精品解析：2025年河南省驻马店市新蔡县四校联考三模数学试题

2025年河南省驻马店市新蔡县四校联考三模数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列与1米最接近的是（ ） A. 一张纸的厚度 B. 郑州大剧院的高度 C. 月球半径 D. 秦国青铜剑的长度 2. 如图所示的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 今年3月22日是第三十三届“世界水日”．从宣传活动了解到去年南水北调中线工程向河南供水26.73亿立方米，受益人口增至3500万人．数据“3500万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 5. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（ ） A B. C. D. 7. 两只蚂蚁从点A爬到点B吃食物残渣，从点A到点B一共有三条路可以选择，两只蚂蚁随机选择，则两只蚂蚁选择同一条路的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，上午10时10分整，钟表上时针和分针所成角的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（ ）． A. B. C. D. 17 10. 现有质量相同、初温均为的两种物质，通过红外加热器加热相同时间（即相同），已知，则的温度随加热时间变化的图象最符合的是（ ） A. B. C D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大的无理数：_________． 12. 某校12名学生参加航空航天知识大赛，他们的得分情况如图，则得分的众数是_______． 13. 对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 14. 如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为____________． 15. 如图，中，，为边的中点，长度为的动线段绕点旋转，连接，取的中点，则长度的最大值为______，最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）下面是亮亮进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 任务：亮亮从第__________步开始出现错误； 请直接写出本题的正确结果__________； 当时，原整式的计算结果是__________． 17. 为获悉教师对某政策的了解情况，市教育局随机对七中和九中的教师进行了调查并各从中随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，满分100，单位：分），结果分为四个等级：不了解：；比较了解：；了解：；D．非常了解：．下面给出了部分信息： 【数据收集与整理】 七中 数据 67，83，73，73，80，75，76，77，83，79，80，80，65，68，79，84，85，86，97，90． 整理 等级 个数 A． 3 B． 7 C． 8 D． a 九中 数据与整理 A，B，C三个等级的数据个数相同． B等级的所有数据是：72，73，75，76，79，79． 【数据分析】 样本评分情况分析 平均数 中位数 方差 七中 79 79.5 57.6 九中 79 b 61.3 【问题解决】 （1）________，________； （2）经过分析，对该政策的了解程度更深的学校是________（填“七中”或“九中”）； （3）若评分分数达到80分及以上的教师可以获得奖品，且七中有360名教师，九中有320名教师，则估计七中和九中可以获得奖品的教师总人数． 18. 如图，在中，为边的中点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若在（1）中的射线上有一点，且，连接，求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，是的直径，一直尺的顶点M在的延长线上，使边与相切，C为切点，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，过点A作轴交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，以点A为圆心，长为半径画弧与x轴的右交点为点D，连接． （1）求反比例函数表达式； （2）求证：； （3）直接写出阴影部分的面积． 21. 奶茶店推出如下两款果茶，相关信息如下．已知销售A款共收入400元，B款共收入480元，其中每杯A款和B款的售价比为，B款比A款多卖20杯． A款配料 B款配料 芝士/杯 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 （1）分别求、两款果茶每杯的售价； （2）现准备了茉莉清茶（）和芝士用于制作、两款果茶，要求茉莉清茶全部用完，不能剩余，芝士消耗量不少于，则最多可以制作B款果茶多少杯？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）将原抛物线向上平移个单位长度，当平移后的抛物线与轴有且只有一个交点时，求的值； （3）点，在原抛物线上，若，，求的取值范围． 23. 综合与实践 【问题背景】数学活动课上，刘老师让学生以正方形为主题背景进行旋转变换探究活动．点E为正方形边延长线上一点，且，连接，将边绕点E顺时针旋转得到EP，旋转角为，连接． 【问题解决】下面是三个学习小组提出的数学问题，请你解决这些问题． （1）“奋进”小组提出的问题是：如图1，若点P落在边上，则______°；的值为______； （2）“智慧”小组提出的问题是：如图2，若点P落在正方形的内部，且，写出的值，并就图2的情形说明理由； （3）“创新”小组突发奇想，将提出的问题迁移到平面直角坐标系中，使得边BC在x轴上，点B与原点O重合，如图3．若，当点P在第一、三象限的角平分线上时，直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省驻马店市新蔡县四校联考三模数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列与1米最接近的是（ ） A. 一张纸的厚度 B. 郑州大剧院的高度 C. 月球的半径 D. 秦国青铜剑的长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对常见物体长度的估测，结合生活常识和实际数据进行分析即可． 【详解】解：A：一张纸的厚度约为0.1毫米（即0.0001米），远小于1米，排除． B：郑州大剧院作为大型建筑，高度通常为数十米，远超1米，排除． C：月球半径约为1737千米（即1737000米），与1米差距极大，排除． D：秦国青铜剑作为古代兵器，长度多在60厘米至1米之间，例如战国青铜剑常见长度为0.6~0.9米，与1米最接近． 故选D． 2. 如图所示几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，根据左视图是从几何体左边看到的形状图求解即可，注意看到的棱是实线，看不见的棱是虚线． 【详解】解：根据左视图定义，该几何体的左视图为， 故选：A． 3. 今年3月22日是第三十三届“世界水日”．从宣传活动了解到去年南水北调中线工程向河南供水26.73亿立方米，受益人口增至3500万人．数据“3500万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的概念，熟悉科学记数法的概念是解题的关键． 将3500万转换为科学记数法，需将其表示为的形式，其中，为整数． 【详解】3500万即，． 故选：C． 4. 已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反例法证明命题是假命题，根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、钝角三角形三条高线的交点在三角形外部，符合反例要求； 、直角三角形三条高线的交点为直角顶点，位于三角形边上，不在外部，不符合反例要求； 、锐角三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 、等边三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 故选：． 5. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断一次函数的图象所过的象限，根据的符号进行判断即可． 【详解】解：一次函数为，其中，． ∴图象经过第二、第一、第四象限，不经过第三象限． 故选：C． 6. 如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，用数轴表示不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤和解不等式的依据．分别求出每个不等式组的解集，再结合数轴判断即可得出答案． 【详解】解：A． 解不等式得， 解不等式得， ∴不符合题意； B． 解不等式得， 解不等式得， ∴符合题意； C． 解不等式得， 解不等式得， ∴不符合题意； D． 解不等式得， 解不等式得， ∴不符合题意； 故选：B． 7. 两只蚂蚁从点A爬到点B吃食物残渣，从点A到点B一共有三条路可以选择，两只蚂蚁随机选择，则两只蚂蚁选择同一条路的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两只蚂蚁选择同一条路的结果数有3种， ∴两只蚂蚁选择同一条路的概率是． 故选：B． 8. 如图，上午10时10分整，钟表上时针和分针所成角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了时针与分针的夹角，熟练掌握计算方法是解题的关键．根据时针每分钟转，分针每分钟转，进而求解即可． 【详解】解：∵时针每分钟转，分针每分钟转， ∴当时针指向上午时， 时针与分针的夹角度数为． 故选：D． 9. 如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（ ）． A. B. C. D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解决此类问题要了解仰角和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决，也考查了坡度与坡角． 过点作于点，先计算出，进而得到，易得四边形为矩形，根据矩形的性质求出，，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，如图， 根据题意得， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， 即该实验楼的高度为． 故选：A． 10. 现有质量相同、初温均为的两种物质，通过红外加热器加热相同时间（即相同），已知，则的温度随加热时间变化的图象最符合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象识别，根据两种物质的初温均为且M比N的温度升高得快，即可得出M和N的温度随加热时间变化的图象． 【详解】解：∵相同，两种物质的质量相同，且， ∴M比N的温度升高得快， ∵两种物质的初温均为， ∴M和N的温度随加热时间变化的图象是D． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大的无理数：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据无理数、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：， ，即， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了无理数、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 12. 某校12名学生参加航空航天知识大赛，他们的得分情况如图，则得分的众数是_______． 【答案】95分 【解析】 【分析】本题主要考查众数，根据条形图及众数的定义可直接进行求解． 【详解】解：由图可得：这名学生所得分数为分的人数最多，为人，则众数为分． 故答案为：分． 13. 对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算，要根的判别式，理解新定义的运算是解答关键． 根据新定义的运算表示出一元二次方程，再利用判别式来求解． 【详解】解：※， ， 即． 关于的方程※有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 14. 如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为____________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】由将菱形沿折叠，点的对应点，，得，得，由，得，得，，得，即可得．本题主要考查了图形的折叠，菱形的性质，解题关键是正确应用折叠的性质． 【详解】解：将菱形沿折叠，点的对应点，， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 15. 如图，中，，为边的中点，长度为的动线段绕点旋转，连接，取的中点，则长度的最大值为______，最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，勾股定理，延长至，使得，连接，可得是的中位线，即得，可知当取最大值或最小值时，的值最大或最小，再分别画出图形解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长至，使得，连接， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最大值或最小值时，的值最大或最小， 如图，当点在的延长线且共线时，的值最大， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即长度的最大值为； 如图，当点在之间且共线时，的值最小， ∴， ∴， 即长度的最小值为； 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）下面是亮亮进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 任务：亮亮从第__________步开始出现错误； 请直接写出本题的正确结果__________； 当时，原整式的计算结果是__________． 【答案】（）；（）一； ； ． 【解析】 【分析】本题考查了实数运算和整式化简求值，掌握实数和整式相关的运算法则是解题的关键． （）先算零指数幂，去绝对值，算术平方根，再算加减即可； （）观察解答过程可得答案； 先根据平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并同类项即可； 把的值代入计算可得答案． 【详解】解：（） ； （）观察解答过程可知，亮亮从第一步步开始出现错误， 故答案为：一； 解：原式 ， 故答案为：； 当时， 原式 ． 17. 为获悉教师对某政策的了解情况，市教育局随机对七中和九中的教师进行了调查并各从中随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，满分100，单位：分），结果分为四个等级：不了解：；比较了解：；了解：；D．非常了解：．下面给出了部分信息： 【数据收集与整理】 七中 数据 67，83，73，73，80，75，76，77，83，79，80，80，65，68，79，84，85，86，97，90． 整理 等级 个数 A． 3 B． 7 C． 8 D． a 九中 数据与整理 A，B，C三个等级的数据个数相同． B等级的所有数据是：72，73，75，76，79，79． 【数据分析】 样本评分情况分析 平均数 中位数 方差 七中 79 79.5 57.6 九中 79 b 61.3 【问题解决】 （1）________，________； （2）经过分析，对该政策的了解程度更深的学校是________（填“七中”或“九中”）； （3）若评分分数达到80分及以上的教师可以获得奖品，且七中有360名教师，九中有320名教师，则估计七中和九中可以获得奖品的教师总人数． 【答案】（1）2；77.5 （2）七中 （3）估计七中和九中可以获得奖品的教师总人数为人 【解析】 【分析】本题考查从统计表获取信息与处理信息，样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键． （）根据总人数减去七中三个等级人数即可求出，由中位数的定义结合九中数据即可求解，由题意即可求出优等率； （）由平均数，中位数，方差进行分析即可； （）根据题意列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ∵九中，，三个等级的数据个数相同， ∴，，等级的数据个数为都个， ∴等级的数据个数为（个）， ∵，，且B等级的所有数据是：72，73，75，76，79，79， ∴九中的中位数为第、的平均数为， 则， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：对该政策的了解程度更深的学校是七中，理由如下： 根据统计表提供的信息，七中、九中两个学校的平均分相同，但是其他统计量不同， 从中位数看，七中高于九中， 从方差看，七中低于九中，说明七中教师对该政策的了解程度更为稳定； 综上所述，对该政策的了解程度更深的学校是七中， 故答案为：七中； 【小问3详解】 解：根据题意：（人） 答：估计七中和九中可以获得奖品的教师总人数为人． 18. 如图，在中，为边的中点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若在（1）中的射线上有一点，且，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图、平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）证明，可得结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：证明：由作图可知， ， 为中点． 点为中点， 为的中位线， ， ， 四边形为平行四边形． 19. 如图，是的直径，一直尺的顶点M在的延长线上，使边与相切，C为切点，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定与性在，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）如图，连接，根据切线的性质得到，结合等腰三角形的性质推出，由已知，即可求解； （2）由题意求出，，由直角三角形的性质可得，则，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ∴， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ∵， ，则， 解得， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，过点A作轴交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，以点A为圆心，长为半径画弧与x轴的右交点为点D，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求证：； （3）直接写出阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求解，再利用待定系数法求解反比例函数解析式即可； （2）先求解（舍去），可得，由作图可得：，求解，设，结合，可得，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （3）由（2）得：，，结合阴影部分的面积为扇形面积减去直角三角形的面积即可. 【小问1详解】 解：∵点，过点A作轴交反比例函数的图象于点， ∴， ∴， ∴反比例函数为； 【小问2详解】 证明：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 由作图可得：， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得：，， ∴阴影部分的面积为. 【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，求解反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理的应用，求解扇形的面积，掌握以上知识是解本题的关键. 21. 奶茶店推出如下两款果茶，相关信息如下．已知销售A款共收入400元，B款共收入480元，其中每杯A款和B款的售价比为，B款比A款多卖20杯． A款配料 B款配料 芝士/杯 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 （1）分别求、两款果茶每杯的售价； （2）现准备了茉莉清茶（）和芝士用于制作、两款果茶，要求茉莉清茶全部用完，不能剩余，芝士消耗量不少于，则最多可以制作B款果茶多少杯？ 【答案】（1）每杯A款的售价是元，每杯B款的售价是元 （2）7杯 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每杯B款的售价是元，则每杯A款的售价是元，根据B款比A款多卖20杯建立方程求解即可； （2）设制作A款果茶杯，B款果茶杯，根据茉莉清茶的消耗量可得方程 解得，再根据芝士的消耗量列出不等式求出m的取值范围，进而求出n的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每杯B款的售价是元，则每杯A款的售价是元， 由题意得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：每杯A款的售价是元，每杯B款的售价是元； 【小问2详解】 解：设制作A款果茶杯，B款果茶杯， ， ， 芝士消耗量不少于， ， 解得， ∴ 解得， ∴n的最大值为7 答：最多可以制作B款果茶7杯． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）将原抛物线向上平移个单位长度，当平移后的抛物线与轴有且只有一个交点时，求的值； （3）点，在原抛物线上，若，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移性质求解即可； （3）点，在原抛物线上，可得，，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 ， 平移后抛物线与轴有且只有一个交点， ； 【小问3详解】 点，在原抛物线上， ，， ， ， ，即， 当，时， 解得：， 当，时，无解， 综上的取值范围是． 23. 综合与实践 【问题背景】数学活动课上，刘老师让学生以正方形为主题背景进行旋转变换探究活动．点E为正方形边延长线上一点，且，连接，将边绕点E顺时针旋转得到EP，旋转角为，连接． 【问题解决】下面是三个学习小组提出的数学问题，请你解决这些问题． （1）“奋进”小组提出的问题是：如图1，若点P落在边上，则______°；的值为______； （2）“智慧”小组提出的问题是：如图2，若点P落在正方形的内部，且，写出的值，并就图2的情形说明理由； （3）“创新”小组突发奇想，将提出的问题迁移到平面直角坐标系中，使得边BC在x轴上，点B与原点O重合，如图3．若，当点P在第一、三象限的角平分线上时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）45； （2）；理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质及，可得是等腰直角三角形，进而可求的值，设，可根据勾股定理求出，即可求解； （2）根据，可推导出，再根据及三角形内角和，可证，继而证明，再根据相似三角形对应边成比例，即可求解； （3）对分两种情况讨论，分别在第一或第三象限．在第一象限时，过P作轴于F，可设，在中，利用勾股定理及各点坐标表示出各线段长，列方程即可求出，并进行取舍；点在第三象限时，方法同理． 【小问1详解】 解：在正方形中， ，， 又， ∴， ∴， 由题意知， 设， ∴， 由旋转知， 则， ∴． 故答案为：45；． 【小问2详解】 ，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又在正方形中， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又在等腰中，， ∴． 【小问3详解】 如图1，当点P在第一象限角平分线上时，过P作轴于F，则为等腰直角三角形，则可设． 等腰中，由得， ∴， 在中，， ∴由及，得， 解得(舍)， ∴． 如图2，当点P在第三象限角平分线上时，过P作轴于H，同理设． 在中， 同理，由及，得， 解得(舍)， ∴． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查图形旋转，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，坐标系中的距离问题；解题关键是熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定及性质，坐标系中能根据点的坐标求出距离，涉及动态问题要注意分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$