解得， 又， ， 因此每日供能紧张的时间段为时. 50．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】(1) (2)该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，所以卸货最多只能用4小时时间. 【详解】（1）根据表中数据可画出如图所示的散点图， 由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； （2）由题意可得，化简得， 所以，解得，， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 51．如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点， 以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边的角为， 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． （2）在运行一周的过程中，由，则， 令，可得， 解得或者． 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度不超过的时长为． （3）由甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，如图，甲、乙两人的位置分别用点、表示， 不妨设点相对于始终落后，则， 经过后，甲距离地面的高度为， 点相对于始终落后，此时距离地面的高度， 则甲、乙高度差， 利用， 可得， 当或，即或， 所以 ， 则将参考数据，代入， 得， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 11 三角函数中零点问题 52．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，则根据图象可得， 又，解得， 所以， 又， 则，，又，得， 故． （2）由，则， 又在上单调递增，对应的值域为； 在上单调递减，对应的值域为， 又函数在区间上恰好有二个零点， 即与在区间上恰好有二个交点，如下图： 所以，即． 故实数k的取值范围为． 53．已知函数的最小值为． (1)求m的值； (2)当时，函数的取值范围是，求n的取值范围； (3)当时，求方程所有实数根的和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意， 因为函数的最小值为，所以，解得； （2）由（1）可知， 当时，， 因为当时，函数的取值范围是， 所以，解得， 所以n的取值范围为； （3）因为或， 在同一平面直角坐标系中画出函数、以及的图象，如图所示， 令，可得；令，可得. 所以当时，方程所有实数根的和为. 54．已知函数． (1)若的最小正周期为，求的单调递增区间； (2)若在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知 ， 因为的最小正周期为，且，所以， 解得，所以， 令， 解得， 即的单调递增区间为． （2）令，得， 当时，， 又在区间上恰有两个零点，即有两解， 所以， 解得，即的取值范围是． 55．已知函数（其中），将的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的单调增区间； (3)记方程在上有五个实根，，，，，其中，求的取值范围及的值. 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）， 由的图象向右平移个单位长度，得， 此函数是偶函数，则， 因为，所以当时，，. （2）法一 由，得 因为，所以当时， 所以的单调增区间为 法二 由，得 由，得 所以的单调增区间为 （3）由，可得 令，作出函数在上的图象，如图所示， 由方程在上有五个实数根，可得函数与直线在上有五个交点. 当时，；当时，， 则由图象可得当时，函数与直线在上有五个交点，设为，不妨设， ，，，， 所以，， ，， 解得，，，， 故，. 56．已知函数，其中，，. (1)求函数在上的单调递减区间； (2)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）， 设，所以， 又在上的单调递减区间为， 由，得， 所以在上的单调递减区间是. （2）由（1）知，所以. 函数在上存在零点， 即在上有解. 因为，所以， 所以，令，， 则，所以， 解得， 所以实数的取值范围为. 12 三角函数中能成立与恒成立问题 57．已知向量，，函数，图象的相邻对称轴之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求函数的单调递增区间和的图象的对称轴方程； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，，对称轴方程为， (3) 【详解】（1）依题意， ，． 因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以． （2）令， 则， 所以的单调递增区间为，； 令，，解得，， 即的图象的对称轴方程为，． （3）由（1）知， 将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍， 得到函数的图象， 再向左平移个单位得的图象． 令，，则， 所以， 因为在上只有一个解， 由的图象（如图）可得，或， 所以的取值范围是. 58．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为. （2）令，即， 所以或， ，此时，在内解为， ，此时，在内解为， 综上，函数在上的零点为. （3）当时，，故. 原式， 当时，符合； 当时，， 令，则，， 因在上单调递增，最大值为， . 综上：的取值范围为. 59．已知函数，，是的两个零点，且的最小值是π. (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【详解】（1）由题意可得. 由于，是的两个零点， 所以，是的两个零点， 因为的最小值是，且，所以最小正周期，解得. （2）由（1）知. 因为，所以. 当，即时，取得最小值，； 当，即时，取得最大值，. 故在上的值域为. （3）设，，由（2）可知. 不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，即. 因为，当且仅当时，等号成立. 所以a的取值范围是. 60．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，且函数的周期为， 所以，即， 又由，即， 根据五点对应法，可得，即， 因为，所以，所以， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）解：将函数的图象向右平移个单位， 得到函数， 关于的方程在上有解，即在上有解， 即函数和的图象在上有公共点， 因为，可得， 当时，可得；当时，即时，可得， 所以函数的值域为，所以，解得， 所以实数的取值范围 61．已知函数． (1)求的上的最大值和最小值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小值2；最大值3 (2) 【详解】（1）因为， 当时，则， 当，即时，函数取得最大值，最大值为， 当，即时，函数取得最小值，最小值为， 所以的上的最大值为3，最小值为2. （2）由得：， 由（2）知，， 所以，解得， 即实数m的取值范围为. 1．（2025·北京石景山·一模）已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【详解】（1）①，由，得； ②，由是的对称中心，得， 则，； ③，由， 因为可以由函数平移得到， 则，. 由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③. 选①③，由上述可知，，，， 则，即， 所以或，， 则或，， 又，则，即. 选②③，由上述可知，，，，， 则，，即，， 又，则，即. （2）由，得， 则，则， 所以函数在上的最大值为2，最小值为. 2．（2025·北京海淀·三模）已知函数（，）．在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求解下列问题． 条件①：； 条件②：当时，取到最小值； 条件③：． (1)求、的值； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意得， . 若选条件①：因为是图象的对称轴，所以，不可能满足， 所以不能选择条件①； 若选条件②：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，当时，取到最小值， 所以的最小正周期，且， 因为，所以， 所以，故， 所以，，即，， 因为，所以. 若选条件③：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，， 所以的最小正周期，且， 因为，所以， 所以，故， 所以，，即，， 因为，所以. （2）由（1）知，， 因为，所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 故实数m的最大值为 3．（2025·北京·三模）已知函数. (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，. 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）解：若，可得， 所以. （2）解：由 ， 若选择条件①②： 由，可得，所以， 因为，可得； 又因为，由且的最小值为， 可得，可得，可得，所以； 若选择条件②③： 由，由且的最小值为， 可得，可得，可得，所以， 此时， 又由图象关于直线对称，可得， 即，所以，可得， 因为，可得； 若选择条件①③： 由，可得，所以， 因为，可得，即， 又由图象关于直线对称，可得， 即，所以，可得， 因为，此时不存在. 4．（2025·北京海淀·二模）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：是的一个零点． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【详解】（1）因为 ， 当时，，则， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）因为，在区间上单调递增，且， 所以，解得； 若选①：，又在区间上单调递增， 所以曲线关于对称，且点在曲线的递增部分上， 则，所以，解得， 又，所以， 则，所以的最小正周期为； 若选②：是的一个极值点，又在区间上单调递增， 所以在处取得最大值， 则，所以，解得， 又，所以， 则，所以的最小正周期为； 若选③：是的一个零点， 则，所以，解得， 又，所以或， 当时，，所以的最小正周期为； 当时，，所以的最小正周期为； 5．（2025·北京通州·一模）设函数 (1)若，求的值. (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值. 条件①：在区间上单调递减； 条件②：； 条件③：为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分， 【答案】(1) (2)选择条件①或③，. 【详解】（1）由题意可知，即， 因，则. （2）条件①：在上单调递减，在上单调递增，且， 则在处取最小值，在处取最大值， 则，， 则，， 因，则， 则； 条件②：因，则不可能成立，故无解析式； 条件③：因，则在处取最大值， 又为函数图象的一条对称轴，且在上单调递增， 则在处取最小值， 则，， 则，， 因，则， 则. 综上可知，若选择条件①或③，则； 若选择条件②，则不存在解析式. 1．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$