第03讲 等式与不等式性质（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 等式与不等式性质 目录 01 常考题型过关练 题型01 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型02 由不等式关系，求解不等式范围 题型03 作差法或作商法比较式子大小关系 题型04 由不等式性质证明不等式 题型05 糖水不等式及其应用 02 核心突破提升练 01 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知非零实数，则下列命题中成立的是（   ）． A． B． C． D． 4．若实数，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．若，则下列命题正确的是 （     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 02 由不等式关系，求解不等式范围 6．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．设，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 9．已知，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 03 作差法或作商法比较式子大小关系 11．设为实数，比较与的值的大小； 12．比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 13．已知，，试比较与的大小； 04 由不等式性质证明不等式 14．若，，证明：． 15．已知，，求证． 16．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 05 糖水不等式及其应用 17．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，下面能符合这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 18．我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如 （填“＞”“＜”）． 19．已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 20．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）.假设全部溶解，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)已知，，且，求证：. 21．已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 1．若，则，那么一定是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知四个实数．当时，这四个实数中的最大者是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中，不能判断其符号的是（    ） A． B． C． D． 5．A，B均为实数，X为任意正数，恒成立，则可得（    ） A． B． C． D．无法确定A与B的大小关系 6．甲、乙两人给小车加油时有不同的习惯，甲每次加92汽油250元，乙每次加92汽油a升。如果甲、乙两人同时加油两次，两次的加油价格不同，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问甲、乙两人谁更合算？（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．与a的取值有关 7．若，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知均为实数，下列不等式恒成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等式与不等式性质 目录 01 常考题型过关练 题型01 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型02 由不等式关系，求解不等式范围 题型03 作差法或作商法比较式子大小关系 题型04 由不等式性质证明不等式 题型05 糖水不等式及其应用 02 核心突破提升练 01 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：因为，利用不等式的性质得，故A错误； 对于B：根据不等式可加性可知：，则，故B错误； 对于C：作差可得，因为，所以，则，故C正确； 对于D：，则，根据不等式可加性可知：，故D错误. 故选：C. 2．已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，且，故，C项错误； 因为，，所以，故B项错误； ，故D项正确. 故选：D. 3．已知非零实数，则下列命题中成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知当，，所以，故错误； 因为，当时，所以，故错误； 当非零实数，一正一负时，无意义，故错误； 因为在上单调递增，且， 所以，故正确. 故选：. 4．若实数，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确； 当时，，故C不正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确. 故选：C. 5．若，则下列命题正确的是 （     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A：当，时满足，但是，故A错误； 对于B：当，时满足，但是，故B错误； 对于C：当，时满足，但是，故C错误； 对于D：若，则，所以，则，故D正确； 故选：D 02 由不等式关系，求解不等式范围 6．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 7．设，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，， 所以，由同向不等式相加得． 故选：B. 8．已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】由不等式的性质得，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当即时，取到最大值. 故选：A. 9．已知，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，则，所以，， 因为，则，由不等式的性质可得， 故. 故选：C. 10．若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，， 所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 03 作差法或作商法比较式子大小关系 11．设为实数，比较与的值的大小； 【答案】 【详解】因为 ，当时等号成立， 所以. 12．比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 13．已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【详解】由题意，由立方和公式， 可得分子， 将其代入原式得， 进一步对其分子利用基本不等式可得，且等号成立当且仅当， 将其代入原式得， 综上所述（当且仅当时取等号）. 04 由不等式性质证明不等式 14．若，，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】∵，∴， 又∵，∴， ∴，则有：， 又∵， ∴． 15．已知，，求证． 【答案】证明见解析． 【详解】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以． 16．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 05 糖水不等式及其应用 17．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，下面能符合这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意糖水变甜即糖的浓度增大，因此正确． 故选：． 18．我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如 （填“＞”“＜”）． 【答案】> 【详解】令，则， 令，则， 所以，， 根据题设知：. 故答案为：> 19．已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知， 又 ． 综上，． 故选：A 20．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）.假设全部溶解，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)已知，，且，求证：. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）不等式为 ，其中 ， ． 因为 ， ，， 所以，，从而 ，即 ． （2）法一：，，且，所以 ，则有， ， 当且仅当时，取等号． 由（1）不等式知 ， 所以 ． 法二：因为，所以，因为，， 所以，即，所以有： ， 因为，，所以. 21．已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 1．若，则，那么一定是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则， 当，则，即，所以有. 故选：B 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以．由于，故在不等式上同时乘以a得，即，因此，． 3．已知四个实数．当时，这四个实数中的最大者是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则； ，则； ，则， 所以这四个实数中的最大者是. 故选：C 4．下列各式中，不能判断其符号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故A正确； ，故B正确； 当时，；当时，，故C正确； 当时，；当时，；当时，，则的值可正，可负，也可能为0，故D错误. 故选：D. 5．A，B均为实数，X为任意正数，恒成立，则可得（    ） A． B． C． D．无法确定A与B的大小关系 【答案】A 【详解】因为对任意的正数恒成立， 则只需， 又，所以，即. 故选：A. 6．甲、乙两人给小车加油时有不同的习惯，甲每次加92汽油250元，乙每次加92汽油a升。如果甲、乙两人同时加油两次，两次的加油价格不同，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问甲、乙两人谁更合算？（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．与a的取值有关 【答案】A 【详解】由题意，设第一次加油单价为x元，第二次为y元， 则乙两次加油共需付款元，甲两次能加升油， 设甲两次加油的平均单价为M元/升，乙两次加油的平均单价为N元/升， 则，，且，x，， 所以，即， 甲的加油方式更合算. 故选：A 7．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 所以 ， 所以，即， 故选：D． 8．已知均为实数，下列不等式恒成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】A，当时，，A错误； B，当时， 没意义，B错误； C，由，知，所以，C正确； D，当时，不成立，D错误. 故选：C 9．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对选项A：取，此时有， 因为单调递增，且， 所以，故此时，错误； 对选项B：取，，满足，，错误； 对选项C：取，此时有， 因为单调递增，且， 所以，故此时，错误； 对选项D：若，，知，，，成立； 若，知，，，正确. 故选择：D 10．若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ， 注意到， ， 因为，所以 故选：B 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$